第四章 图形的相似（单元重点综合测试A卷，北师大版）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记•巧练（陕西专用）

第四章 图形的相似（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 2．下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，5，6 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，如果四条线段满足,则四条线段称为比例线段，据此即可验证求解． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质变形即可求解，熟知比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， 故选：C． 4．如图，已知且，则的长为（    ） A．12 B．13 C．18 D．21 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，由定理得，即可求解；理解平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故选：D． 5．如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：解：A、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． B、与不是对应边，不能说明相似，选项错误，符合题意． C、，，两组对应角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． D、，，两组对边成比例，夹角相等的三角形相似，选项正确，不符合题意． 故选B． 6．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 【答案】B 【知识点】三角形角平分线的定义、相似三角形的判定与性质综合、根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等 【分析】由勾股定理得，，由平分，平分，可得，由，可得，即，如图，，，设，则，，，由，可知，即，可求，，进而可求． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴，即， 如图， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴，即， 解得，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质等知识．熟练掌握勾股定理，角平分线，平行线的性质，等角对等边，相似三角形的性质是解题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求位似图形的对应坐标、判断位似中心、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，连接，交轴于点，则点为位似中心，先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点的坐标即可．解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 【详解】解：连接，交轴于点，则点为位似中心， 矩形与矩形是位似图形，，， ，，，，， ， ， ， 即， ， 故位似中心的坐标为． 故选：A． 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【知识点】相似三角形应用举例、根据正方形的性质证明 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．若，则 ． 【答案】/0.75 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，主要利用了等比性质，解题的关键是熟练掌握等比性质． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 . 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比相等．根据相似三角形对应边的比相等列式即可求解． 【详解】解：∵点D是线段的中点， ∴ ∵ ∴， 即， 解得． 故答案为． 11．符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ． 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义可得，故可求得的长． 【详解】解：∵两点都是的黄金分割点，， 故答案为： 12．如图， 在正方形中，，点E 为边一点，，连接，过点B作，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，根据正方形的性质得到，，从而得到，，即可得到，结合得到，即可得到答案； 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴，即：， 解得：， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】6 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，点P为边的中点， ∴，， 作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，最小值为的长， 此时， ∴的最小值为6， 故答案为：6． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段的定义，由题意得出即可求解． 【详解】解：已知，，，是成比例线段， 根据成比例线段的定义得， 代入，，得：， 解得：， ∴线段的长为 15．（5分）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先得出，进而可得出答案． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 16．（5分）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】证明两三角形相似 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（5分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2． 【答案】见解析 【知识点】在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了画位似图形，先画出点A和点B以原点O为位似中心的对应点，再依次连接即可． 【详解】解：∵的三个顶点坐标分别为，，，在第三象限，且与的相似比是2， ∴， 如图所示：即为所求； 18．（5分）已知：在和中， ．求证：． 【答案】见解析 【知识点】证明两三角形相似 【分析】直接在线段（或它的延长线）上截取，得出，再证明，进而得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定，正确得出是解题关键． 【详解】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵，∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 19．（5分）如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得线段将分成的两个小三角形相似．(不写作法，保留作图痕迹) 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、证明两三角形相似 【分析】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，过C作于点D，然后利用相似三角形的判定证明和相似即可． 【详解】解：如图，点D即为所求， 由作图知：， ∴， 又， ∴， ∴． 20．（6分）如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、证明两三角形相似 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 【答案】见解析 【知识点】证明两三角形相似、勾股定理与网格问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与网格问题，三角形相似的判定，先根据勾股定理求出、、、，得出，即可证明． 【详解】解：∵，，， ，，， ∴，，， ∴， ∴． 22．（7分）如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 【答案】这个建筑物的高度为12米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．过点A作，交于点F，垂足为G，根据，得到，根据相似三角形的性质列方程并求解，即得答案． 【详解】如图，过点A作，交于点F，垂足为G， 由题意，得厘米米，米，厘米米， ， ， ， ， 米． 答：这个建筑物的高度为12米． 23．（7分）如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． (1)求证：； (2)若，．求的值． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【知识点】内错角相等两直线平行、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的判定和性质， （1）根据角平分线的性质可得，且，可证，由此即可求解； （2）由（1）可求出，根据直角三角形斜边上的中线可得，，于是，可证，可求出的值，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴，则（负值舍去）， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴． 24．（7分）在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 【答案】米 【知识点】相似三角形应用举例 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，根据题意，可证，设，可得，再证，即可求解． 【详解】解：已知，，，点、、、、在一条直线上， ∴， 根据题意，米，米，米，米，米， ∵位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， 解得，， ∴大雁塔的高度米． 25．（8分）已知：如图，在中，，，，点P从A点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，？ (2)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)时，； (2)存在，当t等于或或时，为等腰三角形． 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）在中，由勾股定理得：，再根据得出即，求解即可； （2）需要进行分类讨论：当时，；当时，作于点D，先证明，所以，即，根据，得出，求解即可；当时，作于点E，证明，所以，即，解得，再根据，，解得． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得：， 则，，， ∵， ∴即， 解得； （2）解：当时，， ∴； 当时， 作于点D， ∵，， ∴， 所以，即， ， ∵， ， 解得； 当时， 作于点E， ∵， ∴， 所以，即， ， ∵， ， 解得； 所以，当t等于或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了利用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定及性质，解题的关键是添加适当的辅助线，利用分类讨论的思想进行求解． 26．（10分）（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【知识点】配方法的应用、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明，可得到； （2）连接，证明，可得到； （3）作，设，那么，那么，因为，，，那么，最后利用配方法求得的最值． 【详解】解：（1）和均为等腰直角三角形， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示 四边形是正方形 ， 为等腰直角三角形， ， （3）作交于，不妨设，如图所示： 由（2）可知， 那么为等腰直角三角形 那么 ，， 时，最大，此时最大值为4 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的的判定与性质，正方形的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 图形的相似（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下面几对图形中，相似的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．1，2，3，6 C．2，3，4，5 D．1，3，5，6 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知且，则的长为（    ） A．12 B．13 C．18 D．21 5．如图，点D在的边AC上，添加一个条件，不能判断与相似的是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（   ） A．5 B． C． D．6 7．如图，在平面直角坐标系中的两个矩形和矩形是位似图形，对应点和的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上 9．若，则 ． 10．已知中，，点D是线段的中点，点E在线段上且，则 . 11．符合黄金分割比例的图形会使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，两点都是的黄金分割点，若，则的长是 ． 12．如图， 在正方形中，，点E 为边一点，，连接，过点B作，垂足为点F，则的长为 ． 13．如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ． 三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（5分）已知线段，，，是成比例线段，其中，，，求线段的长． 15．（5分）如图，在中，点D，E，F分别是边上的点，且，且，，求的长．    16．（5分）如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 17．（5分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限画出，使它与的相似比是2． 18．（5分）已知：在和中， ．求证：． 19．（5分）如图，在中，，，请用尺规在边上找一点D，使得线段将分成的两个小三角形相似．(不写作法，保留作图痕迹) 20．（6分）如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 21．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，和都是格点三角形．求证：． 22．（7分）如图，晓波拿着一根笔直的小棍，站在距某建筑物约30米的点N处（即米），把手臂向前伸直且让小棍竖直，，晓波看到点B和建筑物顶端D在一条直线上，点C和底端E在一条直线上．已知晓波的臂长约为60厘米，小棍的长为24厘米，，，．求这个建筑物的高度． 23．（7分）如图．四边形中，平分，，为的中点．连接，． (1)求证：； (2)若，．求的值． 24．（7分）在学完利用相似三角形测高后，我校九年级数学兴趣小组准备去测量大雁塔的高度．测量方案如下：如图，首先，小辉站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小辉刚好看到大雁塔的顶端的像，此时测得小辉的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度．（平面镜大小厚度忽略不计） 25．（8分）已知：如图，在中，，，，点P从A点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动速度为．设运动时间为．解答下列问题： (1)当为何值时，？ (2)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26．（10分）（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______ （2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数． （3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$