第三章 指数运算与指数函数知识归纳与题型突破（6知识点+13题型）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第三章 指数运算与指数函数知识归纳与题型突破（6知识点+13题型） 知识点一：n次方根，n次根式 （1）．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 知识点二：二次根式及分数及分数指数幂 （1）二.根式的性质 ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). （2）分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点三：指数幂的分类及运算 （1）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （2）有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点四：指数函数的定义及特征 （1）指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点五：指数函数的图像与性质 （1）指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 知识点六：指数函数的单调性 （1） 指数函数单调性 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)（a＞1）在定义域上是单调增函数;y＝ax(a>0，且a≠1)（0＜a＜1）在定义域上是单调减函数. (2)与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （3）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 （4）解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 题型一 指数计算 例1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得，即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以， 则，即，则. 故选：A. 例2． . 【答案】 【分析】根据指数幂的运算性质即可求解. 【详解】, 故答案为： 巩固训练 1．已知，求： (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据平方关系可得，由负数指数幂的性质可得，即可代入求解， （2）根据和可得的值，即可分情况代入求解. 【详解】（1）由平方可得， 由于，故， ， 因此 （2）， 由和可得或， 当时，则， 当时，则 2．（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 3．（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 4．（1）已知，求的值 （2）求值： 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）根据题意结合指数运算性质分析求解. 【详解】（1）由题意可得：； （2）由题意可得：原式. 5．（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 【答案】（1）2；（2）；（3） 【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算； 【详解】（1） ； （2） ； （3）. 题型二　指数实际应用计算 例1．网络上盛极一时的数学恒等式“”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（    ）倍． A．1.69 B．1.748 C．1.96 D．2.8 【答案】C 【分析】根据指数的运算性质进行求解即可. 【详解】设小明现在的学习成果为， 每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果， 因此30天后小明的学习成果约为原来的， 故选：C 例2．自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由得到求解. 【详解】， ，则，（舍）． ， ． 故选：A. 巩固训练 1．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1，可得512天后甲，乙的质量，根据题意列出等式即可得答案． 【详解】设开始记录时，甲乙两种物质的质量均为1， 则512天后甲的质量为：, 乙的质量为：， 由题意可知，， 所以. 故选：A. 2．人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2023年的（    ）倍． A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15 【答案】C 【分析】根据题意数据求出函数解析式，然后利用指数运算即可求解. 【详解】由题意，，， 又，解得， . 所以2024年全球产生的数据量是2023年的倍. 故选：C. 3．早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 题型三　指数函数的概念 例1．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 例2．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 巩固训练 1．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 2．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 3．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算后与比较可得． 【详解】，则，即， 故选：A． 题型四　指数（型）函数的定义域 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，运算求解即可得函数的定义域. 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由即可由指数函数的单调性求解. 【详解】的定义域满足，解得， 故选：C 巩固训练 1．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 2．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得对任意恒成立，结合指数函数单调性可得对任意恒成立，根据二次不等式恒成立问题列式求解. 【详解】由题意可得对任意恒成立， 即，且在内单调递增， 可得，即对任意恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 5．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由偶次方根的被开方数必须大于等于零，建立不等式可解. 【详解】由题意得 所以， 即， 又指数函数为上的单调减函数， 所以，解得. 故选：C. 题型五　指数（型）函数的值域 例1．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，得到，令，从而将问题转化成求在区间上的最值，即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是，， 故选：B. 