精品解析：山东省日照市五莲县北京路中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

上学期第一次月考检测卷 一、选择题（每小题3分共36分） 1. 下列等式是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 2. 二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个根 B. 只有一个根 C. 有两个根 D. 有两个根 6. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 8. 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A. 2005 B. 2003 C. ﹣2005 D. 4010 9. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 12. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8 二、填空题（每小题3分共24分） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 14. 方程的解为________． 15. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 16. 一元二次方程配方后得，则__________，__________． 17. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 18. 已知二次函数，当______时，取得最大值. 19. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 20. 抛物线的顶点为，已知一次函数的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________． 三、解答题 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 已知关于x的一元二次方程有实根． （1）求实数k的取值范围； （2）方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 24. 如图，用长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在上用其他材料建了两扇宽为的门． （1）若长方形花圃的面积为，求的长． （2）能否围成面积为的长方形花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 25. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 26. 如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）为何值时，在的中垂线上？ （2）为何值时，的长度为？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积为？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 27. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ （3）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上学期第一次月考检测卷 一、选择题（每小题3分共36分） 1. 下列等式是一元二次方程的是（ ） A. （为常数） B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，其基本形式为．根据一元二次方程的定义逐项分析判定即可． 【详解】解：A. （为常数），若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B. 可整理得，不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整数方程，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键． 2. 二次函数的图象如图所示，那么的值可以是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】对于二次函数：①，图象开口向上；，图象开口向下；②越大，开口越小． 【详解】解：∵的图象开口向下 ∴ ∵的图象比的图象开口更大 ∴ 即 A：错误；B：正确；C：错误；D：错误． 故选：B 【点睛】本题考查的图象和性质，熟记相关结论是解题关键． 3. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线解析式为，即． 故选D． 【点睛】考查了二次函数函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 4. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用长方形的面积等于18和矩形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设原正方形的空地的边长为，则剩余空地的长和宽分别为和，由题意，得：； 故选A． 【点睛】本题考查根据实际问题列一元二次方程，正确的识图，找准等量关系，是解题的关键． 5. 已知方程，下列说法正确的是（ ） A. 只有一个根 B. 只有一个根 C. 有两个根 D. 有两个根 【答案】C 【解析】 【分析】先求出该方程根的判别式，再用求根公式求解即可． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 解得∶， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用公式法解一元二次方程的方法和步骤． 6. 若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间． 解答：解：∵二次函数的解析式y=（x-m）2-1的二次项系数是1， ∴该二次函数的开口方向是向上； 又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，-1）， ∴该二次函数图象在x＜m上是减函数，即y随x的增大而减小，且对称轴为直线x=m， 而已知中当x≤1时，y随x的增大而减小， ∴x≤1， ∴m≥1． 故选C． 7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1或2个 【答案】D 【解析】 【分析】由直线不经过第一象限可得，分时和时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】解：直线不经过第一象限， ， 当时， ， 关于的方程的实数根的个数为2个， 当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个， 综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质、一元二次方程根的个数与判别式的关系，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． 8. 若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（　　） A. 2005 B. 2003 C. ﹣2005 D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解则可．设x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=-，x1x2= ．而α2+3α+β=α2+2α+（α+β），即可求解． 【详解】α,β是方程x2+2x−2005=0的两个实数根，则有α+β=−2. α是方程x2+2x−2005=0的根,得α2+2α−2005=0,即：α2+2α=2005. 所以α2+3α+β=α2+2α+(α+β)=α2+2α−2=2005−2=2003， 故选B. 【点睛】此题考查根与系数的关系，一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则. 9. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 10. 在同一坐标中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，熟练掌握各个系数与一次函数和二次函数的关系是解题的关键； 根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，然后根据k的大小判断图象即可． 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，顶点在y轴，由一次函数可知，直线与y轴的交点为，故选项A、D不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴正半轴， ，一次函数经过一、二、四象限，选项C不符合题意； 当时，二次函数顶点在y轴负半轴，，一次函数经过一、二、三象限，选项B符合题意． 故选∶B． 11. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 12. 如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（ ） A. B. 1 C. 5 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象，当抛物线顶点为时，C点横坐标最小，根据此时抛物线的对称轴，可判断出间的距离；当抛物线顶点为时，D点横坐标最大，进而可判断出D点横坐标最大值． 【详解】解：根据题意，当抛物线顶点为时，C点横坐标最小为，则抛物线的对称轴为直线，此时点D坐标为，则， 当抛物线顶点为时，D点横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线，又， ∴，， 点D的横坐标最大为8， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时抛物线的顶点坐标是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分共24分） 13. 已知关于的方程是一元二次方程，则的值为______． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到：=2且m-2≠0，由此可以求得m的值． 【详解】解：∵关于x的方程，是一元二次方程， ∴=2且m-2≠0， 解得m=-2． 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．注意，一元二次方程的二次项系数不等于零． 14. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【分析】把原方程化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练的利用因式分解的方法解一元二次方程是解本题的关键． 15. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 16. 一元二次方程配方后得，则__________，__________． 【答案】 ①. 4 ②. 5 【解析】 【分析】根据完全平方公式展开，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程配方后得， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4；5． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是利用完全平方公式展开，比较系数，本题属于基础题型． 17. 设、是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵方程、是方程的两个实数根，∴，，∴===．故答案为． 考点：根与系数的关系． 18. 已知二次函数，当______时，取得最大值. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数关于极值的性质求解． 【详解】解：，开口向下，时，取得最大值； 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次函数的解析式——顶点式；掌握二次函数的性质是解题的关键． 19. 已知二次函数的图象经过原点，则的值为_______. 【答案】2； 【解析】 【分析】本题中已知了二次函数经过原点（0，0），因此二次函数与y轴交点的纵坐标为0，即m（m-2）=0，由此可求出m的值，要注意二次项系数m不能为0． 【详解】根据题意得：m(m−2)=0， ∴m=0或m=2， ∵二次函数的二次项系数不为零，所以m=2. 故填2. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，需理解二次函数与y轴的交点的纵坐标即为常数项的值. 20. 抛物线的顶点为，已知一次函数的图象经过点，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】易得顶点（2，-6），根据待定系数法，求出一次函数解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，根据三角形的面积公式，即可求解. 【详解】∵抛物线， ∴顶点（2，-6）， ∵一次函数的图象经过点， ∴，解得：k=， ∴一次函数解析式为：， ∴直线与坐标轴的交点坐标分别是：（0，3），（，0）， ∴一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积=. 故答案是：1. 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数图象与平面几何的综合，掌握一次函数图象与坐标轴的交点坐标的求法，是解题的关键. 三、解答题 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项再配方，然后开方，即可作答． （3）先移项，再提公因式，再令每个因式为0，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， 则． 22. 已知关于x的一元二次方程有实根． （1）求实数k的取值范围； （2）方程的两个实数根分别为，，若，求k的值． 【答案】（1） （2）k的值为 【解析】 【分析】（1）一元二次方程有实根时，由此可解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系求解． 【小问1详解】 解：关于x的一元二次方程有实根， ， ； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，符合题意． 故所求k的值为． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，若一元二次方程有两个实数根，，则，，，掌握上述知识点是解题的关键． 23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价元，由题意可列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件衬衫应降价元， 由题意可得， 化简得 解得，，， ∵为了尽量减少库存，由， 所以应该选择降价元， 答：每件衬衫应降价元． 24. 如图，用长为的篱笆和一面墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在上用其他材料建了两扇宽为的门． （1）若长方形花圃的面积为，求的长． （2）能否围成面积为的长方形花圃？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由： 设的长为，根据题意得， 即 即， ∴原方程无解， ∴不能围成面积为的长方形花圃． 【解析】 【分析】（1）设的长为，根据长方形花圃的面积为，列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设的长为，根据长方形花圃的面积为，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设的长为，则，根据题意得， 解得：， ∵ 解得：， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 25. 阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得，． 或． ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解方程，公式法解方程．依题意，设，则原式为，然后运用因式分解法，公式法分别进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， 设， 则原式为， ∴， 解得， 则或， 当时，即：， ， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， 综上：的解是． 26. 如图，在矩形中，，，从点开始沿向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间是． （1）为何值时，在的中垂线上？ （2）为何值时，的长度为？ （3）是否存在的值，使得五边形的面积为？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）存在；当时，五边形的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，，则，当时，点在的中垂线上，进而列方程求解即可； （2）根据矩形的性质可得，根据勾股定理得出，，求解即可得出答案； （3）根据题意可得当五边形的面积为时，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵从点开始沿向终点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴，， 则， 当时，点在的中垂线上， 故， 解得：， 故当时，点在的中垂线上． 【小问2详解】 解：存在，当时，五边形的面积为，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，且，，， 即， 解得：，． ∴当或时，的长度为． 【小问3详解】 解：∵五边形的面积四边形的面积， 故当五边形的面积为时，； 且， 故， 解得：，， ∵当点运动到点时，两点停止运动， 故当时，即时，两点停止运动， ∴舍去， ∴当时，五边形的面积为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，动点问题，三角形的面积，解一元二次方程等，解题的关键是根据题意列方程，注意所求的解使实际问题有意义． 27. 某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ （3）此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】（1） （2）此球一定能投中 （3）能拦截成功 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断； （3）将代入得进而得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 【小问3详解】 能拦截成功． 理由：将代入得， ， 他能拦截成功． 【点睛】解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $