第十三章 轴对称（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（山东专用）

第十三章 轴对称（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．  B．   C．   D．   2．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．线段，，被直线垂直平分 C． D．线段所在直线的交点不一定在直线上 4．如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，如果的周长为15，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．已知点和关于轴对称，则值为（     ） A．0 B． C．1 D．无法确定 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 7．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 9．的三边满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 10．如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 13．如图，直线是三角形的对称轴，点，是线段上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 14．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 15．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 16.．如图，为等边三角形（即，），，分别是，上的一动点，且，连结，交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分；③；④若，则点到的距离等于线段的长． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）．如图，是的角平分线，，垂足分别为点E、点F，直线交于点 (1)与全等吗？请说明理由． (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题： (1)画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母）； (2)求三角形的面积； (3)在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）． 19．（10分）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 20．（10分）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 21．（9分）如图，在中，的垂直平分线，交于点，连接，．若°，求的度数． 22．（12分）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 23．（12分）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．该图形既不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【详解】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A 3．如图，和关于直线对称，连接，，，其中与直线交于点，点为直线上一点，且不与点重合，连接．下列说法错误的是（    ） A． B．线段，，被直线垂直平分 C． D．线段所在直线的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】此题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质依次分析判断，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A、和关于直线对称， ， ，原说法正确，不符合题意； B、和关于直线对称， 线段，，被直线垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、和关于直线对称， 是线段的垂直平分线， ∴，原说法正确，不符合题意； D、和关于直线对称， 线段所在直线的交点一定在直线上，原说法错误，符合题意． 故选：D． 4．如图，在内，点、分别是点关于、的对称点，如果的周长为15，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质可得，，结合的周长为15，即，即可获得答案． 【详解】解：∵点、分别是点关于、的对称点， ∴，， ∵的周长为15，即， ∴． 故选：A． 5．已知点和关于轴对称，则值为（     ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 6．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为，则顶角的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据题意，可先画出简单示意图，根据等腰三角形的特殊性，可分为两种情况：（1）顶角为锐角（2）顶角为钝角；分别利用三角形的内角和定理和三角形的外角与内角的关系，据此解答．解题的关键是理解：有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰，两腰夹角叫做等腰三角形的顶角． 【详解】解：（1）当顶角是锐角时，如图， ∵是的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是锐角时，顶角的度数是；    （2）当顶角是钝角时，如图， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 即当顶角是钝角时，顶角的度数是， 综上所述，等腰三角形的顶角为或． 故选：C．    7．如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交的两侧于点、，连接，交于点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．分别求出，的大小，可得结论． 【详解】解：，， ， 由作图可知垂直平分线段， ， ， ， 故选：C 8．如图，中，，；点C，D，E在的延长线上，且，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，先求解，再求解，再进一步求解即可； 【详解】解： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D． 9．的三边满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得，由三边相等判定是等边三角形． 【详解】解： 解得：， ∴是等边三角形， 故选：C． 10．如图，在直线的同一侧分别作两个等边三角形和，连接，有以下结论①；②；③平分；④是等边三角形；以上结论正确有（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识．利用等边三角形的性质得到，，，即可证明，即可判断①；证明，则，即可判断②；过点B作于M，于根据全等三角形的性质和三角形面积得到，即可判断③；根据，，即可证明④． 【详解】解：，都是等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确， ， 在和中， ， ∴， ∴， 故②错误； 过点B作于M，于 ， ∴， ∵，， ∴， ， 平分，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 12．如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于N，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，再由，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键． 【详解】解：的平分线相交于点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：． 13．如图，直线是三角形的对称轴，点，是线段上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】根据轴对称的性质，由AD是三角形ABC的对称轴得到AD垂直平分BC，则AD⊥BC，BD＝DC，根据三角形的面积公式得到，得到，代入计算即可． 【详解】∵直线是三角形的对称轴，∴垂直平分，即，， ∴， ∴． 故答案为3． 【点睛】本题考查了轴对称的性质：关于某直线对称的两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被对轴轴垂直平分．也考查了三角形的面积公式． 14．如图，点是内部一点，点关于、的对称点是、，直线交、于点、，若的周长是15，且，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握基础知识，并能数形结合是关键．由轴对称的性质知：，，，，证明是等边三角形，求解即可． 【详解】解：连接，    由轴对称的性质知：，，，， ∵，即， ∴，， ∴是等边三角形， ∵的周长是15， ∴的长为， 故选：D． 15．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 16.．如图，为等边三角形（即，），，分别是，上的一动点，且，连结，交于点，连接．给出下列四个结论： ①；②若，则平分；③；④若，则点到的距离等于线段的长． 其中正确的结论有 （填写所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】证明，得出，再结合三角形外角的定义及性质即可判断①；得出是的垂直平分线，即可判断②；由全等三角形的性质得出，结合即可判断③；作于，证明即可判断④． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵为等边三角形， ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴，即，故③错误； 如图，作于， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点到的距离等于线段的长，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10分）．如图，是的角平分线，，垂足分别为点E、点F，直线交于点 (1)与全等吗？请说明理由． (2)直线是线段的垂直平分线吗？请说明理由． 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)是，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，对于（1），根据角平分线的性质得，再根据“斜边，直角边”证明即可；对于（2），先根据全等三角形的性质得，再根据勾股定理的逆定理得出答案． 【详解】（1）解：全等，理由如下： ∵是的角平分线，， ∴． ∵， ∴． （2）解：是，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线． 18．（9分）如图，在平面直角坐标系中，三角形的三顶点都在格点上，位置如图，请完成下面问题： (1)画出三角形关于直线（竖直线）的对称图形（注意标出对应点字母）； (2)求三角形的面积； (3)在直线（水平线）上找一点，使最小，在图中画出点（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案； （2）利用割补法求三角形的面积即可； （3）取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：的面积为； （3）解：如图，取点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接， 此时，为最小值， 则点即为所求． 19．（10分）如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形；    （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 20．（10分）如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角，三线合一． （1）先得出，再根据等腰三角形的性质得出，即可解答； （2）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，即可求证． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， ∵，是边上的中点， ， ， ． （2）证明：平分， ， ∵， ， ， ． 21．（9分）如图，在中，的垂直平分线，交于点，连接，．若°，求的度数． 【答案】/度 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质可得，，，则可得，，，由可得，由三角形内角和定理可得，进而可得，即． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分，垂直平分线， ，， ， ，，， 又， ， ∵中，， ， ， ， ， 即． 故答案为：． 22．（12分）在四边形中，是钝角，，对角线平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，当时，请判断、与之间的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）在上取点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，，由此即可得； （3）延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图，在上取点，使得，连接， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． （3）解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， 由（2）已证：， ∴， ∵对角线平分，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴． 23．（12分）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”，“ ”或“”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．（提示：过点E作，交于点F） (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，则线段的长___________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质： （1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论； （2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论； （3）过点E作，交于点F，同（2 ）得是等边三角形，，则，即可得出答案． 【详解】解：（1）：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 同（2 ）得：是等边三角形，， ，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$