第二十六章 反比例函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湖北专用，人教版）

第二十六章 反比例函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在反比例函数中，自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D．全体实数 2．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在同一坐标系中，函数和的图象大致可能是（   ） A．B．C． D． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是(      ) A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 6．如图，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的不等式的解集为（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D． 7．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 8．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 10．已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（    ） A． B． C．4 D．5 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．已知反比例函数的图象经过点，则 ． 12．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 13．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 14．写出一个整数k的值，使得反比例函数的图象位于第一、第三象限： ． 15．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为 小时． 16．如图，点、为反比例函数图像上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点、恰好为、的中点，当的面积为时，的值为 ．    三、解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．（8分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 18．（8分）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 19．（8分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 20．（8分）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 21．（8分）平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如下，点是x轴负半轴上一点，过点B作x轴的垂线，分别与和的图象交于点A，C．当时，线段． (1)求k的值； (2)当为等腰三角形时，求的长． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． (1)点的坐标为______；（用含的代数式表示） (2)若，求点的坐标； (3)若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 23．（10分）国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式； (2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？ 24．（12分）已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 反比例函数 （A卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在反比例函数中，自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数中自变量的取值范围，根据分式有意义的条件即分母不等于即可求解，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， ∴， 故选：C． 2．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式， ∴在反比例函数的图象上的点横纵坐标的乘积一定为， A、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； B、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、，该点在反比例函数的图象上，符合题意； D、，该点不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：C． 3．在函数（k是常数，且）的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可． 【详解】解：∵函数（k为常数，且）中， ∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，在同一坐标系中，函数和的图象大致可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象的知识，比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y轴的交点判断正确选项即可． 【详解】解：∵两个函数的比例系数均为k， ∴两个函数图象必有交点， 又交y轴的正半轴， ∴符合这两个条件的选项只有C． 故选：C． 5．对于反比例函数，下列说法正确的是(      ) A．图象经过点 B．图象位于第一、三象限 C．y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， A、当时，，图象经过点，故选项A不符合题意； B、∵，故该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意； C、在每个象限内，随的增大而增大，故选项C不符合题意； D、∵当时， ，时， ∴当时，，故选项D符合题意； 故选：D． 6．如图，是一次函数与反比例函数的图象，则关于的不等式的解集为（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象在同一坐标系中二者的图象之间的关系．根据反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象可直接解答． 【详解】解：观察图象，两函数图象的交点坐标为，， 的解就是一次函数图象在反比例函数的图象的下方的时候的取值范围， 由图象可得：或者， 故选：A． 7．验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（   ）度． A．150 B．200 C．250 D．300 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可． 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了（度）， 故选：B 8．如图，轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，若的面积为6，则k的值为（　     　）                                       A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，设，则，根据k的几何意义，得到，，进而得到，根据的面积为6，列出方程求解即可． 【详解】解：设， ∵轴，垂足为D，分别交双曲线于点A，B，， ∴，， ∴， ∵的面积为6， ∴， 解得：， 故选：A． 9．如图，矩形的边，，动点在边上（不与、重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和．给出下列命题：若，则的面积为；若，则点关于直线的对称点在轴上；满足题设的的取值范围是；若，则；其中正确的命题个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】若则计算故命题正确；如答图所示，若，可证明直线是线段的垂直平分线，故命题正确；因为点不经过点，所以，即可得出的范围；求出直线的解析式，得到点、的坐标，然后求出线段、的长度； 利用算式，求出，故命题正确． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴， ，故正确； ∵， ∴，， ∴，， 如答图，过点作轴于点， 则，， 在线段上取一点，使得，连接， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 又∵， ∴点与点关于直线对称，故正确； 由题意，点与点不重合， ∴， ∴， 故错误； 设， 则，， 设直线的解析式为，则有， ，解得， ∴， 令，得， ∴， 令，得， ∴， 如上答图， 过点作轴于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴，解得， ∴, 故命题正确； 综上所述，正确的命题是：，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了函数的图象与性质、反比例函数图象上点的坐标特征、比例系数k的几何意义、待定系数法、矩形及勾股定理等多个知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 10．已知点，，反比例函数经过点，点在线段上，过点作直线与轴平行，交反比例函数图像于点，再分别过点和点作轴垂线，所形成的矩形的面积的最大值是（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【分析】将代入，求得，待定系数法求直线的解析式为，设，则，，则，矩形的面积为，根据二次函数的图象与性质求最值即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴矩形的面积为， ∵，， ∴当时，矩形的面积最大，最大为， 故选：A． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．已知反比例函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数的图象经过点求出的值，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ， 解得 故答案为：． 12．已知函数是关于的反比例函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解一元二次方程，根据反比例函数的定义可得，然后求解即可，解题的关键是熟记反比例函数的定义：形如的函数叫做反比例函数． 【详解】∵函数是关于的反比例函数， ∴，解得：， 故答案为：． 13．某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为，当时，I的值为 A． 【答案】5 【分析】本题考查了求反比例函数值，掌握反比例函数图像的点必然满足函数解析式成为解题的关键． 把代入函数表达式即可求出I的值． 【详解】解：当时，． 故答案为：5． 14．写出一个整数k的值，使得反比例函数的图象位于第一、第三象限： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，位于第一、第三象限，要求，计算k的值，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限 ∴ ∴ ∵写出一个整数k的值符合条件 则（答案不唯一） 15．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.5毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为 小时． 【答案】7.875 【分析】将点（1，4）分别代入y=kt， 中，求k、m，确定函数关系式，再把y=0.5代入两个函数式中求t，把所求两个时间t作差即可． 【详解】解：把点（1，4）分别代入y=kt，中， 得k=4，m=4， ∴y=4t，， 把y=0.5代入y=4t中，得t1=， 把y=0.5代入中，得t2=， ∴治疗疾病有效的时间为：t2-t1= 故答案为：7.875． 【点睛】本题考查了本题主要考查函数模型的选择与应用、反比例函数、一次函数的实际应用．关键是用待定系数法求函数关系式，理解题意，根据已知函数值求自变量的差． 16．如图，点、为反比例函数图像上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点、恰好为、的中点，当的面积为时，的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，设点的坐标为，则点，，根据三角形的面积公式可得出，即可得解．利用反比例函数图像上点的坐标特征表示出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点、恰好为、的中点，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：． 故答案为：． 三、解答题：共8题，共62分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分。 17．（8分）已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 18．（8分）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1)函数的解析式为I=； (2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内． 【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=， ∵图象经过（20，1.8）， ∴1.8=， 解得k=1.8×20=36， ∴I=； （2）解：∵I≤3，I=， ∴≤3， ∴R≥12， 即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 19．（8分）已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点． (1)求这两个函数的表达式； (2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象，观察图象：当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 ，一次函数的表达式为 (2) 或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，也考查了观察图象的能力．（1）把点代入反比例函数求出，即可求出反比例函数解析式，再求出点坐标，由待定系数法求出一次函数解析式；（2）由题意得出函数的图象总在函数的图象上方，即可得出结果． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为 ， 点在反比例函数的图象上， ， 点B的坐标为 ， 一次函数的图象经过点A、B，将A、B两个点的坐标代入， 得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）画出图象： 观察函数图象可知：符合条件的x取值范围是： 或． 20．（8分）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 21．（8分）平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如下，点是x轴负半轴上一点，过点B作x轴的垂线，分别与和的图象交于点A，C．当时，线段． (1)求k的值； (2)当为等腰三角形时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数、等腰直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）将点C的坐标代入可得答案； （2）由为等腰三角形可得，根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出，进而求出，再求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：点C的坐标为，代入， ∴； （2）解：∵，且为等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 将代入反比例函数，得， ∴， ∴． 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是线段上的一个动点，过点作轴，交反比例函数的图象于点，过点作的垂线交轴于点，是线段上一点，且，连接，设点的横坐标为． (1)点的坐标为______；（用含的代数式表示） (2)若，求点的坐标； (3)若的面积为3时，点也在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得直线的解析式，即可求得B点的坐标特征； （2）延长，交x轴于M，作轴于N，作于F，通过证得，即可得到，由点，得到E，； （3）表示出C、E的坐标，根据反比例函数系数列方程求得t的值，进一步即可求得k的值． 【详解】（1）解：∵点， 设直线表达式为：， 则， ∴， ∴直线为， ∵点B是线段上的一个动点，点B的横坐标为， ∴， 故答案为：； （2）解：延长，交x轴于M， ∵轴， ∴轴， 作轴于N，作于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴，即； （3）解：∵的面积为3， ∴，即， ∴， ∴ ， 而， ∵点E、C在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，， 解得或（舍） ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，求正比例函数解析式，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程，正确表示出E、C的坐标是解题的关键． 23．（10分）国庆假期间，学校进行全方位消毒，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分）之间的关系如图所示（图象由线段与部分双曲线组成）．根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)求药物在燃烧释放过程中，与之间的函数关系式； (2)根据药物说明书要求，只有当空气中每立方米的含药量不低于4毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用15分钟以上，才能完全消灭病毒，请问这次消毒是否彻底？ 【答案】(1) (2)这次消毒很彻底 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解正比例函数和反比例函数的性质． （1）设双曲线的解析式为，将代入求得，再求出，设线段的函数解析式为，将，代入计算即可； （2）将分别代入求得的正比例函数和反比例函数求得的值，然后作差与15比较即可得出此次消毒是否有效． 【详解】（1）解：设双曲线的解析式为， 将代入解析式得，， 药物在燃烧释放过程中，双曲线的函数解析式为， 将代入解析式得，， 解得， 故， 设线段的函数解析式为， 将代入可得：， 解得：， 药物在燃烧释放过程中，线段的函数解析式为 ， 综上，； （2）解：将代入中，可得：，解得：， 将代入中，，解得：， ∴空气中每立方米的含药量不低于4毫克的时间为， 这次消毒很彻底． 24．（12分）已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． (1)求直线的解析式； (2)过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，求的最小值和此时M点的坐标； (3)在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最小值为； (3)或或 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【详解】（1）解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； （3）解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$