精品解析：辽宁省部分名校2024-2025学年高二上学期联合质量检测数学试题

高二考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 十三棱锥的顶点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由棱锥的定义，即可得到结果. 【详解】十三棱锥的顶点的个数为. 故选：B 2. 已知空间向量，.若，则（ ） A. 12 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解. 【详解】因为，所以有：， 解得，，所以. 故选：A. 3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用空间向量的基底概念判断选项即可. 【详解】，A错误. 设，不共面，所以不存在使其成立，故三个向量不共面，B正确. 错误. 错误. 故选:B 4. 在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点的坐标得到向量的坐标，根据向量的模求得最值即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 当时，为增函数， ∴， ∵为整数， ∴的最小值为， 故选：C. 5. 某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱锥内切球半径与棱锥的面积、体积的关系列式即可得解. 【详解】设该三棱锥的体积为，表面积为，该三棱锥的内切球的半径为， 则，所以， 故该三棱锥的内切球的直径为. 故选：B. 6. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角. 【详解】设与的夹角为，由，得， 两边同时平方得， 所以1，解得， 又，所以. 故选：D 7. 刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正四棱锥的结构特征得到为侧面与底面所成的角，进而利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，从而利用“曲率”的定义即可得解. 【详解】如图，连接，，设，连接，则平面， 取的中点，连接，， 则由正四棱锥的结构特征可知， 所以为侧面与底面所成的角， 设，则， 在中，， 所以，又，所以， 所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形， 所以顶点每个面角均为， 故正四棱锥在顶点处的曲率为. 故选：D. 8. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∵四点共面， ∴，即． ∵，当且仅当时，等号成立， ∴的最小值为1． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知几何体为长方体，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 在方向上的投影向量为 C. 在方向上的投影向量为 D. 在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据投影向量的概念逐一进行判断即可. 【详解】如图： 在长方体中，因为平面，所以，所以在方向上的投影向量为，即A正确； 因为在中，，所以与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即B错误； 因为，，所以在方向上的投影向量为，即C正确； 虽然，但与不垂直，所以在方向上的投影向量不是，即D错误. 故选：AC 10. 在空间直角坐标系中，，，，，则（ ） A. 点在平面内 B. 四面体为正四面体 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的坐标表示得到，从而判断A；利用空间两点距离公式判断B；利用正四面体的结构特征与中点的性质判断C，利用空间向量法求点面距离判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为，，，， 所以，则， 所以为线段的中点，所以点在平面内，故A正确， 对于B，因为，，，， 所以由空间两点距离公式得， 所以四面体为正四面体，故B正确， 对于C，因为四面体为正四面体，所以是正三角形， 则点到直线的距离为，且为线段的中点， 所以点到直线的距离为，故C错误， 对于D，由题知，，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ） A. 此刻容器内液体的体积与容器的容积的比值为 B. 容器内液体倒去一半后，容器内液体的高度为 C. 当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为 D. 当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由圆锥的体积公式及圆台；正方体的体积公式，逐项判断即可. 【详解】作圆锥的轴截面如图： 设， 由相似三角形可得： 所以 对于A：由于液体高度与圆锥高度之比， 所以容器内液体的体积与容器的容积的比值为，A错误． 对于B：设容器内液体倒去一半后液体的高度为，则，解得，B正确． 对于C：因为，， 所以当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为，C正确． 对于D:当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时， 设容器内液体的高度为，体积， 则，，D正确． 故选: BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若空间向量，，，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，结合对数运算求得. 【详解】依题意得， 解得. 故答案为： 13. 已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积公式即可得解. 【详解】在中，，. 根据正弦定理（为外接圆半径）， 这里，，所以，解得. 因为、、三点所在平面经过球心，所以球的半径. 因为、、三点所在平面经过球心， 当垂直于平面时，点到平面的距离最大，这个最大值就是球的半径， 所以点到平面的距离的最大值为. 则球的表面积为. 故答案为：；. 14. 在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，设，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 求出与，都垂直的向量为，利用即可求. 【详解】 连接，，设， 由题意，以为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，，，， ，，. 设与，都垂直的向量为， 则，即， 令，则，， 所以为与，都垂直的一个向量， 则线段的长度的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【小问1详解】 连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面 【小问2详解】 ，分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 16. 