第十九章 几何证明【单元卷·考点卷】（18大核心考点）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十九章 几何证明【单元卷·考点卷】（18大核心考点） 考点一 命题（共4题） 1．对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理的知识．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，不符合题意， ∴当，时，若，则，符合题意， ∴当，时，不符合若，不符合题意， 故选：C． 2．下列命题中，属于假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．锐角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的两个外角可能会相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质即可逐一判断． 【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，真命题，不合题意； B. 锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，不合题意； C. 三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，符合题意；     D. 三角形的两个外角可能会相等，真命题，不合题意． 故选：C． 3．用一组，，的整数值说明命题“若，则”是假命题，则这组值可以是 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法证明假命题，解题关键是结合题意找到合适的，，的整数值．证明一个命题是假命题，只需要列举出满足题设，但不满足结论的例子即可．根据题意确定合适的，，的整数值，证明，而，即可解题． 【详解】解：当，，时， 可有， ∵， ∴， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：3，，（答案不唯一）． 4．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 【答案】(1)假命题．反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等 (2)真命题 (3)假命题．反例：当时，，不是钝角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的定义，判断命题正真假，以及写反例． （1）根据平行线的性质，即可解答； （2）根据等腰三角形的定义，即可解答； （3）根据钝角的定义，即可解答． 【详解】（1）解：该命题为假命题， 反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等； （2）解：该命题为真命题； （3）解：该命题为假命题， 反例：当，时，，不是钝角． 考点二 证明（共4题） 1．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆中 D．点在圆上或圆内 【答案】D 【分析】根据反证法定义：先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法；据此即可求解． 【详解】解：假设结论“点在圆外”不成立， 点在圆上或圆内； 故选：D． 【点睛】本题考查了反证法的定义，理解定义是解题的关键． 2．如图,已知直线a,b与直线c相交,下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ） A．∠2+∠3=180° B．∠1+∠5=180° C．∠4=∠7 D．∠1=∠8 【答案】A 【分析】因为∠2与∠3是邻补角，所以不能判定直线a与直线b平行；而其他三项均可通过同位角相等两直线平行进行判定． 【详解】A，因为∠2与∠3是邻补角，所以不能判定直线a与直线b平行； B,因为∠1+∠5=180°,∠1+∠4=180°，所以根据同位角相等两直线平行即可判定； C，因为∠4=∠7，∠4=∠2，所以∠2=∠7，根据同位角相等两直线平行即可判定； D，因为∠1=∠8，所以根据同位角相等两直线平行即可判定； 故选A. 【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握其判定定理. 3．如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据SSS证明△ABD△FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴BD=EC， ∵，， ∴△ABD△FEC（SSS）， ∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE， ∴，， 所以①②③都正确， 故答案为①②③. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质. 4．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 【答案】(1)见解析 (2)②④，证明见解析 【分析】（1）根据，可得> ab．从而得到 ．再由，，可得ac．从而得到 ．即可求证； （2）选择②④ ．理由：根据a<b，b<0，可得a<0．再由绝对值的性质可得，．然后根据a < b，可得，即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴> ab． ∴ ． ∵，， ∴ac． ∴ ． ∴ ． （2）解∶选择②④ ． 证明如下： ∵a<b，b<0， ∴a<0． ∴，． ∵a < b， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的性质，熟练掌握不等式的性质，绝对值的性质是解题的关键． 考点三 逆命题和逆定理（共4题） 1．关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理、逆命题，先判断出原命题的真假，再写出逆命题，再判断真假即可得解． 【详解】解：“若，，则”是真命题，它的逆命题是“若，则，”是假命题， 故选：B． 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（    ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．原命题是真命题 C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题是真命题 【答案】C 【分析】本题考查了写命题的逆命题，命题真假判断，把命题的条件与结论互换得到逆命题；写出命题的逆命题，判断出真假即可判断． 【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为：“两直线平行，同旁内角互补”，原命题与逆命题都是真命题，故选项C错误； 故选：C． 3．命题“如果数a，b的积大于0，那么a，b都是正数”的逆命题是 ． 【答案】如果数a，b都是正数，那么a，b的积大于0 【分析】本题考查逆命题，根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题求解即可． 【详解】解：命题“如果数a，b的积大于0，那么a，b都是正数” 逆命题为：如果数a，b都是正数，那么a，b的积大于0 故答案为：如果数a，b都是正数，那么a，b的积大于0． 4．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 【答案】(1)内角和等于的多边形是三角形；真命题 (2)同旁内角互补，两直线平行；真命题 【分析】（1）将命题“如果，那么”中条件与结论互换，即得一个新命题“如果，那么”，我们称这样的两个命题互为逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题．据此写出命题的逆命题，然后判断真假即可； （2）根据逆命题的概念，写出命题的逆命题，然后判断其真假即可． 【详解】（1）解：命题“三角形三个内角的和等于”的逆命题为：“内角和等于的多边形是三角形”， 逆命题是真命题； （2）解：命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是：“同旁内角互补，两直线平行”， 逆命题是真命题． 【点睛】此题考查了命题与判断命题的真假，熟练掌握逆命题的概念、正确找出一个命题中的题设与结论是解答此题的关键． 