01 三角函数命题特点分析-《中学生数理化》高考数学2024年10月刊

■江苏省南京市六合区程桥高级中学 李素文 三角函数是中学数学的主题内容之一, 是高考的重点,也是高考命题的热点。三角 函数命题的特点是注重考查主干知识;考查 考生灵活运用同角三角函数基本关系式及三 角恒等变换的能力;基于数形结合思想,考查 三角函数的图像与性质。下面进行简单的归 类例析,为同学们的复习备考提供一些帮助。 特点一:基础知识,重点考查 例 1 已知向量a=(2cos x,1),b= -cosx+ π 3 ,12 。记函数f(x)=a·b, x∈R。 (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)对任意x∈ - 5π 12 ,π 6 ,都有-2≤ f(x)-m≤5恒成立,求实数 m 的取值范 围。 分析:(1)先将f(x)化简,再利用正弦函 数图像的性质求解即可;(2)将恒成立问题转 化为函数f(x)的最值问题,通过分离参数m 可求出取值范围。 解:(1)由题意可知,f(x)=a·b= (2cos x,1)· -cosx+ π 3 ,12 = -2cos x·cosx+ π 3 +12=-2cos x· 1 2cos x- 3 2sin x + 12 = 32 sin 2x - 1 2cos 2x=sin2x- π 6 。 由2kπ- π 2≤2x- π 6≤2kπ+ π 2 ,k∈Z, 得kπ- π 6≤x≤kπ+ π 3 ,k∈Z,所以函数 f(x)的单调递增区间为 kπ- π 6 ,kπ+ π 3 , k∈Z。 (2)因为x∈ - 5π 12 ,π 6 ,所以2x-π6∈ -π, π 6 ,所以当2x-π6=-π2,即 x= - π 6 时,f(x)min=-1;当2x- π 6= π 6 ,即 x= π 6 时,f(x)max= 1 2 。 因为-2≤f(x)-m≤5恒成立,所以 f(x)-5≤m≤f(x)+2恒成立,故f(x)max -5≤m≤f(x)min+2,因此- 9 2≤m≤1 ,即 实数m 的取值范围为 - 9 2 ,1 。 评注:此题情境是同学们比较熟悉的,求 解思路也很常规, 考查了三角函数的主干知 识,充分体现了高考数学“立德树人、服务选 才”的核心功能。 特点二:数学思想,灵活考查 例 2 函 数 f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|< π 2 的部分图像如图1所 示。 图1 (1)求函数f(x)的解 析式; (2)将函数f(x)的图 像先向右平移 π 4 个单位,再 将所有点的横坐标缩短为 原来的 1 2 (纵坐标不变),得 到函数 g (x)的 图 像,求 g(x)在 x ∈ - π 12 ,π 6 上的最大值和最小值; (3)若关于x 的方程g(x)-m=0在 x∈ - π 12 ,π 6 上有两个不等实根,求实数m 的取值范围。 分析:(1)利用函数图像的顶点求出A= 2,利用周期求出ω=2,由特殊点求出φ= π 6 ,从而求出解析式;(2)利用三角函数图像 3 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月 变换求得g(x)=2sin4x- π 3 ,结合正弦函 数的性质,利用换元法求得最值;(3)结合函 数的定义域和三角函数的性质即可确定其值 域,由图像即可求解。 解:(1)由函数f(x)的部分图像可知A =2。因为 11π 12- π 6= 3 4T ,所以 T=π,ω= 2π T=2 。又因为f π 6 =2,所以2×π6+φ= π 2+2kπ ,k∈Z,解得φ= π 6+2kπ ,k∈Z。 由|φ|< π 2 ,可得φ= π 6 。综上可得,f(x)= 2sin2x+ π 6 。 (2)将函数f(x)的图像向右平移 π 4 个单 位,得 到 y = 2sin 2x- π 4 +π6 = 2sin2x- π 3 ,再将所有点的横坐标缩短为 原来的 1 2 ,得到g(x)=2sin4x- π 3 。令 t=4x- π 3 ,由 x∈ - π 12 ,π 6 ,可 得t∈ - 2π 3 ,π 3 。因 为 函 数 y = 2sin t 在 - 2π 3 ,- π 2 上单调递减,在 -π2,π3 上单 调递增,且2sin - π 2 =-2,2sinπ3= 3, 2sin - 2π 3 = - 3,所 以 g(x)max= 3, g(x)min=-2。 (3)因为关于x 的方程g(x)-m=0在 图2 x∈ - π 12 ,π 6 上有两个不等实 根,即y=m 与y=g(x)的图像 在x∈ - π 12 ,π 6 上 有 两 个 交 点,如图2。由数形结合思想可 知,符合题意的 m 的取值范围 为-2<m≤- 3。 评注:数形结合思想可以使某些抽象的 数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为 形象思维,有助于把握数学问题的本质。使 用数形结合思想方法,很多问题可迎刃而解, 且解法简捷,从而起到优化解题途径的目的。 特点三:交汇题型,突出综合 例 3 已知定义在(0,+∞)上的函数 f(x)=sin x-xcos x,其所有的零点按从小 到大的顺序组成数列{xn}(n∈N*)。 (1)求函数f(x)在(0,π)上的值域; (2)求证:函数f(x)在(nπ,(n+1)π) (n∈N*)上有且仅有一个零点; (3)求证:π<xn+1-xn< (n+1)π n 。 