第三章 指数运算与指数函数（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（北师大版2019必修第一册）

第二章 指数运算与指数函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 3．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合指数函数的单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】， 当时，不成立， 当时，不成立. 所以是的既不充分也不必要条件，即是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由指数函数性质得定点坐标，代入直线方程得的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由得，又，所以定点为， 从而， ，当且仅当时等号成立， 故选：C 5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可. 【详解】易知， 又定义域上单调递减，，所以， 易知单调递增，， 则， 综上. 故选：A 6．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】利用题意结合奇函数的定义判断是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为定义在上的函数满足， 所以是奇函数，且，故，解得， 故当时，，由奇函数性质得， 而，故，故A正确. 故选：A 7．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由增函数结合函数在区间上单调递增得函数在区间上单调递增，再由一元二次函数图像性质即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 8．已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性求出，然后利用基本不等式求最小值即可. 【详解】是偶函数，故，即， 是奇函数，故，即， 联立，解得， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AB选项，根据指数运算性质即可得到；C选项代入函数，通过作差法结合函数的单调性可以判断；D选项，利用基本不等式证明. 【详解】A选项，因为，所以，故A选项准确； B选项，，故B选项错误； C选项， ，因为函数单调递增，故，则，故C选项正确； D选项，，，因为，根据均值不等式可知， ，即，故D选项正确. 故选：ACD 10．设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据指数函数的单调性即可比较AB,作出函数的图像，借助函数图象结合选项逐一判断CD. 【详解】，故可作出的图象如图所示，    由图可知，要使且成立，则有且， 故必有且， 又，即为，所以． 由于函数为单调递增函数，且，所以，故AD可能，CB不可能， 故选：BC． 11．下列命题中正确的是（ ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，若对恒成立，则实数的取值范围是 C．函数，若不等式对恒成立，则范围为． D．函数在上的值域为 【答案】BCD 【分析】对于A，由是减函数以及题意得在区间上是减函数即可判断；对于B，根据函数奇偶性即可求解，进而依据题意即可求解；对于C，先简化不等式和分离参数得，再利用基本不等式结合题意即可求解；对于D，将函数转化成一元二次型即可依据自变量范围即可求解判断. 【详解】对于A，因为是减函数， 而函数在区间上是增函数， 则在区间上是减函数，显然当时符合，故A错； 对于B，因为定义在上的偶函数在上单调递增，且， 则由偶函数图像特征得在上单调递减，且， 所以当，则，， 又因为对恒成立，故，故B对； 对于C，当时，，所以， 又因为，所以 ， 故若不等式对恒成立对恒成立， 又 当且仅当即即即时等号成立， 所以即范围为，故C对； 对于D，， 当时，，所以，故， 所以，故D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：解含参函数不等式恒成立问题可分离参数将不等式恒成立问题转换成最值问题求解. 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 【答案】② 【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象. 【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条， 当时，，所以曲线③是函数的图象， 函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以的图象是曲线②. 故答案为：②. 13．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数， 故， 所以， 故. 故答案为： 14．已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出、在给定区间上的值域，依题意，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又在上单调递增，所以， 因为任意，存在，使得， 所以，即，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 16．已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，若，是否存在实数，使得在时的最小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）根据二次函数单调性求出答案； （2）根据题意可得，换元令，转化为二次函数求最值得解. 【详解】（1）当时，，， 当时，有， 当时，有 . （2）存在，， 由题可得，由，得. 令，，则， 所以，对称轴， 所以当时，，解得，符合条件. 所以存在满足题意. 17．已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义域为且为奇函数，所以，即可求解. （2）利用函数单调性的定义法即可证明求解. （3）由（2）中结果及奇函数性质可得，从而可得，结合二次函数性质即可求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）减函数，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减，即为R上的减函数. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 18．已知函数 （且）． (1)讨论的单调性（不需证明）； (2)若， （ⅰ）解不等式； （ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）或 【分析】（1）根据增函数加增函数是增函数，减函数加减函数是减函数得出结论； （2）（ⅰ）先考虑，利用函数的单调性得出答案，在根据奇偶性得出时的答案； （ⅱ）令，把问题转化为二次函数含参最值问题，然后分类讨论求解. 【详解】（1）若，则在R上单调递增； 若，则在R上单调递减． （2）（ⅰ），即， 设，则，，所以为奇函数， 当时，单调递增，由，解得， 根据奇函数的性质，当时，的解为， 综上所述，的解集为． （ⅱ）， 令，因为，则， 所以，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， ①当，即时，，解得． ②当，即时，， 解得，矛盾． ③当，即时，，解得． 综上所述，或． 19．若函数满足，则称函数为“倒函数”. (1)判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）； (2)若为“倒函数”，求实数m，n的值； (3)若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 【答案】(1)函数和都不是“倒函数” (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数定义域即可判断；利用给定定义计算判断即可作答. （2）利用给定定义直接计算可得m、n的值 （3）探讨的定义域，再利用给定的定义计算即可作答. 【详解】（1）依题意，函数为“倒函数”，函数的定义域必关于数0对称， 函数的定义域为，显然在定义域内，而1不在定义域内， 即不是“倒函数”， 函数定义域为R，而，即不是“倒函数”， 所以函数和都不是“倒函数”. （2）显然，函数的定义域关于数0对称，又是倒函数， 于是得，则，又，解得， 所以实数m、n的值分别为； （3）因函数是偶函数，是奇函数，则它们的定义域必关于数0对称， 依题意，的定义域是函数与定义域的交集，也必关于数0对称， 因此，， 所以是倒函数. 【点睛】关键点点睛：正确理解给定定义，是解决新定义题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 指数运算与指数函数（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：150分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 2．下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（   ） A．4 B．1 C．2 D． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 7．设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数则（    ） A． B． C． D． 10．设，，且，则下列关系式中一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．下列命题中正确的是（ ） A．已知函数，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 B．已知定义在上的偶函数在上单调递增，且，若对恒成立，则实数的取值范围是 C．函数，若不等式对恒成立，则范围为． D．函数在上的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线 ．（填曲线序号） 13．已知函数，分别是定义在上的奇函数，偶函数，且，则 . 14．已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16．（15分）已知函数. (1)若，求在区间上的最大值和最小值； (2)设，若，是否存在实数，使得在时的最小值为，若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 17．（15分）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 18．（17分）已知函数 （且）． (1)讨论的单调性（不需证明）； (2)若， （ⅰ）解不等式； （ⅱ）若在区间上的最小值为，求的值． 19．（17分）若函数满足，则称函数为“倒函数”. (1)判断函数和是否为“倒函数”（不必说明理由）； (2)若为“倒函数”，求实数m，n的值； (3)若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是“倒函数”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$