精品解析：广东省深圳实验学校高中部2024-2025学年高一上学期第一阶段考试数学试题

深圳实验学校高中园2024-2025学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：郭慧敏 审题人：万明 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 命题“，使得”的否定是（ ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，使得 D. ，使得 【答案】A 【解析】 【分析】特称命题否定为全称命题即可 【详解】因为命题“，使得”， 所以其否定为“，总有” 故选：． 3. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】确定阴影部分为，再结合交集补集运算即可求解. 【详解】阴影部分为：， ，所以. 故选：C. 4. 关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系得出参数的取值范围即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法结合二次函数的基本性质可求得原函数的值域. 【详解】令，可得，即， 所以， 因为函数在上为增函数，故， 即函数的值域为. 故选：C. 6. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析水槽内水面上升的高度的速度，可得问题答案. 【详解】开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变； 烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快； 当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢. 故选：D 7. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次项系数是否为零分情况讨论，当系数为零时验证一次函数是否满足要求，当系数不为零时利用二次函数图象在横轴上或上方得出判别式不大于零且开口向上，再综合两种情况解出参数范围. 【详解】因为函数的定义域是，所以不等式对任意恒成立， 当时，，对任意恒成立，符合题意； 当时，即解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：D. 8. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，结合特例法以及必要不充分条件的定义即可判断. 【详解】取，满足“”，但即，充分性不成立； 如果，那么和的整数部分是相同的，所以，所以必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】采用作差法可知AB正确；通过反例可说明CD错误. 【详解】对于A，， ，，， ，即，A正确； 对于B，， ，，， ，即，B正确； 对于C，当，，，时，，C错误； 对于D，当，，，时，，D错误. 故选：AB. 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数. 【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确； 对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误； 对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确； 对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. （m为任意实数） D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题. 【详解】因为抛物线开口向下，则， 又因为抛物线的对称轴为直线，则，可得， 且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则， 对于选项A：可得，故A正确； 对于选项B：因为，则， 所以，故B正确； 对于选项C：抛物线的对称轴为直线，可知当时，y有最大值， 则（m为任意实数）， 所有（m为任意实数），故C正确； 对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 则抛物线与x轴的另一个交点在点和之间， 可知当时，，所以，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用不等式的性质运算求解. 【详解】因为，，则，， 可得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 函数的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】换元令，可得，结合对勾函数单调性求最值. 【详解】令，则， 可知在内单调递增，则在内的最小值为， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 14. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将化为，分，，三种情况讨论即可求. 【详解】由可得， 当时，不等式的解集为，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为，其正整数解至多有1个，不符合题意，舍， 当时，不等式的解集为， 因为有且仅有3个正整数解，故整数解为， 所以，. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是实数，集合，． （1）若，请写出集合的所有子集； （2）求证：“”是“”的充要条件． 【答案】（1），，，，，，， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【小问1详解】 若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. 【小问2详解】 证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求的值； （3）若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）. 【答案】（1）3； （2）或，； （3）图见解析，. 【解析】 【分析】（1）运用代入法，结合函数解析式进行求解即可； （2）运用代入法，分类讨论进行求解即可； （3）根据一次函数和二次函数的性质画出函数图象，再运用数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，； 当时，，或， 所以或，； 【小问3详解】 函数图象如下图所示： 当时，，开口向下， 最大值为，由数形结合思想可知：函数的图象与直线有三个交点，只需，故实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 【答案】（1） （2）在上单调递减. 证明如下： 令，则， ， 即， 所以在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）由配凑法可得函数解析式； （2）根据函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 略 18. 购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 【答案】第二种购买方式更有利于控制投资成本. 【解析】 【分析】分别求出两种投资方式的黄金平均单价，利用作差法比较它们的大小，可得结论. 【详解】设两次黄金的单价分别为，（，，）. 第一种购买方式，黄金的平均单价为：； 第二种购买方式，黄金的平均单价为：. 由，因为，，， 所以，即第二种购买方式，黄金的平均单价较低. 故第二种购买方式更有利于控制投资成本. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围； （3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“优美区间”的定义证明即可. （2）问题转化为：方程在有两个不同的解，再求的取值范围. （3）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围. 【小问1详解】 结合二次函数的图象可知：函数在上单调递增， 且，，所以当时，函数的值域亦为. 所以：是函数的一个 “优美区间”. 【小问2详解】 函数在上存在“优美区间”， 转化为：方程在有两个不同的解. 由， 因为方程在上有两个不同的解， 所以：. 故所求的取值范围为：. 【小问3详解】 因为在和上均为增函数， 所以函数的有“优美区间”等价于：方程有两个同号的根. 由有两个同号的根，为，（）. 由或. 由，， 所以， 所以当即时，有最大值，所以. 又或，所以可以取到.故：. 【点睛】方法点睛：本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳实验学校高中园2024-2025学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 命题人：郭慧敏 审题人：万明 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使得”的否定是（ ） A. ，总有 B. ，总有 C. ，使得 D. ，使得 3. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 或 4. 关于x的不等式的解集为M，若，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的函数关系，大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如果对于任意实数表示不超过x的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、多选题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 11. 已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. （m为任意实数） D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 实数，满足，，则的取值范围是________． 13. 函数的最小值为________． 14. 已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有3个正整数解，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是实数，集合，． （1）若，请写出集合的所有子集； （2）求证：“”是“”的充要条件． 16. 已知函数. （1）求； （2）若，求的值； （3）若函数的图象与直线有三个交点，请画出函数的图象并写出实数的取值范围（不需要证明）. 17. 已知函数. （1）求的解析式； （2）判断在上的单调性，并根据定义证明. 18. 购买黄金是一种常见的投资方式，现有两种不同的投资策略：第一种是每次购买黄金定量为克，第二种是每次购买黄金定额为万元；在黄金价格有波动的情况下，选择一种策略购买黄金两次，以平均单价衡量，哪种购买方式更有利于控制投资成本？ 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围； （3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $