精品解析：重庆市第一中学校　 2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

重庆一中初2025届2024-2025学年度上期阶段性消化作业（一） 数学试题 （本试题共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解． 【详解】∵tan45°=1， 所以C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 2. 重庆今年夏天连续高温，9月7日是二十四节气中的“白露”，“白露”是反映自然界寒气增长的重要节气，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法计算，积的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘法，积的乘方和合并同类项等计算法则求出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类项，不能合并，原式错误，不符合题意； C、，原式错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意； B、不是二次函数，故此选项不合题意； C、不是二次函数，故此选项不合题意； D、是二次函数，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 5. 如图，是的角平分线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平行求出，再由角平分线求出即可． 【详解】∵， ∴，． ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键． 6. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选；B． 7. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，利用二次根式的加减运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，，则， ∴， ∴， ∴的值应在5和6之间． 故选：B． 8. 已知抛物线的图象经过，，，四个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式得到函数图象开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，据此求出C、D两点到对称轴的水平距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴函数图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵，在函数图象上，且， ∴， 故选：C． 9. 如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据正方形可得与互相垂直平分，即可证明，得到，，进而得到，再根据垂直求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵正方形的对角线，交于点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：A． 10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，利用分类讨论思想的应用是解题的关键． ①当时，可得，即可求出，再由当时，，，可判断①；②当时，，取1，2，3，可判断②；假设存在，此时使得，可得，从而得到，再由为自然数，可判断③． 【详解】解：当时，，， ∵，，且， ∴， 解得：， ∵当时，，， ∴，， ∵， ∴，故①正确； ②当时，， ∵为自然数，为正整数， ∴取1，2，3， 当时， ∴， ∴， 此时有或或或或或； 当时， ∴， ∴， 此时有或或； 当时， ∴， ∴， 此时有 即当时，满足条件的整式共有10个，故②正确； 假设存在，此时使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵为自然数， ∴或或或， 即不存在任何，使得，故③正确； 故选：D 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂，负整数指数幂和有理数的加减混合运算进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的加减混合运算，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 12. 若一个正多边形的边数是12，则这个正多边形的一个外角的度数为_____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题主要查了正多边形的外角问题．用除以12，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 13. 现有四张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，根据题意可以画出相应的树状图，即可求得数字之积为奇数的概率． 【详解】解：树状图如下， 由上可得，一共有16种可能性，其中数字之积为奇数的可能性有4种， 故数字之积为奇数的概率为， 故答案为：． 14. 二次函数的顶点坐标是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】先把进行配方得到抛物线的顶点式，根据二次函数的性质即可得到其顶点坐标． 【详解】解： ， 故二次函数的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的顶点式，其顶点坐标为． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】主要考查了反比例函数中的几何意义，首先根据反比例函数中的几何意义可得：，再根据反比例函数的对称性可知：，据此即可求出的值． 【详解】解：由反比例函数中的几何意义得：， 根据反比例函数的对称性可知：， ， ． 故答案为：6． 16. 若关于的不等式组有解且至多有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，不等式组整理后，表示出解集，由不等式组有解且至多有4个整数解确定出的范围，再由分式方程解为整数，确定出满足题意整数的值，求出之和即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 不等式组有解且至多4个整数解， ， 解得：， 分式方程去分母得：， 解得：， 分式方程的解为整数， 或2或4， 则满足题意整数之和为． 故答案为：6 17. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，连接，将延翻折，得到，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，延长交于点，由勾股定理得，则，可证明，则，因此，则，再由三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点， ∵四边形是矩形 ∴， ∴在，由勾股定理得：， ∵点为中点， ∴， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点，点为中点， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，正确添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 18. 若一个四位自然数各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大2，十位数字比个位数字大2，那么称这个四位数为“中二数”，一个“中二数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若被9除余2，则的最大值为_____；若另一个“中二数”的千位数字为，个位数字为，且是3的倍数，则的最小值为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程．理解题意，明确运算规则是解题的关键． 根据新定义得到，则，据此可得能被9整除，进一步可得，即，要满足A最大，那么首先要满足a最大，则当时，，则，此时符合题意；由是3的倍数，得到一定要是3的倍数，则一定要是3的倍数，进而可得或或或或，再讨论的值，从而确定的值，要使的值最小，要保证A最小，B最大，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵被9除余2， ∴能被9整除， ∵， ∴， ∵是偶数， ∴， ∴， ∵要满足A最大，那么首先要满足a最大， 当时，，则， ∴A的最大值为； ∵是3的倍数， ∴一定要是3的倍数， ∴一定要是3的倍数， ∴或或或欧， ∴当时，则，此时有，不符合题意； 当时，则，此时有，不符合题意； 当时，则，此时有，不符合题意； 当时，则，此时有， ∵要使的值最小， ∴要保证A最小，B最大， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴此时A的最小值为，符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时B的最大值为， ∴的最小值为； 当时，或， ∵， ∴， ∵， ∴，与矛盾， ∴此种情况不存在， 综上所述，的最小值为； 故答案为：；． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19题8分．其余每题各10分，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，分式的混合计算： （1）先根据平方差公式和完全平方公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴________①_________， ∵ ∴________②_________ 在和中 ∴ ∴______④_______． ∴四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后．顺次连接两交点及线段两端点所组成的四边形是________⑤_________． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的基本作图方法进行作图即可； （2）根据垂直平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，证明，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的线段的垂直平分线； 【小问2详解】 证明：垂直平分， ①，， ②， ∵， ， ④， 四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤得到的四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④；⑤得到的四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作垂直平分线，菱形的判定，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等和菱形的判定方法． 21. 近日，北京新中考改革政策的发布受到全社会的广泛关注，其中体育科目总分由分提升至分，在中考的总分占比从大幅提升至，这一举措足以见对国家中小学体育的重视．北京某校为了解目前九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取甲、乙两个班备名学生进行一分钟跳绳测试，若一分钟跳绳个数为．根据测定标准划分等级为：“不合格”，“及格”，“良好”，“优秀”．学校对两个班学生一分钟跳绳个数相关数据收集、整理、描述、分析如下： 甲、乙两个班所抽学生的跳绳成绩统计表 班级 平均数 众数 中位数 优秀率 甲班 乙班 乙班所抽学生的跳绳成绩统计图 其中，乙班跳绳成绩“优秀”的跳绳个数分别为：，，，，， 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________， （2）根据以上数据，你认为该年级甲班与乙班哪个班的学生一分钟跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校九年级共有学生人，请估计该校九年级一分钟跳绳成绩为“优秀”（）的学生共有多少人？ 【答案】（1）； （2）乙班的学生一分钟跳绳成绩更好 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数与平均数的定义，利用数据分析得到结论，计算总体中某部分的数量，用样本估计总体，能读懂统计图表并正确分析数据是解题的关键． （1）由题可得乙班个人中“优秀”的跳绳人数是最多的，故众数在“优秀”的学生成绩中，从而得到的值，再根据中位数的定义即可求得乙班10名学生跳绳个数的中位数，即可得到的值． （2）利用表格中的中位数和众数比较得到乙班成绩较好； （3）用总人数乘以样本中两个班级总的优秀率即可． 【小问1详解】 解：∵成绩“优秀”的跳绳人数有6人占， ∴乙班个人中“优秀”的跳绳人数是最多的， ∴众数：， ∵乙班名学生跳绳个数的中位数为第5位和第6位的平均数，即， ∴， 故答案：；． 【小问2详解】 解：乙班的学生一分钟跳绳成绩更好，理由如下： ∵甲班和乙班的平均数和优秀率都相同，但乙班的众数高于甲班的，乙班的中位数高于甲班的， ∴乙班的学生一分钟跳绳成绩更好． 【小问3详解】 解：九年级一分钟跳绳成绩为“优秀”的学生人数为：（人）， 答：九年级一分钟跳绳成绩为“优秀”的学生人数共有人． 22. 今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？ 【答案】（1）该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒 （2）B款礼盒的促销价应定为150元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒，利用销售总额=销售单价×销售数量，结合“该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设B款礼盒的促销价应定为m元，则9月17日B款礼盒的销售量为（）盒，根据9月17日超市的销售额达到54000元，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该超市9月16日A礼盒的销量是x盒，B礼盒的销量是y盒， 根据题意得：， 解得：． 答：该超市9月16日A礼盒的销量是200盒，B礼盒的销量是150盒； 【小问2详解】 解：设B款礼盒的促销价应定为m元，则8月17日B款礼盒的销售量为盒， 根据题意得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：B款礼盒的促销价应定为150元． 23. 如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）如图所示函数图象即为所求； 当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，三线合一定理： （1）由三线合一定理得到，则由勾股定理得到，进而可得，即；当点P在上时，过点D作于H，根据等面积法求出，则，再由对称性可求出当点P在上时，； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象，再写出对应函数的性质即可； （3）求出两函数的交点坐标，根据函数图象找到函数图象在函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上时，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对称性可得当点P在上时，； 综上所述，； 【小问2详解】 解：列表如下： … 1 2 … … … 1 6 … … … 1 2 … 12 6 … 函数图象略； 由函数图象可知，当时，随x增大而减小，当时，随x增大而增大． 【小问3详解】 解：联立得，此时，原方程无解； 联立得，解得或 由函数图象可知，当时，． 24. 周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） （1）求小明家与书店的距离（结果保留整数）； （2）小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，则为等腰直角三角形， 则，可求，则，那么，继而； （2）由上知，则小明回家的路程为：，可得，，则，在中，由勾股定理得，那么妈妈的路程为，故路程差为：． 【小问1详解】 解：由题意得，， 过点作于点， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由上知， ∴小明回家的路程为：， ∵，， ∴， 由题意得， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴妈妈的路程为， ∴路程差为：， 答：路程差为． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的右侧，连接，． （1）求直线的解析式； （2）如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿方向平移使得新抛物线与轴的左交点恰好是点，与轴的右交点记为点．点是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先确定点的坐标，设线的解析式的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的垂线，交于，设，则，易得，结合即三角形面积公式可解得点坐标；过点作，过点作，过点作轴于点，易得四边形为平行四边形，可知，，再证明，利用三角形函数可解得，即点与点重合，进一步确定点坐标；三点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，然后求解即可； （3）根据题意可知将原抛物线相似移动3个单位长度，相右移动4个单位长度，即可得到新的抛物线，进而确定新抛物线解析式以及点坐标．当点在点右侧时，则有，故不符合题意；点在点左侧，过点作轴于点，设，则，易得，，然后证明，利用三角形函数可知，进而可得，然后求得的值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：对于， 令，可得，即， 令，可得， 整理可得 ，解得 ，， ∵点在点的右侧， ∴，， 设直线的解析式的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式的解析式为； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，，， ∴， 如下图，过点作轴的垂线，交于， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 如下图，过点作，过点作，过点作轴于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴，即点与点重合， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当三点在同一直线上时，取最小值，即取最小值，如下图， 此时， ∴， 即的最小值为； 【小问3详解】 原抛物线， 将原抛物线沿方向平移使得新抛物线，且与轴的左交点恰好是点， 即将原抛物线相似移动3个单位长度，相右移动4个单位长度，即可得到新的抛物线， ∴新抛物线解析式为， 令，可得， 解得，， ∴， 当点在点右侧时，则有，故不符合题意， ∴点在点左侧，如下图，过点作轴于点， 设，则， ∴，， ∵在中，， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 可有或， 解得，（舍去）或，（舍去）， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数与坐标轴交点、求一次函数解析式、解直角三角形、勾股定理、二次函数图像平移、平行四边形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 26. 四边形中，，连接，交于点，且满足，线段的中垂线交延长线于点，． （1）如图1，，，求线段的长． （2）如图2，连接，过点作交于点．若，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下．点是射线上的动点，点为线段的中点，连接，过点作于点，将线段绕着点逆时针旋转至线段，点旋转后的对应点记作点，连接，，，当的面积最小时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设，由得，由，得，则，，则，故，由，设，则，，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （2）延长至点，使，连接，角度推导证明，则，，由得，那么，可证明，则，由得到； （3）由，得，而，显然，则，求得，此时，取的中点，连接，在上截取，连接，先证明，则，而，故点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点到的距离最小时，面积最小，过点作于点，当点为与交点时，此时面积最小，由，求得，，下面角度推导证明，由，则． 【小问1详解】 解：设，由得， ∵线段的中垂线交延长线于点 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：或（舍）； 【小问2详解】 证明：延长至点，使，连接， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 而， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， 取的中点，连接，在上截取，连接 由旋转得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作于点，当点为与交点时，此时面积最小，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转变换下的几何综合题，涉及解直角三角形，圆的定义，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，综合性很强，难度很大，正确进行角度推导，添加辅助线构造全等与相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中初2025届2024-2025学年度上期阶段性消化作业（一） 数学试题 （本试题共三个大题，满分150分，时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卷上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2. 