第二章 二次函数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第二章 二次函数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数不属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 3．二次函数，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（    ）    A． B． C． D． 5．若当时，二次函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D．或 6．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣2或a≥1 B．或﹣2≤a≤1 C．1≤或a≤﹣2 D．﹣2≤ 7．如图，抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（    ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．二次函数y＝的图象开口向上，则k＝ ． 10．若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为 12．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，，E点在直线下方且，连接，则面积的最大值是 ． 13．如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x（件），其中x＞0．若在甲地销售，每件售价y（元）与x之间的函数关系式为，每件成本为20元，设此时的年销售利润为（元）（利润=销售额-成本）；若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元（a为常数，15≤a≤25），每件售价为106元，销售x（件）每年还需缴纳元的附加费，设此时的年销售利润为（元）（利润=销售额-成本-附加费）； (1)当a=16时且x=100时，= 元； (2)求与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求x为何值时，最大以及最大值是多少？ (3)为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大． 15．如图，已知二次函数的图象经过点，点，是二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，若，的面积是6，求m的值． 16．问题探究： （1）如图1，在四边形中，，，，．点F，E分别在，边上，连接与交于点O，且．若，．求的度数和线段的长度． 问题解决： （2）如图2，在矩形花园的规划中，米，米，点E在上，点F在上，，连接，交于点O，点P为的中点，以为直径修建一个圆形的水池养锦鲤，供游客欣赏．为了节约费用，要求这个圆形的水池面积最小，请求出水池面积的最小值． 17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线过，两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一点，点为抛物线上位于直线上方的点，过点作轴交直线于点，点为抛物线对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． (3)设点为抛物线对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 18．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若y＝（m+2）x|m|+2x﹣1是二次函数，则m＝ ． 20．二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将二次函数的图象绕点旋转180度得到图象为，当时，图象上点纵坐标的最小值为，则 ． 21．如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-8，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ． 22．已知二次函数，当时，． （1）若，，则 ． （2）若抛物线经过点和点，则的取值范围是 ． 23．如图所示， 在中，，， 点P是线段上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作于点 R， 作的平分线交于点G， 在线段上截取， 过点D作交于点E， 过点P作交于点F，此时四边形恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形面积的最小值为 ，最大值为 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，抛物线经过，两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接，点H为的中点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标． (2)请直接写出点H的坐标． (3)在y轴上确定一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求的最小值． 25．如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C． (1)如图1，当时，直接写出A、B、C三点坐标； (2)在（1）的条件下，连接．若D是抛物线上第四象限上一点，且，求点D的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接，分别交y轴于P、Q两点，求的值． 26．如图，抛物线经过点，点，点．    (1)求抛物线的解析式，并直接写出直线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和面积的最大值； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列函数不属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把每个选项中的函数整理成一般形式，根据二次函数的定义即可判定． 【详解】解：A．，是二次函数，不符合题意； B．，是二次函数，不符合题意； C．，是二次函数，不符合题意； D．，不是二次函数，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．一般地，把形如（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数． 2．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线经过平移得到，平移方法是：向左平移1个单位，再向下平移2个单位． 故选择：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题目，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 3．二次函数，当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出二次函数的图象，根据图象即可求解． 【详解】解：如图    由上图得： 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式问题，画出图象，会利用图象解决问题是解题的关键． 4．如图，已知在抛物线上有一点，轴于B点，连接，将绕O点顺时针方向旋转一定的角度后，该三角形的A．B两点中必有一个顶点落在抛物线上，这个角度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为，再根据可得当点A与抛物线顶点C重合时满足题意，再利用锐角三角函数求得，从而求得旋转角度． 【详解】解：如图，设抛物线与y轴的交点为点C，则点C坐标为， ∵，轴于B点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴将绕O点顺时针方向旋转，该三角形的A与抛物线的顶点C重合， 故选：B．    【点睛】本题考查抛物线与y轴的交点，旋转的性质、勾股定理及锐角三角函数，根据抛物线求得顶点坐标，从而确定旋转角度是解题的关键． 5．若当时，二次函数的最小值为0，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值，先求得该二次函数的对称轴，再分、三种情况，分别根据二次函数的性质列方程求解即可． 【详解】解： ， ∴该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵， 当时，当时，y有最小值，则， 解得或（舍去）； 当时，当时，二次函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值，则， 解得（舍去）， 综上，m的值为． 故选：B． 6．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　） A．a≤﹣2或a≥1 B．或﹣2≤a≤1 C．1≤或a≤﹣2 D．﹣2≤ 【答案】C 【分析】分a＞0，a＜0两种情况进行讨论，找临界点进行讨论即可． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点， ∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0， ∴△＝9﹣8a＞0， ∴a＜． ①当a＜0时， 此时函数的对称轴在y轴左侧， 当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+1＝0， 解得a＝﹣2， 故a≤﹣2； ②当a＞0时， 此时函数的对称轴在y轴右侧， 当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：a﹣1+1＝1， 解得a＝1， 即：a≥1 ∴1≤a＜． 综上所述：1≤a＜或a≤﹣2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数图象上点的特征，一次函数图象上点的特征，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． 7．如图，抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④；⑤当时，y随x增大而增大，其中结论正确的个数是（    ）． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】由抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a,即可得到2a+b=0，则可对③进行判断；由抛物线的位置可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：由图象可知： 抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程的两个根是，，故②正确； 故，即，故①正确； ∵x=-=1，即b=-2a， ∴2a+b=0，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴-＞0， ∴b＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0，∴abc＜0，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大，故⑤正确． 综上，①②③⑤共4个正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：＞0时，抛物线与x轴有2个交点；=0时，抛物线与x轴有1个交点；＜0时，抛物线与x轴没有交点． 8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数和分别交于A、B和C、D四个点，此时，，把直线向上平移个单位，则与之间的关系是（    ） A． B．随着直线向上平移， C．随着直线向上平移， D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键． 将分别代入和，即可得出求出，长度，根据得出，从而得出a的值，然后得到表达式为，然后求出与的值进而求解即可． 【详解】解：把代入中得，， ∴ ∴A的横坐标为，B横坐标为 ∴ 把代入得，， ∴ ∴C的横坐标为，D横坐标为 ∴ ∵， ∴ ∴（负值舍去） ∴表达式为， ∵把直线向上平移个单位，得到直线 ∴把代入中得，， ∴ ∴ 把代入得，， ∴ ∴ ∴． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．二次函数y＝的图象开口向上，则k＝ ． 【答案】 【分析】由解析式是二次函数可知 ，再由图像的开口向上得，由此求解即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得， ∵图像的开口向上， ∴即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义与二次函数图像的性质，熟知 图像开口向上时，a＞0，图像开口向下时，a＜0是解题的关键． 10．若二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，则k的值为 ． 【答案】9 【详解】试题分析：根据二次函数y=x2+6x+k的图象与x轴有且只有一个交点，可得△=b2-4ac=36-4k=0，解得k=9. 故答案为9 点睛：此题主要考查了二次函数与x轴的交点，解题时，利用二次函数与x轴的交点的判断关系：当△=b2-4ac＞0时，二次函数与x轴有两个交点；当△=b2-4ac=0时，二次函数与x轴有一个交点；当△=b2-4ac＞0时，二次函数与x轴没有交点，直接求解即可. 