专题01 人教八年级上学期应用题分类训练（6种类型60道）-2024-2025学年八年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

专题01全册应用题分类训练（6种类型60道） 目录 【题型1 工程问题】 1 【题型2 行程问题】 4 【题型3 销售问题】 7 【题型4运输问题】 10 【题型5 出租问题】 13 【题型6方案问题】 17 1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题、行程问题、销售问题等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 【题型1 工程问题】 1．为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条A型自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)春节将至，S地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备购买A型自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？ 【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （件）， 答：一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹． （2）设购买A型自动分拣流水线y条， 依题意得：， 解得：， 答：至少应购买10条A型自动分拣流水线． 2．中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋． (1)从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后甲车间完成剩下生产任务的天数比乙车间完成剩下生产任务的天数多6天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？ 3．为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天． (1)甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？ (2)已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？ 4．为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍． (1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？ (2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？ 5．为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等． (1)求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？ (2)该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？ 6．为了打造美丽两江、智慧两江，两江新区某街道计划将一条长1720米的道路改造成智慧公路． (1)通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期74天，施工1000米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了50%，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？ (2)由于工期需要，决定工程由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1080米的改造工程，乙队获得了640米的改造工程，甲、乙两个工程队同时开始施工，施工初期，甲工程队每天比乙工程队多施工10米，甲工程队在完成360米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了20%，甲、乙两队同时完工，求乙工程队平均每天施工的米数． 7．某施工队对一段2400米的河堤进行加固，在施工800米后，采用新的施工机器，每天工作的效率比原来提高了25%，共用了26天完成全部工程． （1）求原来每天加固河堤多少米？ （2）若承包方原来每天支付施工队工资800元，提高工作效率后，每天支付给施工队的工资也增加了25%，那么整个工程完成后承包方需要支付工资多少元？ 8．重庆市万州区为创建文明城市，打造美丽万州，某街道计划将一条长米的道路改造成智慧公路． (1)通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期天，施工米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？ (2)在某次新的改造任务中，乙、丙两队决定合作施工，通过工程招标，乙队获得了米的改造工程，丙队获得了米的改造工程，乙、丙两个工程队同时开始施工，施工初期，乙工程队每天比丙工程队多施工米，乙工程队在完成米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了，乙、丙两队同时完工，求丙工程队平均每天施工的米数． 9．为迎接2022年北京冬奥会，冬奥组委准备印发一些宣传海报，某印刷厂由甲、乙两台机器印刷，甲机器的印刷效率是乙机器的倍，甲机器印刷360份比乙机器印刷同样数量少3分钟． (1)甲、乙两台机器每分钟能印刷多少份宣传海报？ (2)若甲、乙两台机器同时印刷，为保证印刷的宣传海报不少于5000份，两台机器至少应印刷多长时间？ 10．为打好“蓝天、碧水、净土”三大保卫战，某县政府决定将县城附近乡村的烧煤取暖全部改制为集中供热．“永盛”工程队承包了该项工程的总管道铺设工程．该工程队施工效率比原计划提高25%，就可以比原计划提前20天完成任务．请解答下列问题： （1）“永盛”工程队提高施工效率后平均每天铺设管道多少； （2）在（1）的基础上为了缩短工期，在管道铺设了20天后，该工程队经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多少？ 【题型2 行程问题】 11．小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍． (1)①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？ ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为______小时； (2) 有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？ 【详解】（1）解：①设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时； ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为： （小时）； （2）解：小李骑自行车出发千米所用的时间为（小时）， 设小李跑步的速度为千米/小时， 由题意得， 解得：， 答：为了提前5分钟到达，则跑步的速度为千米/小时． 12．甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍． (1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？ (2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？ 13．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地． (1)求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时） (2)地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？ 14．已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的倍，请完成以下问题： (1)普通列车的行驶路程为多少千米？ (2)若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度． 15．从广州到某市，可乘坐普通大巴走高速公路，也可以乘坐高铁．已知普通大巴行驶的路程是千米，高铁行驶的路程是普通大巴的倍． (1)求高铁行驶的路程； (2)若高铁行驶的平均速度（千米/时）是普通大巴的平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比普通大巴所需时间缩短小时，求高铁平均速度． 16．小刚到离家米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 17．在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的倍． (1)若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？ (2)粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？ 18．许昌胖东来以极致的服务理念被人们熟知，从而掀起了打卡天使城的热潮，周末，小亮和小明相约去逛天使城，以下是他们的聊天内容： 小亮：我查了查地图，从地图上看，我家到天使城的距离为5000米，是你家到天使城距离的倍．因此，我准备骑自行车去． 小明：你说的没错，我家距离天使城比较近，所以我准备步行去．根据我的经验，你骑自行车的速度一般是我步行速度的5倍，因此我准备从家出发，你可以过15分钟之后再出发，如果顺利的话，咱俩可以同时到达． (1)小明步行及小亮骑自行车的速度分别是多少？ (2)结束后，两人同时出发，小亮的速度保持不变，小明的速度提高了，小明和小亮谁先到家？早到家多少分钟？ 19．科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： (1)求甲科研机构送检车的平均速度； (2)若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 20．星期六，小鸣和小山相约在图书馆一起复习，已知小鸣小山的家到图书馆的路程均为3000米，小山的步行速度是小鸣的倍，两人同时从家里出发匀速前往图书馆，小鸣比小山晚10分钟到图书馆． (1)求小鸣每分钟步行多少米？ (2)星期天，两人再次相约去图书馆，两人步行的速度保持不变．若小鸣步行20分钟后，改为跑步前进，最终与小山同时到达图书馆，求小鸣每分钟跑步多少米？ 【题型3 销售问题】 21．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． （1）解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； （2）设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 22．为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用16000元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的2倍． (1)求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； (2)该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？ 23．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 24．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 25．每年的3月14日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性．六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的1.5倍，且花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副． (1)求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售．若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共60副，且购买奖品的总费用不超过1361元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？ 26．为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同． (1)求每件、奖品的单价； (2)学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？ 27．某校科技节举行了数学魔方大赛，现决定购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价贵6元，且用800元购买甲笔记本的数量与用640元购买乙笔记本的数量相同． (1)求甲、乙两种笔记本的单价； (2)若学校需要购买甲、乙两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总费用不超过2730元，则学校至少购买乙种笔记本多少本？ 28．阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌篮球的单价； (2)该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 29．长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 30．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1308元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【题型4运输问题】 31．《三湘都市报》华声在线2月21日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中．从隧道中运输挖出土方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米，大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同． (1)求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ (2)总共有大小货车共20辆，每天需运出432立方米泥土，大小货车各需要多少辆？ 【详解】（1）解：设小货车每辆运x方，则大货车每辆运立方米， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解． 则大货车为：（立方米）． 答：小货车每辆运输16立方米，大货车每辆运输24立方米； （2）设小货车有a辆，则大货车有辆． 依题意得：， 解得：， 则大货车为（辆）． 答：大货车需要14辆，小货车需要6辆． 32．