精品解析：湖南省 邵阳市 新邵广益世才学校2024-—2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024-2025学年度九年级9月月考卷 数学 考试时间：120分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的识别．本题根据一元二次方程的定义解答． 【详解】解：A、当时，是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是一元二次方程，故本选项符合题意； C、变形为不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的一般式是是解题的关键． 根据反比例函数的一般式是对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意； B．属于正比例函数，不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意； C． 符合反比例函数的一般形式，故本选项符合题意； D．不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意； 故选：C． 3. 一元二次方程中，其中一次项系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的一般形式．解题的关键是掌握：二次函数的一般形式（，、、为常数），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项．据此解答即可． 【详解】解：一元二次方程中，其中一次项系数是． 故选：B． 4. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出． 由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照后即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， A、； B、； C、； D、， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴或 ∴ 故选C． 6. 若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确理解反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据反比例函数的图形与性质，可得，求解不等式即得答案． 【详解】反比例函数的图形位于第一、三象限， ， 解得． 故选：A． 7. 下列函数中，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一次函数及反比例函数的增减性，根据k的值判断一次函数及反比例函数的增减性即可得到答案，正确理解一次函数及反比例函数的增减性与k的值的关系是解题的关键． 【详解】解：A．∵， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； B．∵， ∴y随x的增大而增大，不符合题意； C．∵， ∴y随x的增大而减小，符合题意； D．∵， ∴在同一个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：C． 8. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案. 【详解】解： ∴ 则， 故选：B 9. 某药品经过连续两次降价，每盒售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 10. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 二、填空题 11. 用公式法解方程时，______，______，______． 【答案】 ①. 1 ②. 3 ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵， ∴ ∴，， 故答案为：1，3，． 12. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解一次方程即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 (k为常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即. 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为：2. 13. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义及方程的解的定义，将代入方程求出，再根据一元二次方程的定义求出，由此得到答案，正确理解一元二次方程的定义及方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入，得， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 14. 合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据速度时间路程，即可得到结论，正确理解路程、速度、时间三者之间的关系对解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案为． 15. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，即经整理后，如果方程含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，掌握此概念是关键，千万不要忘记二次项系数不为零．根据一元二次方程的概念，最高项系数为2，二次项系数不为零，由这两点即可确定a的值． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 16. 如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则__________________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 把代入，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个解是， ， 即， ． 17. 已知反比例函数的图象如图所示，若长方形的面积为3，则k的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，再根据函数经过的象限即可得到答案． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上，且长方形的面积为3， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第二象限， ∴， 故答案为：． 18. 如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为___________． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的图像和性质是解题的关键； 根据反比例函数和一次函数的图像和性质求解即可； 【详解】解：观察函数图象可知：点A的横坐标为，点的横坐标为， ∴关于的方程的解为和． 故答案为：和． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键： （1）利用直接开平方法解方程； （2）利用因式分解法解方程. 【小问1详解】 解： ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 . 20. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练的化简分式并整体代入进行计算是解本题的关键．先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴，其中， ∴原式． 21. 已知与成反比例，且当时，，求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，求自变量的值： （1）根据题意，设，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， 解得：． 22. 已知． （1）求，的值． （2）若关于的一元二次方程有一个根是，求的值． 【答案】（1）， （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式的非负性、一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握二次根式的非负性． （1）利用二次根式的非负性，可得到且，由此可求出的值，然后求出的值； （2）将，的值代入方程，可得到，再将代入方程，可求出的值． 【小问1详解】 解：， 根据二次根式非负性可得且， 解之：， ， ，． 【小问2详解】 解：依（1）得：该一元二次方程为， 关于的一元二次方程有一个根是， ， 解之：， 的值为． 23. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 【答案】（1） （2）服药后对人体的有效时间是 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【小问1详解】 当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，； 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 当药物浓度为4微克/毫升时，即时， 由，得， 由，得， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为． 24. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． （1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 【答案】（1）[]或) （2）这种脐橙的售价单价应定为每箱元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）根据销售单价每提高元，日销售量将减少箱，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出一元二次方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 解：设这种脐橙的售价单价定为每箱元，则每箱的销售利润为元， 日销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利给顾客， ． 答：这种脐橙的售价单价应定为每箱元． 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、，与轴交于点，与轴交于点． （1）连接，求的面积． （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】（1）15 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把代入即可求出反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求出点坐标，把、坐标代入即可求出一次函数解析式，求出点坐标，由计算即可求解． （2）根据函数图象即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ， 反比例函数解析式为； 把代入得，， ， ， 把、代入得， ， 解得， 一次函数解析式为， 把代入得，， ， ， ， 的面积为15． 【小问2详解】 解：观察函数图象可得，当一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，， 不等式的解集为或； 26. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 【答案】（1）；， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法，数形结合是关键 （1）根据赵爽的解法变形一元二次方程，画出大正方形，构造新方程，求出方程的一个正解即可； （2）仿照赵爽的解法变形一元二次方程，构造新的关于x的方程，解出正数解即可． 【小问1详解】 解：第一步，将原方程变为，变形得：， 第二步，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图： 第三步，根据大正方形的面积可得新的方程：， 解得原方程的一个根为． 故答案为：；，； 【小问2详解】 解：方程变形为：， 根据赵爽的解法可造方程为：， ∵，， ∴（舍去负值）， ∴， ∴原方程的一个正数解为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度九年级9月月考卷 数学 考试时间：120分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程中，其中一次项系数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数的图象经过点，下列各点也在这个函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 若反比例函数的图形位于第一、三象限，则m的取值范围（　　） A. B. C. D. 7. 下列函数中，随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 9. 某药品经过连续两次降价，每盒售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 用公式法解方程时，______，______，______． 12. 若反比例函数的图象过点，则m的值为________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为________ 14. 合安高速（合肥到安庆）全程千米，小明自驾车走高速从合肥到安庆办事，则他所需时间（小时）与平均速度（千米小时）之间的函数表达式是______． 15. 若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ___________． 16. 如果关于x 的一元二次方程的一个解是，则__________________． 17. 已知反比例函数的图象如图所示，若长方形的面积为3，则k的值是_____． 18. 如图，一次函数（、为常数，且）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于、两点．则关于的方程的解为___________． 三、解答题 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中是方程的一个解． 21. 已知与成反比例，且当时，，求： （1）与之间的函数关系式； （2）当时，的值． 22. 已知． （1）求，的值． （2）若关于的一元二次方程有一个根是，求的值． 23. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， （1）求y与x之间的函数表达式． （2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 24. 又是一年脐橙丰收季！小石通过网络平台进行直播销售．已知每箱（小箱）脐橙的成本是元如果销售单价定为每箱元，那么日销售量将达到箱．据市场调查，销售单价每提高元，日销售量将减少箱． （1）若销售单价定为每箱元()，请用含的式子表示日销售量； （2）要使每天销售这种脐橙盈利元，同时又要让利给顾客，那么脐橙的售价单价应定为每箱多少元？ 25. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于、，与轴交于点，与轴交于点． （1）连接，求的面积． （2）观察函数图象，直接写出不等式的解集； 26. 【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $