第二章 二次函数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第二章 二次函数（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，当时，总有：当时，总有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 5．下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝﹣2的是（　　） A．y＝2x2﹣2 B．y＝﹣2x2﹣4 C．y＝x2+2x D．y＝x2+2x 6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+ac的图象和反比例函数y=的图象在同一坐标系中可能为（    ） A． B． C． D． 7．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，A（4,0），∠AOC=60°，直线由开始与y轴重合的位置，以每秒1个单位长度的速度向右平移，设经过t（0≤t≤6）秒后，菱形与直线的左侧公共部分部分的面积为s，则s与点P运动的时间t（秒）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根的和为2，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．抛物线经过点，则a的值为 ． 10．已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在函数y=2x2+8x+7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ． 11．抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是 ． 12．若二次函数的图象满足：当时位于x轴的上方，当时位于x轴的下方，则m = . 13．二次函数y=的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An1BnAn=60°，菱形An﹣1BnAnCn的周长为 ．    三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机，经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现：春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 15．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x(x为整数）的关系如表： x（天） 1 2 3 … 50 y 118 116 114 … 20 销售单价m（元/件）与x满足：当时，；当时，． (1)直接写出销售量y与x的函数关系． (2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？ (3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数． 16．如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 17．（1）在等边三角形中，点分别在上，，当______时，为等边三角形． （2）如图1，在中，，求面积的最大值． （3）如图2，在一块四边形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两个区域，为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，已知基地外围栏，，点在的中点上，，两点为汇流箱接口，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域（即的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）    18．如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，4，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点坐标是多少？（直接写出坐标即可） B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．二次函数y＝x2-6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝ ． 20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为 ． 21．如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝ 时，四边形PECF的面积最大，最大值为 . 22．已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为 ． 23．设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”，则下列结论：①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”；④是函数，的“逼近区间”．其中说法正确的有 ．（填写序号） 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面的点A处和的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； (2)待A处火熄灭后，消防员前进到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由； (3)如图2，若消防员从点C前进到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 25．综合与探究 如图，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)直接写出点B，C的坐标并求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点Q，使得的面积有最大值?若存在，求点Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由． 26．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 二次函数（A卷·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式，直接根据顶点式，得出二次函数的顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故选：D． 2．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，则所得抛物线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由二次函数图象平移规律得：平移后的解析式为， 故选：C． 3．已知二次函数，当时，总有：当时，总有，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的增减性，解题的关键是由给出的条件得到抛物线过，再代入函数的解析式得到一次项系数和常数项的关系． 【详解】解：∵当时，总有，当时，总有， ∴函数图象过点，即①， ∵当时，总有， ∴当时，②， ①②联立解得：． 故选B． 4．若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式． 【详解】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，∴x1＋x2＝− ＝2． ∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1． 故选：C． 【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用． 5．下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝﹣2的是（　　） A．y＝2x2﹣2 B．y＝﹣2x2﹣4 C．y＝x2+2x D．y＝x2+2x 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项． 【详解】解：A、y＝2x2﹣2的对称轴为直线x＝0，所以选项A不符合题意； B、y＝﹣2x2﹣4的对称轴为直线x＝0，所以选项B不符合题意； C、y＝x2+2x的对称轴为直线，所以选项C不符合题意； D、y＝x2+2x对称轴为直线，所以选项D符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 6．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+ac的图象和反比例函数y=的图象在同一坐标系中可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案． 【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0， ∵该抛物线对称轴位于y轴的左侧， ∴a、b同号，即b＜0． ∵该抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0． ∵当x=-1时，y＞0， ∴a-b+c＞0． ∴一次函数y=bx+ac的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数y=的图象分布在第一、三象限， 观察四个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键． 7．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，A（4,0），∠AOC=60°，直线由开始与y轴重合的位置，以每秒1个单位长度的速度向右平移，设经过t（0≤t≤6）秒后，菱形与直线的左侧公共部分部分的面积为s，则s与点P运动的时间t（秒）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，分别研究P点运动过程中所组成的图形，根据面积公式或者割补法进行求解即可． 【详解】解：由已知菱形OABC的顶点O在坐标原点，A（4,0），∠AOC=60°， 可得OA=OC=BC=AB=4，C，B； ①当，如图，直线分别与OC与OA交于点E、点F，则OF=， 在Rt△OEF中，∠EOF=， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，直线分别与BC与OA交于点P和点Q，则OQ=， ∵C， ∴PQ=，CP=， ∴， ∴； ③当时，如图，直线分别与BC与BA交于点M和点N，交轴于点G，则OG=，CM=，MG=， 在Rt△ANG中，∠NAG=，AG=OG－OA=， 则， ∴ ==， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图像，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图像，菱形的性质，熟练掌握对应的性质应用，准确分类讨论是解题的关键． 8．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根的和为2，其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】①由抛物线的开口方向、抛物线的对称轴以及抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，即可得出a＜0、b＞0、c＞0，进而可得出abc＜0，可判定①；②由函数图象与x轴有两个交点，则Δ=b2-4ac>0，则b2>4ac，可判定②；③由当x=-1时，y=a-b+c＜0，可判定③；④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），可判定④；⑤函数图象知方程ax2+bx+c=0有两不相等实数根，由韦达定理得两个根的和-，又由抛物线对称轴得-=1,所以-=2，可判定⑤． 【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵-=1＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由函数图象与x轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac>0，则b2>4ac，故②错误； ③由函数图象可得，当x=-1时，y=a-b+c＜0，故③正确； ④当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c， 而当x=m≠1时，y=am2+bm+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c， ∴a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故④正确； ⑤函数图象知方程ax2+bx+c=0有两不相等实数根， 由韦达定理得两个根的和-， 又∵由抛物线对称轴得x=-=1, ∴-=2，故⑤正确； 综上，正确的有③④⑤共3个， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．抛物线经过点，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上的点．将点代入函数表达式中，解方程可得a值． 【详解】解∶∵抛物线经过点， ∴， 故答案为：2． 10．已知点（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在函数y=2x2+8x+7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 ． 【答案】y2＞y3＞y1 【分析】先求出二次函数y=2x2+8x+7的图象的对称轴，然后判断出（﹣2，y1），（﹣5，y2），（1，y3）在抛物线上的位置，再求解． 