在正四棱台中，. （1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据体积公式求解； （2）由数量积的运算律计算． 【小问1详解】 设该正四棱台的高为，则， 解得. 【小问2详解】 在正四棱台中，底面与底面均为正方形，且对应边互相平行， 所以，， 过作，垂足为，易得，所以， 所以. 故. 17. 如图，在四棱锥中，底面平面. （1）证明：平面平面PAB. （2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由底面，得到，结合得到平面，再由线面平行的性质得到，故平面，进而证明出面面垂直； （2）在（1）基础上得到直线PD与直线BC所成的角为，由线面垂直得到，故，建立空间直角坐标系，设，写出点的坐标，求出两平面的法向量，求出两法向量夹角的余弦值，进而得到二面角的正弦值. 【小问1详解】 底面，平面，， ，，平面，平面， 平面PAD，平面平面，平面， ，平面， 又平面平面平面PAB 【小问2详解】 ，直线PD与直线BC所成的角为， 底面，平面， ，即， 设，则， 以为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面PCD的法向量为，则， 取，则，得， 易知平面PAB的一个法向量为， 则， 故平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值为. 18. 如图，在正方体中，，. （1）当取得最小值时，求与的值. （2）设与平面所成的角为. ①若，求的值； ②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析，定值为2 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，得到点的坐标以及向量的坐标，即可求出两个向量夹角的余弦值； （2）①根据直线与平面夹角的正弦值就是该直线方向向量与该平面法向量夹角的余弦值可得到结果；②根据①得到的值，化简即可得到结果. 【小问1详解】 解：以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， ∴，， 即， ∴， 当时，取得最小值， 此时， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①解：， 设平面的法向量为， 则即， 令，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴； ②证明：由①知， 则，， ∴， ∴存在常数，使得为定值， 且该定值为2. 19. 空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 （1）证明：. （2）设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用空间向量叉乘的坐标表示直接计算即可得证； （2）①利用空间向量数量积的坐标表示证得，，从而得证；②利用空间向量夹角与模的坐标表示证得，结合①中结论即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以 ， 所以. 【小问2详解】 ①设，， 则， 所以， ， 所以，， 所以是平面的一个法向量； ②设，， 则， 所以 ， 而， ， 所以， 又， 所以， 所以的几何意义为等于以，为邻边所作的平行四边形的面积，且的方向与平面垂直. 【点睛】思路点睛：关于新定义题思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版必修第四册第十一章，选择性必修第一册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 十三棱锥的顶点的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，.若，则（ ） A. 12 B. 10 C. D. 3. 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，已知，，为整数，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 某三棱锥的体积为，表面积为，则该三棱锥的内切球的直径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 刻画空间弯曲性是几何研究重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为.若正四棱锥的侧面与底面所成角的正切值为，则四棱锥在顶点处的曲率为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知几何体为长方体，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. 在方向上的投影向量为 C. 在方向上的投影向量为 D. 在方向上的投影向量为 10. 在空间直角坐标系中，，，，，则（ ） A. 点在平面内 B. 四面体为正四面体 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 如图，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥形容器，已知此刻容器内液体的高度为15cm，忽略容器的厚度，则（ ） A. 此刻容器内液体体积与容器的容积的比值为 B. 容器内液体倒去一半后，容器内液体高度为 C. 当容器内液体的高度增加5cm时，需要增加的液体的体积为 D. 当容器内沉入一个棱长为的正方体铁块时，容器内液体的高度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若空间向量，，，则_____. 13. 已知，，，四点都在球的球面上，且，，三点所在平面经过球心，，，则点到平面的距离的最大值为________，球的表面积为________. 14. 在直四棱柱中，底面为菱形，，，为棱的中点，，分别为直线，上的动点，则线段的长度的最小值为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. （1）证明：平面. （2）证明：平面平面. 16. 在正四棱台中，. （1）若，四棱台的体积为，求该四棱台的高； （2）若，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，底面平面. （1）证明：平面平面PAB. （2）若，，且异面直线PD与BC所成角的正切值为，求平面PAB与平面PCD所成二面角的正弦值. 18. 如图，在正方体中，，. （1）当取得最小值时，求与值. （2）设与平面所成的角为. ①若，求值； ②证明：存在常数，使得为定值，并求该定值. 19. 空间向量的叉乘是三维欧几里得空间中定义的一种新运算，它可以用来描述空间向量之间的垂直关系.设空间向量，，则叉乘的运算公式为 （1）证明：. （2）设，，是平面内不共线的三个不同的点. ①证明：是平面的一个法向量. ②说明的几何意义（即说明的长度与方向的几何意义）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$