考点四 线段垂直平分线的判定与性质（共4题） 1．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键．到三个村的距离相等，即到三角形三个顶点的距离相等，在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等． 【详解】解：∵在三角形中，只有三边垂直平分线的交点到各顶点距离相等， ∴供奶站应建在三条边的垂直平分线的交点处． 故选：A 2．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式可推出的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：C． 3．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：、分别为、的垂直平分线， ，，，， ∵的周长为， ， ，即， ∵的周长为， ， ， ， 故答案为：6.5． 4．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点A、在线段的垂直平分线上，即可证明结论； （3）根据，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵分别是和的高， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴点A、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 考点五 作垂线（共4题） 1．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， 即点P为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 2．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，可求得的度数，又由题意可得为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，则可求得的度数，据此即可解题． 【详解】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质及其尺规作图，三角形外角的性质，三角形内角和定理，数轴相关知识是解题的关键． 3．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，取的中点E，连接，以点D为圆心，适当长为半径作弧，与边相交于点G和H，分别以点G和H为圆心，以大于 的长为半径作弧交于点I，作直线，交于点F．若，且，则下列结论：①；②；③；④．正确的有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查作图基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，由作图可知，垂直平分，，利用等腰三角形“三线合一”“等边对等角”以及三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由作图可知， 是的中点， ，故①正确； ，， ， 由作图知，， 垂直平分， ，故②正确； ， ， ， ， ，故④正确； 现有条件不能证明， 综上所述，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 4．如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及尺规作图是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图可进行求解； （2）由（1）可知，然后问题可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求． （2）解：由（1）可知，直线是线段的垂直平分线， ， 的周长为： ． ∵，， ∴的周长为． 考点六 角平分线的判定与性质（共4题） 1．如图，在中，，平分交于．若，且，则点到边的距离为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．过点D作于点E，根据比例求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，进而解出此题的答案． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： ，且， ， ，平分， ， 故选：C． 2．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（    ） A．8 B． C．6 D．5 【答案】D 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质可得，点到，，的距离相等，则、、面积的比实际为，，三边的比． 【详解】点是三条角平分线的交点， 点到，的距离相等， 、面积的比：：． 的面积为， 的面积为． 故选：D． 3．如图，在中，为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键；根据角平分线的性质可得然后根据三角形面积公式可得答案； 【详解】解： 为的角平分线，， 故答案为：4； 4．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， 解得． 考点七 角平分线的性质的实际应用（共4题） 1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用；由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置． 【详解】∵凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭选择三条角平分线的交点， 故选：D． 2．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，过I点作于E，于F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过I点作于E，于F， 、、分别平分、、， ， ． 故选：C． 3．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，点是角平分线的交点，根据角平分线的性质可得点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为，根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】解：∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∵点落在边上的点处，折痕所在的直线为， ∴是的角平分线， ∴点是角平分线的交点，如图所示，连接，    ∴点到三边的距离都相等，设点到三边的距离为， ∴，且的长分别为，， ∴，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的折叠，角平分线的性质的综合，掌握角平分线的交点到角两边的距离相等，几何图形面积的计算方法等知识是解题的关键． 4．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 考点八 作角平分线（共4题） 1．如图，在中，平分，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点I，连接，以下说法错误的是（   ） A．I到边的距离相等 B．平分 C．I到三点的距离相等 D．I是三角形三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，三角形的角平分线的性质，根据作图先判断平分，再由三角形角平分线的性质解答即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图和角平分线的性质． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， 到，边的距离相等，故选项A正确，不符合题意； 平分，三角形三条角平分线交于一点，故选项D正确，不符合题意； 平分，故选项B正确，不符合题意； 到边，，的距离相等，不是到，，三点的距离相等，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作图−基本作图，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法． 