【详解】∵二次函数y=2x2+8x+7中a=2＞0， ∴开口向上，对称轴为x=﹣2， ∵（﹣2，y1）中x=﹣2，y1最小. ∵-2-（﹣5）=3，1-（-2）=3， ∴y2＞y3， ∴y2＞y3＞y1. （1，y3），点B关于对称轴的对称点B′横坐标是2×（﹣2）﹣1=﹣5，则有B′（﹣5，y3），因为在对称轴得右侧，y随x得增大而增大，故y3＞y2． ∴y3＞y2＞y1． 故答案为y3＞y2＞y1． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小. 11．抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离是 ． 【答案】4 【分析】根据抛物线y＝x2-4与x轴交于A、B两点，可知y=0，求出A、B两点横坐标，即可得答案． 【详解】∵y＝x2-4与x轴交于A、B两点， ∴y=0， ∴x2-4=0， ∴x=±2 ∴A、B两点之间的距离是4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，得出A、B两点横坐标是解题关键． 12．若二次函数的图象满足：当时位于x轴的上方，当时位于x轴的下方，则m = . 【答案】 【分析】先确定函数图像的对称轴，然后再确定函数图像必过的点，最后代入求解即可. 【详解】解：∵可化为： ∴函数图像的对称轴为x=-1 ∵当时位于x轴的上方，当时位于x轴的下方 ∴函数图像必过（-3,0） 将（-3,0）代入，解得m= 故答案为. 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，解答的关键是找到函数图像必过的点. 13．二次函数y=的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…An在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形An﹣1BnAnCn都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An1BnAn=60°，菱形An﹣1BnAnCn的周长为 ．    【答案】4n 【详解】试题解析：∵四边形A0B1A1C1是菱形，∠A0B1A1=60°， ∴△A0B1A1是等边三角形． 设△A0B1A1的边长为m1，则B1（，）； 代入抛物线的解析式中得：， 解得m1=0（舍去），m1=1； 故△A0B1A1的边长为1， 同理可求得△A1B2A2的边长为2， … 依此类推，等边△An-1BnAn的边长为n， 故菱形An-1BnAnCn的周长为4n． 考点：二次函数综合题． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．春节临近，由于我市城区执行严禁燃放烟花炮竹令，某商店发现了商机，经销一种安全、无污染的电子鞭炮．已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现：春节期间，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元． (1)求w与x的函数关系式； (2)该种电子鞭炮的销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)或 (2)当时，最大利润为3200元 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用； （1）用每件的利润乘以销售量即可得每天的利润，从而得利润函数，再将其化为一般形式即可； （2）把（1）中的函数解析式配方，写成顶点式，然后根据二次函数的性质可求得最值 【详解】（1）解：由题意得： ∴与的函数关系式为：； （2） ∵， ∴当时，有最大值，的最大值为元． 15．大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的新型商品，此类新型商品在第x天的销售量y件与销售的天数x(x为整数）的关系如表： x（天） 1 2 3 … 50 y 118 116 114 … 20 销售单价m（元/件）与x满足：当时，；当时，． (1)直接写出销售量y与x的函数关系． (2)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少元？ (3)求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数． 【答案】(1) (2)超市第20天获得利润最大，最大利润3200元 (3)一共有17天 【分析】（1）设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为，利用待定系数法即可求解； （2）设销售利润为w元，当时，可得；当时，，根据二次函数的图形与性质以及一次函数的图象与性质即可作答； （3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数，令，当时， ；当时，，解一元二次方程以及一元一次不等式，即可作答． 【详解】（1）设销售量y件与销售的天数x的函数解析式为， 代入，得， ， 解得， 因此销售量y件与销售的天数x的函数解析式为； （2）设销售利润为w元， 当时，， 即：， 当时，w最大为3200； 当时，， 当时，w最大为3150； 所以超市第20天获得利润最大，最大利润3200元； （3）求出该超市暑假期间利润不低于3000元的天数， 令， 当时，， 即有：， 解得，， 又∵，抛物线开口向下， ∴，即此时共15天； 当时，， 即有：， 解得：， 又∵，且y随x 的增大而减小， ∴， ∴此时有2天， ∴一共有17天． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的图象与性质，解一元二次方程等知识，明确题意，正确列式、列方程是解答本题的关键． 16．如图, 一条抛物线经过点和原点O，连接，线段交y轴于点C．已知实数m，分别是方程的两个根． (1)求m，n的值； (2)求这条抛物线对应的函数解析式； (3)若P为线段上的一个动点（不与点O，B重合），当为等腰三角形时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用、待定系数法求函数解析式以及等腰三角形的性质等知识，同时考查了分类思想的应用． （1）运用因式分解法解方程即可得出m，n的值； （2）将A，B两点的坐标代入，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （3）首先求出的直线解析式以及解析式，再利用等腰三角形的性质得出当时，当时，点P在线段的中垂线上，当时分别求出x的值即可 【详解】（1）解：， ， 解得，，， ∵， ∴，； （2）解：∵，， ∴ ∵抛物线经过原点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为， 把代入解析式得， ， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； ∵直线过点， ∴直线的解析式为， ∵为等腰直角三角形， ∴或或， 设， ①当时，， 解得，，（舍去）， ∴； ②当时，点在线段的垂直平分线上， ∴； ③当时，可得， 解得，（舍去）， ∴； 综上，点的坐标为 17．（1）在等边三角形中，点分别在上，，当______时，为等边三角形． （2）如图1，在中，，求面积的最大值． （3）如图2，在一块四边形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两个区域，为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，已知基地外围栏，，点在的中点上，，两点为汇流箱接口，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域（即的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）    【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先由等边三角形的性质得到，再由等边三角形的判定定理可知当时，为等边三角形，由此即可得到； （2）如图所示，过点C作交延长线于D，则，先求出，进而得到，设，则，，则，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）先证明四边形是平行四边形，得到，，进而证明是等边三角形，得到，则，，由勾股定理得；如图所示，过点N作于F，设，则，，进而得到，则，据此利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴当时，为等边三角形， 又∵， ∴， ∴当时，为等边三角形， 故答案为：；    （2）如图所示，过点C作交延长线于D，则， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；    （3）∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵为的中点， ∴，， ∴， 如图所示，过点N作于F， 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，面积最大，最大为， ∴， ∴光伏太阳能板的占地面积的最小值为．    【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，等边三角形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质与判定等等，正确作出辅助线通过构造直角三角形，把求面积的最大值转换成求二次函数的最大值是解题的关键． 18．如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，4，直线与轴交于点，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点坐标是多少？（直接写出坐标即可） 【答案】(1) (2)6 (3)，，， 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数上坐标点的特点，熟练掌握相关性质，分情况讨论是解题关键． （1）将A，B的横坐标分别代入求出生意人y的值，得到A，B点坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出的长，根据“”求解即可； （3）分点P在直线的上方和下方两种情况根据分割法求解即可． 【详解】（1）解：点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为，4， ∴当时，，当时，， ∴点的坐标为，点B的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得：， 所以，直线的解析式为：； （2）对于直线： ， 当时，， ， ； （3）设点P的坐标为， 的面积等于的面积的一半， 的面积等于， ①当点P在直线的下方时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得，， 解得，， ，； ②当点P在直线的上方时，过点A作轴，过点P作轴，过点B作轴，垂足分别为D，F，E，连接，如图， ， ， 整理，得，， 解得，， ，； 综上，函数的图像上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有4个，，，，． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．二次函数y＝x2-6x+c的图象的顶点与原点的距离为5，则c＝ ． 【答案】5或13 【详解】解：∵二次函数y=x2-6x+c的图象的顶点坐标为（3，c-9）， ∴32+（c-9）2=52， 解得c=13或c=5． 故答案为13或5． 20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D，则点B的坐标为 ． 【答案】（2，0） 【分析】根据抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D和二次函数图象具有对称性，可以求得该抛物线的对称轴和CD的长，然后根据菱形的性质和勾股定理可以求得AO的长，从而可以求得OB的长，进而写出点B的坐标． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣5x+4， ∴该抛物线的对称轴是直线x，点D的坐标为（0，4）， ∴OD＝4， ∵抛物线y＝x2﹣5x+4经过点C、D， ∵四边形ABCD为菱形，AB在x轴上，∴CD∥AB，即CD∥x轴， ∴CD2＝5，∴AD＝5， ∵∠AOD＝90°，OD＝4，AD＝5， ∴AO3， ∵AB＝5， ∴OB＝5﹣3＝2， ∴点B的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21．如右图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝12cm，点P是AB边上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，当PB＝ 时，四边形PECF的面积最大，最大值为 . 【答案】 6 【详解】利用锐角三角函数关系，设PB=xcm， 由∠C=90°，∠B=30°，AB=12cm， 可得BC=AB×cos30°=6（cm），PE=xcm，BE=xcm， 则EC=（6-x）cm， 故四边形FCEP的面积为：PE×EC=x×（6-x） =-x2+3x =-（x2-12x） =-（x-6）2+9， 故当x=6时，四边形PECF的面积最大，最大值为9． 故答案为6，9． 【点睛】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系，得出矩形面积与x的函数关系是解题关键． 22．已知二次函数的图象与轴分别交于两点（如图所示），与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】、两点关于抛物线对称轴对称，连接交对称轴于点，连接，点即为所求，只要求出直线的解析式，把对称轴的值代入直线的解析式，可求的坐标． 【详解】解：如图，连接交对称轴于点，连接，点即为所求， 由二次函数，得， 令，得，， 故，， 故对称轴为， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线， 把代入直线的解析式，得， 的坐标为． 