精品解析：福建省龙岩市第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

龙岩一中2024—2025学年第一次月考高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：林文柱 审题：章金玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 关于x不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A 或 B. C. D. 或 4. 若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）的值是（ ） A. B. C. D. 5. 若定义运算，，则函数的值域为（ ） A. B. R C. D. 6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定 7. 已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A B. C. 关于的不等式解集为 D. 关于的不等式解集为 11. 若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. ，则周期为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则__________. 13. 已知，且，则的最小值为_______． 14. 已知函数，且函数是偶函数，则函数在区间的值域为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知集合，. （1）若，求a的值； （2）若，求a的取值范围. 16. 设命题函数在区间上单调递增；命题，不等式成立． （1）若命题q的否定为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 17. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，.其中为每吨煤的价格，为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水. （1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数； （2）如果每百度电价不低于元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？ 18. 已知函数在区间上的最大值为1． （1）求实数a值；并求函数在区间上的最小值． （2）若函数，是否存在正实数b，对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． （提示：函数在为减函数，在为增函数可以直接使用） 19. 已知集合具有性质对任意与至少一个属于A． （1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； （2）具有性质P，当时，求集合A； （3）记，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岩一中2024—2025学年第一次月考高一数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命题：林文柱 审题：章金玲 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得只有一个解，由求解即可. 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：由不能推出，如当时，满足，但不满足； 由能推出， 所以”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据的解集得到且，则的根为-1，求出不等式的解集. 【详解】不等式的解集是， 故且， 则的根为-1， 故的解集为. 故选：B 4. 若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f（3）-f（4）的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的周期性和奇偶性求得，从而求得正确选项. 【详解】由f（x）是R上周期为5的奇函数知： f（3）=f（-2）=-f（2）=-2， f（4）=f（-1）=-f（1）=-1， ∴f（3）-f（4）=-1 故选：A 5. 若定义运算，，则函数的值域为（ ） A. B. R C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义表示出，然后求取分段函数的值域； 【详解】，即， 当， 当或时，， 所以函数的值域为. 故选：A. 6. 某观光种植园开设草莓自摘活动，使用一架两臂不等长的天平称重．一顾客欲购买2的草莓，服务员先将1的砝码放在天平左盘中，在天平右盘中放置草莓A使天平平衡；再将1的砝码放在天平右盘中，在天平左盘中放置草莓B使天平平衡；最后将两次称得的草莓交给顾客．你认为顾客购得的草莓是（ ） A. 等于2 B. 小于2 C. 大于2 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】设天平左臂长，右臂长，且， 设草莓有，草莓有千克， 所以， 所以. 故选：C 7. 已知定义在R上的函数满足：，都有，且对任意，都有，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得图象关于对称，且在上单调递减，据此可得答案. 【详解】令，则，因， 则，则图象关于对称； 又对任意，都有， 则在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递增，在上单调递减. . 故选：A 8. 定义在上的函数满足：，当时，有，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】赋值法得到，，故为奇函数，根据时，，得到单调性，结合函数定义域列不等式求出解集. 【详解】中，令得，解得， 中，令得， 故， 又的定义域为，所以为奇函数， 任取，则， 又时，，则， 即，故在上单调递减， 由对称性可得时，，故在上单调递减， ， 所以，解得. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，是奇函数且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对四个选项一一进行判断函数的奇偶性和单调性，AB正确，CD错误. 【详解】A选项，的定义域为， 且， 故是奇函数且在区间上单调递增，A正确； B选项，的定义域为R，且， 故是奇函数且在区间上单调递增，B正确； C选项，的定义域为R，且， 为偶函数，不合要求，C错误； D选项，的定义域为R，且， 为偶函数，D错误. 故选：AB 10. 若不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 关于的不等式解集为 D. 关于的不等式解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先由题意及根与系数的关系得到，，即可判断A、B；对于C、D：把不等式转化为，即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，故，此时，所以A正确, B正确； ，解得：或.所以D正确；C错误. 故选：ABD 11. 若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是偶函数 D. ，则周期为6 【答案】ACD 【解析】 【分析】令结合函数不恒为零,可求出的值判断A,B,令，代入题中等式得出，可证明出函数为偶函数判断C；应用赋值法结合周期定义计算求解函数周期判断D. 【详解】令，得，所以 且函数不恒为零,∴，A选项正确，B选项错误； 令，， 即. ∴对任意的实数总成立， ∴为偶函数，C选项正确； 若，令，得， 所以， 两式相加得 所以，即得 所以，可得函数周期为6. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用定义进行直接计算. 【详解】由差集的定义，，, 则. 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 分析】先配凑，再采用成“1”法结合基本不等式求解即可； 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时，即时取等号； 所以最小值为， 故答案为：. 14. 已知函数，且函数是偶函数，则函数在区间的值域为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为偶函数，所以，得到方程，求出，故，根据，求出，得到答案. 【详解】 ， ， 因为为偶函数，所以， 故， 所以， 化简得， 所以，解得， 故 ， 因为，所以，， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，已知集合，. （1）若，求a的值； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，分类讨论求解参数的值即可； （2）解出集合，由可知，求解参数取值范围即可. 【小问1详解】 ， ∴或， 当时，，不符合，舍去， 当时，，，符合题意， 则. 【小问2详解】 或， ∵， ∴， ∴. 16. 设命题函数在区间上单调递增；命题，不等式成立． （1）若命题q的否定为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p和q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题q的否定为真命题，所以命题q为假命题得到对，恒成立，再分离参数求解即可； （2）结合二次函数和一元二次不等式恒成立先求出各个命题为真时的范围，再分p真q假和q真p假两种情况讨论即可； 【小问1详解】 因为命题q的否定为真命题，所以命题q为假命题， 即对，， 即对恒成立， 因为，所以，所以， 解得或， 所以实数m的取值范围为， 【小问2详解】 若命题p为真命题，则函数在区间上单调递增， 由二次函数可知， 若命题q为真命题，则，不等式成立， 即，不等式成立， 因为，所以， 所以，解得， 因为命题p和q有且只有一个是真命题，所以命题p和q一真一假， 若p真q假，则；若q真p假，则； 综上，实数的取值范围为. 17. 学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤炭烧水，但用煤时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水每吨开水费为元，用电炉烧开水每吨开水费为元，.其中为每吨煤的价格，为每百度电的价格，如果烧煤时的费用不超过用电炉时的费用，则仍用原备的锅炉使用煤炭烧水，否则就用电炉烧水. （1）如果两种方法烧水费用相同，试将每吨煤的价格表示为每百度电价的函数； （2）如果每百度电价不低于元，则用煤烧水时每吨煤的最高价是多少？ 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知中用煤烧开水每吨开水费用为元，用电炉烧开水每吨开水费用为元，，，根据两种方法烧水费用相同，即，可得整理可得答案； （2）如果每百度电价不低于60元，结合（1）中的取值范围，利用换元法，将函数转化为一个二次型函数的形式，进而根据二次型函数的图象与性质，即可得到答案． 【详解】解：（1）若两种方法烧水费用相同，即， 即 得 （2）当时， 设，则 由题意知， 当即时，． 故用煤烧时每吨煤的最高价是153元． 18. 已知函数在区间上的最大值为1． （1）求实数a的值；并求函数在区间上的最小值． （2）若函数，是否存在正实数b，对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． （提示：函数在为减函数，在为增函数可以直接使用） 【答案】（1）；函数在区间上的最小值为 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）采用分离常数的方法，得，通过对的分类讨论，解即可得出的值，再根据单调性求即可； （2）化简得，从而得出的单调区间.换元，令，，则，所以.对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形，等价于，，通过对分类讨论，分别求得最大值与最小值，解不等式即可. 【小问1详解】 ， 当时，函数在区间上单调递减， 所以，解得，与假设矛盾，舍去； 当时，函数在区间上单调递增， 所以，解得. 综上所述， 因为在区间上单调递增，所以， 所以函数在区间上的最小值为. 【小问2详解】 ， 因为函数在为减函数，在为增函数， 所以在为减函数，在为增函数. 令，，则根据（1）知， 所以. 对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形， 等价于，. 当时，在上单调递增， 所以，， 由，得，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以， 由，得，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 所以， 由，得，所以. 当时，在上单调递减， 所以，， 由，得，所以. 综上，存在正实数满足条件，. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，对区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形，等价于，，再对分类讨论，解不等式即可. 19. 已知集合具有性质对任意与至少一个属于A． （1）分别判断集合与是否具有性质P，并说明理由； （2）具有性质P，当时，求集合A； （3）记，求 【答案】（1）具有性质，不具有性质; （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定义证明. （2）由定义知,，可得，再由，，可分析出，即得解. （3）由得，再由，可得，， 即可得到，用累加法即可得到 ，进而得到答案. 【小问1详解】 集合中，因为,，所以集合具有性质. 集合中，因为，所以集合不具有性质. 【小问2详解】 因为，且具有性质，所以,， 则，又因为，所以，则， 由集合的互异性知，而,所以，.故. 【小问3详解】 因为具有性质， 所以 ,则，则. 又因为，所以 又因为，所以，则， 所以. 所以， 即， 所以，则. 【点睛】方法点睛：与集合新定义有关的问题的求解策略 1、通过给出一个新的集合定义或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决； 3、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$