第十九章 几何证明 知识归纳与题型突破（21类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十九章 几何证明知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 03 题型归纳 题型一　命题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 2．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的有（　　） A．若，则 B．若a，b是有理数，则 C．内错角相等，两直线平行 D．如果，那么与是对顶角 巩固训练 1．如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列四个命题其中正确的有 （填序号）． ①全等三角形的对应角相等； ②，，，则； ③，，，则和全等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 3．写出下列命题的条件和结论． (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； (3)等角的补角相等． 题型二　证明 4．，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长(       ) A．7 B．6 C．5 D．4 6．如图，直线、与直线相交，给出下列条件： ①；②；③；④．能判断的是（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③ 巩固训练 1．利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．如图所示，如果BD平分∠ABC，补上一个条件 作为已知，就能推出AB∥CD． 3．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 题型三　逆命题和逆定理 7．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 8．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果，那么．下列命题中，具有以上特征的命题是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 9．已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 巩固训练 1．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④内错角相等，两直线平行其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 3．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若，则． （2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等． （3）若，则． 题型四　线段垂直平分线的性质 10．如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 11．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 12．如图，边，的垂直平分线，相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为 ． 3．如图，在中，l是的垂直平分线，交于点D，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型五　线段垂直平分线的判定 13．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 15．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 巩固训练 1．如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（   ）    A． B．和相互垂直平分 C．且 D．且平分 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 3．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．    (1)若，，则 ； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 题型六　作垂线 16．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 17．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 18．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．19 D．26 巩固训练 1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线，分别交边于点D和E，连接．若，，则的长为 ． 3．已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法． (1)求作：线段的垂直平分线． (2)求作：，使，． 题型七　角平分线的判定与性质 19．如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 20．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（    ） A． B． C． D． 21．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，，平分，交于点．已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的角平分线，，，，的面积为14，则 ． 3．如图， 在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)若，，求的长及的面积． 题型八　作角平分线 22．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 23．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点M、N、再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点P，作射线交边于点D．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D，则 °． 3．如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图） 题型九　直角三角形全等的判定与综合 25．如图，在中，于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 26．如图，AD是的角平分线，于点，点E，G分别在AB，AC上，且，若，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 27．如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 巩固训练 1．中，，是边上的高，，点在上，交于点，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在上，，，．若．则 ． 3．如图，在中，F是上的一点，，的延长线于点E，． (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 题型十　含30度角的直角三角形 28．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．9 C．8 D．10 29．如图，在中，平分，交边上的高于点．已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 30．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，，点D是平分线上一点，过点D作交于点E，作，垂足为点F，，则的长为（    ）    A．7 B．3.5 C．7.5 D．5 2．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 3．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 题型十一　斜边的中线等于斜边的一半 31．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（    ） A．11 B．12 C．12.5 D．14 32．如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 33．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图所示，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，A随之在OM上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点D到点O的最大距离为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ． 3．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长度． 题型十二　勾股定理的证明方法 34．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 35．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 36．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 巩固训练 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 3．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 题型十三　以弦图为背景的计算题 37．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（   ） A．25 B．19 C．13 D．169 38．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 39．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 巩固训练 1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 2．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 3．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 题型十四　勾股定理与网格问题 40．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 41．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（   ）．    A． B． C． D． 42．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．如图所示边长为1的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2，其中正确的是 ．（填序号） 3．（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 题型十五　用勾股定理解三角形 43．如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 44．如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（   ）．    A．56 B．66 C．74 D．84 45．如图，在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c．若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（    ） A．6 B．16 C．4 D．55 2．如图，在 中，，， 将 绕点A 逆时针旋转 ，得到，连 接，则 的长是 ．    3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． (1)求的长； (2)求的长． 题型十六　勾股定理与折叠问题 46．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 47．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 48．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 2．如图，在直角中，直角边，现要在上找一点D，使得将沿翻折后，点C落在斜边上，则 ．    3．如图，，宽的长方形纸片；将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处，解答下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 题型十七　勾股定理的应用1 49．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 50．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 51．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 巩固训练 1．一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（     ） A．米 B．米 C．1米 D．2米 2．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 3．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 题型十八　勾股定理的应用2 52．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 53．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 54．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 巩固训练 1．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，有一个长方体盒子，其长、宽、高分别是、、，则该长方体盒子内可放入的木棒（木棒的粗细忽略不计）的长度最长是 ． 3．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 题型十九　勾股定理的逆定理 55．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 56．若的三边长分别为 则的面积为（     ） A． B． C． D． 57．下列条件能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 巩固训练 1．中，、、所对的边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 3．如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，求绿地的面积．    题型二十　最短路径问题 58．如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D．10 59．如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（   ） A． B． C． D．10 60．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为和，且C、D相距，则铺水管的最短长度是（   ） A．5 B． C．7 D． 巩固训练 1．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．10 2．将矩形纸片 按如图所示折叠，已知，，． 则蚂蚁从点 A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 3．（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 题型二十一　两点间的距离公式 61．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 62．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 63．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（    ） A．800m B．1000m C．1200m D．1500m 巩固训练 1．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（    ）． A．1 B． C． D．2 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计） 3．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 几何证明知识归纳与题型突破（21类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 03 题型归纳 题型一　命题 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．内错角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了真假命题的判断、内错角、对顶角、平方根以及不等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 依据内错角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、不等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．“对顶角相等”，这个命题是真命题，故符合题意； B．“内错角相等”，这个命题是假命题，两直线平行，内错角相等才是真命题，故不合题意； C．“若，则”，这个命题是假命题，“若，则”是真命题，故不符合题意： D．“若，则”，这个命题是假命题，“若，则”才是真命题，故不合题意． 故选：A． 2．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了举反例判断命题，理解题意是解题的关键．根据要证明一个命题结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，可以举反例． 【详解】A．当时，满足条件，不满足结论，故该选项可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； B．当时，不满足条件，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； C． 当时，不满足条件，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； D． 当时，满足满足条件，满足结论，故该选项不可以用来证明命题“若，则”的逆命题是假命题的反例； 故选：A． 3．下列命题是真命题的有（　　） A．若，则 B．若a，b是有理数，则 C．内错角相等，两直线平行 D．如果，那么与是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查命题的真假判断，熟练掌握课本中的性质定理是判断真假命题的关键，根据正确的命题叫真命题，错误的命题是假命题来逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，是假命题，也有可能； B、若a，b是有理数，则，是假命题，当时，显然不成立； C、内错角相等，两直线平行，是真命题； D、如果，那么与是对顶角，是假命题，相等的角不一定是对顶角； 故选：C． 巩固训练 1．如图，锐角三角形中，，点，分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．由，可得，再分别利用全等三角形的判定和性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 若，又，， ∴， ∴，则原命题是真命题，故选项A不符合题意； 若，∴，又，， ∴， ∴，则原命题是真命题，故选项B不符合题意； 若，又，， 不能证明与全等，则与不一定相等， 则原命题是假命题，故选项C符合题意； 若，又，， ∴， ∴， ∵， ∴，则原命题是真命题，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．下列四个命题其中正确的有 （填序号）． ①全等三角形的对应角相等； ②，，，则； ③，，，则和全等； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 【答案】①④/④① 【分析】本题主要考查了判断命题真假，全等三角形的性质与判定，根据全等三角形的性质即可判断①；根据全等三角形的判定定理即可判断②③；先证明，得到，再证明即可判断④． 【详解】解：①全等三角形的对应角相等，原命题是真命题； ②，，，不可以利用证明，原命题是假命题； ③，，，则和不全等，原命题是假命题； ④如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，原命题是真命题． 如图所示，和中，，分别是对应三角形的中线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①④． 3．写出下列命题的条件和结论． (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)两条平行线被第三条直线所截，内错角相等； (3)等角的补角相等． 【答案】(1)条件：两条直线相交；结论：它们只有一个交点 (2)条件：两条平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等 (3)条件：两个角是等角的补角；结论：这两个角相等 【分析】本题考查了命题的组成，明确命题由题设和结论两部分组成是解答本题的关键． （1）条件：两条直线相交；结论：它们只有一个交点； （2）这个命题可以改成：如果两条平行线被第三条直线所截，那么内错角相等．故这个命题的条件：两条平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等； （3）这个命题可以改成：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，故这个命题的条件：两个角是等角的补角；结论：这两个角相等． 