故本题答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据抛物线的轴对称性确定使当取得最小值时的点坐标． 23．设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”，则下列结论：①函数，在上是“逼近函数”；②函数，在上是“逼近函数”；③是函数，的“逼近区间”；④是函数，的“逼近区间”．其中说法正确的有 ．（填写序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查一次函数、二次函数的综合应用，解题的关键是读懂“逼近函数”和“逼近区间”的含义，会求函数在某个范围内的最大、最小值．根据当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”， 为“逼近区间”，逐项进行判断即可． 【详解】解：①，在上，当时，最大值为，当时，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”不正确； ②，在上，当时，最大值为1，当时，最小值为，即，故函数，在上是“逼近函数”正确； ③，在上，当时，最大值为，当或时，最小值为，即，当然也成立，故是函数，的“逼近区间”正确； ④，在上，当时，最大值为，当时，最小值为，即，故是函数，的“逼近区间”不正确； 正确的有②③， 故答案为：②③． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．毕节市某消防中队进行消防技能比赛．如图1，在一个废弃高楼距地面的点A处和的点B处各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，把水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点C处，水流从点C射出恰好到达点A处，且水流的最大竖直高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图1所示的平面直角坐标系，水流的高度y（m）与出水点到高楼的水平距离x（m）之间满足二次函数关系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式； (2)待A处火熄灭后，消防员前进到点D（水流从点D射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，请判断水流能否到达点B处，并说明理由； (3)如图2，若消防员从点C前进到点T（水流从点T射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点A处，请直接写出t的值．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1) (2)水流能到达点B处，见解析 (3)． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据函数顶点坐标且过，可设抛物线解析式为，再待定系数法求解析式即可求解； （2）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，即可求解； （3）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ，解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 ； （2）解：水流能到达点B处． 理由：依题意，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是由第一次的抛物线向左平移2个单位长度得到， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的函数表达式为 ， 令，则， 即消防员第二次灭火时水流所在抛物线过点， ∴水流能到达点B处； （3）解：依题意，消防员从点C前进到点T处，消防员到点T处时水流所在抛物线是由第一次的抛物线向左平移t个单位长度得到， ∴抛物线的函数表达式为． ∵水流未达到最高点且恰好到达点A处， ∴过点，且对称轴， ∴． 将点代入，得， 解得或（含去）， ∴． 25．综合与探究 如图，抛物线交x轴于点、点B，交y轴于点C，直线经过B，C两点． (1)直接写出点B，C的坐标并求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，求点P的坐标． (3)在直线上方的抛物线上是否存在点Q，使得的面积有最大值?若存在，求点Q的坐标及此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)点P的坐标为 (3)在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时的面积为8 【分析】（1）对于，令，求出；令，求得，从而求出点的坐标，再把A、B、C三点坐标代入，求出的值即可； （2）求得抛物线的对称轴，根据垂直平分线的性质得出点P使得的长度最短； （3）过点Q作轴，交直线于点D，设点，则，利用的面积，求出的面积关于m的函数关系式，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）对于，令，得， ∴， 令，则，解得， ∴， ∵二次函数图象经过A，B，C三点且， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）在抛物线的对称轴上存在点P使得的长度最短．点P的坐标为，理由： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． 设抛物线的对称轴与直线交于点P， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴此时点P使得的长度最短． 当，则． ∴在抛物线的对称轴上存在点P使得的长度最短，点P的坐标为； （3）在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时的面积为8，理由： 过点Q作轴，交直线于点D，如图， 设点，则， ∴. ∵， ∴． ∴的面积 ． ∵， ∴当时，的面积有最大值8，此时点Q的坐标为． ∴在直线上方抛物线上存在点Q，使得的面积有最大值．点Q的坐标为，此时面积为8． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，函数的极值，理由点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 26．如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为．求关于的函数关系式；当取何值时，有最大值，求出的最大值； (3)若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)，时，有最大值，最大值是； (3)存在，点坐标为或或． 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为，把，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$