第八章立体几何微专题外接球问题-2024-2025学年高三上学期数学人教A版必修二

外接球问题 1、 柱体外接球问题 公式：， 其中R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为柱体的高. 此模型适用于直三棱柱、圆柱、一条侧棱垂直于底面棱锥等，外接圆半径可由正弦定理求得，高为柱体的高或垂直于底面的侧棱长. 1．已知正六棱柱的所有棱长均为2,则该正六棱柱的外接球的体积为( ) A. B. C. D. 2．在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为( ) A. B. C. D. 3．直三棱柱的各个顶点都在球O的球面上，且，.若球O的表面积为，则这个三棱柱的体积是_______. 4．圆柱的底面半径为1,侧面积为,则该圆柱外接球的表面积为________. 5．如图，该“四角反棱柱”是由两个相互平行且全等的正方形经过旋转、连接而成，其侧面均为等边三角形，已知该“四角反棱柱”的棱长为4，则其外接球的表面积为________. 二、长方体外接球问题 公式： 此模型适用于长方体、三条棱两两垂直的三棱锥、四棱锥等模型，其中a、b、c为长方体的长宽高，或者锥体的三条互相垂直的棱长. 此类型外接球问题，可拓展出对棱相等模型： 若三棱锥三组对棱分别对应相等，则三棱锥可看作为长方体的一部分， 则其外接球公式为：，其中为三组对棱的长. 6．已知长方体的一条棱长为2,体积为16,则其外接球表面积的最小值为( ) A. B. C. D. 7．已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，且，，，则球O的体积是( ). A. B. C. D. 三、锥体外接球模型 公式： 此模型适用于圆锥、正棱锥等，其中R为外接球半径，r为底面圆的半径，h为锥体的高，特别的，正四面体的外接球半径公式为：. 8．已知正三棱锥的四个顶点都在半径为R的球面上,且,若三棱锥的体积为,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 9．已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上,且该球的体积为,若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等,则该正四棱锥的底面边长为( ) A.16 B.8 C.4 D.2 四、垂面模型（两平面互相垂直） 公式：， 其中R为外接圆半径，r1、r2分别为两个垂直平面的外接圆半径， 为公共边长. 10．在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的表面积为( ) A. B. C. D. 11．在三棱锥中,,,D为AC的中点,平面ABC,且,则三棱锥外接球的表面积为________________________. 5、 两面相交模型 公式：， 其中m、n为外心到公共边的距离，为公共边长，为二面角大小，若仅有一个面为钝角三角形，则取其补角. 12．如图,在三棱锥,是以AC为斜边的等腰直角三角形,且,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球表面积为________. 13．如图，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，，是边长为6的正三角形，二面角的大小为120°，则球O的体积为________. 14．三棱锥中，，，是正三角形，，则三棱锥的体积为__________；此三棱锥外接球的表面积为__________. 6、 台体的外接球模型 公式：利用建立方程求解， 其中h为台体高，为底面圆（或外接圆）半径. 15．已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是45°，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为( ) A.40π B.64π C.80π D.128π 16．已知正四棱台的顶点都在同一球面上,其上､下底面边长分别为,,高为3,则该球的表面积为( ) A. B. C. D. 答案 1．答案：C解析：如图,设正六棱柱下底面的中心为,其外接球的圆心为点O, 则,为等边三角形,故,即为其外接球的半径, 所以, 所以该正六棱柱的外接球的体积为. 2．答案：C解析：在中由余弦定理 ，所以， 设外接圆的半径为，则，所以， 又平面，，设三棱锥外接球的半径为， 则， 所以三棱锥外接球的表面积. 3．答案：解析：，，， 直三棱柱外接球的球心O即为侧面的中心， 设球O半径为r，则， ，即， 直三棱柱的高， 直三棱柱的体积 4．