【详解】（1）解：根据题意， 条件：两条直线相交；结论：它们只有一个交点； （2）解：根据题意， 条件：两条平行线被第三条直线所截；结论：内错角相等 （3）解：根据题意， 条件：两个角是等角的补角；结论：这两个角相等． 题型二　证明 4．，，，，五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入．”说：“如果我进入，那么也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】此题考查了推理与论证，若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：C． 5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=5，F是高AD和BE的交点，则BF的长(       ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】求出∠ADC=∠BDF，∠DBF=∠DAC，AD=BD，根据ASA推出△ADC≌△BDF，根据全等三角形的性质推出AC=BF即可． 【详解】∵AD、BE是高， ∴∠ADC=∠BDF=90°，∠BEC=90°， ∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°， ∴∠DBF=∠DAC， ∵∠ABC=45°，∠ADB=90°， ∴∠BAD=∠ABD=45°， ∴AD=BD， 在△ADC和△BDF中 ， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF=AC， ∵AC=5， ∴BF=5， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ADC≌△BDF，注意：全等三角形的对应边相等． 6．如图，直线、与直线相交，给出下列条件： ①；②；③；④．能判断的是（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案． 【详解】：①∵∠1=∠2， ∴a∥b，故此选项正确； ②∠3=∠5无法得出a∥b，故此选项错误； ③∵∠4+∠7=180°， ∴a∥b，故此选项正确； ④∵∠5+∠3=180°， ∴∠2+∠5=180°， ∴a∥b，故此选项正确； 综上所述，正确的有①③④． 故选B． 【点睛】此题考查平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键． 巩固训练 1．利用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”时，应假设若，则， 故选． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．如图所示，如果BD平分∠ABC，补上一个条件 作为已知，就能推出AB∥CD． 【答案】∠2=∠3 【分析】由角平分线，可得∠1=∠2，可添加∠2=∠3，利用内错角相等，判定两直线平行． 【详解】解：可添加∠2=∠3； ∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2， 若∠2=∠3，∴可得∠1=∠3， ∴AB∥CD． 故答案为∠2=∠3 【点睛】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键． 3．如图，现有以下3个论断：；；． （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？ （2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【分析】（1）分别以其中两个作为条件，第三个作为结论依次交换写出即可； （2）根据平行线的判定和性质对（1）题的3个命题进行证明即可判断其真假． 【详解】解：（1）由，，得到； 由，，得到； 由，，得到； 故能组成3个命题． （2）由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，∴， ，． 由，，得到，是真命题．理由如下： ，． ，， ． 由，，得到，是真命题．理由如下： ∵，，． ，， ． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识和平行线的判定与性质，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 题型三　逆命题和逆定理 7．下列各命题的逆命题成立的是（    ） A．对顶角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是，那么这两个角相等 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题以及判断命题的真假，写出各命题的逆命题即可判断. 【详解】解：对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题，故A不符合题意； 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为：绝对值相等的两个数相等．因为绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故逆命题为假命题，故B不符合题意； 两直线平行，同位角相等的逆命题为：同位角相等，两直线平行，为真命题，故C符合题意； 如果两个角都是，那么这两个角相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们都为，为假命题，故D不符合题意； 故选：C 8．数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果，那么．下列命题中，具有以上特征的命题是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．如果，那么 C．全等三角形的对应角相等 D．如果，那么 【答案】C 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意； B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果，那么，正确，是真命题，不符合题意； C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意； D、当时原命题错误，是假命题，不符合题意． 故选：C． 9．已知下列命题：①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③直角三角形的两个锐角互余；④三条边对应相等的两个三角形全等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了原命题与逆命题、真命题与假命题、对顶角相等、平行线的性质与判定，直角三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定等知识．先根据相关知识判断四个命题的真假，再写出逆命题并判断真假即可求解． 【详解】解：①“对顶角相等”是真命题，逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，不合题意； ②“两直线平行，同旁内角互补”是真命题，逆命题“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，符合题意； ③“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题“两个锐角互余的三角形是直角三角形”是真命题，符合题意； ④“三条边对应相等的两个三角形全等”是真命题，逆命题“两个全等三角形的三条对应边分别相等”是真命题，符合题意． 故选：B 巩固训练 1．已知下列命题：①若，则；②若，则；③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；④内错角相等，两直线平行其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据所学知识，逐一判断解答即可． 本题考查了命题，逆命题，真命题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①“若，则”是真命题； 其逆命题“若，则”也是真命题； ②“若，则”是真命题， 其逆命题“若，则”是假命题， ∵当时，不成立； ③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是真命题， 其逆命题“若一条直线把三角形分成面积相等的两部分，则这条直线是三角形的中线”是假命题， ∵直线不是中线； ④“内错角相等，两直线平行”是真命题，是判定定理， 其逆命题“若两直线平行，则内错角相等”也是真命题，是平行线的性质定理； 综上所述，原命题与逆命题均为真命题的只有①④，2个. 故选：B. 2．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 【答案】①②/②① 【分析】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形的逆命题是如果这个三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足，是真命题； ③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 故答案为：①②． 3．写出下列命题的逆命题，并判断它是真命题还是假命题． （1）若，则． （2）角平分线上的点到这个角的两边距离相等． （3）若，则． 【答案】（1）逆命题为：若，则，假命题；（2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真命题；（3）逆命题为：若，则，真命题． 【分析】分析命题的条件与结论，然后交换条件与结论即可写出逆命题，最后进行判断真假即可． 【详解】解：（1）逆命题为：若，则；它是假命题；如，； （2）逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；它是真命题； （3）逆命题为：若，则；它是真命题． 【点睛】本题考查了逆命题、真假命题，解题的关键熟练掌握命题和逆命题之间的关系． 题型四　线段垂直平分线的性质 10．如图，四边形中，垂直平分，垂足为E，下列结论不正确的是（　） A． B． C． D．平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形底边上三线合一及三角形全等的判定，根据垂直平分线得到，，，根据可证，根据三线合一可得平分，即可得出结论． 【详解】解∶∵垂直平分， ∴，，， ∴平分， ∵，，， ∴， 由条件无法得, ∴选项A、B、D正确，选项C错误， 故选：C． 11．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握线段垂直平分线的性质． 12．如图，边，的垂直平分线，相交于点O，M，N在边上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可得，，利用三角形的内角和定理即可求得，即可求解． 【详解】解：∵、分别垂直平分、， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：要使游戏公平，那么凳子到三个人额距离相等才行，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点， 故选：B． 2．如图，在中，，，，的垂直平分线分别交，于点、，的垂直平分线分别交，于点、，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 3．