分析:(1)求得f(x)的导数,判断f(x) 的单调性,从而求得值域;(2)讨论n 为奇数 或偶数时,f(x)的单调性,结合函数零点存 在性定理,即可证明;(3)由(2)可知函数 f(x)在(nπ,(n+1)π)(n∈N*)上有且仅有 一个零点,再由零点存在性定理、正切函数的 性质和不等式的性质,即可证明。 解:(1)由f'(x)=cos x-(cos x-xsin x) =xsin x,当x∈(0,π)时,f'(x)>0,即函数 f(x)在(0,π)上是严格递增函数。且f(0) =0,f(π)=π,所以函数f(x)在(0,π)上的 值域为(0,π)。 (2)当x∈(nπ,(n+1)π)时,若n是偶数, 则f'(x)>0,即函数f(x)在(nπ,(n+1)π)上 是严格递增函数;若n是奇数,则f'(x)<0, 即函数f(x)在(nπ,(n+1)π)上是严格递减 函数。又 因 为 f(nπ)=(-1)n-1nπ,所 以 f(nπ)·f((n+1)π)=-n(n+1)π2<0。 由零点存在性定理可知,函数f(x)在(nπ, (n+1)π)上有且仅有一个零点。 (3)由(2)可知函数f(x)在(nπ,(n+1)π) 上有且仅有一个零点xn,且满足f(xn)= sin xn-xncos xn=0,即tan xn=xn(几何意 义:xn 是y=tan x 与y=x 交点的横坐标)。 又 因 为 f nπ+ π 2 = (-1)n,所 以 f(nπ)·fnπ+ π 2 =-nπ<0。由零点存 在性定理可知,函数f(x)在 nπ,nπ+ π 2 上 4 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月 有且仅有一个零点xn,于是xn+π,xn+1∈ (n+1)π,(n+1)π+ π 2 ,xn+1-(xn+π)∈ - π 2 ,π 2 ,tan[xn+1-(xn+π)]=tan(xn+1- xn)= tan xn+1-tan xn 1+tan xn+1·tan xn = xn+1-xn 1+xn+1·xn 。 因为xn+1-xn>0,所以tan[xn+1-(xn +π)]>0,所以xn+1-(xn+π)>0,即π< xn+1-xn。 tan[xn+1-(xn+π)]= xn+1-xn 1+xn+1·xn < 3π 2 x2n < 3π 2 n2π2 = 3 2n2π < π n 。 由(1)知,当x∈ 0, π 2 时,有x<tan x, 故xn+1-(xn+π)<tan[xn+1-(xn+π)]< π n ,所以xn+1-xn<π+ π n 。 综上可知,π<xn+1-xn< (n+1)π n 。 评注:本题从三角函数的零点出发,将三 角函数与数列灵活交汇进行命题,是一道独 具特点的试题,有效地考查了知识的交汇性。 特点四:新定义题,彰显个性 例 4 在平面直角坐标系xOy 中,定 义向量OA→=(m,n)为函数f(x)=msin x +ncos x 的有序相伴向量。 (1)设 OA→=(3,1)为 函 数 g(x)= sin(x+φ)-cos 4π 3-x |φ|<π2 的有序 相伴向量,求实数φ的值; (2)设函数f(x)的有序相伴向量为OB→ =(0,1),若函数h(x)=f(x)+ 3|sin x|, x∈[0,2π]与直线y=k 有且仅有四个不同 的交点,求实数k的取值范围。 分析:(1)由有序相伴向量的定义和三角 恒等变换计算即可求得φ的值;(2)首先得到 函数h(x)的解析式,再画出函数h(x)的图 像,数形结合即可求出参数k的取值范围。 解:(1)由题意可得,g(x)= 3sin x+ cos x。又 因 为 g(x)=sin(x +φ)- cos4π3-x =sin(x+φ)+cos π3-x = sin xcos φ+cos xsin φ+cos π 3cos x+ sin π 3sin x = cos φ+ 3 2 sin x + sin φ+ 1 2 cos x,所以 cos φ= 3 2 , sin φ= 1 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 即tan φ = 3。 因为|φ|< π 2 ,所以φ= π 6 。 (2)由题意知,f(x)=cos x,则h(x)= f(x)+ 3|sin x|=cos x+ 3|sin x|。 当x∈[0,π]时,h(x)=cos x+ 3sin x =2 1 2cos x+ 3 2sin x =2sinx+π6 ,所 以h(x)在 0, π 3 上单调递增,在 π3,π 上 单调递减;当x∈(π,2π]时,h(x)=cos x- 3 sin x = 2 1 2cos x- 3 2sin x = -2sinx- π 6 ,则h(x)在 π,5π3 上单调递 增,在 5π 3 ,2π 上单调递减。 作出函数y=h(x),x∈[0,2π]的图像, 图3 如图3所示。又h(x)max =h π3 =h 5π3 =2, h(0)=h(2π)=1,由图 像知,当1≤k<2时,函 数h(x)=f(x)+ 3· |sin x|,x∈[0,2π]的图像与直线y=k有且 仅有四个不同的交点,所以k 的取值范围是 [1,2)。 评注:对 于 新 定 义 题,常 见 的 解 题 思 路 是:①找出新定义有几个要素,理解要素分别 代表什么意思;②由已知条件,看所求的是什 么问题,进行分析,转换成数学语言;③将已 知条件代入新定义的要素中;④结合数学知 识进行解答。 (责任编辑 王福华) 5 知识篇 科学备考新指向 高考数学 2024年10月