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？ (2)为运输两批水果从市到相距的市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为，两车先后出发，当甲车到达市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度． 33．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务．已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． (1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ (2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案． 34．中国企业500强鲁丽集团落户永州新田以来，短短一年时间，实现从无到有，从蓝图到实景．透过这个拔节生长的项目，我们看到了“新田速度”“鲁丽速度”．我们有理由相信，南有新田，未来可期！目前相关工程正在加紧施工中，现从工地运输挖出士方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米，大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同．    (1)求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ (2)总共有大小货车共20辆，如果每天需运出432立方米泥士，大小货车各需要多少辆？ 35．“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 36．为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运20千克，且型机器人搬运1200千克所用时间与型机器人搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？ 37．某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）． （1）从运输开始，每天运输的货物吨数（单位：吨）与运输时间（单位：天）之间有怎样的函数关系式？ （2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数． 38．“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为元，请求出乙工程队的运输费用． 39．江南新校区建设需运送3×105立方米的土石方，闽北运输公司承担了该项工程的运送任务． （1）写出完成运送任务所需的时间y（单位：天）与公司平均每天的运送量x（单位：立方米/天）之间的关系式是　 　； （2）如果公司平均每天的运送量比原计划提高20%，按这个进度公司可以比规定时间提前10天完成运送任务，那么公司平均每天的运送量x是多少？ （3）实际运送时，公司派出80辆车，每辆车按问题（2）中提高后的运送量运输，若先运送了25天，后来由于工程进度的需要，剩下的任务须在20天内完成，那么公司至少要增加多少辆同样型号的车才能按时完成任务？ 40．为更好地满足市民休闲、健身需求，提升群众的幸福感获得感，丰都县从年初开始对滨江公园进行“微改造”、“精提升”，将原有的边坡地带改造为观景平台，同时增设多处具有体育、文化、智慧元素的文体场所和设施，把3.5公里滨江健身长廊打造成智慧休闲乐园．施工过程中共有5000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土，已知甲、乙两个工程队，原计划乙平均每天运走的渣土比甲平均每天运走的渣土多，这样乙运走2600吨渣土的时间比甲运走剩下渣土的时间少3天． (1)求原计划乙平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作10天后，乙临时有其他任务；剩下的渣土由甲再单独工作5天完成．若运走每吨渣土的运输费用为30元，请求出乙工程队的运输费用． 【题型5 出租问题】 41．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 42．习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆． (1)求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数； (2)由于实际参加研学活动的人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆？ 43．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人． (1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人； (2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问： ①A、B两种游船每艘分别有多少个座位； ②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 44．研学旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．疫情散去，春暖花开，某中学组织七年级的10名教师和410名学生赴安阳市参观殷墟博物馆和中国文字博物馆．下面是李老师和刘老师有关租车问题的对话： 李老师：“某客运公司有，两种型号的客车对外出租，每辆型客车比每辆型客车多坐15名师生，若全部租用型客车恰好坐满，若租用相同数量的型客车将有105名师生无座可坐”． 刘老师：“型客车每辆每天的租金比型客车高150元．八年级师生上周在这个客运公司租了4辆型客车和2辆型客车到这两个地方，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)每辆型客车和型客车可坐师生的人数分别是多少？ (2)该客运公司型客车和型客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，请写出最省钱的租车方案及租车费用． 45．某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知每辆甲种客车的租金比每辆乙种客车的租金多100元，并且用2400元租甲种客车的辆数和用1800元租乙种客车的辆数相等． (1)每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)该校七年级师生共420人，计划租用甲、乙两种客车共10辆．已知甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人，则租车所需费用最少为多少元？ 46．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元． (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 47．某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） (1)问每辆A、B型客车分别可载多少人？ (2)该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 48．某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？ 49．某校6名教师和234名学生外出参加集体活动，学校准备租用45座大车和30座小车若干辆．已知租用每辆大车的费用比每辆小车的费用多100元，且用1600元租大车，与用1200元租用小车的租车数量相等． (1)每辆大车、小车的租车费用各是多少元？ (2)学校要求每辆车上至少要有一名教师，租车总费用不超过2300元，请问有几种符合条件的租车方案？哪种租车方案最省钱？ 50．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾.若租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费1800元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运的趟数是甲车的1.5倍，且乙车每趟运费比甲车少100元. （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车更合算，请你通过计算说明. 【题型6方案问题】 51．甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：x＝， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得： ； ． ∴ ． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取B方案； 52．学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 53．某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程，已知甲队计划每天修整平方米，乙队计划每天修整平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用天．修整期间，甲乙两队的人工费用分别为元/天和元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时向后，甲队因事停工．乙队立刻将自己每天的修整速度提高，且每天工资随之上涨了，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多4天，求乙队共修整多少天？ (3)在绿化带修整过程中，每天还需聘请一名园艺师现场指导，并由物业额外支付工资元/天，如果按（2）的方式完成小区绿化，整项工程所需费用，与单独聘用甲队或乙队按原速原价完成该项工程相比较，哪一方案更省钱？ 54．某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． (1)求打折前每本笔记本的售价是多少元？ (2)由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ (3)哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 55．“喜迎二十大奋进新征程”，郑州郑东新区2022年“新发展杯”篮球赛于9月下旬火热开赛，本次比赛也带动了部分新区居民的运动热情．为增加器材储备，某活动中心决定购买A，B两种型号的篮球作为训练器材，已知A款比B款每个贵35元．预算资金为1700元，其中800元购买A款篮球，其余资金全部购买B款篮球，且购买B款的数量是A款数量的2倍． (1)分别求A，B两款篮球的单价； (2)后由于联合了其他活动中心购买，商家答应所有篮球按原价八折销售，故调整了购买方案：不超过预算资金且购买A款篮球的资金不少于832元，A，B两款篮球共购买35个；问购买A，B两款篮球有哪几种方案？ 56．钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首．某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用．经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同． (1)求茶壶和茶杯的单价． (2)学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案．方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售．问学校选择哪种方案购买才更省钱？ 57．年杭州第届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．某校准备举行亚运会知识竞赛活动，购买套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵元，若用元购买甲规格与用元购买乙规格的数量相同． (1)求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； (2)若购买甲规格数量不超过乙规格数量的倍，并且总费用不得超过元，试求该校一共有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出该校购买套吉祥物的最低费用． 58．某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 59．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价少20元，用1600元购买篮球的数量是用1000元购买足球数量的2倍． (1)求足球和篮球的单价． (2)学校准备购买足球和篮球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，且希望尽可能节约购买经费，请你提供最合适的购买方案． 60．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01全册应用题分类训练（6种类型60道） 目录 【题型1 工程问题】 1 【题型2 行程问题】 10 【题型3 销售问题】 19 【题型4运输问题】 27 【题型5 出租问题】 37 【题型6方案问题】 48 1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 2．分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 3．增根 在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解． 4．分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题、行程问题、销售问题等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 【题型1 工程问题】 1．为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了A型自动分拣流水线，一条A型自动分拣流水线每小时分拣的包裹量是1名工人每小时分拣包裹量的4倍，分拣6000件包裹，用一条A型自动分拣流水线分拣比1名工人分拣少用小时． (1)一条A型自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？ (2)春节将至，S地转运中心预计每日需分拣的包裹量高达576000件，现准备购买A型自动分拣流水线进行24小时作业，则至少应购买多少条？ 【详解】（1）解：设1名工人每小时分拣x件包裹， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （件）， 答：一条A型自动分拣流水线每小时能分拣2400件包裹． （2）设购买A型自动分拣流水线y条， 依题意得：， 解得：， 答：至少应购买10条A型自动分拣流水线． 2．中国最重要的传统节日之一春节，除了有热烈的庆祝活动和丰盛的美食外，长辈发压岁钱给晚辈表达美好的祝福也是春节习俗的重要组成部分．