如图，在中，l是的垂直平分线，交于点D，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （）由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，再根据三角形外角性质即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理及外角性质，掌握这些性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：在中， ， ， ， ； （2）解：是的垂直平分线， ， ， 是的外角， ， ． 题型五　线段垂直平分线的判定 13．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【答案】C 【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 14．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 15．如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；③作射线，连接，，，，根据以上作图，下列结论正确的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据同圆的半径相等可知：，，再根据等边对等角和线段垂直平分线的逆定理可得结论．本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的逆定理等知识，解题的关键是学会利用基本作图解决问题． 【详解】解：由①知：， ， 由②知：， 是的垂直平分线， ； 故选：D． 巩固训练 1．如图，将长方形纸片沿折叠后点B落在点E处，则下列关于线段与的关系描述正确的是（   ）    A． B．和相互垂直平分 C．且 D．且平分 【答案】D 【分析】只要证明是线段的垂直平分线即可解决问题． 【详解】解：是由翻折得到， ，， ，平分， 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定，属于基础题，中考常考题型． 2．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 3．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E．    (1)若，，则 ； (2)若，求的度数； (3)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】(1)11 (2) (3)点O在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，三角形内角和定理，等边对等角等等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角得到，，则，据此可得； （3）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为20°； （3）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 题型六　作垂线 16．如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质．由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 17．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结，交于点P．若，的周长为10，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键；由作图可知垂直平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，的周长为10， ∴，即， ∴； 故选：B． 18．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．19 D．26 【答案】C 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：C． 巩固训练 1．如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接若，，则的周长为（   ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长，可得结论． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ， 的周长． 故选：A． 2．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线，分别交边于点D和E，连接．若，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了基本作图作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等”，直角三角形斜边中线的性质“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”．根据线段垂直平分线的性质即可得到，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：连接． 由作图知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4． 3．已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法． (1)求作：线段的垂直平分线． (2)求作：，使，． 【答案】(1)如图，直线l即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查了复杂作图，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段垂直平分线即可； （2）先作，再取即可． 利用已知角和线段，首先作一角等于已知角，进而得出符合题意的答案即可． 【详解】（1）如图，由线段垂直平分线作法得：直线为所求直线， （2）先作，再取即可． 如图：为所求． 题型七　角平分线的判定与性质 19．如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（   ） A．14 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，然后利用比例性质计算． 【详解】解：过点作于，于，如图， 为角平分线的交点， ， ， ． 故选：B． 20．如图，在中，，，点E在的延长线上，的平分线与的平分线相交于点D，连接，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平线的性质和判定，三角形的外角性质，过点分别作，，，可证到，得到平分，再利用三角形外角性质即可求解，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【详解】解：过点分别作，，，垂足分别是点，    ∵平分，，， ∴， 同理可得，， ∴， ∵，， ∴平分， ∵，， ∴， ∴． 故选：． 21．如图，在中，，，M为边上的点，连接，如果将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处，那么点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质、角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由折叠的性质可得：，，再由角平分线的性质定理可得，再结合面积公式计算即可得解． 【详解】解：如图：作于，于， ， ∵在中，， ∴由折叠的性质可得：，， ∵，， ∴， ∵将沿直线翻折后，点恰好落在边的中点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．如图，在中，，平分，交于点．已知，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于，根据角平分线性质可得，即可得解．解题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 2．如图，是的角平分线，，，，的面积为14，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作上于点，得到，再根据三角形面积公式即可计算． 【详解】解：过点作上于点 是的角平分线，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 3．如图， 在中，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母） (2)若，，求的长及的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质： （1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可； （2）过点作，由角平分线的性质得到，等积法求出的长，三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：过点作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴． 题型八　作角平分线 22．如图，在中，，利用尺规在，上分别截取，，使，分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．若，，则的面积为（   ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图、角平分线的性质．过点作于点，由题意得，为的平分线，即可得，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点， 由题意得，为的平分线， ， ， 的面积为． 故选：B． 23．如图，中，，利用尺规在上分别截取，使，分别以为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线交于点．在上找一点，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，，再利用角平分线的定义求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 由题意得，平分， ， 故选：B． 【点睛】本题考查作图作角平分线，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 24．如图，在中，，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于点M、N、再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧．两弧交于点P，作射线交边于点D．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质．利用基本作图得平分，根据角平分线的性质得点到的距离为，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】解：由作法得平分， ， 点到和的距离相等， 即点到的距离为， 的面积． 故选：A 巩固训练 1．如图，在中，，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交、于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线，交边于点D．