拓展2-2 直线和圆的方程的六个易错点-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

拓展2-2直线和圆的方程的六个易错点 一、误解“截距”与“距离” 四、忽略二元二次方程代表圆的条件 二、忽略截距为0的情况 五、忽视直线的斜率不存在 三、忽略两直线平行的条件 六、两圆关系理不清 一、误解“截距”与“距离” 易错分析：横截距就是指直线与x轴交点的横坐标，纵截距就是指直线与y轴交点的纵坐标 例1．若直线的斜率为2，，直线过点，则直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B． C． D．-3 变式1-1．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 变式1-2．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 变式1-3．已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是 . 二、忽略截距为0的情况 易错分析：在利用截距式，设方程时，容易忽略截距为零的情况 例2．（多选）直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是 . 变式2-2．已知点，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 变式2-3．圆过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 三、忽略两直线平行的条件 易错分析：研究两条直线的平行关系时，要考虑这两条直线重合，故对于直线的一般方程，要用 例3．“”是“两条直线，平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-1．已知直线：，：，若：；：，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-3．在平面直角坐标系中，直线，. （1）求直线经过定点的坐标； （2）当且时，求实数的值. 四、忽略二元二次方程代表圆的条件 易错分析：当方程表示圆的前提条件是 例4．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 变式4-2．（多选）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为.下列结论中正确的是（    ） A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为 C．直线l的方程为 D．直线l的方程为 变式4-3．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是 ． 五、忽视直线的斜率不存在 易错分析：当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在进行讨论,否则容易犯分类不全的错误。 例5．（多选）一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 变式5-2．已知直线与直线的交点为M. (1)求过点M且与直线平行的直线的方程. (2)求过点M且到点的距离为2的直线的方程； 变式5-3．已知圆经过点，，三点． (1)求圆的方程； (2)一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 六、两圆关系理不清 易错分析：在解决两圆相切问题时,切记分内切和外切,不要遗漏。 例6．若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 变式6-1．若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 变式6-2．若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 变式6-3．已知两个圆，，求两圆分别满足下列条件时半径r的取值范围： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 1．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 2．若，使曲线是圆，则（    ） A． B． C．或 D． 3．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 4．（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则 B．坐标平面内过点的直线方程可以写成 C．直线过点，且原点到的距离是2，则的方程是 D．若是空间的一组基底，且，则四点共面 6．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有 条. 7．已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 8．已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程； (3)已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程. 9．已知的圆心在x轴上，经过点和． (1)求的方程； (2)过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 10．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展2-2直线和圆的方程的六个易错点 一、误解“截距”与“距离” 四、忽略二元二次方程代表圆的条件 二、忽略截距为0的情况 五、忽视直线的斜率不存在 三、忽略两直线平行的条件 六、两圆关系理不清 一、误解“截距”与“距离” 易错分析：横截距就是指直线与x轴交点的横坐标，纵截距就是指直线与y轴交点的纵坐标 例1．若直线的斜率为2，，直线过点，则直线在x轴上的截距为（    ） A．3 B． C． D．-3 【答案】C 【详解】由题意直线的斜率为2，，则的斜率为2， 得直线的方程为，即为. 令，得，即直线在x轴上的截距为. 故选：C. 变式1-1．直线倾斜角及在y轴上的截距分别是（    ） A．，6 B．， C．，6 D．， 【答案】B 【详解】由直线可得其斜率， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以，即倾斜角为， 当时，，得， 所以直线在y轴上的截距为， 故选：B 变式1-2．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 变式1-3．已知点关于直线对称的点是，则直线在轴上的截距是 . 【答案】 【详解】因为点关于直线对称的点是， 可得，所以，可得，即， 设的中点为，可得，即， 将点代入，可得，即， 令，可得，所以直线在轴上的截距是. 故答案为： 二、忽略截距为0的情况 易错分析：在利用截距式，设方程时，容易忽略截距为零的情况 例2．