根据作图过程可得，是的垂直平分线，也是的角平分线，可得，再根据，，即可求出的度数，进而即可求解． 【详解】解：由作图过程可知： 是的垂直平分线，也是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 【答案】32 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 4．如图，已知点为内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点的直线，分别交于点，使得．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【分析】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意，灵活应用基本作图解决问题，属于中考常考题型． 方法一，①截取，②过P作的平行线，分别交于点，直线即为所求； 方法二，作的平分线，过P作角平分线的垂线，分别交于点，即可． 【详解】解：方法一，①在上截取，连接，， ②过P作的平行线，分别交于点． 如图，直线即为所求． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 方法二，如图，直线即为所求． ∵，，， ∴， ∴． 考点九 直角三角形全等的判定与综合 （共4题） 1．如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可以判断；证明可以判断；由同角的余角相等可以判断；由，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 2．如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，如图所示，过点D作交延长线于E，证明，得到，，再证明，得到，据此根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于E， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 3．如图，，垂足为点A，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点始终保持，当点E运动 秒时，与全等． 【答案】或或或 【分析】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．首先根据题意可知，本题要分两种情况讨论：①当在线段上时，②当在射线上时； 再分别分成两种情况，，结合已知，运用即可得出与全等，然后分别计算的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当或时，与全等； ①当在线段上，时，， ， ， ， ∴点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， ∴点的运动时间为（秒）； ③当在线段上，时，， 这时在点未动，因此时间为秒； ④当在上，时，， ， 点的运动时间为（秒）， 故答案为：或或或． 4．如图，平分，于点E，于点F，若． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质与全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，于点E，于点F， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，，, 在和中， ∴， ∴， ∴， 即，， ∴． 考点十 含30度角的直角三角形（共4题） 1．如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质，解题关键是利用垂直平分线的性质添加辅助线构造等腰三角形． 根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角得出，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的垂直平分线，， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 3．如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由可过作垂直，利用三线合一求出，再设，则，，最后在中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出，进而求出，即可得解． 【详解】解：过作于点， ，， ， 设，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， 解得， ， ． 故答案为：． 4．如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征等知识点．解决本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征． （1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再由可证明是等边三角形，最后可得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 考点十一 斜边的中线等于斜边的一半（共4题） 1．如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形性质，三角形外角性质．根据直角三角形性质得到，再结合等腰三角形的性质和三角形外角性质得到，，进而得到，即可解题． 【详解】解：，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，，为边的中点， ，，， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， 故选：C． 3．如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∵在直角和直角中，和都和互余， ∴， ∵， ∴点F是中点，是直角的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 考点十二 勾股定理的证明方法（共4题） 1．到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，关键是要牢记勾股定理的概念，在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． 分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式，再整理即可判断． 【详解】解：在第一个图中，大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和， ， 以上公式为完全平方公式，故第一个图不能说明勾股定理； 在第二个图中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ， 整理可得，故第二个图可以证明勾股定理； 在第三个图中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得，故第三个图可以证明勾股定理； 在第四个图中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积， ， 整理得，故第四个图可以证明勾股定理． ∴能证明勾股定理的有3个． 故选：B． 3．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 【答案】 【分析】本题考查利用图形面积证明勾股定理，掌握图形面积的多种求法，一般利用面积公式直接求解，两种方法利用拼组图形面积和来求是解题关键． 先根据勾股定理得出大正方形的面积，再得出三角形的面积，最后根据小正方形的面积=大正方形面积4个三角形面积，即可解答． 【详解】解；大正方形的面积， 三角形的面积， ∴小正方形的面积， 故答案为：． 4．把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．        (1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，三角形全等的判定和性质，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形面积的计算公式． （1）根据，得出，求出，，，根据，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵ ， ， ， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：． 