则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，以点A为圆心，小于的长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长，交于点D，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握角平分线的尺规作图及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得平分，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：65． 3．如图，电信部门要在S区修建一座发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作直线m和直线n所夹锐角的的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 【详解】解：作直线m和直线n所夹锐角的的角平分线，作的垂直平分线，二者的交点即为所求． 题型九　直角三角形全等的判定与综合 25．如图，在中，于点，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意证得即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故选：B． 26．如图，AD是的角平分线，于点，点E，G分别在AB，AC上，且，若，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键．过点D作于H，根据角平分线的性质得到，进而证明，根据全等三角形的性质得到的面积的面积，根据题意列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：过点D作于H， ∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， 设的面积的面积， 同理可证，， ∴的面积的面积， ∴， 解得，， 故选：A． 27．如图，在中，，平分交于点，若的面积为10，的面积为6，则的面积为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，角平分性质的得到，证明，进而得到，进一步计算即可． 【详解】解：过点作， ∵平分交于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故选A． 巩固训练 1．中，，是边上的高，，点在上，交于点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等．根据，，证明，求出，即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，点在上，，，．若．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，可得，即可求解． 【详解】解：， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，F是上的一点，，的延长线于点E，． (1)求证：． (2)判断、、这三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）根据已知条件用证两个直角三角形全等即可； （2）由（1）中的结论可得，再结合已知条件即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，的延长线于点E， ∴和是直角三角形， 在和中， ， ∴， 即； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴． 题型十　含30度角的直角三角形 28．如图，在中，，，点D是的中点，过点D作垂直交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．9 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：C． 29．如图，在中，平分，交边上的高于点．已知，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查含角的直角三角形，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，角平分线定义，由直角三角形的性质求出，由角平分线定义得到，因此，推出，由含角的直角三角形的性质推出，推出，由三角形外角的性质推出，得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 30．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了 的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，分一腰上的高在外部和内部讨论即可． 【详解】解：当一腰上的高在外部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当一腰上的高在内部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，， 故选：B． 巩固训练 1．如图，，点D是平分线上一点，过点D作交于点E，作，垂足为点F，，则的长为（    ）    A．7 B．3.5 C．7.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，过点作于G，由角平分线的性质得，结合，可知，从而可得答案． 【详解】解：过点作于G，    ∵平分，D是上一点，，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，条件辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质，可得，从而得到，进而得到，再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4 3．如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当为何值时，为等边三角形？ (2)当为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了含角的直角三角形、等边三角形的判定，本题的关键是用含的代数式表示出、，熟练掌握等边三角形的判定，当不确定哪个是直角时注意分类讨论的思想方法． （1）用含的代数式表示出、，由于，当时，为等边三角形，列式求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，时，利用直角三角形中，含角的边的关系，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； 所以当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 题型十一　斜边的中线等于斜边的一半 31．如图，在中，、分别是、的中点，点在上，且，若，，则的长为（    ） A．11 B．12 C．12.5 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形中位线的定义和性质，先根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半求出，进而得出，再根据中位线的性质得出答案． 【详解】∵是的中线，且， ∴， ∴． ∵点D，E是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故选：D． 32．如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，由线段垂直平分线的性质得，，进而得，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，再利用余角性质可得，即可得到，掌握线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴，， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 33．如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，先得出的度数，根据直角三角形两锐角互余分别求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出的度数，根据即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴， ∵， ∴在中，， 同理，在中，， ∵点是中点， ∴，即， ∴， ∴， 故选：D ． 巩固训练 1．如图所示，，矩形的顶点分别在边上，当在边上运动时，A随之在OM上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点D到点O的最大距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，矩形的性质，三角形不等式，熟练掌握三角形不等式，勾股定理是解题的关键． 取线段的中点E，连接，根据直角三角形的特征量，三角形不等式解答即可． 【详解】解：如图所示，取中点，连接． ，且矩形 当点运动到上时，使得最大． 的最大值为三点共线时为． 故选：D． 2．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案 【详解】∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，点是的中点， ∴ 故答案为： 3．如图，在中，于点F，于点E，M为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线的性质即可得出结论； （2）利用直角三角形中三十度角所对的直角边等于斜边的一半即可得出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴与都为直角三角形， ∵M为的中点， ∴、为斜边的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：在中，∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 题型十二　勾股定理的证明方法 34．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可． 【详解】解：A、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意； 故选：D． 35．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：A、由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故A选项可以证明勾股定理； B、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故B选项可以证明勾股定理， C、大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故C选项可以证明勾股定理， D、大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故D选项不能说明勾股定理， 故选：D． 36．在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确； 乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，不可以证明勾股定理，故乙错误； 故选：A． 巩固训练 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列四幅图中，不能验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键．根据等面积法证明即可． 