重庆今年夏天连续高温，9月7日是二十四节气中的“白露”，“白露”是反映自然界寒气增长的重要节气，下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（    ） A. B. C. D. 4. 下列函数中，y是x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的角平分线，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 已知抛物线的图象经过，，，四个点，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的对角线，交于点，点，分别是，上的两点，且，过点作交点，若，则用含的式子表示为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，，其中为自然数，为正整数，且满足：，记，．则下列说法：①当时，若，则；②当时，满足条件的整式共有10个；③不存在任何一个，使得；其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：________． 12. 若一个正多边形的边数是12，则这个正多边形的一个外角的度数为_____． 13. 现有四张正面分别标有数字的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀后，随机抽取一张记下数字后放回，背面朝上洗均匀后再随机抽取一张记下数字，前后两次抽取的数字之积为奇数的概率为_____． 14. 二次函数的顶点坐标是 ______． 15. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，过点作轴的垂线变轴于点，连接，若的面积为6，则的值为______． 16. 若关于的不等式组有解且至多有4个整数解，关于的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数的和为_____． 17. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，连接，将延翻折，得到，连接．若，，则______． 18. 若一个四位自然数各个数位上的数字互不相同且均不为0，满足百位数字比千位数字大2，十位数字比个位数字大2，那么称这个四位数为“中二数”，一个“中二数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若被9除余2，则的最大值为_____；若另一个“中二数”的千位数字为，个位数字为，且是3的倍数，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，其中19题8分．其余每题各10分，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明：∵垂直平分 ∴________①_________， ∵ ∴________②_________ 在和中 ∴ ∴______④_______． ∴四边形为菱形（两条对角线互相垂直平分的四边形为菱形） 在作图过程中，进一步研究还可发现，夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后，可以得到一个特殊四边形，请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后．顺次连接两交点及线段两端点所组成的四边形是________⑤_________． 21. 近日，北京新中考改革政策的发布受到全社会的广泛关注，其中体育科目总分由分提升至分，在中考的总分占比从大幅提升至，这一举措足以见对国家中小学体育的重视．北京某校为了解目前九年级学生的体育锻炼情况，随机抽取甲、乙两个班备名学生进行一分钟跳绳测试，若一分钟跳绳个数为．根据测定标准划分等级为：“不合格”，“及格”，“良好”，“优秀”．学校对两个班学生一分钟跳绳个数相关数据收集、整理、描述、分析如下： 甲、乙两个班所抽学生的跳绳成绩统计表 班级 平均数 众数 中位数 优秀率 甲班 乙班 乙班所抽学生的跳绳成绩统计图 其中，乙班跳绳成绩“优秀”的跳绳个数分别为：，，，，， 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________， （2）根据以上数据，你认为该年级甲班与乙班哪个班的学生一分钟跳绳成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校九年级共有学生人，请估计该校九年级一分钟跳绳成绩为“优秀”（）的学生共有多少人？ 22. 今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了A、B两款月饼礼盒．已知A礼盒售价为100元/盒，B礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售A、B两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日A、B款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋•礼迎国庆”的促销活动，A礼盒按原价八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，B礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，B款礼盒的促销价应定为多少元？ 23. 如图，在中，，，于点，动点从点出发．沿折线运动，到达点时停止运动，设点运动的路程为，连接，的面积为，的面积与点的运动路程的比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中．画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出函数时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24. 周末妈妈和小明在位于小明家西北方向的书店看书．回家时，小明想先沿去位于家的正西方向、距家米的菜鸟驿站处取包裹，然后再沿回家；妈妈想先沿去位于家的北偏西方向的干洗店取衣服．然后再沿回家．已知书店位于菜鸟驿站的北偏东方向、干洗店的南偏西方向．（参考数据：，） （1）求小明家与书店的距离（结果保留整数）； （2）小明和妈妈回家的路程相差多少米（结果保留整数）？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且点在点的右侧，连接，． （1）求直线的解析式； （2）如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，点和点是直线上的两个动点（点在点的下方），且，连接，，当时，求的最小值； （3）将该抛物线沿方向平移使得新抛物线与轴的左交点恰好是点，与轴的右交点记为点．点是新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 26. 四边形中，，连接，交于点，且满足，线段的中垂线交延长线于点，． （1）如图1，，，求线段的长． （2）如图2，连接，过点作交于点．若，求证：． （3）如图3，在（1）的条件下．点是射线上的动点，点为线段的中点，连接，过点作于点，将线段绕着点逆时针旋转至线段，点旋转后的对应点记作点，连接，，，当的面积最小时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $