期中重难点真题特训之压轴满分题型（48题16个考点）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版)

期中重难点真题特训之压轴满分题型（48题16个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、二次函数的图象与性质 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； … 0 1 … … … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________． 压轴必刷题二、二次函数的图象与各系数关系 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）抛物线的开口向上，顶点在第四象限，且不过第三象限，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D．函数值有最小值 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知点，，，在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点． （1）若，则的值是 ． （2）若，则的取值范围是 ． 3．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 压轴必刷题三、二次函数中的抛物线问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 压轴必刷题四、二次函数最值问题 1．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．    3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于A，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，求点的坐标． 压轴必刷题五、二次函数中的角度关系 1．（2024九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．    (1)求二次函数的表达式及点的坐标． (2)求直线的表达式． (3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由． 压轴必刷题六、二次函数的面积关系 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求线段的长； (2)若点为抛物线上一点，且，求此时点的坐标． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，已知抛物线的顶点在直线上，且图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为，的面积为． 求的最大值； 在线段上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 压轴必刷题七、二次函数中的含参应用 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)连接是线段上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在上，求点F的坐标； (3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段于点Q．设运动时间为秒．能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 压轴必刷题八、反比例函数的图象 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： (1)初步思考：自变量的取值范围是 ； (2)探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第 象限； (3)深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值． 压轴必刷题九、求反比例函数的参数问题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式，并直接写出的面积： ； (2)动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，若以为顶点的四边形是平行四边形，求值． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期中）已知一次函数和反比例函数经过点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如图，点是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的垂线与一次函数的图象交于点P，连接OP，OM． ①设POM的面积为S，求S关于m的函数解析式并指出m的求值范围； ②求S的最大值． 压轴必刷题十、反比例函数与几何综合压轴题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． (1)若，，求点的坐标； (2)若，当点在直线上时，求的值． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 压轴必刷题十一、一次函数与反比例函数的综合应用压轴题 1．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式， (2)求的面积、 (3)结合函数图象直接写出不等式的解集． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 压轴必刷题十二、比例线段 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形，对角线交于点M，点N在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值．    压轴必刷题十三、相似三角形的判定 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 压轴必刷题十四、相似三角形的综合问题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点﹐已知，，求的长． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）在△ABC中点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，运动时间为t秒． (1)若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，△BDF和△ABC相似； (2)过点D作//交AC于点E，连接AF，CD，若，求证：． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图1，△ABC和△BDE都是等腰三角形，AB＝BC，DB＝DE，且∠ABC＝∠BDE＝120°，其中腰BD与BC共线，点C是BD的中点． （1）如图2，点F是BE的中点，连接DF、AF． ①证明：OA＝OD； ②证明：四边形ABDF是平行四边形； （2）如图3，连接AE，点G是AE的中点，连接CG，求的值． 压轴必刷题十五、图形的位似变换 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，且点在反比例函数的图象上，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段． （1）的值为 ； （2）若线段与反比例函数的图象总有交点，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． (1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是______； (3) ______． 