为迎接2024年龙年春节的到来，某工厂计划安排甲车间生产16000个龙年布艺红包袋．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产360个布艺红包袋，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产680个布艺红包袋． (1)从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要多少天？ (2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后甲车间完成剩下生产任务的天数比乙车间完成剩下生产任务的天数多6天，问改进工艺后甲车间每天生产多少个布艺红包袋？ 【答案】(1)18天 (2)560个 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要天，根据“甲、乙的工作量之和为16000”列方程求解； （2）设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺红包袋，根据“改进后甲、乙两车间每天生产的布艺红包袋数量之比为，且改进工艺后甲车间完成剩下生产任务的天数比乙车间完成剩下生产任务的天数多6天”列方程求解． 【详解】（1）解：设从开始加工到完成这批布艺红包袋一共需要天， 则， 解得：， 答：从开始加工到完成这批布艺红包袋．一共需要18天． （2）解：设改进工艺后甲车间每天生产个，乙车间每天生产个布艺红包袋， 甲车间按原生产效率单独生产4天后还剩：（个）， 每个车间完成（个） 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ∴甲车间每天生产(个)， 答：改进工艺后甲车间每天生产560个布艺红包袋． 3．为建设文明城市，提升居民生活幸福指数，某市政府决定对该市85千米长的老旧燃气管道进行升级改造．通过招标，委托甲、乙两工程队合作完成，已知乙工程队每天改造的效率是甲工程队的1.25倍，若由乙工程队单独完成改造，则能比由甲工程队单独完成改造节省17天． (1)甲、乙两工程队每天改造管道的长度分别是多少千米？ (2)已知甲工程队工作一天需付费8万元，乙工程队工作一天需付费12万元，若完成城市燃气管道85千米的改造，总费用不能超过800万元，则最多安排乙工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米 (2)最多安排乙工程队工作60天 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系列出分式方程以及找数量关系列一元一次不等式是解题的关键． （1）设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米，根据“乙工程队比甲工程队单独完成节省17天”，即可列出分式方程． （2）设安排乙工程队工作a天，则甲工程队工作天，根据“总费用不能超过800万元”即可列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：设甲工程队每天能改造x千米，则乙工程队每天能改造千米． 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ∴． 答：甲工程队每天改造管道的长度是1千米，乙工程队每天改造管道的长度是1.25千米． （2）设安排乙工程队工作a天． 由题意得， 解得． 答：最多安排乙工程队工作60天． 4．为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的倍． (1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？ (2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？ 【答案】(1)10天 (2)至多11000元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出分式方程和一元一次不等式是解决本题的关键． （1）设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天，根据乙队的施工效率为甲队施工效率的倍建立方程，解方程即可，注意检验； （2）首先计算出两队合作需要的天数，设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元，根据总工费不超过12万元，得到不等式，解不等式取最大值即可． 【详解】（1）解：设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲需要天， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 原方程的解为：，则甲队需要天， 答：乙队独立完成此项工程需要10天； （2）解：由（1）得，乙队独立完成此项工程需要10天，则甲需要15天 两队同时开工，同时完工， 两队合作需要天完工， 设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天元， 由题意得：， 解得：， y的最大值为11000元， 因此，乙施工队每天的工程款至多11000元． 5．为加快产品生产的效率，某工厂将使用A，B两种型号机器生产产品，已知A型机器比B型机器每小时多生产10kg，且A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等． (1)求这两种机器每小时分别生产多少kg产品？ (2)该工厂为了在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，决定使用A，B两种型号机器共18台，并且同时开始生产产品，那么至少需要A型号机器多少台？ 【答案】(1)A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品 (2)10台 【分析】（1）设A种型号机器每小时生产x kg产品，B种型号机器每小时生产（x-10）kg产品，根据A型机器生产600kg所用时间与B型机器生产500kg所用时间相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设需要A型号机器m台，则需要B型号机器（18-m）台，根据在每小时以内至少完成1000kg产品生产的任务量，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：(1)设A种型号机器每小时生产kg产品，B种型号机器每小时生产kg产品，根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则-10=50， 答：A种型号机器每小时生产60kg产品，B种型号机器每小时生产50kg产品； （2）设需要A型号机器台，则需要B型号机器台， 根据题意得：， 解得：， 答：至少需要A型号机器10台． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 6．为了打造美丽两江、智慧两江，两江新区某街道计划将一条长1720米的道路改造成智慧公路． (1)通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期74天，施工1000米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了50%，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？ (2)由于工期需要，决定工程由甲、乙两队共同完成，通过工程招标，甲队获得了1080米的改造工程，乙队获得了640米的改造工程，甲、乙两个工程队同时开始施工，施工初期，甲工程队每天比乙工程队多施工10米，甲工程队在完成360米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了20%，甲、乙两队同时完工，求乙工程队平均每天施工的米数． 【答案】(1)技术改造前甲队每天施工20米 (2)乙工程队平均每天施工的20米 【分析】（1）设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工米，根据74天完成任务列出方程求解即可； （2）设乙工程队平均每天施工y米，则技术改进前甲队每天施工米，技术改进后甲队每天施工米，根据两队同时完成任务列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工米， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解， ∴技术改造前甲队每天施工20米， 答：技术改造前甲队每天施工20米； （2）解：设乙工程队平均每天施工y米，则技术改进前甲队每天施工米，技术改进后甲队每天施工米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴乙工程队平均每天施工的20米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 7．某施工队对一段2400米的河堤进行加固，在施工800米后，采用新的施工机器，每天工作的效率比原来提高了25%，共用了26天完成全部工程． （1）求原来每天加固河堤多少米？ （2）若承包方原来每天支付施工队工资800元，提高工作效率后，每天支付给施工队的工资也增加了25%，那么整个工程完成后承包方需要支付工资多少元？ 【答案】（1）原来每天加固河堤80米；（2）整个工程完成后承包方需要支付工资24000元． 【分析】（1）设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米，然后根据用26天完成了全部加固任务，列方程求解即可； （2）先算出提高工作效率后每天加固的长度，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）设原来每天加固河堤米，则采用新的加固模式后每天加固米．        根据题意得：， 解这个方程得： 经检验可知，是原分式方程的根，并符合题意； 答：原来每天加固河堤80米； （2）（米） ∴承包商支付给工人的工资为：（元）． 答：整个工程完成后承包方需要支付工资24000元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解． 8．重庆市万州区为创建文明城市，打造美丽万州，某街道计划将一条长米的道路改造成智慧公路． (1)通过工程招标，该工程由甲队单独施工，计划工期天，施工米后，为了按期完工，甲队改进了技术，施工效率提高了，刚好按时完工，求技术改造前甲队每天施工多少米？ (2)在某次新的改造任务中，乙、丙两队决定合作施工，通过工程招标，乙队获得了米的改造工程，丙队获得了米的改造工程，乙、丙两个工程队同时开始施工，施工初期，乙工程队每天比丙工程队多施工米，乙工程队在完成米改造任务后，通过技术改进使工作效率比原来提高了，乙、丙两队同时完工，求丙工程队平均每天施工的米数． 【答案】(1)技术改造前甲队每天施工米 (2)丙工程队平均每天施工米 【分析】（1）设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工米，根据两队的天数和是天列分式方程求解即可； （2）设丙工程队平均每天施工y米，根据两队的天数相等列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设技术改造前甲队每天施工x米，则技术改造后甲队每天施工米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：技术改造前甲队每天施工米； （2）解：设丙工程队平均每天施工y米， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：丙工程队平均每天施工米． 【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解答的关键． 9．为迎接2022年北京冬奥会，冬奥组委准备印发一些宣传海报，某印刷厂由甲、乙两台机器印刷，甲机器的印刷效率是乙机器的倍，甲机器印刷360份比乙机器印刷同样数量少3分钟． (1)甲、乙两台机器每分钟能印刷多少份宣传海报？ (2)若甲、乙两台机器同时印刷，为保证印刷的宣传海报不少于5000份，两台机器至少应印刷多长时间？ 【答案】(1)甲机器每分钟印刷60份宣传海报，乙机器每分钟印刷40份宣传海报. (2)故至少需要50分钟. 【分析】（1）设乙机器每分钟印刷x份宣传海报，则甲机器每分钟印刷份宣传海报，根据“甲机器印刷360份比乙机器印刷同样数量少3分钟”列分式方程求解即可； （2）设两台机器应印刷m分钟，根据“印刷的宣传海报不少于5000份”列出不等式求解即可. 【详解】（1）解：设甲机器每分钟印刷份宣传海报，乙机器每分钟印刷x份宣传海报， 根据题意，得：， 解得：x=40， 经检验，x=40是方程的解， =， 答：甲机器每分钟印刷60份宣传海报，乙机器每分钟印刷40份宣传海报. （2）解：设两台机器应印刷m分钟， 由题意，得：（60+40）m5000， 解得：m50， 故至少需要50分钟. 【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的实际应用.设出适当的未知数，列出方程或不等式是解答此题的关键. 10．为打好“蓝天、碧水、净土”三大保卫战，某县政府决定将县城附近乡村的烧煤取暖全部改制为集中供热．“永盛”工程队承包了该项工程的总管道铺设工程．该工程队施工效率比原计划提高25%，就可以比原计划提前20天完成任务．请解答下列问题： （1）“永盛”工程队提高施工效率后平均每天铺设管道多少； （2）在（1）的基础上为了缩短工期，在管道铺设了20天后，该工程队经研究决定，余下的管道铺设任务要在50天内（含50天）完成，求该工程队平均每天至少再多铺设多少？ 【答案】（1）“永盛”工程队提高效率后平均每天铺设管道；（2）“永盛”工程队平均每天至少再多铺设管道． 【分析】（1）设“永盛”工程队提高施工效率前平均每天铺设管道，则提高施工效率后平均每天铺设管道，根据“原计划工作天数提高施工效率后实际工作天数20”列分式方程求解即可； （2）设“永盛”工程队每天再多铺设管道，根据“前20天内施工后剩余的施工量要小于等于后50天内完成的施工量”列不等式进行求解即可． 【详解】（1）设“永盛”工程队提高施工效率前平均每天铺设管道，则提高施工效率后平均每天铺设管道， 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：“永盛”工程队提高效率后平均每天铺设管道； （2）设“永盛”工程队每天再多铺设管道， 由题意，得， 解得， 答：“永盛”工程队平均每天至少再多铺设管道． 【题型2 行程问题】 11．小李从地出发去相距千米的地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的倍． (1)①求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米/小时？ ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为______小时； (2)有一天小李骑自行车出发，出发千米后自行车发生故障．若小李立即跑步去上班，且恰好提前5分钟到达，求跑步的速度为多少千米/小时？ 