例2．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 巩固训练 1．将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 2．函数在的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】令，然后利用配方法可得答案. 【详解】令，则， 则， 所以当时，有最小值. 故答案为：. 3．已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对任意，都存在，使得，只需即可，分别求出在的最大值及在上的最大值，则答案可求. 【详解】， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 在R上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，都存在，使得， 所以只需即可，即，解得， 即m的取值范围是． 故答案为：. 4．已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 5．已知函数.若的定义域为，则的定义域为： ；若，的值域为，则的取值范围是： . 【答案】 【分析】根据题意结合抽象函数值域分析求解；分析可得，根据指数函数可得的值域为，结合二次函数运算求解. 【详解】若的定义域为，即，则， 所以的定义域为； 因为， 可得的值域为，则的值域为， 可得，解得：， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 6．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用换元法及二次函数的性质计算可得； （2）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）若，，， 令，因为，所以， 令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以，， 所以，； （2）因为在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是. 题型六　指数（型）的图像及应用 例1．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 例2．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 巩固训练 1．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】BD 【分析】按和分类，结合指数函数图象判断即得. 【详解】当时，函数在上单调递减，当时，在上递增，， 当时，在上递减，，A不满足，D符合题意； 当时，函数在上单调递增，当时，在上递减，， 当时，在上递增，，C不满足，B符合题意. 故选：BD 2．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数定义域得定义域为，排除A，再根据函数的奇偶性排除D，最后根据函数时的函数值排除C，即可得答案. 【详解】函数的定义域为，故排除A； 又因为，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除D； 当时，恒成立，当时，恒成立，故排除C. 故选：B. 3．若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 4．若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   【答案】D 【分析】首先由平移法则得函数表达式，结合指数函数图象与性质即可判断. 【详解】由题意可知图象上的点变换成点， 意味着函数的图象向右平移一个单位且向下平移2个单位， 此时对应的函数解析式为， 若，则时，且单调递减，时，且单调递增， 对比选项可知D选项符合题意. 故选：D. 5．若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 6．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】把关于的方程有且仅有一个实数解，转化为函数与的函数图象有且仅有一个交点，作出两函数的图象，数形结合得答案. 【详解】关于的方程有且仅有一个实数解，即函数与的函数图象有且仅有一个交点，作出两函数的图象如图： 由图可知，要使函数与的函数图象有且仅有一个交点，则. 故答案为： 7．若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，根据指数函数的性质求得定点坐标，代入幂函数解析式可得． 【详解】是幂函数，则，∴， 中，令，得，，∴定点为， ∴，又，∴． 故答案为：． 题型七　求指数（型）函数的单调性 例1．已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数单调性分析判断. 【详解】令，可得， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 则在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 例2．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【详解】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 巩固训练 1．函数的单调递增区间是 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得. 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 2．已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 3．已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】利用复合函数思想，结合二次函数和指数函数的性质来判断各选项. 【详解】令，则． 对于选项A，的定义域为，故A正确； 对于选项B，因为，的值域为，所以函数的值域为,故B正确； 对于选项C，因为在上单调递增， 且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C不正确； 对于选项D，由于函数在上单调递减，则，故 D正确． 故选:ABD． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 5．函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数的定义域为， 又二次函数，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 题型八　已知指数（型）函数的单调性求参数范围 例1．设函数在区间单增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性得到在上单调递减，由对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】在R上单调递减，由复合函数单调性可知， 在上单调递减， ，解得. 故选：D 例2．若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】函数是R上的增函数， ，解得. 故选：D. 巩固训练 1．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数单调性性质，求出单调区间，即可得到范围. 