压轴必刷题十六、相似三角形应用举例压轴题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．    2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）阅读材料、完成探究． 数学活动：测量树的高度． 在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下： ①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米； ②将平面镜从点C沿的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛G到地面的距离米； ③已知A，点B，C，D，F，H在同一直线上． (1)∵， ∴， ∴，…… 可得______；（写比值） (2)利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末重难点真题特训之压轴满分题型（48题16个考点） 【精选最新考试题型专训】 压轴必刷题一、二次函数的图象与性质 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1 【答案】B 【分析】根据函数得到函数有最小值1，画出函数的图像，运用数形结合思想解答即可． 【详解】解：二次函数的图像如图： 所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9， 当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9． 故选：B． 【点睛】 本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思想是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，用五点法画出该二次函数的图象； … 0 1 … … … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，的取值范围是___________； ②当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)0，3，4，3，0，画图见解析 (2)①或；② 【分析】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，作出函数图象并利用图象是解题关键． （1）先列表，再描点连线即可； （2）①观察图象当时，图象在轴的下方即可得出的范围，②观察这一段的图象可得函数值的范围． 【详解】（1）解：列表如下： … 0 1 … … 0 3 4 3 0 … 描点并画图如下： （2）解：观察图象，①当时，x的取值范围是或； ②当时，y的取值范围是； 压轴必刷题二、二次函数的图象与各系数关系 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）抛物线的开口向上，顶点在第四象限，且不过第三象限，则下列选项错误的是（    ） A． B． C．当时，随的增大而增大 D．函数值有最小值 【答案】A 【分析】根据抛物线的开口向上，可判定，根据顶点在第四象限， 得到，确定b的符号，根据图象不过第三象限，抛物线与y轴的交点，为原点或原点以上，可得到，根据抛物线的性质可作出判断解答即可． 本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据抛物线的开口向上， ∴，函数有最小值；在对称轴的右侧，随的增大而增大， ∵顶点在第四象限， ∴， ∴， ∵图象不过第三象限， ∴抛物线与y轴的交点，为原点或原点以上， ∴， ∴， 故A错误，符合题意， B，C，D正确，不符合题意， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知点，，，在二次函数的图象上，且C为抛物线的顶点． （1）若，则的值是 ． （2）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线顶点为最低点可得抛物线开口向上，由抛物线解析式可得抛物线对称轴，求出点A，B关于对称轴对称时m的值，结合抛物线开口方向求解．解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：（1）抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， 故答案为：； （2）点为抛物线顶点，，抛物线开口向上，顶点为最低点， ， 抛物线对称轴为直线， 当点，关于抛物线对称轴对称时，， 解得， ， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 压轴必刷题三、二次函数中的抛物线问题 1．（23-24九年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于点，．结合图象，判断下列结论：①当时，；②是方程的一个解；③若，是抛物线上的两点，则；④对于抛物线，，当时，的取值范围是．其中正确结论的个数是（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据函数图象直接判断①②，根据题意求得解析式，进而得出抛物线与轴的交点坐标，结合图形即可判断③，化为顶点式，求得顶点坐标，进而即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据函数图象，可得当时，，故①正确； ∵在上， ∴是方程的一个解；故②正确； ∵，在抛物线上， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得： ∴当时，， 当时，， ∴若，是抛物线上的两点，则；故③正确； ∵，顶点坐标为， ∴对于抛物线，，当时，的取值范围是，故④错误． 故正确的有3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，求二次函数与坐标轴交点坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点，抛物线与轴交于C、D两点，其中．若，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据题意用表示出，列出关于的方程是解题的关键．先求出抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，然后根据，得出，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：，， 把代入得：， 解得：，， ， ， ，即， ， 令，则， 解得：，， 当时，，解得：， ， 不符合题意，舍去； 当时，，解得：， ， 符合题意； 综上分析可知，的值为3， 故答案为：3． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B，与轴相交于点．过点作轴，交该图象于点．若、．    (1)求该抛物线的对称轴； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积 【分析】（1）先求解C的坐标，再结合D的坐标求解对称轴方程即可； （2）利用抛物线的对称性求解，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵轴， ∴，两点关于抛物线对称轴对称， ∴， ∴此抛物线的对称轴为直线：，即 （2）解：连接， ∵，关于对称轴对称，， 抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查的是抛物线的性质，由对称的两点求解抛物线的对称轴，再根据对称轴求解抛物线上点的坐标，理解对称轴的含义是解本题的关键． 压轴必刷题四、二次函数最值问题 1．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，抛物线的对称轴是直线，且抛物线与x轴交于A，B两点，若，则下列结论中：①；②；③；④；⑤若m为任意实数，则．正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点可得a，b，c的符号及a与b的关系，从而判断①，由及对称轴可得点B坐标，从而判断②③④，由时y取最小值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴为直线， ， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①错误． 设抛物线对称轴与x轴交点为，则， ， ，即点B坐标为， 时，， ，②错误． ， ， ，③正确． 当时，，④错误． 时y取最小值， ，即， 又∵， ∴， ∴，⑤正确． 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．将函数的图象向上平移个单位，得到的函数的边界值满足是时，则的取值范围是 ．    【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象的平移和二次函数的最值问题，根据条件分类讨论函数值绝对值最大的情况是解决问题的关键点． 仔细阅读材料理解题意，可知n的值就是函数值绝对值最大的值，所以根据函数表达式找出函数值的最大值和最小值，进行分类讨论求解即可． 【详解】解：向上平移t个单位后，得到的函数解析式为 ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，当时，y最大值为，且和的函数值相同， ∵， ∴当时，时，y有最小值，当时，时，y有最小值， 由题意可知：n是函数值绝对值最大时的值， （I）当时， ①且， 解得， ②当且， 解得 （II）当时， ①且 无解； ②且， 无解， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于A，两点，交y轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将抛物线经过的三个点的坐标直接代入二次函数解析式中求解； （2）先设出点的坐标，得到点的横坐标，再求出直线的解析式，进而得到点的坐标，的长度为其纵坐标值的差，再由二次函数的最值来求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，，， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）设，则点E的横坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入， 得 解得 ∴直线的解析式为， ∴， ∴． 当时，取最大值， 此时，． ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数解析式的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键． 压轴必刷题五、二次函数中的角度关系 1．（2024九年级上·安徽阜阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P为第一象限内抛物线上一点．若点E的坐标为，且，求点P的坐标． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数，二次函数的性质，等腰直角三角形性质等知识点，过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H，证明，可得，，即知直线的解析式为，直线的解析式为，联立方程组，求解即可到P点坐标，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】过点C作，过点E作，交于点F，过点F作轴于点H， ∴， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ， ， ， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立， 解得 ∵点P在第一象限， ． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，将沿着翻折，使点落在点处．    (1)求二次函数的表达式及点的坐标． (2)求直线的表达式． (3)为抛物线上一点，连接，当时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，； (2)； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解； （2）由得为直角三角形，则点是的中点，求出点，即可求解； （3）当点在直线下方的抛物线上时，则，则点与关于对称轴对称，当点在直线的上方时，设交轴于，则，设，则，在中，由勾股定理得方程，可求出点的坐标，从而求出直线的解析式，与抛物线求交点即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则或， 即点； （2）解：由点、、的坐标得，，，， 则， 即为直角三角形， 由将沿着翻折，使点落在点处知，点是的中点， 由中点坐标公式得，点， 由、的坐标得，直线的表达式为：； （3）解：当点在直线下方的抛物线上时，则，   点与关于对称轴直线对称， ， 当点在直线的上方时，    设交轴于， 则， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 解得， ， 直线的解析式为， ， 解得，（舍）， ， 综上：点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程的解法等知识，分点在直线的上方和下方两种情形是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若抛物线上存在点，使得，求点的坐标； (3)如图2，直线交抛物线于M，N两点，直线与直线交于点P，问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点P在直线上 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分为点C在下方和点C在上方，两种情况，利用全等三角形的判定和性质以及一次函数的平移解题即可； （3）解：设，求得直线：，直线，联立直线得：，解得：，联立直线与抛物线得：，得到，则，化简得，则，，故，则点P在定直线上． 【详解】（1）解：依题意，把，，分别代入， 得出 解得 ∴． （2）解：如图： 当点C在下方时， 设直线的解析式为， 把，代入 则 解得 ∴． ∵ ∴ ∴设直线的解析式为， ∵点是原点， ∴直线的解析式为， 依题意，得， 解得 ∵点是原点， ∴， 当点C在上方时，如图： 设直线交轴于点，过点作轴于点，交直线于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，解得， ∴，即点的坐标为， ∴直线的解析式为， 联立解得，， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：设 设直线：， 则， 解得：， ∴直线：， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 联立直线得：， 解得：， 联立直线与抛物线得：， 得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点P在定直线上． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，直线与抛物线的交点问题以及相似三角形的判定和性质，为中考压轴题．利用数形结合的思想是解题关键． 压轴必刷题六、二次函数的面积关系 1．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）． (1)求线段的长； (2)若点为抛物线上一点，且，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】（）令，解出即可求出点和点坐标，从而求出线段的长； （）设，则的高为，，由列出方程即可求出的值，从而可求出的坐标； 本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与轴的交点问题，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）当时，， 解得：，， ∴，， ∴； （2）设， 由（）得， 则的高为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 由中， ∴此方程无实数根， 由得，， ∴点的坐标为或． 2．（24-25九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． (1)求线段的长； (2)请用含m的代数式表示的面积； (3)若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】（1）令，求出，，即可得解； （2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解； （3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：如图，连接， ， 在中，令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可得：， 由题意得：， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—三角形面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期中）如图，已知抛物线的顶点在直线上，且图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)是线段上的一个动点，过点作轴于点，点的坐标为，的面积为． 求的最大值； 在线段上是否存在点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，有最大值，最大值为；点的坐标为或． 【分析】（）设抛物线顶点坐标为则抛物线解析式为，然后代入点坐标进行求解即可； （）由（）得点坐标为，先求出点坐标，进而求出直线解析式，从而得到点的坐标，则，则，由此利用二次函数的性质求解即可； 先求出点的坐标，再利用勾股定理求出，，，再分，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可； 本题主要考查了二次函数的性质，一次函数与几何综合，勾股定理等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设抛物线顶点坐标为，则抛物线解析式为， ∴把代入中得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴，； （2）解：①由（）得：， ∴点坐标为， 由得，当时， 解得或， ∴， 设直线解析式为， ∴ 解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，点的坐标为， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 由中, 当时，， ∴， ∵轴，点的坐标为， ∴， ∴， ∴，，， 当时， 则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为， 当时，则， ∴，， 解得或（舍去）， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 压轴必刷题七、二次函数中的含参应用 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点， (3)若，为抛物线上两点，为抛物线上点和点之间的动点（含点，），点的纵坐标的取值范围为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式和性质，根的判别式．在解题时要注意二次函数的增减性，“开口向下，对称轴左侧，随的增大而增大，对称轴右侧，随的增大而减小． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）联立直线与抛物线解析式可得，利用根的判别式即可得出答案； （3）利用点纵坐标的取值范围，反推出的值，进而得到的值． 【详解】（1）解：由题意可知： ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）证明：联立直线与抛物线解析式可得： ， ， ， 方程无实根，即直线与该抛物线没有交点； （3）解：点纵坐标的取值范围为， 当时，， 解得：，， 得点，， 当时，， 解得：，， 得点，， 如图， ， ，， ， 如图，， ，， ， 综上所述：或． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)连接是线段上一点，E关于此抛物线对称轴的对称点F正好落在上，求点F的坐标； (3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段于点Q．设运动时间为秒．能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能为等腰三角形，或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，抛物线的对称性等，解题关键是要考虑分类讨论思想在解题过程中的运用． （1）将点A，B的坐标代入即可； （2）求出直线的解析式，由对称性质确定F点的横坐标为2，将其代入直线的解析式即可求出点F的坐标； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得： ， 解得， ∴ 抛物线的解析式为， 令，则， ∴点坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ∵直线的图象经过点 ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵点，关于直线对称， 又到对称轴的距离为， ∴， ∴点的横坐标为， 将代入中，得：， ∴． （3）解：∵ ，轴， ∴ ． ∵为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； ②当时， 在中， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ∴； ③当时，点，重合，此时， 而，故不符合题意． 综上所述，当或秒时，为等腰三角形． 压轴必刷题八、反比例函数的图象 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的大致图象如图，则k，b的取值范围是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象，掌握函数图象在哪个象限内与相关参数的关系是解题的关键． 先判断出一次函数与反比例函数的图象在哪个象限内，再判断出k、b的大小即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上． ∴. ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， 综上所述， ． 故选C． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到的方法尝试研究函数时，提出了如下问题： (1)初步思考：自变量的取值范围是 ； (2)探索发现：当时，；当时，．由此我们可猜想，该函数图像在第 象限； (3)深入思考：当时，，于是，当时，即时，的最小值是2． 请仿照上述过程，求当时，的最大值． 【答案】(1) (2)一、三 (3) 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，判断反比例函数图象所过象限，以及配方法在最值问题中的应用． （1）根据函数解析式分母不为0即可求解； （2）根据当时，；当时，和象限坐标特点判断，即可解题； （3）模仿题干所给的求解过程，利用配方法即可求解． 【详解】（1）解：函数自变量的取值范围是， 故答案为：． （2）解：当时，；当时，． 该函数图像在第一、三象限． 故答案为：一、三． （3）解：当时， ， 于是，当时，即时，的最大值是． 压轴必刷题九、求反比例函数的参数问题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）小明借助反比例函数图象设计“鱼形”图案．