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为 【答案】6 【分析】找到对称轴直线x=2，在根据对称求出A（4,0），代入求出k的值，顶点坐标即可解题. 【详解】由题可知函数的对称轴为直线x=2， ∵原点和点A关于对称轴对称， ∴A（4,0），将A代入二次函数解析式得k=3 ∴顶点坐标（2,3） 根据对称可知图中阴影部分的面积和=S矩形OCBD=6 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据对称表示出点A的坐标是解题关键. 12．如图，在中，，，，点D是上一点，连接，，E点在直线下方且，连接，则面积的最大值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的最值，作于点，证明，结合，推出，设，，则，，利用三角形面积公式得到，最后根据二次函数的最值，即可解题． 【详解】解： 作于点， 由题知， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， 当时，有最大值为． 故答案为：． 13．如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，分别是和的中点，在，处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在点击打乒乓球后经过桌面点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从点反弹后飞向对方桌面，落点在距离为的点处，此时的长度为 ． 【答案】 【分析】如图，以点为原点建立平面直角坐标系，根据题意可得，利用待定系数法求出抛物线解析式，再求出点横坐标即可求解； 由题意可得，由得到点和点关于抛物线的对称轴对称，即点距也是，，进而得到，由勾股定理即可求出的长； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，正确建立平面直角坐标系，用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 由题意可得，， ∴，， 设抛物线的解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得（不合，舍去），， ∴， ∴落点到拦网的距离为， 故答案为：； 由题意可得，， ∴， ∵， ∴点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴点距也是， 设轴交于点，连接， ∵轴，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．某公司开发了一种新产品，现要在甲地或者乙地进行销售，设年销售量为x（件），其中x＞0．若在甲地销售，每件售价y（元）与x之间的函数关系式为，每件成本为20元，设此时的年销售利润为（元）（利润=销售额-成本）；若在乙地销售，受各种不确定因素的影响，每件成本为a元（a为常数，15≤a≤25），每件售价为106元，销售x（件）每年还需缴纳元的附加费，设此时的年销售利润为（元）（利润=销售额-成本-附加费）； (1)当a=16时且x=100时，= 元； (2)求与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求x为何值时，最大以及最大值是多少？ (3)为完成x件的年销售任务，请你通过分析帮助公司决策，应选择在甲地还是在乙地销售才能使该公司所获年利润最大． 【答案】(1)8000 (2)=，时，最大，最大值为16000 (3)应选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大． 【分析】（1）利用利润=销售额-成本-附加费得出的函数解析式为，代入数值求得答案即可； （2）利用利润=销售额-成本求得与x之间的函数关系式，利用配方法求得最值即可； （3）先计算得到，而15≤a≤25，可得＜0，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴当a=16时且x=100时，元； 故答案为：8000； （2）解： 当时，最大，最大值为16000； （3）解：根据题意得：， ∴， ∵，且， ∴＜0，     ∴， 对于， 当时，最大，最大值=， ∵15≤a≤25，∴当a=15时，x=455时， 此时的最大值为元， 由（2）得：当时，最大，最大值为16000， ∴应选择在乙地销售才能使该公司所获年利润最大． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． 15．如图，已知二次函数的图象经过点，点，是二次函数的图像上的两个动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，若，的面积是6，求m的值． 【答案】(1)；(2)或2 【分析】本题主要考查了二次函数面积综合题， 待定系数法求一次函数以及二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）先求出点B的坐标，再求出的解析式，点P、D的坐标分别为：、，然后根据三角形的面积公式可得出，解一元二次方程即可得出m的值． 【详解】（1）解：将点代入抛物线表达式得：， 则， 即抛物线的表达式为：； （2）解：令，， 则， 则点， 设直线的表达式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴， ∴点P、D的坐标分别为：、， 则， ∴， 即 解得：，； ∴m的值是或2． 16．问题探究： （1）如图1，在四边形中，，，，．点F，E分别在，边上，连接与交于点O，且．若，．求的度数和线段的长度． 问题解决： （2）如图2，在矩形花园的规划中，米，米，点E在上，点F在上，，连接，交于点O，点P为的中点，以为直径修建一个圆形的水池养锦鲤，供游客欣赏．为了节约费用，要求这个圆形的水池面积最小，请求出水池面积的最小值． 【答案】（1），；（2）平方米 【分析】（1）过点D作于N，连接，证明是等边三角形，得到，，，则，求出，得到，证明，得到，，即可得到；证明，得到，设，则，则，，由勾股定理得，解方程即可得到； （2）证明，得到，则可推出，可得，设，则，，由勾股定理得到，则，据此可得答案． 【详解】解：（1）如图所示，过点D作于N，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵米，米，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴当时，圆心水池的面积有最小值，最小值为平方米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（1）的关键在于证明全等三角形和相似三角形最后利用勾股定理建立方程求解，解（2）的关键是证明． 17．