考点十三 用勾股定理解三角形 （共4题） 1．如图，，且，，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 由题意可知且，依次由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：；；． 故选：B． 2．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（    ）．    A．8 B． C． D．6 【答案】C 【分析】由旋转的性质，可证、都是等边三角形，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出的长，即可得到． 【详解】解：将绕点C按逆时针方向旋转得到， 则，，， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， 则， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握旋转的性质，证明等边三角形是解题的关键． 3．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意得，，，，可得，设，则，在中利用勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，，， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 4．已知，，，．回答下列问题． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及二次根式的应用，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形是解决此题的关键. （1）根据，，易证是等腰直角三角形，得到，再利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，得到，即可求解出的角度； （2）根据四边形的面积就等于两个直角三角形的面积之和即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵，． ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵都是直角三角形， ∴． 即四边形的面积为． 考点十四 勾股定理的逆定理（共4题） 1．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理及其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：连接，， ∵的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 由勾股定理可得：， 故选：A． 2．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，连接，根据旋转的性质得，，可判断为等边三角形，得，由等边三角形的性质得到，， 证明，得，在中，根据勾股定理的逆定理可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识点．掌握等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． 3．已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握二次根式，绝对值的非负性是解题的关键． 首先根据二次根式，绝对值的非负性得出，，的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ，， ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 4．在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形； (2)当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由． 【答案】(1)补全图形见详解，直角 (2)补全图形见详解，成立，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，全等三角形的判定和性质， （1）延长到，使得，连接，可证，可得，，在中，运用勾股定理逆定理可得，于是有，即可求解； （2）过点作，与的延长线交于点，连接，可证，可得，运用勾股定理逆定理即可求解． 【详解】（1）解：结论：以三条线段为边构成的三角形是直角三角形， 理由：延长到，使得，连接， 在和中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴以三条线段为边构成的三角形是直角三角形； （2）解：结论：． 理由：过点作，与的延长线交于点，连接， 则， ∵点是的中点， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 考点十五 勾股定理的应用1（共4题） 1．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，要求小猫在木板上爬动的距离，即求木板长，可以设，，则根据木板长不会变这个等量关系列出方程组，即可求的长度，在中，根据即可求． 【详解】解：如图， 已知， 设， 则， 则在中，， 在中，， 联立方程组解得：， 故选：B． 2．如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， ， 设的长为，则， ∴， 在直角中， 又∵， 解得：， 故选：B． 3．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 4．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 【答案】(1) (2)未超速 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中进行解决． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据小汽车用行驶的路程和时间，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，, 由勾股定理，得， ∴， 故的长为． （2）解：， ∵， ∴这辆小汽车未超速． 考点十六 勾股定理的应用2（共4题） 1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，则：，巧用梯子的长不变，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴． 故选A． 2．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作于，如图所示，由勾股定理求出最短路径长即可得到答案． 【详解】解：过作于，如图所示：    由题意可知，， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， 它要飞回巢中所需的时间至少是（）， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理解实际问题，读懂题意，作出图形，数形结合求出最短路径长度是解决问题的关键． 3．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    【答案】24 【分析】由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：， ，为直角三角形． ， ， ， ， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理，由含角的直角三角形的性质求出的长是解题的关键． 4．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 考点十七 勾股定理与折叠问题（共4题） 1．如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理的应用等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为． 故选：B． 2．