答案：解析：设圆柱的高为h,其外接球的半径为R, 由圆柱的底面半径为1,侧面积为,得,解得, 由圆柱和球的对称性可知,球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处, 因此,所以球的表面积为. 5．答案：解析：如图，由题意可知旋转角度为，设上、下正方形的中心分别为，， 连接，则的中点O即为外接球的球心，其中点B为所在棱的中点， 即为该几何体的外接球的半径，，，， 过点B作于点C，则， .易得四边形为矩形，即，，则，即，，即该“四角反棱柱”的外接球的表面积为. 6．答案：C解析：设长方体的长、宽、高分别为a,b,2, 所以长方体的体积为,解得：, 设长方体的外接球的半径为R, 所以,即, 即,当且仅当时取等, 所以, 所以其外接球表面积的最小值为. 7．答案：D解析：将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，c，如图所示： 则，故，球O的半径，故体积为.故选：D.将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为a，b，c，可得则，得到球半径，计算体积得到答案. 8．答案：D解析：由题意得,为等边三角形,取的中心, 设球心为O,易得P,O,共线,设三棱锥的高为h, ,则,则,又, 由正弦定理得,,在中,, 即, 解得,则球的表面积为. 9．答案：C解析：如图所示,设P在底面的投影为G,易知正四棱锥的外接球球心在上, 不妨设球半径r,,, 该球的体积为,即, 又正四棱锥的高与底面正方形的边长相等, 则,, 即. 10．答案：D解析： 如图，取的中点O，连接，， 因为，，所以，因此点O就是球心， 又，故是等腰直角三角形，所以. 因为平面平面，平面平面， 所以平面. 设球O半径为R，则，， 又，则， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球O的表面积为. 11．答案：解析：在中,,, 由余弦定理得, 所以,设的外接圆的半径为r, 则由正弦定理得,解得 结合图形分析：    因为D为AC的中点,平面ABC,且, 在中,,, 又,则圆心到D点的距离为, 另设三棱锥的外接球球心O到平面的距离为,设外接球的半径为R, 则中,,即, 直角梯形中,,即, 解得,,所以.. 12．答案：解析：先分别作BC,AC中点E,F,连接AE,PF; 再过点F在平面ABC内作AC垂线,与AE相交于点G,AB相交于点H; 分别过点F,G作平面PAC,平面ABC垂线,相交于点O,连接AO,如图所示, 由题可知,二面角的平面角为,点F,G分别为,的外心,故O为该三棱锥外接球球心,AO为外接球半径, 可得,,,, 所以 在中, 所以,, 所以, 由正弦定理可知 因为, 所以 因为 所以有 所以外接表面积为 13．答案：/解析：取的中点D，连接，设E为的外心，则点E在上且， 因为，则D为的外心， 根据球的几何性质，则平面，平面， 因为二面角的大小为，平面平面， 则二面角的大小为， 所以， 因为是边长为6的正三角形， 则， 所以， 在中，， 在中，因为，则， 所以球O的半径， 表面积为. 14．答案：；解析：设的中点为P,连接, 因为是正三角形,所以, 又因为, 所以有,,而,平面, 因此有平面, 因为,, 所以， 因为是正三角形,的中点为P, 所以,而, 根据余弦定理可知： 因为的中点为P, 所以三棱锥的体积为: 因为,,的中点为P,所以P是的外心,设为的外心,过P作平面的垂线，过作平面的垂线，两个垂线的交点为球心O, 在正中,, 由上可知:,于是， 于是有, 在直角三角形中, 因此此三棱锥外接球的表面积为. 15．答案：C解析：根据题意，将圆台补全为圆锥，记圆锥顶点为E，取圆锥的轴截面，记该轴截面与圆台的交点为，记圆台上底面圆心为M，下底面圆心为N，根据圆台的对称性可知，其圆台的对称性可知，其外接球球心O在中轴线上，连接，如图所示: 因为上、下底面的面积之比为，则上底面半径与下底面半径之比为，即， 则有，，又由，则，而，则有，，，则有， 记圆台外接球半径为R，， 在直角和直角中由勾股定理知：，，则有，解可得，故圆台外接球的半径，则该圆台外接球的表面积. 16．答案：B解析：法一:正四棱台的对角面的外接圆为其外接球O的大圆（如下图）, 对角面为等腰梯形,其上下底边长分别为2,4,高为3, 由正四棱台的对称性可知,球O的球心O在梯形上下底的中点连线所在直线上, 设,则,球O半径为, 由,可得,解得, 所以所求的球O的表面积为, 法二:下底的外接圆不大于球的大圆,故球半径（下底对角线长的一半）,表面积排除D; 对角面等腰梯形的对角线长,故球半径,表面积,排除C; 若,则,易求球心到的距离为,球心到AC的距离为, 无法满足,或,排除A. 学科网（北京）股份有限公司 $$