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线过，两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一点，点为抛物线上位于直线上方的点，过点作轴交直线于点，点为抛物线对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值． (3)设点为抛物线对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据一次函数解析式可求出点，的坐标，再代入抛物线解析式进而求解即可； （2）设点的坐标为，则点的坐标为，由坐标得，当时，线段的长度最大，此时，点的坐标为，点和点关于对称轴对称，连接交对称轴于点，此时最小，连接交直线于点，则，由勾股定理得，根据，即可求解； （3）设，分别表示出，分分别为直角顶点时，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：直线过、两点，且，分别在轴和轴上 当时， 当时， 点，点 抛物线与轴交于点，与轴交于点， ， 解得， 抛物线的解析式为：． （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 点为抛物线上位于直线上方的一点， ， ， 当时，线段的长度最大， 此时，点的坐标为， ，， 点和点关于对称轴对称， 连接交对称轴于点，此时最小， 连接交直线于点，则，点的坐标为，则 ， ， 的最小值为． （3）∵点，点 ∴， ∵，则对称轴为直线， 设， ∴， ①当时，， ∴ 解得：或 ②当时，， ∴ 解得： ③当时，， ∴ 解得： 综上所述，使为直角三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，线段周长问题，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 18．如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上．点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图1中过点P作交抛物线于点D，连接，，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2)平行四边形，理由见解析 (3) 【分析】（1）将点代入，可得； （2）作交轴于点，连接、，由点在上，可知，，连接，得到，则，当时，，进而得出，然后证明，即可得到结论； （3）由题意得，，连接，在上方作，使得，，证明，根据（当，，三点共线时最短），得到的最小值为，利用勾股定理求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点 答：抛物线的表达式为． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 如图1，作交轴于点，连接、， 点在上， ，， 连接， ∵， ， ∴，， ∵， ， ， 当时，， ， ， ， ， 轴，轴， ， 四边形是平行四边形． （3）解：如图2，由题意得，，连接， 在上方作，使得，， ，， ， ， ，，， ， ， （当，，三点共线时最短）， 的最小值为， ， 即的最小值为． 答：的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．若y＝（m+2）x|m|+2x﹣1是二次函数，则m＝ ． 【答案】2． 【分析】根据形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数可得：|m|=2，且m+2≠0，再解即可． 【详解】∵y＝（m+2）x|m|+2x﹣1是二次函数， ∴|m|＝2且m+2≠0， 解得：m＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数的一般形式y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)． 20．二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），将二次函数的图象绕点旋转180度得到图象为，当时，图象上点纵坐标的最小值为，则 ． 【答案】5 【分析】根据二次函数解析式可求出A、B两点坐标，设图象G的解析式为y=-x2+bx+c，A点的对应点为A′，根据旋转的性质可求出点A′的坐标，把A′、B坐标代入可求出b、c的值，即可得图象G的解析式，可求出图象G的对称轴，根据二次函数的增减性即可得答案． 【详解】∵二次函数y=x2-4x-5的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）， ∴y=0时，x2-4x-5=0， 解得x1=-1，x2=5， ∴A（-1，0），B（5，0）， ∵将二次函数y=x2-4x-5的图象绕点B旋转180度得到图象为G， ∴设图象G的解析式为y=-x2+bx+c，A点的对应点为A′， ∴点A′坐标为（11，0）， 把B、A′坐标代入y=-x2+bx+c得：， 解得：， ∴图象G点解析式为y=-x2+16x-55=-(x-8)2+9， ∴图象G的对称轴为直线x=8， ∵-1＜0， ∴抛物线点开口向下， ∵9-8＜8-6， ∴当时，x=6为函数最小值， ∴点C纵坐标y=-36+96-55=5， 故答案为：5 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数点性质及二次函数图象的旋转，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象旋转后，抛物线的开口大小不变，即a不变；当a＞0时，图象上的点距离对称轴越近，函数值越小；当a＜0时，图象上的点距离对称轴越近，函数值越大；利用旋转点旋转得出A′坐标进而得到图象G的解析式是解题关键． 21．如图，把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点A(-8，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16 【分析】先求出抛物线的解析式，从而可得顶点的坐标，以及点的坐标，再利用二次函数的性质、三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：平移后的抛物线的解析式为， 则抛物线的对称轴为直线，顶点的坐标为， 对于函数，当时，，即， 根据抛物线的对称性知：， 所以． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，以及性质，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键． 22．已知二次函数，当时，． （1）若，，则 ． （2）若抛物线经过点和点，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】（1）根据题意可得函数解析式为，顶点坐标为，分与两种情况讨论，先排除，然后讨论时经过时满足题设条件，于是求得． （2）由题意可得抛物线，其对称轴为，然后画图可知对称轴满足什么条件时满足题设的条件，故可求得a的取值范围． 