【详解】令，则 ∵，∴在上单调递增； ，对称轴为， 时，单调递减；时，单调递增； 由复合函数可知：时，单调递减；时，单调递增. 故，∴，∴. 故选：D 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，即， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 3．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可. 【详解】若，在上单调递增， 要满足题意，则要在上单调递减，故，即； 若，在上单调递减， 要满足题意，则要在上单调递增，故， 即，不满足 综上所述：的取值范围是. 故选：B. 4．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合指数函数和二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为二次函数的对称轴为， 所以有，即， 故选：A 5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合指数型复合函数的单调性可知只需在区间上单调递减，结合二次函数的性质得到不等式，解得即可. 【详解】令， 因为在定义域上单调递减， 要使函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 题型九　比较大小 例1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造，结合单调性和函数零点存在定理可求的取值范围，进而由指数函数的单调性即可得到答案. 【详解】令，易知在上单调递增， 由，得，使得，故， 而， 因为，所以由指数函数在上单调递减可得， 故， 又由指数函数在上单调递减可得，即， 故. 故选：C. 例2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合指数函数、幂函数的单调性，即可求解． 【详解】，在上单调递增， ， 故，所以， ，在上单调递增， ，故，即，所以． 故选：D 巩固训练 1．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知利用指数函数的单调性有，再利用函数和的单调性比较三个数的大小. 【详解】若，且， 函数在R上为减函数，，则， 函数在R上为减函数，有， 函数在上为增函数，， 可得. 故选：C. 3．下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性，即可判断选项. 【详解】幂函数在单调递增，所以， 指数函数单调递减，所以， 所以. 故选：D 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 5．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合幂函数与指数函数的单调性即可得到答案. 【详解】易知幂函数在上单调递增函数，所以，即， 又指数函数在上单调递减函数，所以，即. 于是. 故选：B. 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式可构造函数，再利用函数单调性可得，由指数函数单调性即可得. 【详解】由可得， 令函数，易知在上单调递增， 由可得，即可得； 因此，即. 故选：A 题型十　指数（型）函数解不等式 例1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用指数函数的性质，转化为或，进而求得不等式的解集. 【详解】由不等式等价于，可得， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为． 故选：B. 例2．已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【详解】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 巩固训练 1．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数单调性即可得到不等式，解出即可. 【详解】根据指数函数单调性知为单调减函数， 因为，则，解得， 则的取值范围是. 故选：D. 2．已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，注意到，且，从而原不等式等价于，由此即可得解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称， 由向左平移1个单位得到，所以关于直线对称， ，，且，都有， 在上单调递增， ∴在上单调递减， ∵，且，而， ∴，∴，解得， ∴原不等式的解集为. 故选：B. 3．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的单调性，再根据单调性求解不等式. 【详解】当时，单调递增，当时，单调递增，且在分界点处， 所以函数在定义域上单调递增， 所以，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 4．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性求解不等式即得. 【详解】不等式，化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 题型十一　指数（型）函数奇偶性求参数 例1．函数为偶函数，则的值为：（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性列式化简即可求值. 【详解】，， 由函数为偶函数，则 ， 即，解得：. 故选：D. 例2．若函数为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以， 解得，经检验满足题意， 故选：B. 巩固训练 1．已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的性质计算可得. 【详解】因为函数为偶函数，又函数的定义域为， 所以，即， 所以对任意的恒成立， 又，所以，解得. 故选：B 2．已知函数为偶函数，则=（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据偶函数定义列出方程求解即可. 【详解】因为函数为偶函数， 所以， 所以，即恒成立， 所以， 故选：D 3．已知是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性列方程，化简求得的值. 【详解】的定义域是，由于是偶函数，所以， 即，所以，即， 所以，解得，当时，， ，符合题意，所以. 故选：C 题型十二　已知指数（型）函数奇偶性求值或解析式 例1．已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则 【答案】 【分析】根据奇函数定义可求得的解析式，从而可求得，，进而可得答案. 【详解】令，则，所以． 因为是定义在R上的奇函数，所以， 所以，所以，， 所以. 故答案为： 例2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用题意结合奇函数的定义判断是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以是奇函数，且，故，解得， 故当时，，由奇函数性质得， 而，故，故A正确. 故选：A 巩固训练 1．