【详解】解：A、这个图无法证明勾股定理，故本选项符合题意； B、， 整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； C、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D、， 整理得：， 即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，则4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， 即 + = ，化简得： ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，先求出小正方形的边长，再根据4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积解答即可． 【详解】解：由图可知，小正方形的边长为， ∵4 个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积， ∴， ∴． 故答案为：，，． 3．我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角边所对的边叫斜边（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．即如果一个直角三角形的两条直角边长度分别是和，斜边长度是，那么． (1)直接填空：如图①，若，则_________；若．则直角三角形的面积是_________． (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． 【答案】(1)5； (2)见详解 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）根据梯形的面积等于三个直角三角形面积之和即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为； 故答案为5；； （2）解：由图可知： ， 整理得：． 题型十三　以弦图为背景的计算题 37．如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则的值为（   ） A．25 B．19 C．13 D．169 【答案】A 【分析】考查勾股定理的证明，完全平方公式的运算，关键是根据正方形、直角三角形的性质及分析问题解答．根据正方形的面积及直角边的关系，列出，然后求解． 【详解】解：∵它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b， ∴， ∴， 则 故选：A． 38．如图，用4个全等直角三角形与1个正方形拼成正方形图案．已知大正方形面积为100．小正方形面积为9．若用表示直角三角形的两条直角边．下列说法正确的有（    ） ①；②；③；④ A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识，掌握完全平方公式成为解题的关键． 用勾股定理解直角三角形可判断①正确；根据4个直角三角形全等，可判断②正确；根据“大正方形面积等于4个直角三角形面积加上小正方形面积”，可判断④正确；利用①④，根据完全平方公式可判断③正确． 【详解】解：∵大正方形面积为100，小正方形面积为9， ∴大正方形边长为10，小正方形边长为3， 由勾股定理可得：，即①正确； ∵图中4个直角三角形全等， ∴，即②正确； ∵大正方形面积个直角三角形面积小正方形面积， ∴， ∴，即④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，即③正确． 综上所述，①②③④正确． 故选D． 39．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 巩固训练 1．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则的面积为（    ） A．20 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用中间小正方形的面积=大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可． 【详解】解：有图形可得：个全等的直角三角形的面积=大正方形的面积中间小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图是在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是，则小正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边． 先设直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：设大直角三角形的两直角边分别是，，斜边是，则， ∴， ∵大正方形的边长是，每个直角三角形较短的一条直角边的长是， ∴， 解得（舍去负值）， ∴小正方形的边长为：． 故答案为：． 3．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式． (1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ； (2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系． 【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab； (2)． 【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式． （2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的面积，从而可得结论． 【详解】（1）解∶如图1，∵ S阴影=a2+b2，S阴影= ( a+b) 2-2ab ． ∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab， 故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab； （2）解：如图2，∵S中间正方形=c2，S中间正方形=(a+b)2-4×ab， ∴， ∴． 【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的关键． 题型十四　勾股定理与网格问题 40．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（   ）．    A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用等积法即可求出的长． 本题考查勾股定理与网格问题．熟练掌握勾股定理，以及等积法求线段的长度，是解题的关键． 【详解】解：根据勾股定理得： ， ， 又， ， ， ． 故选：A． 41．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，以A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了在格点图中勾股定理的应用．根据半径相等，得出，再根据勾股定理即可求出的长，即可得出的长． 【详解】解：∵以点A为圆心，长为半径作弧， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 42．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，下面结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2．正确的结论共有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，二次根式的乘法计算，利用勾股定理即可判断①；利用勾股定理分别求出，，进而得到，则由勾股定理的逆定理即可判断②；根据三角形面积计算公式即可判断③；根据等面积法即可判断④． 【详解】解：①由勾股定理得，故①正确； ②由勾股定理得，， ∴， ∴，故②正确； ③，故③错误； ④点A到直线的距离是，故④正确； ∴正确的有①②③，共3个， 故选：C． 巩固训练 1．如图所示边长为1的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，则点A到的距离等于（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，二次根式的混合运算．根据网格特征和勾股定理求出的边长和面积，利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：过点作于， 由网格特征和勾股定理可得， ，，， ， 是直角三角形， ， 即， ， 故选：C． 2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论：①；②；③的面积为10；④点A到直线的距离是2，其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，三角形的面积公式，点到直线的距离，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 利用勾股定理求出的长，即可判断①；利用勾股定理分别求出、、的长，然后用勾股定理的逆定理即可判断② ；利用②的结论即可求解判断③ ；设A到的距离为h，利用面积法即可求出h，即可判断④ ． 【详解】解：如图所示： ， ， ， ∴①正确； ∵， ∴三角形是直角三角形，， ∴②正确； ∴， ∴③错误； ∵， ∴， ∴A到的距离为2， ∴④正确， 故答案为：①②④． 3．（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点D所表示的数为，点E所表示的数为 【分析】（1）可看作是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，再结合正方形的性质画图即可． （2）由题意可得，由数轴的定义可知点E所表示的数为． （3）由题意画出数轴，在数轴上取点A，使点A表示的数为2，作直角三角形，使，则，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交数轴于点D，E，则点D所表示的数为，点E所表示的数为． 本题考查了无理数与勾股定理，数轴与实数，勾股定理与网格，在数轴上表示实数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 题型十五　用勾股定理解三角形 43．如图，，，，，点在线段上，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形的两个锐角互余和平角的定义可得，进而可证得，于是可得，根据勾股定理可求得，然后利用三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的面积， 故选：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 44．如图，中，，E为边上的一点，连接并延长，过点A作，垂足为D，若，，．记的面积为，的面积为，则的值为（   ）．    A．56 B．66 C．74 D．84 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，直角三角形的面积．解题的关键是利用“割补法”将两三角形的面积差转化为另外两个三角形的面积差． 先利用勾股定理求得的长，然后再求得的长，根据题意推出再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 由知，又 ∴ 故选：B． 45．