如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点为顶点，分别作菱形和荾形，点，在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接    (1)求值； (2)计算图形阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．涉及菱形的性质，扇形的面积． （1）直接将点代入解析式求值即可； （2）利用分割法得到，求解即可． 正确的求出函数解析式，掌握相关图形的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）∵点在反比例函数图象上， ； （2）连接交于点．      ∵四边形是菱形   ∴与相互垂直平分,， ∴，， ∴是等边三角形 ， 又 ． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接． (1)求反比例函数的解析式，并直接写出的面积： ； (2)动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，若以为顶点的四边形是平行四边形，求值． 【答案】(1)， (2)值为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出、的坐标，得出，再根据即可得出面积，将代入反比例函数解析式得：，求出的值即可得出反比例函数解析式； （2）由（1）可得：，由题意可得，，分两种情况：当直线在点的左侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为；当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为；分别利用平行四边形的性质，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，故， ∴， 当时，，故， ∴ 将代入反比例函数解析式得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， （2）解：由（1）可得：， ∵动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于， ∴，， 当直线在点的左侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为，则， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为，则， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 综上所述，值为或． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·期中）已知一次函数和反比例函数经过点和点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)如图，点是线段AB下方反比例函数图象上的一动点，过点M作x轴的垂线与一次函数的图象交于点P，连接OP，OM． ①设POM的面积为S，求S关于m的函数解析式并指出m的求值范围； ②求S的最大值． 【答案】(1)； (2)①；②2 【分析】（1）由已知的点A坐标求得反比例函数解析式y=5x，由解析式确定点B的坐标，再用待定系数法求直线AB的解析式； （2）①根据解析式分别写出M、P的纵坐标，从而表示出POM的底，高即是m，因此可以写出面积的表达式，并指出m的求值范围； ②把面积的表达式化为顶点式，再计算最值． 【详解】（1）解：由已知可得： k=1×5， ， 由， ， ， ∴， ∴所求表达式为： ， （2）①解：由点及已知可得． ∴， ∴， 即S=， ∵点是线段AB下方反比例函数图象上的一动点， ∴m的取值范围为：． ②解：由①得， 又∵， ∴当m=3时，S的最大值为2． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式以及与二次函数的结合的面积的最值问题，解题的关键是数形结合． 压轴必刷题十、反比例函数与几何综合压轴题 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）已知点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为，，过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点，过点，分别作轴于，轴于． (1)若，，求点的坐标； (2)若，当点在直线上时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数，待定系数法求直线的解析式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点解题的关键． （1）把，代入，得到、两点坐标，进而得到点坐标； （2）先表示出、两点的坐标，得到，，，再利用待定系数的法求得直线DE的解析式，最后把点坐标代入并结合即可得到答案． 【详解】（1）解：时， 时， 过点向轴作垂线段，过点向轴作垂线段，两条垂线段交于点 （2）解：如图 点，在反比例函数的图象上，且横坐标分别为， ， ，， 设直线的解析式为 则，解得 直线的解析式为 点在直线上 化简得． 把代入，整理，得 解得 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． (1)求C、E点的坐标； (2)求的面积； (3)点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或， 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）联立反比例函数与一次函数求解方程组即可； （2））先求出点坐标，根据计算即可． （3）设，，，，分三种情形①当时，②当时，②当时，分别列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点， ∴联立，整理得， 解得， ∴或， 经检验或都是方程组的解， ∴，； （2）解：一次函数的解析式为与轴交于点 ． （3）解：如图，， ， 设， ∴，，， ①当时，，，解得， 此时． ②当时，，，解得，此时，． ②当时，则有，解得，此时． 综上所述，点坐标为或或或． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，点为反比例函数图象上的点，其横坐标依次为．过点作x轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，…，过点作于点．记的面积为的面积为的面积为． (1)当时，点的坐标为______，______，______，______（用含n的代数式表示）； (2)当时，______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；；； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索： （1）先求出，进而得到，再求出，，则，同理可得，，，再根据三角形面积计算公式求出的面积，然后找到规律求解即可； （2）仿照（1）表示出的面积，然后找到规律求解即可． 【详解】（1）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理可得，，， ∴，， ， ∴，， …… 以此类推可得，； 故答案为：；；；； （2）解：当时，反比例函数解析式为， 在中，当时，；当时，；当时，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，， ∴，， ， 以此类推可得， ． 压轴必刷题十一、一次函数与反比例函数的综合应用压轴题 1．（23-24九年级上·安徽池州·期中）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与x轴交于点C，与y轴交于点D． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)点M在y轴上，若，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)点M的坐标为或 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，涉及待定系数法求解析式和求图象围成面积， （1）利用点求得反比例函数的解析式为，即可求得点，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式为； （2）根据一次函数解析式求得点，即可求得，结合点A得坐标可列出，可得点M的坐标． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 将代入，可得，解得， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，可得， 解得，经检验，是方程的解， ∴， 设一次函数的解析式为， 将，代入， 可得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：当时，可得，解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴点M的坐标为或． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数与一次函数的表达式， (2)求的面积、 (3)结合函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合吗，涉及待定系数法确定函数解析式、平面直角坐标系中求三角形面积、图象法解不等式等知识，熟练掌握一次函数及反比例函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）在平面直角坐标系中，求出，数形结合，利用，代值求解即可得到答案； （3）不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数过点， ，即； 将，代入，得， 点的坐标为， 将点，的坐标代入一次函数中，得，解得， ； （2）解：在直线中，当时，， 点的坐标为，即， ； （3）解：不等式的解集是指一次函数图象在反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围，且、， 或． 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 1 2 1 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，并连线，如图所示． 结合函数图象研究函数性质，并回答下列问题： (1)点，在函数图象上，求，的值 (2)当函数值时，自变量的值为________． (3)利用图象分析关于的方程的解的具体个数，并写出对应的（为常数）的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）根据图象确定分段函数的解析式，将点代入函数解析式进行求解即可； （2）图象法确定自变量的值即可； （3）分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当时，设函数关系式为：，把代入，得：， ∴； 当时，同法可得：， 当时，设，把，代入得：， ∴， ∴， ∴当时，，当时，，解得， ∴，； （2）由图象和表格可知，当时，； 故答案为：； （3）由图象可知：当或时，方程有1个解； 当时，方程有3个解； 当时，方程有2个解， 当时，方程无解． 压轴必刷题十二、比例线段 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，D，E，F分别是边上的点，，且，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用．熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键． 根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽宣城·期中）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知菱形中，，E，F分别在边，上，是等边三角形，对角线交于点M，点N在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的判定先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得证； （2）连接，由（1）知是等边三角形，先证明，即有，根据菱形的性质得到，根据平行线的性质得到，利用易证，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据平行线四边形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）连接， 由（1）知是等边三角形，即，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，即有， ∵， ∴， ∴是等边三角形，即， ∵， ∴，   在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 压轴必刷题十三、相似三角形的判定 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．    (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质以及矩形的性质，综合性强，难度不大． （1）根据矩形的性质，可得出，从而得出，利用两角对应相等的三角形相似得出结论； （2）由，得，得出，由等面积法得出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 即， ∴． 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期中）如图，在平行四边形中，点G是延长线上一点，与交于点E，与交于点F，求： (1)写出图中所有的相似三角形（全等除外）； (2)选择其中的一对相似三角形进行证明． 【答案】(1)相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解； （2）根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：在平行四边形中，， 所以，①， ， 所以，②，③， 所以④，⑤， 故图中相似三角形有5对；①；②；③；④；⑤； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴；； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意与都与相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方． 压轴必刷题十四、相似三角形的综合问题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，点是边上一点，连接，过上点作，交于点，过点作交于点﹐已知，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由证明和由证明 ，然后根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）在△ABC中点D从A出发，在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动，同时点F从B出发，在BC边上以相同的速度向C运动，运动时间为t秒． (1)若AB＝5，BC＝6，当t为何值时，△BDF和△ABC相似； (2)过点D作//交AC于点E，连接AF，CD，若，求证：． 【答案】(1)或 (2)见解析 【分析】(1)分△BDF∽△BAC和△BDF∽△BCA两种情况解答． (2)根据题意，AD=BF，即，结合∠ABF=∠CBD，证明△ABF∽△CBD即可． 【详解】（1）∵D，F的运动速度相同，AB＝5，BC＝6， ∴AD=BF=t，BD=5-t，FC=6-t， 当△BDF∽△BAC时， ∴， ∴， 解得t=； 当△BDF∽△BCA时， ∴， ∴， 解得t=； 当t为或时，△BDF和△ABC相似． （2）根据题意，AD=BF， ∵DE∥BC， ∴ ∴， ∵BD=DE， ∴， ∵∠ABF=∠CBD， ∴△ABF∽△CBD， ∴． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定性质，正确进行分类，选择合适的判定相似的方法是解题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图1，△ABC和△BDE都是等腰三角形，AB＝BC，DB＝DE，且∠ABC＝∠BDE＝120°，其中腰BD与BC共线，点C是BD的中点． （1）如图2，点F是BE的中点，连接DF、AF． ①证明：OA＝OD； ②证明：四边形ABDF是平行四边形； （2）如图3，连接AE，点G是AE的中点，连接CG，求的值． 【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）①由△BDE是等腰三角形，∠BDE＝120°知∠DBE＝30°，DF＝BD，由点C是BD的中点知AB＝BC＝BD，从而得DF＝AB，再证△DOF≌△AOB可得答案； ②由等腰三角形的底边上的高线与中线重合，结合①知DF∥AB，且DF＝AB可得证； （2）取BE的中点F，连接FG、FC，知CF是△BDE的中位线，得且CF∥DE，∠BFC＝∠BED＝30°，同理FG∥AB，，再证△ABD∽△GFC可得． 【详解】（1）①∵△BDE是等腰三角形，∠BDE＝120°， ∴∠DBE＝30°，则DF＝BD， 又∵点C是BD的中点， ∴AB＝BC＝BD， ∴DF＝AB， ∵点F为等腰△BDE底边上的中点， ∴∠DFO＝∠ABO＝90°， 在△DOF和△AOB中， ∵ ， ∴△DOF≌△AOB（AAS）， ∴OA＝OD； ②由等腰三角形的底边上的高线与中线重合， 再①知DF∥AB，且DF＝AB， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）如图，取BE的中点F，连接FG、FC， ∵点C、F分别是BD、BE的中点， ∴CF是△BDE的中位线， ∴，且CF∥DE， 则∠BFC＝∠BED＝30°， 同理，FG是△ABE的中位线， ∴FG∥AB，， ∴∠BFG+∠ABE＝180°， ∴∠BFG＝90°， ∴∠CFG＝∠BFC+∠BFG＝120°＝∠DBA， ∴△ABD∽△GFC， ∴． 【点睛】本题是相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四边形的判定等． 压轴必刷题十五、图形的位似变换 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的周长是25，则四边形的周长是（　　） A．4 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，相似图形的性质．先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的性质求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， ，四边形与四边形相似， ， ， ， 四边形的周长：四边形的周长， 四边形的周长． 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽蚌埠·期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为，，且点在反比例函数的图象上，以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段． （1）的值为 ； （2）若线段与反比例函数的图象总有交点，则的最大值为 ． 【答案】 12 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、位似变换的性质、反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将点代入反比例函数解析式得到，计算即可得出答案； （2）根据位似变化的性质可得，当在反比例函数图象上时，的值最大，由此求解即可． 【详解】解：（1）点在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：； （2）以点为位似中心，在的上方将线段放大为原来的倍得到线段， ， 线段与反比例函数的图象总有交点， 当在反比例函数图象上时，的值最大， ， 解得：或（不符合题意，舍去） 的最大值为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期中）如图，的顶点都在网格点上，点A的坐标为． (1)以点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，画出放大后的； (2)点A的对应点D的坐标是______； (3) ______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了位似作图，相似三角形的判定与性质，写出直角坐标系中点的坐标，准确画出位似图形是解题关键． （1）依据点O为位似中心，把按放大，在y轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点D的位置，即可得到点A的对应点D的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到，进而得出． 【详解】（1）解：位似中心为点，位似比，已知，，， ∴对应点的坐标分别是，，， 连接点，如图所示， ； （2）由（1）知， 故答案为：； （3）如图，连接，， ， ， ， ∴， ∴设，则， ∴, 故答案为：． 压轴必刷题十六、相似三角形应用举例压轴题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，求的长．    【答案】3米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意证得，得出对应边成比例，即可得出． 【详解】解：由题意知：， 则，， ， ， ， 解得：， 答：的长为3米． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为18.2米． 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期中）阅读材料、完成探究． 数学活动：测量树的高度． 在数学课上我们学过利用三角形的相似测高，在物理课我们学过光的反射定律．数学综合实践小组想利用光的反射定律测量河流对岸一棵树的高度AB，测量的部分步骤和数据如下： ①如下图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在的延长线上，当小华从平面镜中刚好看到树的顶点A时，测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛E到地面的距离米； ②将平面镜从点C沿的延长线移动10米到点F处，小华向后移动到点H处时，小华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A，这时测得小华到平面镜的距离米，小华的眼睛G到地面的距离米； ③已知A，点B，C，D，F，H在同一直线上． (1)∵， ∴， ∴，…… 可得______；（写比值） (2)利用以上信息，继续使用图形相似等有关知识计算树的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，解题的关键是学会设未知数，构建方程组解决问题 （1）根据相似三角形的性质得到，据此代入的值即可得到答案； （2）设米，米，证明得到，即，再由（1）所求得到，解方程求出y的值，进而求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： （2）解：设米，米， 由（1）得， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， 解得， ∴ 答：树的高度为． 学科网（北京）股份有限公司 $$