第5章 函数概念与性质 章末题型归纳总结-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第一册）

第5章 函数概念与性质 章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 经典题型二：求函数的解析式 经典题型三：求函数的值域 经典题型四：函数的单调性 经典题型五：函数的奇偶性 经典题型六：函数的图像 经典题型七：函数性质的综合应用 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 【典例1-1】（2024·高一·广东东莞·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·福建漳州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，且；所以函数的定义域为. 故选：D. 【变式1-1】（2024·高一·天津和平·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数的定义域为， ∴，解得：， 即函数的定义域为， 故选：D. 【变式1-2】（2024·高一·广西玉林·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域是，则在中，，解得， 所以的定义域是. 故选：A 【变式1-3】（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的定义域为， 所以, 所以, 所以 所以的定义域为. 故选：C. 【变式1-4】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，即，所以， 由解得，所以函数的定义域为. 故选：B 【变式1-5】（2024·高一·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，炮弹发射后共飞行了， 所以，即函数的定义域为. 故选：C 经典题型二：求函数的解析式 【典例2-1】（2024·高一·河北保定·阶段练习）完成下列问题： (1)已知，求． (2)已知是一次函数，且满足，求． 【解析】（1）令，所以有， 所以. （2）设，得，， 因为， 得， 整理得， 得， 所以. 【典例2-2】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【解析】（1）由函数， 所以函数的解析式为； （2）设一次函数，可得 因为， 因为，所以，解得， 所以函数的解析式为； （3）因为，令，可得且， 因为，可得， 所以函数的解析式为， 又单调递增，所以函数的值域为. 【变式2-1】（2024·高一·广西玉林·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【解析】（1）设，则， 于是，解得或， 所以或. （2）令，则，于是， 所以. （3）由，得， 由消去解得：， 所以. 【变式2-2】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【解析】（1）设， 则. ，解得，或， 或. （2）令，则， ， 即. （3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立， 得，解得. 【变式2-3】（2024·高一·天津和平·开学考试）（1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【解析】（1）； （2）. 【变式2-4】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【解析】令，，则， 又因为，所以， 令，则，所以． 【变式2-5】（2024·高一·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 【解析】（1）方法一  （换元法）： 令，则，， 所以， 所以的解析式为． 方法二  （配凑法）： ． 因为， 所以的解析式为． （2）设， 则 ， 所以，解得， 所以． （3）， 令，得， 于是得到关于与的方程组， 解得． 经典题型三：求函数的值域 【典例3-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【解析】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）作出下列函数的图象并求出其值域. (1)； (2)； (3). 【解析】（1）列表 x 0 1 －2 3 y 0 －1 2 －3 函数图象只是四个点，其值域为． （2）列表 x 2 3 4 5 … y 1 … 当时，图象是反比例函数的一部分，观察图象可知其值域为． （3）列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线在之间的部分． 由图可得函数的值域为． 【变式3-1】（2024·高一·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【解析】（1）， 当且仅当时等号成立，则函数值域为. （2）因为， ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最小值为，此时. 【变式3-2】（2024·高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【解析】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 【变式3-3】（2024·高一·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【解析】（1）因为，， 所以在上单调递增， 又，， ∴函数，的值域为． （2）令，即，解得， 所以的定义域为， 又∵，∴， 故， ∴的值域为． （3）因为， 又，所以， ∴函数的值域为． 【变式3-4】（2024·高一·上海·课堂例题）求函数的最小值． 【解析】因为，， 所以， 等号当且仅当,即时成立， 所以函数最小值为4． 【变式3-5】（2024·高一·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意可知：在上恒成立， 当，即时，，即，不合题意； 当，即时，，解得， 综上所述：的取值范围是； （2）由题意可知：的值域包含， 当时，，因为，可得， 所以的值域为，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述：实数的取值范围是． 【变式3-6】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 【解析】设， 所以， 则函数 在上单调递增，在单调递减， 又则 ，， 函数的值域是． 经典题型四：函数的单调性 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1），， ，解得， . （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 【典例4-2】（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数，且满足，. (1)求和的值 (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数满足，，可得，解之得; （2），在上单调递增， 证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增. （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即， 则在上的值域为 对称轴， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解之得； 综上，实数的取值范围为. 【变式4-1】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 【解析】（1）因为函数在上单调递增， ∴当，即时，满足函数在单增，所以； 当时，若在上单调递增，则需满足，解得， 综上：. ∴所求实数的取值范围为. （2）当时，由得，不符合题意； 当，为使得恒成立，则需满足， 即，解得； 综上：∴实数的取值范围为. （3）二次函数的对称轴为. 当，即时，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 此时； 当，即时，在上单调递减， 此时． 综上，. 【变式4-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【解析】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 【变式4-3】（2024·高一·福建福州·阶段练习）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令， 因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：A. 【变式4-4】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得当，则， 所以函数在上单调递减， 又， 可得， 解得. 所以实数a的取值范围为 故选：A. 【变式4-5】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，对任意实数，都有成立， 所以函数在上为减函数， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 【变式4-6】（2024·高三·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的对称轴为 若函数在上是单调递增函数，则 若函数在上是单调递减函数， 解得或 故的取值范围是 故选：C． 【变式4-7】（2024·高一·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 【答案】C 【解析】由，作出函数的图象， 利用图象的变换可得，如图所示： 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增. 故选：C. 经典题型五：函数的奇偶性 【典例5-1】（2024·高一·河南信阳·阶段练习）函数是奇函数，且，则 【答案】 【解析】因为函数是奇函数，且， 所以. 故答案为：. 【典例5-2】（2024·高一·河南许昌·开学考试）奇函数的定义域为，若时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】根据奇函数性质可知图象关于原点对称便可得出在上的图象，如图所示 由图可知的解集为 故答案为： 【变式5-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，，对于任意且，恒成立，则使得成立的的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意得，在上单调递减， 因为是定义在上的偶函数，， 所以，且在上单调递增． 当时，等价于，解得； 当时，等价于，解得， 所以的解集为． 故答案为： 【变式5-2】（2024·高一·江苏淮安·学业考试）设函数为定义在上的偶函数，且在区间上为增函数，则，，从小到大的顺序为 【答案】 【解析】因为函数为定义在上的偶函数， 所以，， 又在区间上为增函数， 所以 所以 故答案为： 【变式5-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【答案】 【解析】因为函数为偶函数，所以， 即， 即， 两边平方，化简可得． 要使上式恒成立，则，即． 故答案为： 【变式5-4】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 【答案】 【解析】根据题意，当时，， 则， 又由函数为上的偶函数，则． 则时，． 故答案为：． 【变式5-5】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【答案】 【解析】由函数是定义在R上的偶函数，可得函数的图象关于对称， 又由函数在上单调递增，可得函数在上单调递减， 因为，可得， 所以，当时，；当时，；当时，， 对于不等式，如图所示， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 综上可得，不等式的解集为. 故答案为：. 【变式5-6】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数在上的值域； (2)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）由题意：， 所以解得. 又， 解得， 所以， 设， 则， 因为，所以，，， 所以即. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （2）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由， 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由， 综上可知：.即实数的取值范围是：. 经典题型六：函数的图像 【典例6-1】（2024·高一·山东聊城·期中）函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数图象的对称性可知为偶函数， A选项的定义域为，C选项的定义域为， 它们的定义域都不关于原点对称，所以不可能是偶函数，即可排除AC选项； 又不在函数的定义域内，而D选项定义域包括， 所以排除D选项； 故选：B 【典例6-2】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，且， 则，所以为奇函数，关于原点对称，可排除C选项， 又因当时，则，故可排除B选项， 当时，则，可排除D选项， 故选：A 【变式6-1】（2024·高一·山东滨州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 【变式6-2】（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 【变式6-3】（2024·高一·广东茂名·期末）已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数定义域为R，， 所以为奇函数，则其图象关于原点对称，所以排除A， 当时，，所以排除D， 因为由幂函数的性质可知当时，在直线的上方， 所以排除B， 故选：C 【变式6-4】（2024·高二·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 经典题型七：函数性质的综合应用 【典例7-1】（2024·高一·吉林·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 【解析】（1）设，则，于是， 又为奇函数，即， 所以当时，. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形， 如图为函数的图象， （3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则，于是，解得， 所以的取值范围是. 【典例7-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 【解析】（1）令，则，得， 令，，则 即； （2）设，， 所以， 即， 因为，所以， 则， 所以函数在上单调递增； （3）令，， 则，得， 即， 所以函数是奇函数. 【变式7-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意： 所以. 又. 所以：，. （2）由（1）可知：. 设， 则， 因为，所以，，， 所以. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 【变式7-2】（2024·高一·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【解析】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 【变式7-3】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 【解析】（1）令得：，故， 令得：，故. （2）因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； （3）在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 【变式7-4】（2024·高一·陕西渭南·期末）已知函数是定义内的奇函数，且. (1)确定函数的解析式； (2)用单调性的定义证明函数在内是减函数. 【解析】（1）根据题意，可得，即，解得， ， 又，即，解得， ，经检验是奇函数符合题意. （2）设，且， 则 ， ， ，即，，， ，即， 所以函数在内是减函数. 【变式7-5】（2024·高一·江苏·专题练习）已知函数，其中. (1)当函数的图象关于点成中心对称时，求的值； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围； (3)若，求函数在区间上的值域. 【解析】（1） “函数的图象关于点成中心对称”的充要条件为： “函数是奇函数”， 当的图象关于点成中心对称时， 是奇函数， ，解得； （2）函数 ， 当在上单调递减时， ， 解得， 的取值范围是； （3）当时，， 函数在区间上是单调增函数， ， 即， 函数的值域是. 【变式7-6】（2024·高三·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【解析】（1）设，则， 由于，所以，所以， 所以，所以， 所以在上是增函数； （2）因对定义域内的任意，有， 令，则有， 又令，得， 再令，得，从而， 于是有，所以是偶函数． （3）由于，所以， 于是不等式可化为， 由（2）可知函数是偶函数，则不等式可化为， 又由（1）可知在上是增函数，所以可得， 解得，所以不等式的解集为． 【变式7-7】（2024·高一·四川德阳·期末）对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题： (1)求三次函数的对称中心； (2)若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值； (3)若，求的值. 【解析】（1）法一： ， 可由奇函数右移1个单位，再上移3个单位得到， 故三次函数的对称中心为. 法二： 令 ， 则，解得：， 即， 可由奇函数右移1个单位，再上移3个单位得到， 故三次函数的对称中心为. （2）若函数关于直线对称， 则， 所以，解得. （3）令，由（1）知，由奇函数平移得到，其对称中心为， 又在上单调递增，故在上单调递增，所以， 可化为，所以，故. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例8-1】设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【答案】A  【解析】 令，解得或， 则， 当或时，， 当时，函数没有最小值， 综上：函数的最小值为1， 故选： 【典例8-2】已知幂函数满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 由幂函数的概念可知，，所以，解得或， 当时，，则，不满足题意， 当时，，则，满足题意， 则，其定义域为 令，则， 所以，， 所以当时，取得最小值， 故函数的值域为 故选 【变式8-1】若定义在R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 定义在R的奇函数在单调递增，且， 所以在上也是单调递增，且，， 所以当时，，当时，， 所以由可得： 或或， 解得或或， 所以满足的x的取值范围是 故选： 【变式8-2】已知函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 当时，，当且仅当时取等号，故此时的最小值为， 当时，，对称轴为， 当时，在单调递减，此时最小值为，要使的最小值为，则， 当时，在单调递减，在单调递增，此时最小值为，不满足的最小值为 综上可得 故选 ②转化与化归思想 【典例9-1】已知函数，若，且，设，则t的最大值为（    ） A．  1 B． C． D． 