如图，在中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，解题关键是作出辅助线，构造直角三角形，并运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算．作于，作于，构造出直角三角形，根据三角形全等求出，由勾股定理求出的长，再利用勾股定理即可求出的值． 【详解】解：作于，作于， ∵之间的距离为1，之间的距离为2， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 在中，根据勾股定理，得． 故选：A． 巩固训练 1．如图，直线l上有三个正方形a，b，c．若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（    ） A．6 B．16 C．4 D．55 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理可得出，进而计算即可． 【详解】解：有三个正方形a，b，c， ，， ， ， ，， ， ，， 在中，勾股定理得：， ． ∴ 故选A． 2．如图，在 中，，， 将 绕点A 逆时针旋转 ，得到，连 接，则 的长是 ．    【答案】4 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质和等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质得出是等边三角形是解题的关键．由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：4． 3．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求得的长，然后由翻折的性质求得，即可求解； （2）设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，两直角边，， ， 由折叠的性质可知：， ； （2）解：设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 题型十六　勾股定理与折叠问题 46．如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点和点都落在边上的点处，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由勾股定理得 ∴， 解得，即， ∴， 故选：B． 47．如图，中，，，，，，，P是直线上一点，把沿所在的直线翻折后，点C落在直线上的点H处，（   ）． A．10 B． C．8或 D．10或 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，分两种情况：当P点在E点左边时；当P点在E点右边时．分别画出图形，利用折叠性质得到 ，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：当P点在E点左边时，如图1所示， 由折叠的性质得， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ ， 解得，， 即； 当P点在E点右边时，如图2所示， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，， 即； 综上所述，或10； 故选：D． 48．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到的长；利用勾股定理求得的长，即可得到的长，进而得出的长．本题考查了折叠问题，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 巩固训练 1．如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的长度为(   ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设 由勾股定理可得， 即， 解得， ， 故选：B． 2．如图，在直角中，直角边，现要在上找一点D，使得将沿翻折后，点C落在斜边上，则 ．    【答案】3 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理等．根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：设翻折后点C在斜边上的对应点为E， 中，， ， 由折叠的性质可得，，， ． 设，则， 在中，， ， 解得， ， 故答案为：3． 3．如图，，宽的长方形纸片；将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处，解答下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，在中，由勾股定理，即可求解； （2）根据折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，，， ∵将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处， ∴， 在中，由勾股定理得： ； （2）解：∵，，， ∴，， ∵将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠问题，熟练掌握勾股定理，图形折叠的性质是解题的关键． 题型十七　勾股定理的应用1 49．如图，一架25分米长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底部7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底端将向外平滑（    ） A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用．掌握直角三角形三边之间满足两直角边的平方和等于斜边的平方是解决此题的关键．注意：整个过程中，梯子的长度不变． 先利用勾股定理求出，再根据顶端下滑4分米求出，根据勾股定理求出，即可得出底部平滑的距离． 【详解】解：在中，根据勾股定理 分米， 当梯子的顶端沿墙下滑4分米时，梯子的顶部距离墙底端距离：分米， 在中根据勾股定理 分米， 则梯子的底部将向外平滑距离：分米． 故选：D 50．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，根据题意，可列方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得：． 故选D 51．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．过点作于点，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ， 四边形是长方形， 米，米， 米， （米， （米． 故选：B． 巩固训练 1．一架长10米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端6米，如果梯子的顶端沿墙下滑2米，那么梯足将滑（     ） A．米 B．米 C．1米 D．2米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑2米， 故选：D． 2．如图在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘A处，另一只爬到树顶C处后直接跃向池塘A处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 m． 【答案】15 【分析】本题考查的是勾股定理的灵活运用，要求在变通中熟练掌握勾股定理．设，根据题意得到，，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，，，， 设， ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∴ ∴． 即：这棵树的高度为． 故答案为：． 3．如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 题型十八　勾股定理的应用2 52．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何? ”翻译成数学问题是：如图所示，在 中，， 求的长， 如果设，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的实际应用，设，则，根据列得等式，熟练掌握勾股定理是解题的关键 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∴， 故选：B 53．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 54．如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以20米/秒的速度行驶时，处受噪音影响的时间为（    ）    A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒 【答案】B 【分析】本题考查的是点勾股定理的应用，过点作，利用直角三角形的性质求出的长与相比较，发现受到影响，然后过点作，求出的长即可得出受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点作，米， ，米， 米， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时米， 米，米， 由勾股定理得：米，米，即米， 火车在铁路上沿方向以20米秒的速度行驶， 影响时间应是：秒． 故选：B．    巩固训练 1．《九章算术》有个问题“折竹抵地”：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面的高度为x尺，则，， 在中，， 即． 故选D．    2．如图，有一个长方体盒子，其长、宽、高分别是、、，则该长方体盒子内可放入的木棒（木棒的粗细忽略不计）的长度最长是 ． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，解题关键在于理解最长的木棒和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线长组成了直角三角形．两次运用勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方即可解决． 【详解】解：长和宽组成的长方形的对角线长为． 这根最长的木棒和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形． 盒内可放木棒最长的长度是． 故答案为：． 3．今年，第13号台风“贝碧嘉”9月16日登陆后的影响还在持续，第14号台风“普拉桑”和第15号台风“苏力”又于19日登陆．A市接到台风警报时，台风中心位于距离A市的B处（即），正以的速度沿直线方向移动． (1)已知A市到的距离，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风影响，那么A市受到台风影响的时间是多长？ 【答案】(1)台风中心从B点移到D点需要6小时 (2)A市受台风影响的时间为小时 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形三线合一性质，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键． （1）在中，根据勾股定理求出，台风的速度已知，即可得出台风中心从点移到点所经过长时间； （2）假设市从点开始受到台风的影响，到点结束，根据题意在图中画出图形，可知，市在台风从点到点均受影响，即得出两点的距离，便可求出市受台风影响的时间． 【详解】（1）解：由题意得，在中， ， ， （小时）， 即台风中心从点移到点需要6小时； （2）解：以为圆心，以为半径画弧，交于、， 则市在点开始受到影响，离开点恰好不受影响（如图）， 由题意，，在中， ， ，， ， ， （小时） 市受台风影响的时间为小时． 题型十九　勾股定理的逆定理 55．如图，已知．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 56．若的三边长分别为 则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，勾股定理的逆定理，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且两较小的边为直角边， ∴的面积为 ， 故选：A． 57．下列条件能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C．，， D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是掌握直角三角形的判定，勾股定理的逆运用，三角形的内角和，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项A判定是直角三角形，符合题意； ∵， ∴，， ∴选项B不能判定是直角三角形，不符合题意； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴选项C不能判定是直角三角形，不符合题意； ∵， ∴设， ∴，， ∴， ∴选项D不能判定是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．中，、、所对的边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查勾股定理的逆定理的应用，以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．根据三角形内角和定理可得A、B、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形． 【详解】 解：A、，，故不能判定是直角三角形； B、∵，，，故为直角三角形； C、，，故为直角三角形； D、∵，设，∴，为直角三角形； 故选：A． 2．如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，． (1)________； (2)记的面积为，的面积为，则的值为________． 【答案】(1)90 (2)66 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积公式．勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． （1）根据题意得到，进而得到，利用勾股定理的逆定理来求解； （2）根据三角形的面积公式易得到，，表示出，再结合题意求出和的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：90． （2）∵，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：66． 3．如图，在一块直角三角形（）土地上，准备规划出图中阴影部分作为绿地，若规划图设计中要求，，，，求绿地的面积．    【答案】绿地的面积为96 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出和的长． 先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中，，，， ∴， 绿地的面积 ， 答：绿地的面积为96． 题型二十　最短路径问题 58．如图，一圆柱体的底面圆周长为12，高为8，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理中最小路径问题，解题的关键是理解圆柱展开图，结合两点间线段距离最短得到最小距离线段．将圆柱展开根据图像得到A，C两点的位置结合两点间距离公式及勾股定理直接求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段距离最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为12，高为8，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 故选：D． 59．如图，在长方体中，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走路程最短，最短路程是（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，重点在于准确进行展开，将立体图形转化为平面图形进行计算，注意多种情况讨论．把这个长方体中，蚂蚁所走的路线放到一个平面内，由于在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算． 【详解】解：如图1所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， 如图2所示： 由题意得：，， 在中，由勾股定理得， ． 第一种方法蚂蚁爬行的路线最短，最短路程是10． 故选：D． 60．如图，要在河边l上修建一个水泵站，分别向A村和B村送水，已知A村、B村到河边的距离分别为和，且C、D相距，则铺水管的最短长度是（   ） A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理．作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作A关于河的对称点E，连接，连接，则就是所求的最短距离． 过A作于G，过E作于F， ∵， ∴，，， ，， 在中，， ∴铺水管的最短长度是， 故选：D． 巩固训练 1．如图，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是（   ）． A．6 B．8 C．10 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面展开图，最短路径问题，勾股定理等知识点．首先画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：如图，将圆柱体的侧面展开并连接， ∵圆柱的底面半径为，， ∴， 在中，， ∴蚂蚁爬行的最短的路线长是． 故选：C． 2．将矩形纸片 按如图所示折叠，已知，，． 则蚂蚁从点 A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用和两点之间线段最短等问题，解题关键是展开该矩形纸片． 本题可以利用勾股定理计算展开后的长度，则即为所求． 【详解】解：如图，展开矩形，则， ∵矩形对边平行相等， ∴ ∴， 故答案为：26 ． 3．（1）如图①，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ （2）如图2，是一个无盖的长方形罐头盒，盒高，盒底周长，盒外一只蚂蚁在底部A处，想吃到盒内与A相对的点B处的食物，求蚂蚁爬行的最短路程长度． 【答案】（1）  （2） 【分析】此题主要考查了平面展开图中最短路径问题，这是中考中热点问题，找出展开图的与原图形对应情况是解决问题的关键.首先画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理可求出最短路程的长. 【详解】（1）解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； （2）如图， ∵盒高，盒底周长为， ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是 ， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 题型二十一　两点间的距离公式 61．一条河流的段长，在点的正北方处有一村庄，在点的正南方处有一村庄，在段上有一座桥，把建在何处时可以使到村和村的距离和最小，那么此时桥到村和村的距离和为（    ） A．10 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短的性质结合勾股定理即可得出答案． 【详解】连接AE交BD于C， 则AC+CE距离和最小，且AC+CE=AE， 过A作AH⊥ED交ED的延长线于H， ∵， ∴， ∴此时桥C到A村和E村的距离和为10， 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的性质，属于基础题，注意两点之间线段最短这一知识点的灵活运用． 62．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km． A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】根据题意设出AE的长为x，再由勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设AE＝x，则BE＝25﹣x， 由勾股定理得： 在Rt△ADE中， DE2＝AD2+AE2＝102+x2， 在Rt△BCE中， CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2， 由题意可知：DE＝CE， 所以：102+x2＝152+（25﹣x）2， 解得：x＝15km． 所以，E应建在距A点15km处． 故选：C． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 63．如图，牧童家在B处，A、B两处相距河岸的距离AC、BD分别为500m和300m,且C、D两处的距离为600m，天黑牧童从A处将牛牵到河边去饮水，在赶回家，那么牧童最少要走（    ） A．800m B．1000m C．1200m D．1500m 【答案】B 【详解】作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E，则CE=BD，CD=BE，再利用勾股定理求出A′B的长即可． 作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，则A′B的长即为AP+BP的最小值，过点B作BE⊥AC，垂足为E， ∵CD=600m，BD=300m，AC=500m， ∴A′C=AC=500m，CE=BD=300m，CD=BE=600m， ∴A′E=A′C+CE=500+300=800m， 在Rt△A′CE中，， 故选B. 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 巩固训练 1．在直角坐标系中，已知点、，则线段的长度是（    ）． A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查的是两点之间的距离公式，根据直角坐标系中两点间的距离等于横坐标差的平方加上纵坐标差的平方，再开算术平方根解答即可 【详解】解：将A、B两点坐标代入带距离公式中有，所以答案选B 【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式 2．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】20 【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：AD==16（m）， AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m）， 在Rt△ADE中，AE=（m）． 故他滑行的最短距离约为20m． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 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