（多选）直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为时，直线的方程为，即； 当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线的方程为， 则，解得，所以直线方程为，即； 所以直线的方程可能是或. 故选：AC 变式2-1．经过点，且在轴、轴上的截距相等的直线方程是 . 【答案】或 【详解】当截距为时，设所求直线为， 因为直线过点，所以， 所以，所以所求直线方程为， 当截距不为时，设所求直线方程为， 因为直线过点，所以， 所以所求直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 故答案为：或. 变式2-2．已知点，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程. 【答案】或. 【详解】由题意中点M的坐标是. 设在轴，轴上的截距分别为，若截距不为0， 设方程为， 由已知得，解得. 所求方程为. 若，则此直线过点和原点， 所以方程为. 所以，所求直线方程为或. 变式2-3．圆过、两点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若直线在轴上的截距是轴上的截距的2倍，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程． 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）解：两点，的中垂线方程为：， 联立，解得圆心， 则， 故圆的方程为：； （2）由直线且被圆截得的弦长为6， 故圆心到直线的距离为， A．若直线过原点，可知直线的斜率存在，设直线为：， ，此时直线的方程为： A．若直线不过原点，设直线为：， ， 此时直线的方程为：， 综上：直线的方程为：，，. 三、忽略两直线平行的条件 易错分析：研究两条直线的平行关系时，要考虑这两条直线重合，故对于直线的一般方程，要用 例3．“”是“两条直线，平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，两条直线，，两直线平行， 所以“”是“两条直线，平行”的充分条件； 因为直线的斜率存在且为， 由两直线平行，所以的斜率存在且为， 所以，解得或， 当时，直线方程均为，此时直线重合，故不符合题意，舍去； 所以“”是“两条直线，平行”的充要条件. 故选：C. 变式3-1．已知直线：，：，若：；：，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】①当时，有，即，解得或， 若，则：，：，有， 若，则：，：，有， ∴或，故，不是的充分条件； ②当时，：，：，有， ∴，故，是的必要条件， ∴是的必要不充分条件. 故选：C. 变式3-2．“”是“直线与平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有且，解得， 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 变式3-3．在平面直角坐标系中，直线，. （1）求直线经过定点的坐标； （2）当且时，求实数的值. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）∵， ∴， ∴ 令且，则，， ∴对任意，直线过定点 （2）当时，直线，即 又知直线，即，， ∴且， ∴. 【点睛】本题主要考查直线恒过定点的问题以及两直线平行的充要条件.属于中档题型. 四、忽略二元二次方程代表圆的条件 易错分析：当方程表示圆的前提条件是 例4．已知点是圆外的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得且，解得. 故选：D 变式4-1．已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点，则，解得. 因为在外，所以，可得 且表示圆可得，即得 综上可得. 故选：C. 变式4-2．（多选）已知直线l与圆相交于A，B两点，弦AB的中点为.下列结论中正确的是（    ） A．实数a的取值范围为 B．实数a的取值范围为 C．直线l的方程为 D．直线l的方程为 【答案】AD 【详解】圆满足 ，可得 ， 又由题意弦AB的中点为可得点M在圆内， 将点M坐标代入圆的方程可得：，即，故A正确，B错误； 根据圆的性质可得： ， 由圆， 得圆心，而，∴直线l的斜率k为， 由点斜式可得直线l的方程为： ，即，故C错误，D正确； 故选：AD 变式4-3．若圆与轴有公共点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】圆C的标准方程为， 依题意有 ，解得， 故答案为：. 五、忽视直线的斜率不存在 易错分析：当用待定系数法确定直线的斜率时,一定要对斜率是否存在进行讨论,否则容易犯分类不全的错误。 例5．（多选）一条直线经过点，被圆截得的弦长等于8，这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由圆的方程，得到圆心坐标为，半径， 直线被圆截得的弦长为8，∴弦心距， 若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然满足题意； 若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为， 所求直线的方程为， 圆心到所设直线的距离，解得：， 此时所求方程为，即， 综上，此弦所在直线的方程为或. 故选：AD 变式5-1．已知、，动点满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的标准方程； (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设，则，， 由，得， 所以曲线的标准方程为. （2）曲线是以为圆心，1为半径的圆， 过点的直线若斜率不存在，直线方程这，满足与圆相切； 过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即， 有圆心到直线距离，解得， 则方程为. 过点且与曲线相切的直线的方程为或. 变式5-2．已知直线与直线的交点为M. (1)求过点M且与直线平行的直线的方程. (2)求过点M且到点的距离为2的直线的方程； 【答案】(1) (2)或； 【详解】（1）由可得：，所以 过点且与平行的直线的斜率为：， 所求的直线方程为：，即． （2）若所求直线方程斜率不存在设为：， 到点的距离为1，不满足题意； 若所求直线方程斜率存在，设为，即， ∵到直线的距离为2， ∴，解得或， ∴直线方程为或； 变式5-3．已知圆经过点，，三点． (1)求圆的方程； (2)一条光线从点射出，经x轴反射后与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上， 所以，解得， 所以圆的方程为． （2）圆的方程可化为， 因为关于x轴的对称点为，设切线为直线， 因为，所以点在圆外，则过有两条直线与圆相切； ①当切线斜率存在时，则设直线：，即， 则圆心到的距离，解得， 所以直线：； ②当切线斜率不存在时，直线：， 综上可得反射光线所在直线为或． 六、两圆关系理不清 易错分析：在解决两圆相切问题时,切记分内切和外切,不要遗漏。 例6．若圆与圆相切，则实数（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】两圆的方程可分别化为和. 从而可求得两圆圆心之间的距离为. 如果两圆外切，则，得，即，从而. 如果两圆内切，则，得或，但，故，从而，得. 所以或. 故选：D 变式6-1．若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【详解】圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得或（舍）； 所以当两圆相切时，或， 故选：D． 变式6-2．若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【详解】圆的圆心为、半径为，圆的圆心为、半径为3，则两圆的圆心距； 当圆与圆内切时，，解得； 当圆与圆外切时，，解得． 故选：D. 变式6-3．已知两个圆，，求两圆分别满足下列条件时半径r的取值范围： (1)相交； (2)相切； (3)相离． 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：由圆两个圆，， 可得圆心分别为，半径分别为和，则， 因为两圆相交，则满足，解得， 即当时，两圆相交. （2）解：由圆两个圆，， 可得圆心分别为，半径分别为和，则， 因为两圆相切，则满足或，解得或， 即当或时，两圆相切. （3）解：由圆两个圆，， 可得圆心分别为，半径分别为和，则， 因为两圆相离，则满足或， 解得或，即时，两圆相离. 1．若点在圆C：的外部，则m的取值可能为（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】因为点在圆C：的外部， 所以，解得， 又方程表示圆，则，即， 所以，结合选项可知，m的取值可以为. 故选：C 2．若，使曲线是圆，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】由题意，， 因为，所以或， 当时，方程为， 化简得， 此时，不表示圆； 当时，方程为， 化简得， 此时，表示圆. 所以. 故选：A 3．已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得 B．当时， C．当时， D．对任意的，都有 【答案】D 【详解】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 故选：D. 4．（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】圆的圆心，半径， 令，消去得，即圆心在圆的圆周上， 且半径为2． 由于不论取何值时，圆总与圆相切，所以圆的圆心必为， 若圆与圆外切，则圆的方程为，即； 若圆与圆内切，则圆的方程为，即． 故选：AC 5．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则 B．坐标平面内过点的直线方程可以写成 C．直线过点，且原点到的距离是2，则的方程是 D．若是空间的一组基底，且，则四点共面 【答案】BD 【详解】对于A，当时，，或，故A错误； 对于B，设过点的直线方程一般式为， 可得，即，代入直线方程得， 提取公因式得，故B正确； 对于C，当直线斜率不存在时，即，检验原点到的距离是2，所以符合； 当直线斜率存在时，设为k，则方程为：，即， 利用原点到直线的距离，解得，所以， 故直线的方程是或，故C错误； 对于D，对于空间中任意一点，由， 因为，所以四点共面，所以D正确. 故选：BD. 6．与圆相切且在轴､轴上截距相等的直线共有 条. 【答案】4 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 当横纵截距为零时，直线方程为， 令，整理得， 因为，所以方程有两个解， 故当横纵截距为零时存在两条直线与圆相切； 当横纵截距不为零时，设直线方程为， 令，解得或10， 所以横纵截距不为零时存在两条直线与圆相切， 综上可得，存在4条截距相等的直线与圆相切. 故答案为：4. 7．已知顶点、、． (1)求边的垂直平分线的方程； (2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由、， 可知中点为，且， 所以其垂直平分线斜率满足，即， 所以边的垂直平分线的方程为，即； （2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意； 当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为， 由过点，则，解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，直线的方程为或. 8．已知平面内两点. (1)求过点且与直线垂直的直线的方程； (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程； (3)已知直线过点，且点到的距离为4，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）由题意得，则直线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线的方程为：， 即. （2）的中点坐标为， 由（1）可知线段垂线的斜率为， 所以线段垂直平分线的方程为，即. 因为是以为顶点的等腰直角三角形， 所以点在直线上， 故设点为， 由可得， 解得或， 所以点坐标为或， 当点坐标为时，，所以，即； 当点坐标为时，，所以，即； 因此直线的方程为或. （3）当直线方程斜率不存在时，过点的直线的方程为， 此时点到的距离为4，满足题意； 当直线方程斜率存在时，设过点的直线的方程为， 此时点到的距离为，解得； 所以直线的方程为，即； 综上可知，直线的方程为或. 9．已知的圆心在x轴上，经过点和． (1)求的方程； (2)过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 【答案】(1) (2)①或；②. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. （2）①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 10．已知直线和直线，问：m为何值时，直线与平行？m为何值时，直线与垂直？ 【答案】时，直线与平行；当时，直线与垂直 【详解】当时，直线：，直线：，直线与垂直； 当时，直线的方程可化为， ①若直线与垂直，则无解，故时，不存在直线与垂直； ②若直线与平行， 则，得， 当时，，两直线重合，不合题意舍去； 当时，，符合题意； 故当时，直线与平行； 当时，直线与垂直． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$