如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解题的关键，由已知条件可证，得到，利用折叠知，设，则，在中，利用勾股定理即可求得的值，再利用面积公式即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由翻折得，，， ∴， 又∵ ∴ ∴，， 设，则 在中，，， ∴， ∴重叠部分的面积为， 故选∶． 3．如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 【答案】/1.5 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，先利用勾股定理求得，然后由翻折的性质得到，，则，设，则，然后在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，， 由翻折的性质可知：，， 则． 设，则． 中，由勾股定理得：， 即，解得：． ∴． 故答案为：． 4．如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握各知识间的联系和运用是解答的关键． （1）首先由折叠的性质得到，，，然后证明出，得到，进而求解即可； （2）由（1）可知，设，则，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：因为四边形是长方形，，， 所以，，． 由翻折的性质，得，，， 所以． 在和中， 因为，，， 所以， 所以， 因为，， 所以； （2）解：由（1）可知， 设，则，， 所以， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以． 考点十八 勾股定理中的最短路径问题（共4题） 1．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，交于点F，此时点、 、在同一条直线上， 则为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， 依题意，， 此时． 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故选：C． 2．如图是一个房间的立体图形，其中，，，点在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点爬行到，则它需要爬行的最短路程为(　　)．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用平面展开图有两种情况需要比较，画出图形利用勾股定理求出的长，然后作比较即可． 【详解】解：将长方体侧面展开如图所示，   ，， ， 是中点， ， ， ； 如图，过点作于点，    则，， ， ， ， 它需要爬行的最短路程为， 故选：D． 3．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 4．如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 【答案】． 【分析】本题考查最短路径问题，勾股定理等．根据题意分两种情况分析，针对两种情况求出路径长，再比较大小即可得到本题答案． 【详解】解：如图①所示，， 如图②所示，， ∵，， ∴它从A处爬到B处的最短路线长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 几何证明【单元卷·考点卷】（18大核心考点） 考点一 命题（共4题） 1．对于命题“若，则”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（        ） A．， B．， C．， D．， 2．下列命题中，属于假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．锐角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的两个外角可能会相等 3．用一组，，的整数值说明命题“若，则”是假命题，则这组值可以是 ， ， ． 4．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例． (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)有两边相等的三角形是等腰三角形； (3)两个锐角的和是钝角． 考点二 证明（共4题） 1．用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　） A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆中 D．点在圆上或圆内 2．如图,已知直线a,b与直线c相交,下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ） A．∠2+∠3=180° B．∠1+∠5=180° C．∠4=∠7 D．∠1=∠8 3．如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．（填序号） 4．【阅读】在证明命题“如果，，那么”时，小明的证明方法如下： 证明：∵， ∴> ． ∴ ． ∵，， ∴ ． ∴ ． ∴． 【问题解决】 (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)有以下几个条件：①，②，③，④ ．请从中选择两个作为已知条件，得出结论 ．你选择的条件序号是 ，并给出证明过程 ． 考点三 逆命题和逆定理（共4题） 1．关于命题“若，，则”，下列判断正确的是（   ） A．该命题及其逆命题都是真命题 B．该命题是真命题，其逆命题是假命题 C．该命题是假命题，其逆命题是真命题 D．该命题及其逆命题都是假命题 2．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（    ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．原命题是真命题 C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题是真命题 3．命题“如果数a，b的积大于0，那么a，b都是正数”的逆命题是 ． 4．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)三角形三个内角的和等于； (2)两直线平行，同旁内角互补． 考点四 线段垂直平分线的判定与性质（共4题） 1．如图，三个村庄A、B、C构成，供奶站须到三个村庄的距离都相等，则供奶站应建在（    ）    A．三条边的垂直平分线的交点 B．三个角的角平分线的交点 C．三角形三条高的交点 D．三角形三条中线的交点 2．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 3．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点O，这两条垂直平分线分别交于点D、E，已知的周长为，分别连接、、，若的周长为，则的长为 ． 4．如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O． (1)证明：； (2)证明：垂直平分； (3)若，，求的长． 考点五 作垂线（共4题） 1．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   2．如图，已知，按以下步骤作图： ①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点，连接CD．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，取的中点E，连接，以点D为圆心，适当长为半径作弧，与边相交于点G和H，分别以点G和H为圆心，以大于 的长为半径作弧交于点I，作直线，交于点F．若，且，则下列结论：①；②；③；④．正确的有 ． 4．如图，在中，． (1)用直尺和圆规作的中垂线，交于点D；（要求保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的周长． 考点六 角平分线的判定与性质（共4题） 1．如图，在中，，平分交于．若，且，则点到边的距离为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．如图，的边，，O是三条角平分线的交点，若的面积为3，则的面积为（    ） A．8 B． C．6 D．5 3．如图，在中，为的角平分线，，垂足为E，，垂足为F，若，，，则的面积为 ． 4．