【详解】（1）解：①设小李步行的速度为千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时； ②小李恰好不迟到时，从地到地所用的时间为： （小时）； （2）解：小李骑自行车出发千米所用的时间为（小时）， 设小李跑步的速度为千米/小时， 由题意得， 解得：， 答：为了提前5分钟到达，则跑步的速度为千米/小时． 12．甲、乙两名同学是骑行爱好者，相约从学校出发，沿相同路线骑车去距离学校的黄庄观赏油菜花，乙速度是甲速度的1.5倍． (1)若甲先行驶，乙才开始从学校出发，乙出发后追上甲，求乙每小时行驶多少千米？ (2)若甲先出发，乙才开始从学校出发，两人同时到达黄庄，求乙每小时行驶多少千米？ 【答案】(1)乙每小时行驶 (2)乙每小时行驶 【分析】此题考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设甲每小时行驶，根据路程相等列出方程，解方程即可； （2）设甲每小时行驶，根据时间关系列出方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）设甲每小时行驶， 由题意得： 解得， 则 答：乙每小时行驶； （2）设甲每小时行驶，由题意得 解得 经检验，是原分式方程的根 答：乙每小时行驶 13．上周末，小马约上小唐一起出发去离学校的地游玩，小唐从学校出发，半小时后、小马也从学校出发，已知小唐的车速是小马的车速的，结果小马比小唐提前分钟到达地． (1)求小马和小唐的车速分别为多少？（单位：千米小时） (2)地游玩之后，小马和小唐两车以原速度同时出发前往地，小马的车行驶了小时后发生故障，小马原地检修用了分钟后以原速度的行驶．此时，小唐提高速度，为了保证小唐再用不超过1小时与小马相遇，那么小唐的行驶速度至少提高多少千米小时？ 【答案】(1)小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时； (2)小唐的行驶速度至少提高千米小时． 【分析】（）设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时，根据时间路程速度结合小马比小唐提前分钟到达地，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （）设小唐的行驶速度提高千米小时，根据路程速度 时间结合小唐再用不超过小时与小马相遇，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【详解】（1）解：设小马的车速为千米小时，则小唐的车速为千米/小时， 根据题意得：，解得， 经检验是原方程的解， ∴小唐的车速为， 答：小马和小唐的车速分别为千米小时和千米小时； （2）解：设小唐的行驶速度提高千米小时， 由题意得：， 解得：， 答：小唐的行驶速度至少提高千米小时． 14．已知从A地到某市的高铁行驶路程是400千米，普通列车的行驶路程是高铁行驶路程的倍，请完成以下问题： (1)普通列车的行驶路程为多少千米？ (2)若高铁的平均速度（千米/时）是普通列车平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求普通列车和高铁的平均速度． 【答案】(1)520千米 (2)普通列车的平均速度是千米/时，高铁的平均速度是千米/时． 【分析】（1）根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的倍，两数相乘即可得出答案； （2）设普通列车平均速度是千米/时，根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，列出分式方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：普通列车的行驶路程是520千米； （2）设普通列车平均速度是千米/时，则高铁平均速度是千米/时， 根据题意得：, 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， ∴普通列车的平均速度是千米/时． ∴高铁的平均速度是千米/时． 答：高铁的平均速度是千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验． 15．从广州到某市，可乘坐普通大巴走高速公路，也可以乘坐高铁．已知普通大巴行驶的路程是千米，高铁行驶的路程是普通大巴的倍． (1)求高铁行驶的路程； (2)若高铁行驶的平均速度（千米/时）是普通大巴的平均速度（千米/时）的倍，且乘坐高铁所需时间比普通大巴所需时间缩短小时，求高铁平均速度． 【答案】(1)千米； (2)高铁的平均速度是千米/时 【分析】（1）高铁行驶的路程是普通大巴的倍，普通大巴行驶的路程是千米，两数相乘即可得出答案； （2）设普通大巴的平均速度是千米/时，则高铁平均速度是千米/时，列出分式方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（千米）， 答：高铁行驶的路程千米； （2）设普通大巴的平均速度是千米/时，则高铁平均速度是千米/时，根据题意得： ． 解得， 经检验是原方程的根，且符合题意， 所以高铁的平均速度是(千米/时)． 答：高铁的平均速度是千米/时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验． 16．小刚到离家米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了分钟． (1)小刚步行的速度是每分钟多少米？ (2)小刚能否在电影放映前赶到电影院？ 【答案】(1)米/分 (2)小刚能在电影放映前赶到电影院 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式． （1）设小刚步行的速度是米/分，根据小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了分钟列出方程，即可得出答案； （2）求出小刚赶到电影院所用的时间，再与分钟比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设小刚步行的速度是米/分， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 小刚步行的速度是每分钟米； （2） （分钟）， 且， 小刚能在电影放映前赶到电影院． 17．在全民健身运动中，“万步有约”健步走活动备受市民青睐．元旦节当天，小李和妈妈约定从通泰门出发，沿相同的路线去4公里外的元帅广场，已知妈妈的步行速度是小李的倍． (1)若小李先出发30分钟，妈妈才从通泰门出发，最终小李和妈妈同时到达元帅广场，则小李步行的速度是每分钟多少米？ (2)粗心的妈妈到达元帅广场后，想起30分钟后公司有一个重要会议要参加，公司距离元帅广场公里，妈妈马上从元帅广场出发赶去公司，她先以原速度步行一段时间后，又以150米/分钟的速度跑步前行，若妈妈想要不迟到，则至少需要跑步多少分钟？ 【答案】(1)小李步行的速度是50米/分钟 (2)妈妈至少跑步20分钟才能不迟到 【分析】(1)设小李步行的速度为米/分钟，则妈妈步行的速度为米/分钟，根据题意即可列出分式方程，解方程即可求解； (2)首先可求得妈妈步行的速度为米/分钟，设妈妈至少跑步分钟才能不迟到，根据题意即可列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设小李步行的速度为米/分钟，则妈妈步行的速度为米/分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意． 答：小李步行的速度是50米/分钟； （2）解：妈妈步行的速度为(米/分钟)， 设妈妈至少跑步分钟才能不迟到， 由题意得：， 解得： 答：妈妈至少跑步20分钟才能不迟到． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程方程及不等式． 18．许昌胖东来以极致的服务理念被人们熟知，从而掀起了打卡天使城的热潮，周末，小亮和小明相约去逛天使城，以下是他们的聊天内容： 小亮：我查了查地图，从地图上看，我家到天使城的距离为5000米，是你家到天使城距离的倍．因此，我准备骑自行车去． 小明：你说的没错，我家距离天使城比较近，所以我准备步行去．根据我的经验，你骑自行车的速度一般是我步行速度的5倍，因此我准备从家出发，你可以过15分钟之后再出发，如果顺利的话，咱俩可以同时到达． (1)小明步行及小亮骑自行车的速度分别是多少？ (2)结束后，两人同时出发，小亮的速度保持不变，小明的速度提高了，小明和小亮谁先到家？早到家多少分钟？ 【答案】(1)小明步行速度为，小亮骑自行车的速度为； (2)小亮先到家，先到家9分钟． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）设小明步行的速度为，则小亮骑自行车的速度为，根据它们到达目的地所用时间相差15分钟，列出方程，解方程即可； （2）分别求出两个人到家所用的时间，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：设小明步行的速度为，则小亮骑自行车的速度为， 小明家到天使城的距离为， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 当时，． 答：小明步行速度为，小亮骑自行车的速度为． （2）解：小明到家用时为， 小亮到家用时为， ， （分钟） 答：小亮先到家，先到家9分钟． 19．科研机构试验采集的某样本须在4小时内（含采集时间）送达检测中心，使超过时问，样本就会失效．已知甲、乙两科研机构到检测中心的路程分别为30千米，36千米，两科研机构的送检车有如图所示的信息．根据信息，请解答下列问题： (1)求甲科研机构送检车的平均速度； (2)若乙科研机构从开始采集样本到送检车出发用了3.2小时，则它采集的样本会不会失效？ 【答案】(1)甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时 (2)采集的样本会失效 【分析】本题考查了分式方程的应用，有理数除法的应用， （1）设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时，根据题意列分式方程求解即可； （2）由（1）可得乙科研机构送检车的平均速度，进而求得乙科研机构送检车行驶的时间，再将科研机构总用时与4小时比较，即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲科研机构送检车的平均速度为千米/小时，则乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得， 经检验，是原方程的根， 答：甲科研机构送检车的平均速度为30千米/小时． （2）解：由（1）可知，乙科研机构送检车的平均速度为千米/小时， 则乙科研机构送检车行驶的时间为小时， ， 它采集的样本会失效． 20．星期六，小鸣和小山相约在图书馆一起复习，已知小鸣小山的家到图书馆的路程均为3000米，小山的步行速度是小鸣的倍，两人同时从家里出发匀速前往图书馆，小鸣比小山晚10分钟到图书馆． (1)求小鸣每分钟步行多少米？ (2)星期天，两人再次相约去图书馆，两人步行的速度保持不变．若小鸣步行20分钟后，改为跑步前进，最终与小山同时到达图书馆，求小鸣每分钟跑步多少米？ 【答案】(1)75米 (2)150米 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用： （1）设小鸣每分钟步行x米，则小山每分钟步行米，根据两人同时从家里出发，小鸣比小山晚10分钟到图书馆．列出分式方程，解方程即可； （2）设小鸣每分钟跑步y米，根据步行20分钟后，小鸣改为跑步前进，最终与小强同时到达图书馆，路程为3000米，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设小鸣每分钟步行x米，则小山每分钟步行米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：小鸣每分钟步行75米； （2）解：由（1）可知，小山到图书馆所用时间为：（分钟）， 设小鸣每分钟跑步y米， 由题意得：， 解得：， 答：小鸣每分钟跑步150米． 【题型3 销售问题】 21．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． （1）解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； （2）设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 22．为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买、两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：种垃圾桶每组的单价比种垃圾桶每组的单价少元，且用16000元购买种垃圾桶的组数量是用元购买种垃圾桶的组数量的2倍． (1)求、两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； (2)该学校计划用不超过元的资金购买、两种垃圾桶共组，则最多可以购买种垃圾桶多少组？ 【答案】(1)种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元 (2)最多可以购买种垃圾桶组 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，依题意列出分式方程，解方程并检验即可求解； （2）设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，依题意列出一元一次不等式，解不等式，根据题意取最大整数解即可求解． 【详解】（1）解：设种垃圾桶每组的单价为元，则种垃圾桶每组的单价为元，依题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：种垃圾桶每组的单价为元，种垃圾桶每组的单价为元． （2）解：设购买种垃圾桶组，则购买种垃圾桶组，依题意得： ， 解得：， 又 为正整数， 的最大值为． 答：最多可以购买种垃圾桶组． 23．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 24．某社区为了增强社区居民的文明意识和环境意识，准备购买甲、乙两种分类垃圾桶．通过市场调研得知：乙种分类垃圾桶的单价比甲种分类垃圾桶的单价多40元，且用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同． (1)求甲、乙两种分类垃圾桶的单价； (2)该社区计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个，则最少需要购买甲种分类垃圾桶多少个？ 【答案】(1)甲：160元/个，乙：200元/个 (2)甲至少需要购买10个 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是： （1）设甲元/个，乙元/个，根据“用4800元购买甲种分类垃圾桶的数量与用6000元购买乙种分类垃圾桶的数量相同”列方程求解即可； （2）设需购买甲个，乙个，根据“计划用不超过3600元的资金购买甲、乙两种分类垃圾桶共20个”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲元/个，乙元/个， ， ， 经检验是原方程的解， ， ， 答：甲：160元/个，乙：200元/个． （2）解：设需购买甲个，乙个， ， ， 答：甲至少需要购买10个． 25．每年的3月14日是“国际数学日”，旨在体现数学的重要性．