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性单调性，据此可得，再由基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数，且易知在上单调递减， 又，即 所以，即， ，当且仅当即时等号成立， 故选：D 2．已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性求出，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】是偶函数，故，即， 是奇函数，故，即， 联立，解得， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 3．函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由函数的基本性质可得，若，则，进一步即可得解. 【详解】设，，首先定义域关于原点对称， 且，所以是奇函数， 不妨设，则， 所以. 故选：C. 4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇偶函数定义，利用方程组法求解析式，再利用基本不等式求最值. 【详解】由是奇函数，得， 由是偶函数，得， 联立解得，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：A 5．若，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．的值域为 D．的值域为 【答案】BC 【分析】对A，B，先判断的定义域是否关于原点对称，再求出，即可判断函数的奇偶性；对C，D，先对利用分离常数法进行化简，再根据指数函数的值域以及不等式的性质即可求出的值域. 【详解】解：对A，由知：， 解得：， 故的定义域为：且关于原点对称， ， 即为奇函数，故A错； 对B，由A知为奇函数，故B对； 对C，， ， 或， 则或， 即或， 即或， 即或， 故的值域为，故C对； 对D，由C知的值域为，故D错. 故选：BC. 6．已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】由题意，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以，所以. 故答案： . 7．已知，若，则（    ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】令，即可判断的奇偶性，利用奇偶性计算可得. 【详解】令，，则， 所以为奇函数， 又，，所以， 则， 所以. 故选：A 8．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性得到，得到时的解析式. 【详解】当时，，， 因为为奇函数，所以， 故，所以. 故选：B 9．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【详解】设，则，则. 故选:C. 10．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数， 故， 所以， 故. 故答案为： 题型十三　指数（型）函数的综合应用 例1．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，求a的取值范围． 【答案】 【分析】根据偶函数和单调性的关系，可判断出在区间上单调递减，然后根据偶函数的性质将不等式进行转化求解即可． 【详解】由是偶函数且在单调递增可知：在单调递减， 又，而， 可得，，即． 例2．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用函数的奇偶性和条件，列出方程组，求解即得函数解析式； （2）将（1）中结论代入不等式，化简后，设，将问题转化成不等式在上恒成立，只需求出在上的最小值即得. 【详解】（1）由题意，， 由①，可得 ，②， 联立①和②，解得，，； （2）由，将（1）结论代入可得，（*）， 设，则，因时，是增函数，故得， 此时（*）为，即， 依题意，不等式在上恒成立. 而函数在上单调递减，在上单调递增， 故，即时，取得最小值为4， 故，即. 【点睛】思路点睛：本题主要考查抽象函数不等式在给定区间上的恒成立问题，属于难题.解题思路是，先利用函数的奇偶性联立方程组求出解析式，再将不等式化简后进行换元并变量分离，从而将其转化成不等式在上恒成立问题，即只需求得的最小值即可. 巩固训练 1．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值． 【详解】因为是偶函数，所以，即①， 又因为是奇函数，所以，即②， 联立①②可得， 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为， 故选：C． 2．下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．函数的定义域是 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 【答案】BD 【分析】令，结合指数函数的性质可得A错误；由二次根式下大于等于零可得B正确；设，由对勾函数的单调性可得C错误；先求函数的定义域，再由简单复合函数的单调性可得D正确； 【详解】对于A，函数，当，即时，， 则函数的图象恒过定点，故A错误； 对于B，解得，所以函数的定义域为，故B正确； 对于C，， 设，则，又由，结合对勾函数的性质可得在区间上递增，则，故C错误； 对于D，函数，有，解得，即函数的定义域为， 设，则，在区间上，为增函数，在区间上，为减函数， 由于为定义域为的减函数，故有，故函数的单调增区间为，故D正确； 故选：BD. 3．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 4．下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．的最大值为 C．的图象关于成中心对称 D．幂函数在区间上单调递减，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用抽象函数定义域的求法即可判断； 对于B，利用换元和指数函数的单调性进行判断； 对于C，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心； 对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于的关系式，进而求解的值. 【详解】对于A选项，若函数的定义域为，对于函数，则，解得， 即函数的定义域为，因此A正确； 对于B，令，，又函数在上单调递减， 则，即， 当时，函数取得最小值，无最大值，因此B错误； 对于C，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移个单位， 再向上平移个单位得到函数的图象， 则函数的图象的对称中心为，因此C正确， 对于C选项，若幂函数在区间上单调递减， 则，解得，因此D正确； 故选：ACD. 5．若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是 ， 【答案】 【分析】作出在的图象，通过分析的位置可确定何时有最小值，从而确定的范围. 【详解】由指数函数和二次函数图象可得在上的图象如下图所示， 显然当时，，此时有最小值； 当时，，没有最小值， 实数的取值范围为. 故答案为：. 6．对，，记，则函数的最小值为 . 【答案】1 【分析】在同一坐标系内作出函数的图象，进而得出函数的图象，再利用图象及函数单调性求出最小值. 【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图，    观察图象知，当时，，当时，， 当时，， 因此，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 故答案为：1 7．