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 考点七 角平分线的性质的实际应用（共4题） 1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（   ） A．三条中线的交点 B．内任意一点 C．三条高所在直线的交点 D．三条角平分线的交点 2．如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为（    ） A．18 B．30 C．36 D．72 3．将一张面积为的三角形纸板按如图所示的方式依次折叠，如图1，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，如图2，使点落在边上的点处，折痕所在的直线为，与相交于点．经测量得知，纸板的三边的长分别为，则点到的距离为 ．    4．如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 考点八 作角平分线（共4题） 1．如图，在中，平分，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点I，连接，以下说法错误的是（   ） A．I到边的距离相等 B．平分 C．I到三点的距离相等 D．I是三角形三条角平分线的交点 2．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为（　　　）    A． B． C． D． 3．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是 4．如图，已知点为内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点的直线，分别交于点，使得．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 考点九 直角三角形全等的判定与综合 （共4题） 1．如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在四边形中，，平分，作于点H．，，则的长度为（    ） A．3 B．2 C． D． 3．如图，，垂足为点A，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点始终保持，当点E运动 秒时，与全等． 4．如图，平分，于点E，于点F，若． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 考点十 含30度角的直角三角形（共4题） 1．如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 4．如图，在中，是上的一点，过点D作于点E，延长和，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 考点十一 斜边的中线等于斜边的一半（共4题） 1．如图，在中，，点E为的中点，在中，，连接，，；若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 4．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点十二 勾股定理的证明方法（共4题） 1．到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面有四个图，其中能证明勾股定理的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．如图，阴影部分是由4个三边分别为、、（为斜边）的直角三角形拼出中间的小正方形．利用等面积法，通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理．小正方形的面积除可以表示为外，还可以表示为： ； 4．把两个全等的和如图1放置，其三边长分别为a，b，c，，显然．        (1)连接．请用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； (2)如图2，在中，是边上的高，，，，设，求x的值. 考点十三 用勾股定理解三角形 （共4题） 1．如图，，且，，，则线段的长为（   ） A． B．2 C． D．3 2．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为（    ）．    A．8 B． C． D．6 3．如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当它摆动到底座最近时，摆锤离底座的垂直高度，当它来回摆动到底座的距离最高与最低时的水平距离为时，摆锤离底座的垂直高度，钟摆 ． 4．已知，，，．回答下列问题． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 考点十四 勾股定理的逆定理（共4题） 1．如图，已知中，的垂直平分线交于点D，的垂直平分线交于点E，点M，N为垂足，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 4．在中，是的中点．为直线上一动点，连接．过点作，交直线于点，连接． (1)如图1，当是线段上一点时，请依题意补全图形，并判断以三条线段为边构成的三角形是 三角形； (2)当点在线段的延长线上时，请依题意补全图2，并判断（1）中的结论是否仍成立，如果成立，请说明理由． 考点十五 勾股定理的应用1（共4题） 1．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了，木板顶端向下滑动了，则小猫在木板上爬动的距离为（   ）m ． A． B． C． D． 2．如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C． D． 3．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 4．某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正下方的B处，过了，小汽车到达C处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车超速了吗？ 考点十六 勾股定理的应用2（共4题） 1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米，若梯子的顶端沿墙下滑1米，这时梯子底端也恰好外移1米，则梯子的长度为（   ） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 2．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵高的大树上，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是(   )    A． B． C． D． 3．如图，河岸，互相平行，桥垂直于两岸，从处看桥的两端，，夹角，测得，则桥长 m（结果精确到）．    4．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 考点十七 勾股定理与折叠问题（共4题） 1．如图，在中，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 2．如图，在长方形纸片中，，．把纸片沿对角线折叠，点落在点处，交于点，则重叠部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 3．如图， 一块直角三角形的纸片， 两直角边， ． 现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合， 则 ． 4．如图，在长方形中，，，P为上一点，将沿翻折至，，与分别相交于点O，G，且． (1)试说明：； (2)求的长． 考点十八 勾股定理中的最短路径问题（共4题） 1．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为（     ）（杯壁厚度不计）． A． B． C． D． 2．如图是一个房间的立体图形，其中，，，点在棱上，且，是的中点，已知壁虎要沿着墙壁，地面从点爬行到，则它需要爬行的最短路程为(　　)．    A． B． C． D． 3．如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是 ． 4．如图所示，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$