六盘水市某中学在今年“国际数学日”举行了初中学生数学素养比赛，需购买一批乒乓球拍和羽毛球拍作为奖品．询价时了解到：文具店乒乓球拍单价是羽毛球拍单价的1.5倍，且花200元购买羽毛球拍的数量比花240元购买乒乓球拍的数量多2副． (1)求询价时乒乓球拍和羽毛球拍的单价分别为多少元？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：羽毛球拍比之前询价时的单价上涨了2元，乒乓球拍则按之前询价时单价的8折出售．若学校最终购买了乒乓球拍和羽毛球拍共60副，且购买奖品的总费用不超过1361元，则学校至少需购买多少副羽毛球拍？ 【答案】(1)羽毛球拍单价为20元，则乒乓球拍单价是30元． (2)学校至少需购买40副羽毛球拍． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元，根据题意列出关于x的分式方程，求解即可． （2）先分别求出现在羽毛球拍单价，乒乓球拍单价，然后设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍，根据题意列出关系a的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设羽毛球拍单价为x元，则乒乓球拍单价是元， 根据题意有：， 解得：， 进检验，是分式方程的解， ∴元． ∴羽毛球拍单价为20元，则乒乓球拍单价是30元． （2）解：现在羽毛球拍单价为：元，乒乓球拍单价为元， 设购买a副羽毛球拍，则购买副乒乓球拍， 根据题意：， 解得：， ∵a为整数， ∴最小为40， 故学校至少需购买40副羽毛球拍． 26．为庆祝建党103周年，某校开展了以“青春心向党”为主题的演讲比赛活动，学校决定购买、两种奖品，用于表彰在此次活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件多10元，用400元购买奖品的件数恰好与用300元购买奖品的件数相同． (1)求每件、奖品的单价； (2)学校决定购买、两种奖品共60件，实际购买时，奖品的售价打九折，奖品的售价不变，学校用于购买两种奖品的总费用不超过2100元，最多可购买多少件奖品？ 【答案】(1)奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件 (2)最多可购买50件奖品 【分析】本题考查了分式方程的应用以及解一元一次不等式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设奖品的单价是元/件，则奖品的单价是元/件，依题意：列式，再解出，最后验根，即可作答． （2）先设购买件奖品，则购买件奖品，再结合题意得，最后解不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设奖品的单价是元/件，则奖品的单价是元/件， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， . 奖品的单价是40元/件，奖品的单价是30元/件； （2）解：设购买件奖品，则购买件奖品， 根据题意得： ， 解得， 最多可购买50件奖品. 27．某校科技节举行了数学魔方大赛，现决定购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价贵6元，且用800元购买甲笔记本的数量与用640元购买乙笔记本的数量相同． (1)求甲、乙两种笔记本的单价； (2)若学校需要购买甲、乙两种笔记本共100本，且购买这两种笔记本的总费用不超过2730元，则学校至少购买乙种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲、乙两种笔记本的单价分别为元和元 (2)学校至少购买乙种笔记本45本 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设乙笔记本的单价为元，根据甲笔记本的单价比乙笔记本的单价贵6元，且用800元购买甲笔记本的数量与用640元购买乙笔记本的数量相同，列出分式方程进行求解即可； （2）设学校购买乙种笔记本本，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设乙笔记本的单价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲、乙两种笔记本的单价分别为元和元； （2）设学校购买乙种笔记本本，则购买甲种笔记本本，由题意，得：， 解得：， ∴的最小值为45； 答：学校至少购买乙种笔记本45本． 28．阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍． (1)求甲、乙两种品牌篮球的单价； (2)该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？ 【答案】(1)甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元 (2)最多可购买个乙种品牌的篮球 【分析】本题考查分式方程和不等式的应用； （1）设甲种品牌篮球的单价是x元，乙种品牌的单价是元，根据“用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍”，列出关于x的分式方程，解之经检验后即可． （2）设本次购买m个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球，根据“甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共个，总费用不超过元”，列出关于m的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可． 【详解】（1）设甲种品牌篮球的单价是元，乙种品牌的单价是元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合实际意义， ， 答：甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元， （2）设本次购买个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球， 根据题意得： ， 解得：， 因为为正整数，所以的最大值为， 答：最多可购买个乙种品牌的篮球． 29．长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元，已知用元购进的足球和用元购进的篮球数量相等． (1)篮球和足球的单价各是多少元？ (2)已知篮球进价为每个元，足球进价为每个元，若商场售出足球的数量比篮球数量的倍少个，且获利超过元，问篮球最少要卖多少个？ 【答案】(1)篮球的单价是元，足球的单价是元 (2)篮球最少要卖个 【分析】（）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意列分式方程即可； （）设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意列一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据题意可得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：篮球的单价是元，足球的单价是元； （2）解：设篮球要卖个，则足球要卖个，根据题意可得， ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：篮球最少要卖个． 【点睛】本题考查了分式方程与实际问题，一元一次不等式与实际问题，审清题意找出数量关系是解题的关键． 30．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了数学“最强大脑”竞赛活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵，且花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支． (1)求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？ (2)前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价，而钢笔则按之前询问价格的9折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1308元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？ 【答案】(1)前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元； (2)学校最多购买了90支钢笔作为奖品 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式得实际应用： （1）设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元，根据花200元购买的自动铅笔比花240元购买的钢笔多10支列出方程求解即可； （2）设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔，根据购买奖品的费用没有超过1308元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解；设前期电话询问时自动铅笔的单价为x元，则钢笔的单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：前期电话询问时自动铅笔的单价为5元，则钢笔的单价为元； （2）解：设学校购买m支钢笔，则购买支自动铅笔， 由题意得， 解得， 答：学校最多购买了90支钢笔作为奖品． 【题型4运输问题】 31．《三湘都市报》华声在线2月21日讯，在长沙市岳麓区麓景路与梅溪湖路的交汇处，一条穿过桃花岭公园连接含浦片区与梅溪湖片区的麓景路隧道正在加紧施工当中．从隧道中运输挖出土方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米，大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同． (1)求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ (2)总共有大小货车共20辆，每天需运出432立方米泥土，大小货车各需要多少辆？ 【详解】（1）解：设小货车每辆运x方，则大货车每辆运立方米， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解． 则大货车为：（立方米）． 答：小货车每辆运输16立方米，大货车每辆运输24立方米； （2）设小货车有a辆，则大货车有辆． 依题意得：， 解得：， 则大货车为（辆）． 答：大货车需要14辆，小货车需要6辆． 32．赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年赣南脐橙需求量猛增，某水果批发商用40000元购进一批赣南脐橙后，该水果批发商又用90000元购进第二批这种赣南脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元． (1)该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱多少元？ (2)为运输两批水果从市到相距的市，批发商租用了甲、乙两种货车来运输两批赣南脐橙，其中甲货车运输第一批，乙货车运输第二批，已知甲、乙货车的速度比为，两车先后出发，当甲车到达市后乙车立即出发，两车共用4.5小时，求甲、乙两货车的速度． 【答案】(1)80元 (2)甲货车的速度为，乙货车的速度为． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元，找准等量关系，列分式方程，解方程即可； （2）设甲货车的速度为，乙货车的速度为，找准等量关系，列分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱x元， 依题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：该水果批发商购进的第一批赣南脐橙每箱80元． （2）设甲货车的速度为，乙货车的速度为， 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴， ∴甲货车的速度为，乙货车的速度为． 33．某贸易公司现有480吨货物，准备外包给甲、乙两个车主来完成运输任务．已知甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，而乙车主每天运输的吨数是甲车主的1.5倍，公司需付甲车主每天800元运输费，乙车主每天运输费1200元，同时公司每天要付给发货工人200元工资． (1)求甲、乙两个车主每天各能运输多少吨货物？ (2)公司制定如下方案，可以由甲、乙任意一个车主单独完成，也可以由两车主合作完成．请你通过计算，帮该公司从这三种方案中选择一种既省钱又省时的外包方案． 【答案】(1)甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物 (2)两车主合作完成既省钱又省时，计算过程见解析 【分析】（1）设甲车主每天能运输x吨货物，则乙车主每天能运输1.5x吨货物，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲车主单独完成运输任务比乙车主单独完成任务要多用10天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）根据工作时间=工作总量÷工作效率及总费用=每日所需费用×运输天数，分别求出甲车主单独完成、乙车主单独完成及甲、乙两车主合作完成所需时间及总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设甲车主每天能运输吨货物，则乙车主每天能运输吨货物，根据题意得： ，     解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲车主每天能运输16吨货物，乙车主每天能运输24吨货物． （2）甲车主单独完成所需时间为（天）， 乙车主单独完成所需时间为（天）， 甲、乙两车主合作完成所需时间为（天）， 甲车主单独完成所需费用为（元）， 乙车主单独完成所需费用为（元）， 甲、乙两车主合作完成所需费用为（元）． ∵，， ∴该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时 答：该公司选择由两车主合作完成既省钱又省时． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）分别求出三种外包方案所需时间及总费用． 34．中国企业500强鲁丽集团落户永州新田以来，短短一年时间，实现从无到有，从蓝图到实景．透过这个拔节生长的项目，我们看到了“新田速度”“鲁丽速度”．我们有理由相信，南有新田，未来可期！目前相关工程正在加紧施工中，现从工地运输挖出士方，其中每辆大货车运输的土方比每辆小货车多8立方米，大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同．    (1)求大货车与小货车每辆各运输土方多少立方米？ (2)总共有大小货车共20辆，如果每天需运出432立方米泥士，大小货车各需要多少辆？ 