已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由为奇函数，可得，从而可求解； （2）当时，可得是单调增函数，从而可得即是函数的两个解，参数分离可得，利用换元法设，可得，且，再结合对勾函数性质从而可求解. 【详解】（1）由，所以， 因为为定义域上的奇函数，所以， 即，化简得， 则，则得， 所以或. （2）当时，，所以是单调增函数， 由函数在上的值域为， 所以,， 即是函数的两个解，则得， 设，则，， 根据对勾函数性质可得在上单调递减，上单调递增， 其中在上的值域为，当时取最大值， 综上可得，所以的取值范围为. 8．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）减函数，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减，即为R上的减函数. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 9．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在定义域内单调递增，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得. （3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. （2）由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增. （3）依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 指数运算与指数函数知识归纳与题型突破（6知识点+13题型） 知识点一：n次方根，n次根式 （1）．n次方根，n次根式 1.a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2.a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 知识点二：二次根式及分数及分数指数幂 （1）二.根式的性质 ①负数没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝0. ③.()n＝a(n∈N*，且n>1). ④.＝a(n为大于1的奇数). ⑤.＝|a|＝(n为大于1的偶数). （2）分数指数幂 ①.规定正数的正分数指数幂的意义是：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②.规定正数的负分数指数幂的意义是：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 知识点三：指数幂的分类及运算 （1）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂； ②零指数幂； ③负整数指数幂，； ④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （2）有理数指数幂的性质 ①，，； ②，，； ③，，； ④，，． 知识点四：指数函数的定义及特征 （1）指数函数的概念 定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. （2）指数函数三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1. 知识点五：指数函数的图像与性质 （1）指数函数图像与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 函数值的变化 当x＞0时，y＞1 当x＞0时，0＜y＜1 当x＜0时，0＜y＜1 当x＜0时，y＞1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 对称性 y＝ax与y＝x的图象关于y轴对称 知识点六：指数函数的单调性 （1） 指数函数单调性 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)（a＞1）在定义域上是单调增函数;y＝ax(a>0，且a≠1)（0＜a＜1）在定义域上是单调减函数. (2)与指数函数复合的函数单调性 一般地，形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的性质有： ①函数y＝af(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域. ②当a>1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0<a<1时，函数y＝af(x)与y＝f(x)具有相反的单调性. （3）求指数函数复合的函数单调性区间方法： ①先求y＝af(x)(a>0，且a≠1)函数的定义域 ②将y＝af(x)(a>0，且a≠1)分解成两个基本函数 ③分别将两个函数的单调区间求出来 ④在利用“同增异减”求出复合函数的单调区间。 （4）解指数型不等式 (1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解； (2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解； (3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解. 题型一 指数计算 例1．已知，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2． . 巩固训练 1．已知，求： (1) (2). 2．（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 3．（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 4．（1）已知，求的值 （2）求值： 5．（1）求值： ； （2）求值：； （3） 化简：. 题型二　指数实际应用计算 例1．网络上盛极一时的数学恒等式“”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的（    ）倍． A．1.69 B．1.748 C．1.96 D．2.8 例2．自“”横空出世，全球科技企业掀起一场研发大模型的热潮，随着算力等硬件底座逐步搭建完善，大规模应用成为可能，尤其在图文创意、虚拟数字人以及工业软件领域已出现较为成熟的落地应用.函数和函数是研究人工智能被广泛使用的2种用作神经网络的激活函数，函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称做半衰期，记为（单位：天）．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．人类是数据的创造者和使用者，自结绳记事起，它就已慢慢产生，随着计算机和互联网的广泛应用，人类产生创造的数据量呈爆炸式增长，中国已成为全球数据总量最大、数据类型最丰富的国家之一，人类采集、存储和处理数据能力大幅提升，使数据应用渗透到我们生活中的每个角落．目前，数据量已经从级别跃升到，乃至级别．国际数据公司的研究结果表明，2008年全球产生的数据量为，2010年增长到．若从2008年起，全球产生的数据量与年份的关系为，其中均是正的常数，则2024年全球产生的数据量是2023年的（    ）倍． A．0.5 B．2.25 C．1.5 D．15 3． 早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 题型三　指数函数的概念 例1．