解题的关键是正确画出图形帮助分析解题思路． 【详解】（1）若，，则，当，二次函数的最小值为1，二次函数开口向上，不在限定的范围之内，不符合题意；当，二次函数的最大值为1（在时），当最小值为（在）时，代入得，，解得；（如图）    故答案为：． （2）由题可得，解得，所以抛物线，其对称轴为，当时，，当时，．又由题意，当时，，故抛物线在上随的增大而减小（如图甲），或随的增大而增大（如图乙），故或，解得或    故答案为：或 23．如图所示， 在中，，， 点P是线段上的一个动点(点 P可与点A重合)， 过点P作于点 R， 作的平分线交于点G， 在线段上截取， 过点D作交于点E， 过点P作交于点F，此时四边形恰好为正方形，在点P从点A开始的运动过程中，正方形面积的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】设，则，，根据等腰直角三角形的性质和三线合一的性质可得出，然后再根据勾股定理将正方形表示为，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴G为的中点， ∴， 在中， ∵四边形为正方形， 则面积 当，其面积最小为： 当点D与点R重合时，， 即，解得：， 若时，无法构成正方形， 即， ∵的对称轴为：，开口向上，且， ∴当时，正方形面积有最大值，最大值为， 综上：当时，正方形面积有最大值，最大值为 当时，正方形面积有最小值，最小值为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、角平分线的性质、正方形的性质，勾股定理以及二次函数的性质，属于常考题型，灵活应用上述知识是解题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．如图，抛物线经过，两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，连接，点H为的中点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标． (2)请直接写出点H的坐标． (3)在y轴上确定一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式和最短路径的问题，熟练掌握待定系数法是关键； （1）把已知两点的坐标代入，求出、的值，可以确定抛物线的解析式，配方或用公式求出顶点坐标； （2）根据、两点的坐标确定中点的坐标； （3）作出点关于轴的对称点点，连接与轴交点即为，求出即可． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ， 解得：， 所求函数的解析式为：， ， 顶点， （2）解：坐标为， ，， 中点的坐标为， （3）解：的坐标为， 其关于轴的对称点坐标为， 连接与轴交于点， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为：， 当时，， ， 此时，． 点的坐标为，最小值为． 25．如图，抛物线交x轴于A、B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C． (1)如图1，当时，直接写出A、B、C三点坐标； (2)在（1）的条件下，连接．若D是抛物线上第四象限上一点，且，求点D的坐标； (3)如图2，直线与抛物线交于M、N两点（M在N的左边），连接，分别交y轴于P、Q两点，求的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)1 【分析】（1）把代入得，进而即可得到答案； （2）取点A关于y轴的对称点E，则，连接，，推出，进而即可求解； （3）先求出，再设，，用参数m和表示出的解析式为，的解析式，从而表示出，，进而即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 令，则，解得：， ∴， 令，则， ∴； （2）解：取点A关于y轴的对称点E，则，连接，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵点A关于y轴的对称点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 设的解析式为：，把代入得：， ∴，即的解析式为：， 联立，得，即， 解得：（舍去）， 当时，， ∴点D的坐标为； （3）解：令代入，则， 解得：， ∴， 联立得：， 设，， ∴， ∴， 设的解析式为：，则，解得：， ∴的解析式为：， 同理：的解析式为：， ∴，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，用参数表示出一次函数解析式和点的坐标是关键． 26．如图，抛物线经过点，点，点．    (1)求抛物线的解析式，并直接写出直线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和面积的最大值； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3； (3)点的坐标是，或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴的平行线交直线于点，交轴于点，然后设点的坐标是则点的坐标是求出的值，最后根据三角形的面积公式，利用二次函数的性质解题即可； （3）在抛物线上存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形.然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴的平行线交直线于点,交轴于点, ∵点是直线上方抛物线上的一动点， ∴设点的坐标是，则点的坐标是，    ， ， ∴当时，即点的坐标是时，的面积最大，最大面积是3； （3）解：在抛物线上存在点P, 使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形. ①如图,当四边形为平行四边形时 由（2），可得点的横坐标是， ∵点在直线上, ∴点的坐标是，    又∵点的坐标是, ∴点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点， 的对称轴是直线, ∴设点的坐标是,点的坐标是， ∵根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点， 即，解得， ∴点的坐标是； ②如图，当四边形为平行四边形时， 根据平行四边形的性质可知，点向右平移4个单位单位，再向上平移个单位长度可以得到点，      即，解得， ∴点的坐标是； ③如图，当四边形为平行四边形时，∴且， 由平移可知：，解得      ∴点的坐标是； 综上所述，点的坐标是，或． 【点睛】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$