【答案】(1)小货车每辆运输16立方米，大货车每辆运输24立方米 (2)大货车需要14辆，小货车需要6辆 【分析】考查了分式方程的应用和一元一次方程的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力． （1）设小货车每辆运x方，则大货车每辆运方，根据大货车运120立方米与小货车运80立方米车辆数相同，列出方程计算即可求解； （2）设小货车有a辆，则大货车有辆，根据每天需运出432立方米泥土，列出方程计算即可求解． 【详解】（1）解：设小货车每辆运x方，则大货车每辆运立方米， 依题意得：， 解得：， 经检验：是方程的解． 则大货车为：（立方米）． 答：小货车每辆运输16立方米，大货车每辆运输24立方米； （2）解：设小货车有a辆，则大货车有辆． 依题意得：， 解得：， 则大货车为（辆）． 答：大货车需要14辆，小货车需要6辆． 35．“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有7000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为40元，请求出甲工程队的运输费用． 【答案】(1)原计划甲平均每天运渣土500吨； (2)甲工程队的运输费用15400元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． （1）设原计划乙平均每天运渣土吨，根据甲运走4000吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天，列出分式方程，求解即可． （2）由题意列出关于的一元一次方程求出，再求甲的费用即可． 【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运渣土吨，则原计划甲平均每天运渣土吨， 由题意得： ， 解得，， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， 答：原计划甲平均每天运渣土500吨； （2）解：由题意得： ， 解得，， （元， 答：甲工程队的运输费用15400元． 36．为做好复工复产，某工厂用、两种型号机器人搬运原料，已知型机器人比型机器人每小时多搬运20千克，且型机器人搬运1200千克所用时间与型机器人搬运1000千克所用时间相等． （1）求这两种机器人每小时分别搬运多少原料； （2）为生产效率和生产安全考虑，，两种型号机器人都要参与原料运输但两种机器人不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克原料的搬运，则型机器人至少要搬运多少千克原料？ 【答案】（1）型机器人每小时搬运120千克原料，型机器人每小时搬运100千克原料；（2）型机器人至少要搬运480千克原料． 【分析】（1）设B型机器人每小时搬运x千克原料，则A型机器人每小时搬运（x+20）千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合A型机器人搬运1200千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设A型机器人要搬运m千克原料，则B型机器人要搬运（580-m）千克原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合工作时间不能超过5小时，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设型机器人每小时搬运千克原料 解得： 经检验，是原方程的解 ∴． 答：A型机器人每小时搬运120千克原料，型机器人每小时搬运100千克原料． （2）设A型机器人要搬运千克原料. 解得： 答：A型机器人至少要搬运480千克原料． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 37．某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）． （1）从运输开始，每天运输的货物吨数（单位：吨）与运输时间（单位：天）之间有怎样的函数关系式？ （2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数． 【答案】（1）；（2）原计划4天完成． 【分析】（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式． （2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵每天运量×天数=总运量， ∴nt=4000． ∴． （2）设原计划x天完成， 根据题意得：， 解得：x=4． 经检验：x=4是原方程的根． 答：原计划4天完成． 38．“绿水青山就是金山银山”，重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将某滨江路段改建成滨江步道．一期工程共有吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土．已知甲、乙两个工程队，原计划甲平均每天运走的渣土比乙平均每天运走的渣土多，这样甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天． (1)求原计划甲平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成．若运走每吨渣土的运输费用为元，请求出乙工程队的运输费用． 【答案】(1)原计划甲平均每天运渣上吨 (2)乙工程队的运输费用为元 【分析】（1）原计划乙平均每天运渣土x吨，则原计划甲平均每天运渣土吨，由题意：甲运走吨渣土的时间比乙运走剩下渣土的时间少两天．列出分式方程，解方程即可； （2）由题意：实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作7天后，甲临时有其他任务；剩下的渣土由乙再单独工作2天完成，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：设原计划乙平均每天运渣土x吨，则甲平均每天运渣土吨， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意， 则， 答：原计划甲平均每天运渣上吨． （2）解：根据题意得： ， 解得， 则， 答：乙工程队的运输费用为元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出一元一次方程． 39．江南新校区建设需运送3×105立方米的土石方，闽北运输公司承担了该项工程的运送任务． （1）写出完成运送任务所需的时间y（单位：天）与公司平均每天的运送量x（单位：立方米/天）之间的关系式是　 　； （2）如果公司平均每天的运送量比原计划提高20%，按这个进度公司可以比规定时间提前10天完成运送任务，那么公司平均每天的运送量x是多少？ （3）实际运送时，公司派出80辆车，每辆车按问题（2）中提高后的运送量运输，若先运送了25天，后来由于工程进度的需要，剩下的任务须在20天内完成，那么公司至少要增加多少辆同样型号的车才能按时完成任务？ 【答案】（1）y=；（2）公司平均每天的运送量是5000立方米；（3）那么公司至少要增加20辆同样型号的车才能按时完成任务． 【详解】分析：（1）根据时间=列式，是反比例关系； （2）根据时间差为10天列分式方程，解出即可，要检验； （3）根据题意列式计算即可．要先分别计算出平均每天每辆汽车运送土石方，80辆卡车工作25天运送的土石方，剩余的土石方在20天内全部运送完成需卡车，再计算公司要按时完成任务需增加卡车数量． 详解：（1）完成运送任务所需的时间y（单位：天）与公司平均每天的运送量x（单位：立方米/天）之间的关系式为：y=． 故答案为y=． （2）根据题意得：﹣=10， 解方程得：x=5000， 经检验：x=5000是原方程的解， 答：公司平均每天的运送量是5000立方米； （3）平均每天每辆车运送土石方（1.2×5000）÷80=75（m3）， 80辆卡车工作25天运送的土石方为25×6000=150000（m3）， 剩余的土石方在20天内全部运送完成需车（3×105﹣150000）÷（75×20）=100（辆）， 所以公司要按时完成任务需至少再增加同样型号的车100﹣80=20（辆）． 答：那么公司至少要增加20辆同样型号的车才能按时完成任务． 点睛：找准等量关系，列出分式方程﹣=10，根据工作时间=工作总量÷工作效率列出方程是解题的关键. 40．为更好地满足市民休闲、健身需求，提升群众的幸福感获得感，丰都县从年初开始对滨江公园进行“微改造”、“精提升”，将原有的边坡地带改造为观景平台，同时增设多处具有体育、文化、智慧元素的文体场所和设施，把3.5公里滨江健身长廊打造成智慧休闲乐园．施工过程中共有5000吨渣土要运走，现计划由甲、乙两个工程队运走渣土，已知甲、乙两个工程队，原计划乙平均每天运走的渣土比甲平均每天运走的渣土多，这样乙运走2600吨渣土的时间比甲运走剩下渣土的时间少3天． (1)求原计划乙平均每天运渣土多少吨？ (2)实际施工时，甲平均每天运走的渣土比原计划增加了m吨，乙平均每天运走的渣土比原计划增加了，甲、乙合作10天后，乙临时有其他任务；剩下的渣土由甲再单独工作5天完成．若运走每吨渣土的运输费用为30元，请求出乙工程队的运输费用． 【答案】(1)200 (2)6900 【分析】本题考查分式方程实际应用，一元一次方程实际应用． （1）根据题意设原计划甲平均每天运渣土x吨，则原计划乙平均每天运渣土吨，在根据题意列式即可； （2）根据题意列方程即可． 【详解】（1）解：设原计划甲平均每天运渣土x吨，则原计划乙平均每天运渣土吨， 由题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 则， 答：原计划乙平均每天运渣土200吨． （2）解：由题意得：， 解得，， ， 乙的运费为：（元）， 答：乙工程队的运输费用为6900元． 【题型5 出租问题】 41．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 42．习总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”、为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校计划组织600名师生前往山西老陈醋的发源地——清徐研学．现准备租用A，B两种型号的客车若干辆，为安全起见，每名师生都需有座且每一辆客车都不得超载．已知每辆A型客车比每辆B型客车的乘客座位数多，若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆． (1)求每辆A型客车和每辆B型客车的乘客座位数； (2)由于实际参加研学活动的人数比原计划增加了35人、学校决定同时租用A、B两种型号的客车共14辆，为确保所有参加活动的师生都有座位（可以坐不满），求最多租用B型客车多少辆？ 【答案】(1)50个；40个 (2)6辆 【分析】本题主要考查了方式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，根据等量关系列出方程和不等式是解题关键． （1）设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个，根据“若每辆客车均坐满，则单独租用A型客车的数量比单独租用B型客车的数量少3辆”，列方程求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列不等式求解即可； 【详解】（1）解：设每辆型客车乘客座位数为个，则每辆型客车乘客座位数为个． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 答：每辆型客车的乘客座位数为50个，每辆型客车的乘客座位数为40个． （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆． 根据题意，得． 解这个不等式，得． 因为为整数，且取最大值，所以． 答：最多租用型客车数量6辆． 43．某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共300人，八年级师生共220人． (1)已知七年级教师比八年级教师多6人，七年级学生比八年级学生多，求七年级教师与学生各有多少人； (2)参观某景点时、需要乘船游玩，现有A、B两种型号的游船，A型船的座位数是B型船的倍，若七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满，八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，问： ①A、B两种游船每艘分别有多少个座位； ②若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)七年级教师有26人，学生有274人 (2)①A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位；②见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设八年级教师有x人，学生有y人，根据七、八年级的师生数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位，根据八年级乘坐B型船要比七年级乘坐的A型船多一艘且空20个座位，即可得出关于m的分式方程，解之经检验后即可得出结论；②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘，根据每艘游船恰好全部坐满，即可得出关于a，b的二元一次方程，变形后可得出，再结合a，b均为非负整数，即可得出各租船方案． 【详解】（1）解：设八年级教师有x人，学生有y人， 依题意，得：， 解得：， ∴． 答：七年级教师有26人，学生有274人； （2）解：①设B型船每艘有m个座位，则A型船每艘有个座位， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型船每艘有60个座位，B型船每艘有40个座位； ②设需租用A型船a艘，租用B型船b艘， 依题意，得：， ∴． 又∵a，b均为非负整数， ∴，，，，， ∴共有5种租船方案，方案1：租用13艘B型船；方案2：租用2艘A型船，10艘B型船；方案3：租用4艘A型船，7艘B型船；方案4：租用6艘A型船，4艘B型船；方案5：租用8艘A型船，1艘B型船． 44．研学旅行继承和发展了我国传统游学、“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．疫情散去，春暖花开，某中学组织七年级的10名教师和410名学生赴安阳市参观殷墟博物馆和中国文字博物馆．下面是李老师和刘老师有关租车问题的对话： 李老师：“某客运公司有，两种型号的客车对外出租，每辆型客车比每辆型客车多坐15名师生，若全部租用型客车恰好坐满，若租用相同数量的型客车将有105名师生无座可坐”． 刘老师：“型客车每辆每天的租金比型客车高150元．八年级师生上周在这个客运公司租了4辆型客车和2辆型客车到这两个地方，一天的租金共计5100元．” 根据以上对话，解答下列问题： (1)每辆型客车和型客车可坐师生的人数分别是多少？ (2)该客运公司型客车和型客车每辆每天的租金分别是多少元？ (3)若同时租用两种客车，要使每位师生都有座位，且每辆客车恰好坐满，请写出最省钱的租车方案及租车费用． 