【答案】C  【解析】 函数，若，且， 令，解得或， 即有，， 可得，可得， 则，， 对称轴为， 当时，t取最大值 故选 【典例9-2】若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 由已知画出的大致图象，如下图， 当时，，所以或，解得； 当时，结论成立； 当时，，所以或，解得 综上x的取值范围是 故选 【变式9-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 ，，，函数在单调递增，， 故选B 【变式9-2】已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是    A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 函数在区间上既没有最大值也没有最小值， 根据二次函数的性质可知，函数在区间上是单调函数， 又函数的对称轴为， 或， 或 故选： ③数形结合思想 【典例10-1】已知函数为奇函数，时为增函数且，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A  【解析】 由于函数为奇函数，时为增函数且， 可得函数在上单调递增，且， 故函数的单调性示意图如图所示， 由函数的图象可知，，即，或， 解得或 故或 故本题选 【典例10-2】已知定义在R上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 由题意得，偶函数在上单调递增，在上单调递减，且， 作出函数的大致图像如下： 不等式等价于或， 数形结合可知不等式的解集为： 故选：A 【变式10-1】已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C  【解析】 二次函数的图象是开口向下的抛物线， 当时，函数取得最大值为4，而当或时， 由于函数的值域是， 结合函数图象可知m的取值范围是 故选 【变式10-2】奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是．（    ） A． B． C． D． 【答案】A  【解析】 因为奇函数在上单调递减， 根据奇函数的性质，得到在上仍是减函数， 由，可画出函数在上的大致图象， 根据对称性可画出在上的大致图象．如下图，   根据图象得到的解集是： 故选 【变式10-3】如图，直线l和圆C，当l从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到转到角不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D  【解析】 观察可知面积S变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”， 对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求． 故选： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 函数概念与性质 章末题型归纳总结 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 经典题型二：求函数的解析式 经典题型三：求函数的值域 经典题型四：函数的单调性 经典题型五：函数的奇偶性 经典题型六：函数的图像 经典题型七：函数性质的综合应用 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想②转化与化归思想③数形结合思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：求具体函数与抽象函数的定义域 【典例1-1】（2024·高一·广东东莞·阶段练习）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·福建漳州·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·天津和平·开学考试）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·广西玉林·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2024·高一·福建福州·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（2024·高一·四川成都·期中）一枚炮弹发射后，经过落到地面击中目标．炮弹的射高为，且炮弹距地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系为．该函数定义域为（    ） A． B． C． D． 经典题型二：求函数的解析式 【典例2-1】（2024·高一·河北保定·阶段练习）完成下列问题： (1)已知，求． (2)已知是一次函数，且满足，求． 【典例2-2】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）（1）已知，求； （2）已知是一次函数，且满足．求 （3）已知，求及值域． 【变式2-1】（2024·高一·广西玉林·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【变式2-2】（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数，求的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式； 【变式2-3】（2024·高一·天津和平·开学考试）（1）已知函数，求的解析式；     （2）已知，求的解析式． 【变式2-4】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数，对，都有恒成立，且．求的解析式； 【变式2-5】（2024·高一·全国·课堂例题）（1）已知，求； （2）已知为二次函数，且，求； （3）已知函数对于任意的x都有，求． 经典题型三：求函数的值域 【典例3-1】（2024·高一·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【典例3-2】（2024·高一·全国·专题练习）作出下列函数的图象并求出其值域. (1)； (2)； (3). 【变式3-1】（2024·高一·河北邯郸·期中）（1）求当时，的值域. （2）已知，求函数 的最小值. 【变式3-2】（2024·高一·全国·专题练习）求函数的值域． 【变式3-3】（2024·高一·上海·随堂练习）求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)． 【变式3-4】（2024·高一·上海·课堂例题）求函数的最小值． 【变式3-5】（2024·高一·重庆南岸·阶段练习）（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）的值域为，求实数的取值范围． 【变式3-6】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的值域为，求函数的值域． 经典题型四：函数的单调性 【典例4-1】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【典例4-2】（2024·高一·辽宁鞍山·阶段练习）已知函数，且满足，. (1)求和的值 (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【变式4-1】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数， (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数在上的最小值为，求函数的表达式. 【变式4-2】（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【变式4-3】（2024·高一·福建福州·阶段练习）定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-5】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-6】（2024·高三·甘肃酒泉·阶段练习）已知函数，在上是单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-7】（2024·高一·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．函数的减区间 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数的增区间是 经典题型五：函数的奇偶性 【典例5-1】（2024·高一·河南信阳·阶段练习）函数是奇函数，且，则 【典例5-2】（2024·高一·河南许昌·开学考试）奇函数的定义域为，若时，的图象如图所示，则不等式的解集为 ． 【变式5-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知是定义在上的偶函数，，对于任意且，恒成立，则使得成立的的取值范围是 ． 【变式5-2】（2024·高一·江苏淮安·学业考试）设函数为定义在上的偶函数，且在区间上为增函数，则，，从小到大的顺序为 【变式5-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则 ． 【变式5-4】（2024·高一·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数为上的偶函数，当时，，则时， ． 【变式5-5】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，，则的解集为 ．（用区间表示） 【变式5-6】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数在上的值域； (2)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 经典题型六：函数的图像 【典例6-1】（2024·高一·山东聊城·期中）函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高三·江苏南通·阶段练习）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·高一·山东滨州·期中）函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6-2】（2024·安徽·模拟预测）心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·高一·广东茂名·期末）已知函数，则的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式6-4】（2024·高二·福建厦门·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 经典题型七：函数性质的综合应用 【典例7-1】（2024·高一·吉林·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 【典例7-2】（2024·高一·河南南阳·阶段练习）已知函数的定义域为，，且对于任意实数，，有，当时，. (1)求的值； (2)求证：在定义域上是单调递增函数； (3)求证：为奇函数. 【变式7-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围. 【变式7-2】（2024·高一·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【变式7-3】（2024·高一·江西南昌·阶段练习）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 【变式7-4】（2024·高一·陕西渭南·期末）已知函数是定义内的奇函数，且. (1)确定函数的解析式； (2)用单调性的定义证明函数在内是减函数. 【变式7-5】（2024·高一·江苏·专题练习）已知函数，其中. (1)当函数的图象关于点成中心对称时，求的值； (2)若函数在上单调递减，求的取值范围； (3)若，求函数在区间上的值域. 【变式7-6】（2024·高三·福建宁德·开学考试）函数的定义域为，且满足对于任意，有，当. (1)证明：在上是增函数； (2)证明：是偶函数； (3)如果，解不等式. 【变式7-7】（2024·高一·四川德阳·期末）对称美在日常生活中随处可见，在数学中也非常常见．高一某同学通过自主探究发现：①当时：若恒有，则函数关于直线对称；若恒有，则函数关于点对称；②函数关于直线对称，必为偶函数；若函数关于点对称，则必为奇函数；③三次函数一定有对称中心；四次函数不一定有与轴垂直的对称轴.请您对上诉结论作进一步探究，结合自己的实际，解答以下问题： (1)求三次函数的对称中心； (2)若四次函数有垂直于轴的对称轴，求的值； (3)若，求的值. 模块三：数学思想方法 ①分类讨论思想 【典例8-1】设函数，用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（    ） A．1 B．3 C．0 D． 【典例8-2】已知幂函数满足，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】若定义在R的奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数的最小值为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． ②转化与化归思想 【典例9-1】已知函数，若，且，设，则t的最大值为（    ） A．  1 B． C． D． 【典例9-2】若定义在R的奇函数在单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是    A． B． C． D． ③数形结合思想 【典例10-1】已知函数为奇函数，时为增函数且，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【典例10-2】已知定义在R上的偶函数满足：①对任意的，且，都有成立；②则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】已知函数的值域是，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】如图，直线l和圆C，当l从开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转到转到角不超过时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$