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 例2．若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 巩固训练 1．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 题型四　指数（型）函数的定义域 例1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 （   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 2．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．函数 的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型五　指数（型）函数的值域 例1．已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（   ） A． B． C． D． 例2．函数的值域为 ． 巩固训练 1．将函数的值域为 . 2．函数在的最小值是 ． 3．已知函数，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 ． 4．已知函数在区间上的最大值是7，则 . 5．已知函数.若的定义域为，则的定义域为： ；若，的值域为，则的取值范围是： . 6．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围. 题型六　指数（型）的图像及应用 例1．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 例2．在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（多选）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用两数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式琢磨函数图象的特征，如函数（且）的图像的大致形状可能是（    ） A．     B．   C．   D．   2．函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 4．若把函数的图象平移，可以使图象上的点变换成点，则函数的图象经此平移变换后所得的图象大致形状为（    ） A．   B．   C．     D．   5．（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程有且仅有一个实数解，则实数的取值范围是 . 7．若函数，且的图象过定点 A，且点 A在幂函数 上，则 . 题型七　求指数（型）函数的单调性 例1．已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 例2．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．函数的单调递增区间是 2．已知函数，则的单调递减区间为 . 3．（多选）已知函数，则（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C．函数在上单调递增 D． 4．（多选）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间为 ． 题型八　已知指数（型）函数的单调性求参数范围 例1．设函数在区间单增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．设函数且在区间上单调递减，则的取值范围是(    ). A． B． C． D． 4．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型九　比较大小 例1．已知，则（    ） A． B． C． D． 例2．若，，，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B． C． D． 3．下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 题型十　指数（型）函数解不等式 例1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数是定义在上的偶函数.，，且，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为 . 题型十一　指数（型）函数奇偶性求参数 例1．函数为偶函数，则的值为：（     ）. A． B． C． D． 例2．若函数为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．3 巩固训练 1．已知函数为偶函数，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 2．已知函数为偶函数，则=（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．已知是偶函数，则（   ） A． B． C．1 D．2 题型十二　已知指数（型）函数奇偶性求值或解析式 例1．已知是定义在R上的奇函数，当时，，当时，，则 例2．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 巩固训练 1．已知函数，若正实数，满足，则的最小值为（    ） A． B．7 C． D． 2．已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．函数在区间上的最大值为，最小值为，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 4．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．若，则（    ） A．为偶函数 B．为奇函数 C．的值域为 D．的值域为 6．已知函数，若，则 . 7．已知，若，则（    ） A． B．0 C． D．2 8．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 . 题型十三　指数（型）函数的综合应用 例1．已知是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数a满足，求a的取值范围． 例2．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 巩固训练 1．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数且的图象恒过定点 B．函数的定义域是 C．函数的最小值为6 D．函数的单调增区间为 3．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．的最大值为 C．的图象关于成中心对称 D．幂函数在区间上单调递减，则 5．若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是 ， 6．对，，记，则函数的最小值为 . 7．已知函数． (1)若为奇函数，求的值； (2)当时，函数在上的值域为，求的取值范围． 8．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 9．已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$