【答案】(1)每辆型客车可坐师生60人，每辆型客车可坐师生45人； (2)该客运公司型客车每辆每天的租金为900元，型客车每辆每天的租金为750元； (3)最省钱的租车方案为：租用4辆型客车，4辆型客车，此时租车费用为6600元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设每辆型客车可坐师生人，则每辆型客车可坐师生人，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设该客运公司型客车每辆每天的租金为元，型客车每辆每天的租金为元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （3）设租用辆型客车，辆型客车，根据题意列出二元一次方程，然后根据，均为正整数求解即可． 【详解】（1）设每辆型客车可坐师生人，则每辆型客车可坐师生人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每辆型客车可坐师生60人，每辆型客车可坐师生45人； （2）设该客运公司型客车每辆每天的租金为元，型客车每辆每天的租金为元， 根据题意得：， 解得：． 答：该客运公司型客车每辆每天的租金为900元，型客车每辆每天的租金为750元； （3）设租用辆型客车，辆型客车， 根据题意得：， ． 又，均为正整数， 或， 该校有2种租车方案， 方案1：租用4辆型客车，4辆型客车， 所需租车费用为（元）； 方案2：租用1辆型客车，8辆型客车， 所需租车费用为（元）． ， 最省钱的租车方案为：租用4辆型客车，4辆型客车，此时租车费用为6600元． 45．某校组织七年级学生赴社会实践基地开展课外社会实践活动，现有甲、乙两种客车可租，已知每辆甲种客车的租金比每辆乙种客车的租金多100元，并且用2400元租甲种客车的辆数和用1800元租乙种客车的辆数相等． (1)每辆甲种客车和每辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)该校七年级师生共420人，计划租用甲、乙两种客车共10辆．已知甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人，则租车所需费用最少为多少元？ 【答案】(1)每辆甲种客车的租金是400元，每辆乙种客车的租金是300元； (2)租车所需费用最少为3800元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每辆甲种客车的租金是元，则每辆乙种客车的租金是元，根据用2400元租甲种客车的辆数和用1800元租乙种客车的辆数相等．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆，根据该校七年级师生共420人，列出一元一次不等式，求出选择各方案以及所需租车费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设每辆甲种客车的租金是元，则每辆乙种客车的租金是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每辆甲种客车的租金是400元，每辆乙种客车的租金是300元； （2）解：设租用甲种客车辆，则租用乙种客车辆， 由题意得：， 解得：， 又、均为正整数， 可以为8，9， 共有2种租车方案， ①租用8辆甲种客车，2辆乙种客车，所需租车费用为（元； ②租用9辆甲种客车，1辆乙种客车，所需租车费用为（元； ， 租车所需费用最少为3800元． 答：租车所需费用最少为3800元． 46．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元． (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 【答案】(1)甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟 (2)单独租用一台车，租用乙车合算 【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据工作总量=工作时间×工作效率建立方程求出其解即可； （2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费5280元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可． 【详解】（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据题意得出： ， 解得：， 经检验得出：是原方程的解， 则乙车单独运完此堆垃圾需运：， 答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟； （2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得： ， 解得：， 则乙车每一趟的费用是：（元）， 单独租用甲车总费用是：（元）， 单独租用乙车总费用是：（元）， ， 故单独租用一台车，租用乙车合算． 答：单独租用一台车，租用乙车合算． 47．某校计划组织学生前往太空中心开展研学活动．该校准备向某客运公司租用A、B两种类型客车，已知每辆A型客车的载客人数比每辆B型客车多10人，如果单独租用A型客车承载90人，与单独租用B型客车承载70人所用车辆数一样多、（特别注明：本题中载客人数不考虑客车司机） (1)问每辆A、B型客车分别可载多少人？ (2)该校共有630名师生，客运公司根据需要，安排了A、B型汽车共16辆，每辆A型客车的租金为1200元，每辆B型客车的租金为1000元，总租金不超过17800元，问有哪几种租车方案，哪种方案较省钱，费用多少？ 【答案】(1)每辆型客车可载45人，则每辆型客车可载35人； (2)有3种租车方案，租A型客车7辆，B型客车9辆，租A型客车8辆，B型客车8辆，租A型客车9辆，B型客车7辆；租A型客车7辆，型客车9辆较省钱，费用为17400元． 【分析】（1）设每辆型客车可载人，则每辆型客车可载人，由题意：单独租用型客车护送900人，与单独租用型客车护送700人所用车辆数一样多，列出分式方程，解方程即可； 由（2）设租型客车辆，则租型客车辆，由题意：有630位支援人员需护送，总租金不超过17800元，列出一元一次不等式组，解得，即可解决问题． 【详解】（1）设每辆型客车可载人，则每辆型客车可载人， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：每辆型客车可载45人，则每辆型客车可载35人； （2）设租型客车辆，则租型客车辆， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 取值为7，8，9， 有3种租车方案， ①租型客车7辆，型客车9辆，费用为：（元； ②租型客车8辆，型客车8辆，费用为：（元； ③租型客车9辆，型客车7辆，费用为：（元； ， 租型客车7辆，型客车9辆较省钱，费用为17400元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 48．某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆． (1)问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？ (2)该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？ 【答案】(1)每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元； (2)租用60座客车合算 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．列出分式方程，解方程即可； （2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可． 【详解】（1）解：设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元； （2）∵，， ∴租用45座客车9辆，租费为（元）， 租用60座客车7辆，租费为（元）， ∵， ∴租用60座客车合算． 49．某校6名教师和234名学生外出参加集体活动，学校准备租用45座大车和30座小车若干辆．已知租用每辆大车的费用比每辆小车的费用多100元，且用1600元租大车，与用1200元租用小车的租车数量相等． (1)每辆大车、小车的租车费用各是多少元？ (2)学校要求每辆车上至少要有一名教师，租车总费用不超过2300元，请问有几种符合条件的租车方案？哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)大车每辆的租车费是400元，则小车每辆的租车费是300元 (2)两种，最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车 【分析】(1)设大车每辆的租车费是x元，则小车每辆的租车费是元，根据题意：“用1600元租大车，与用1200元租用小车的租车数量相等”，列出分式方程，求解即可； (2)根据每辆汽车上至少要有1名老师，和汽车总数不能小于(取整为6辆)，即可求出共需租汽车的辆数；设租用大车m辆，求得租车费用为，由题意得出，再结合得出m的取值范围，即可知有两种租车方案，分析比较得出结论即可． 【详解】（1）解：设大车每辆的租车费是x元，则小车每辆的租车费是元， 根据题意得：， 解得：， 故， 答：大车每辆的租车费是400元，则小车每辆的租车费是300元； （2）解：由每辆汽车上至少要有1名老师, 所以汽车总数不能大于6辆， 又要保证240名师生有车坐, 汽车总数不能小于 (取整为 6 ) 辆， 综合起来可知汽车总数为6辆， 设租用m辆大型车，则租车费用为， 依题意有：， ， 又要保证240名师生有车坐,，， 解得， ， 故有两种租车方案， 方案一：4辆大车，2辆小车； 方案二：5辆大车，1辆小车； 租车费用随m增加而增加， 当时，租车费用最少，为：(元)， 故最省钱的租车方案是：4辆大车，2辆小车． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用和理解题意的能力，关键是根据题意，正确找出等量关系和不等量关系，列出方程和不等式求解． 50．为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾.若租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费1800元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运的趟数是甲车的1.5倍，且乙车每趟运费比甲车少100元. （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车更合算，请你通过计算说明. 【答案】（1）甲车单独运完此堆垃圾需10趟，乙车单独运完此堆垃圾需15趟；（2）若单独租用一台车，租用乙车更合算.理由见解析. 【分析】（1）设定此堆垃圾的量和甲车单独运完此堆垃圾的趟数，从而可知甲、乙两车每趟各运送的垃圾量，再根据“若租用甲、乙两车运送，两车各运6趟可完成”建立方程求解即可； （2）先求出甲、乙两车每趟的运费，再根据“总运费=每趟运费趟数”求出甲、乙两车单独运送所需的总运费，然后比较大小即可得出答案. 【详解】（1）设此堆垃圾的量为，甲车单独运完此堆垃圾需趟，则乙车单独运完此堆垃圾需趟 因此，甲车每趟运送的垃圾量为，乙车每趟运送的垃圾量为 由题意得，即 整理得 解得 经检验，是方程的解 则 故甲车单独运完此堆垃圾需10趟，乙车单独运完此堆垃圾需15趟； （2）设甲车每趟运费为元，则乙车每趟运费为元 由题意得 整理得 解得 则若单独租用甲车，所需运费为（元） 若单独租用乙车，所需运费为（元） 因 故若单独租用一台车，租用乙车更合算. 【题型6方案问题】 51．甲，乙两个工程队分别接到36千米的道路施工任务．以下是两个工程队的施工规划． 甲工程队 前两天施工速度为千米/天，从第三天开始每天都按第一天施工速度的2倍施工，这样比全程只按千米/天的速度完成道路施工的时间提前3天． 乙工程队 方案：计划18千米按每天施工千米完成，剩下的18千米按每天施工千米完成，预计完成生产任务所需的时间为天； 方案：设完成施工任务所需的时间为天，其中一半时间每天完成施工千米，另一半时间每天完成施工千米； 特别说明：两种方案中的地为正整数，且． (1)问甲工程队完成施工任务需要多少天？ (2)若要尽快完成施工任务，乙工程队应采取哪种方案？说明你的理由． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：x＝， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲工程队完成施工任务需要5天； （2）解：乙工程队应采取B方案，理由如下： 根据题意得： ； ． ∴ ． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴乙工程队应采取B方案； 52．学校举办以“诵读经典诗词，弘扬传统文化”为主题的诵读比赛，计划选购甲、乙两种图书作为奖品，已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍，用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本． (1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． (2)共有3种方案． 【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键． （1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程； （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题． 【详解】（1）设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为1.5x元， 由题意得：， 解得：， 经检验得出：是原方程的根． 则， 答：甲种图书的单价为30元，乙种图书的单价为20元． （2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本， 根据题意得：， 解得：， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴共有3种方案． 53．某物业计划修整小区绿化带，现有甲乙两个工程队均有意愿承接此项工程，已知甲队计划每天修整平方米，乙队计划每天修整平方米，若单独完成这项工作，甲队比乙队要多用天．修整期间，甲乙两队的人工费用分别为元/天和元/天． (1)求这项工程共需修整绿化带多少平方米？ (2)此项工程先由甲，乙两队按原计划修整速度合作一段时向后，甲队因事停工．乙队立刻将自己每天的修整速度提高，且每天工资随之上涨了，独立完成剩下工作，已知乙队的全部工作时间是甲队工作时间的2倍还多4天，求乙队共修整多少天？ (3)在绿化带修整过程中，每天还需聘请一名园艺师现场指导，并由物业额外支付工资元/天，如果按（2）的方式完成小区绿化，整项工程所需费用，与单独聘用甲队或乙队按原速原价完成该项工程相比较，哪一方案更省钱？ 【答案】(1) (2) (3)按（2）的方式更省钱，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）设这项工程共需修整绿化带平方米，由题意得：，即可求解； （2）设甲队工作时间为天，则乙队工作时间为天，由题意得：，即可求解； （3）分别计算单独聘用甲队所需费用、乙队按原速原价所需费用、按（2）的方式所需费用即可判断； 【详解】（1）解：设这项工程共需修整绿化带平方米， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的根， ∴这项工程共需修整绿化带平方米 （2）解：设甲队工作时间为天，则乙队工作时间为天， 由题意得：， 解得：， ∴ ∴乙队共修整天 （3）解：单独聘用甲队所需费用为：元； 乙队按原速原价所需费用为：元； 按（2）的方式所需费用为：元； ∴按（2）的方式更省钱 54．某校八年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本． (1)求打折前每本笔记本的售价是多少元？ (2)由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折，若购买总金额不低于360元，且不超过365元，问有哪几种购买方案？ (3)哪种购买方案花费最少？并算出最少花费． 【答案】(1)打折前每本笔记本的售价是4元 (2)一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件 (3)方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设打折前售价为x，则打折后售价为，表示出打折前购买的数量及打折后购买的数量，再由打折后购买的数量比打折前多10本，可得出方程，解出即可； （2）设购买笔记本m本，则购买笔袋件，根据购买总金额不低于360元，且不超过365元，可得出不等式组，解出即可； （3）分别计算出三种方案的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设打折前每本笔记本的售价是x元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 答：打折前每本笔记本的售价是4元； （2）解：设购买笔记本m本，则购买笔袋件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为68或69或70， ∴一共有三种购买方案：方案一：购买笔记本68本，笔袋22件，方案二：购买笔记本69本，笔袋21件，方案三：购买笔记本707本，笔袋20件． （3）解：方案一的费用元， 方案二的费用元， 方案三的费用元， ∵， ∴方案三：购买笔记本707本，笔袋20件花费最少，最少花费360元． 55．“喜迎二十大奋进新征程”，郑州郑东新区2022年“新发展杯”篮球赛于9月下旬火热开赛，本次比赛也带动了部分新区居民的运动热情．为增加器材储备，某活动中心决定购买A，B两种型号的篮球作为训练器材，已知A款比B款每个贵35元．预算资金为1700元，其中800元购买A款篮球，其余资金全部购买B款篮球，且购买B款的数量是A款数量的2倍． (1)分别求A，B两款篮球的单价； (2)后由于联合了其他活动中心购买，商家答应所有篮球按原价八折销售，故调整了购买方案：不超过预算资金且购买A款篮球的资金不少于832元，A，B两款篮球共购买35个；问购买A，B两款篮球有哪几种方案？ 【答案】(1)A款篮球的单价为80元，B款篮球的单价为45元 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用，掌握分式方程的应用以及不等式组的应用是解本题的关键． （1）设B款篮球的单价为x元，则A款篮球的单价为元，根据“预算资金为1700元，其中800元购买A款篮球，其余资金全部购买B款篮球，且购买B款的数量是A款数量的2倍”列分式方程，解方程即可； （2）设购买A款篮球m个，则购买B款篮球个，根据“不超过预算资金且购买A款篮球的资金不少于832元”列一元一次不等式组，求出m的取值范围，取整即可确定购买方案． 【详解】（1）解：设B款篮球的单价为x元，则A款篮球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， （元） 答：A款篮球的单价为80元，B款篮球的单价为45元． （2）设购买A款篮球m个，则购买B款篮球个， 根据题意，得， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以取13，14，15， ∴有三种购买方案： 方案一：购买A款篮球13个，B款篮球22个； 方案二：购买A款篮球14个，B款篮球21个； 方案三：购买A款篮球15个，B款篮球20个． 56．钧瓷是河南省禹州市神垕镇独有的国宝瓷器，始于唐，盛于宋，被誉为中国“五大名瓷”之首．某校为了推行中原文化进校园，准备购买一批钧瓷茶壶茶杯宣讲使用．经了解，茶壶的单价比茶杯的单价高100元，用100元购买茶杯的数量和用600元购买茶壶的数量相同． (1)求茶壶和茶杯的单价． (2)学校准备购买5个茶壶和若干个茶杯（茶杯数量大于5），某钧瓷店为了宣传助学特推出两种优惠方案．方案一：买一个茶壶送一个茶杯；方案二：茶壶茶杯均按标价的九折销售．问学校选择哪种方案购买才更省钱？ 【答案】(1)茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元 (2)当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱；当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同；当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱 【分析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式的应用． （1）设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解； （2）设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个．根据三种情况列出不等式和方程，进而即可求解． 【详解】（1）解：设茶壶的单价为m元，则茶杯的单价为元． 由题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴． 答：茶壶的单价为120元，茶杯的单价为20元． （2）设学校按方案一购买茶壶及茶杯的费用为元，按方案二购买茶壶及茶杯的费用为元，购买茶杯的数量为个． 由题意，得； ． 令，即，解得； 令，即，解得； 令，即，解得． 综上所述，当购买茶杯的数量x满足时，选择方案一购买更省钱； 当购买茶杯的数量时，选择方案一和选择方案二购买所需费用相同； 当购买茶杯的数量x满足时，选择方案二购买更省钱． 57．年杭州第届亚运会的吉祥物由琮琮、莲莲、宸宸三个可爱的机器人组成，他们的成团出道的组合名叫“江南忆”，出自诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”．某校准备举行亚运会知识竞赛活动，购买套吉祥物作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵元，若用元购买甲规格与用元购买乙规格的数量相同． (1)求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格； (2)若购买甲规格数量不超过乙规格数量的倍，并且总费用不得超过元，试求该校一共有哪几种购买方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出该校购买套吉祥物的最低费用． 【答案】(1)甲规格吉祥物每套元，乙规格吉祥物每套元 (2)该校一共有种方案，分别为：甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套 (3)元 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，求代数式的值的应用，根据题意建立相应的关系式是解题的关键． （1）设甲规格吉祥物每套元，则乙规格吉祥物每套元，根据“用元购买甲规格与用元购买乙规格的数量相同”列分式方程，求解即可； （2）设乙规格吉祥物购买套，总费用为元，根据“购买甲规格数量不超过乙规格数量的倍”列一元一次不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）由（2）知：含的代数式表示出费用，然后将的值代入计算进行比较即可； 【详解】（1）解：设甲规格吉祥物每套元，则乙规格吉祥物每套元， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：甲规格吉祥物每套元，乙规格吉祥物每套元； （2）解：设乙规格吉祥物购买套，总费用为元， 根据题意，得：， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， ∵为正整数， ∴取，，，，，， ∴该校一共有种方案，分别为：甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套；甲规格吉祥物购买套，乙规格吉祥物购买套； （3）解：由（2）知：， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， 当时，（元）， ∴该校购买套吉祥物的最低费用为元． 58．某公司计划生产A货物1500吨，B货物1200吨．已知每天生产A货物的数是B货物的2倍，生产B货物所需的时间比A货物多30天． (1)公司每天可生产A，B两种货物各多少吨？ (2)生产完毕后，现计划用甲、乙两种型号的货厢共20节运送这批货物到另外一地仓库，已知90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．若每节甲货厢的运费是1.5万元，每节乙货厢的运费是1万元．据此安排甲、乙两型货厢的节数，则方案的总运费最少是多少元？ 【答案】(1)公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨 (2)安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用． （1）设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨，根据生产B货物所需的时间比A货物多30天，建立分式方程，求解，并检验即可； （2）设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节，根据90吨A货物和50吨B货物可装满一节甲型货厢，40吨A货物和100吨B货物可装满一节乙型货．建立不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：设每天生产A货物的数是x吨，则每天生产B货物的数是吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，则， 答：公司每天可生产A种货物30吨，生产B种货物15吨； （2）解：设安排甲型货厢的节数为a节，则安排乙型货厢的节数为节， 根据题意得：， 解得：， 则共有三种方案： 方案一：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案二：安排甲型货厢15节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 方案三：安排甲型货厢16节，安排乙型货厢节，则费用为：（万元）； 答：安排甲型货厢14节，安排乙型货厢节，，则总运费最少，是万元． 59．为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球的单价少20元，用1600元购买篮球的数量是用1000元购买足球数量的2倍． (1)求足球和篮球的单价． (2)学校准备购买足球和篮球共100个，要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，且希望尽可能节约购买经费，请你提供最合适的购买方案． 【答案】(1)每个足球100元，每个篮球80元 (2)购买75个篮球，个足球，所花费用最少 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键． （1）设一个足球的单价x元，则一个篮球的单价为元，根据“用1600元购买篮球的数量是用1000元购买足球数量的2倍”列方程求解即可； （2）设买篮球m个，则买足球个，根据要求篮球数量不超过足球数量的3倍，足球数量不超过27个，建立不等式求出解即可． 【详解】（1）解：设一个足球的单价x元，则一个篮球的单价为元，根据题意得：， 解得， 经检验是方程的根且符合题意， （元）， 答：每个足球100元，每个篮球80元． （2）解：设购买篮球m个，则买足球个，根据题意得： ， 解得：． ∵ m为正整数， ∴ ，74，75， ∵足球的单价大于篮球的单价， ∴购买的篮球数量越多，足球数量越少，所花费用越少， ∴购买75个篮球，个足球时，所花费用最少． 60．冰城某店欲购进和两种品牌的雪地胎，已知种的进价比种进价每条少元，经计算，用万元购进的种雪地胎的数量与万元购进的种雪地胎的数量相同，请解答下列问题： (1)这两种雪地胎每个进价多少元？ (2)若该店欲购进两种品牌雪地胎共个，投入的总资金不超过元，且种品牌雪地胎不超过个（假设每辆车一次换个雪地胎），则该店有哪几种进货方案？ (3)在()条件下，若和两种雪地胎的售价分别是每个元和元，该店从这个雪地胎中拿出个两种雪地胎奖励优秀员工，其余雪地胎全部售出后仍获利元，请直接写出这个雪地胎中种雪地胎的个数． 【答案】(1)品牌的雪地胎每条的进价为元，品牌的雪地胎每条的进价为元 (2)共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； (3)． 【分析】（）设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元，根据题意列出方程即可求解； （）设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个，根据题意列出不等式组求出的取值范围，再根据每辆车一次换个雪地胎得到为的倍数，即得的值，据此即可求解； （）设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，根据（）中的方案分别计算即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：种雪地胎每个进价元，则种雪地胎每个进价元； （2）解：设购进种雪地胎个，则购进种雪地胎个， 由题意得， 解得， ∵每辆车一次换个雪地胎， ∴为的倍数， ∴或或， ∴共有三种进货方案．方案一：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案二：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个；方案三：购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个； （3）解：设从种雪地胎拿出个奖励优秀员工，则从种雪地胎拿出个奖励优秀员工， 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得，， 整理得，， 解得； 当购进种品牌的雪地胎个，购进种品牌的雪地胎个时， 由题意得， 整理得，， 解得，不合题意，舍去； 综上，的值为， 答：这个雪地胎中种雪地胎的个数为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$