第09讲 平面向量的基本定理及坐标表示-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第09讲 平面向量的基本定理及坐标表示 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．理解向量的基本定理 2．能用坐标运算解决平面向量的相关问题 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 理解基底应注意以下三点 (1)基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一． (3)对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则 2．平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐标的求法 ①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (1)向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． (2)要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝.因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0. 4．常用结论 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为. (3)已知△ABC的顶点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 考点1　平面向量的坐标运算 例1．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝(　　) A．　 　B．2　　 C．5　　 D．50 例2．若向量＝＝(2,0)，＝(1,1)，则＋等于(　　) A．(3,1) B．(4,2) C．(5,3) D．(4,3) 3．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a,3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝ ． 4．已知O为坐标原点，点C是线段AB上一点，且A(1,1)，C(2,3)，||＝2||，则向量的坐标是 ． 考点2　平面向量共线的坐标表示 例1．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a＞0，b＞0.若A，B，C三点共线，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D． 变式1．本例若把条件“＝(－b,0)”改为“＝(2,1)”，其他条件不变，求a的值． 变式2．本例条件“向量＝(1，－2)，＝(a，－1)”不变，若向量c＝(2，a)与向量方向相反，求|c|. 变式：已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，AC与OB的交点为P，求点P的坐标． 考点3　平面向量基本定理的应用 考向1　用已知基底表示向量 例2．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．－＋ D．－＋ 考向2　解析法(坐标法)在向量中的应用 例3．已知||＝1，||＝，⊥，点C在∠AOB内，且与的夹角为30°，设＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　) A．2　 　B．　 　C．3　 　D．4 考向3　利用平面向量基本定理求参数的值(或范围) 例4．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为 ． 变式1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝，AC＝2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D．设＝a，＝b，则向量＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b 变式2．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值． 1．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则等于(　　) A．(－2，－4) B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 2．已知平面向量a＝(k，2)，b＝(1，1)，k∈R，则k＝2是a与b同向的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝(　　) A．－2 B．2 C．－2或6 D．2或6 4．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,3y－5)，且a∥b.若x，y均为正数，则xy的最大值是(　　) A．2　　 B．　　 C．　　 D． 5．(多选题)已知向量a＝(－2,0)，a－b＝(－3，－1)，则下列结论错误的是(　　) A．b＝(－1,1) B．a∥b C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|b| 6．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝ ． 7．已知在△ABC中，点O满足＋＋＝0，点P是OC上异于端点的任意一点，且＝m＋n，则m＋n的取值范围是 ． 8．如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，则＝ ． 9．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)， (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 10．已知点O是△ABC内的一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°.设＝a，＝b，＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a和b表示c． 1．(多选题)已知向量m＝(1,0)，n＝，则(　　) A．|m|＝|n| B．(m－n)∥n C．(m－n)⊥n D．m与－n的夹角为 2.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) A．重心　　B．垂心　　C．外心　　D．内心 3．向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，则cos 2α＝ ． 4．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的半圆分别交BA及其延长线于点M，N，点P在半圆弧MN上运动(如图)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则2λ－5μ的最小值为 ，最大值为 ． 5．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线． (1)设＝λ，将用λ，，表示； (2)设＝x，＝y，证明：＋是定值． 6．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第09讲 平面向量的基本定理及坐标表示 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　平面向量的坐标运算 例1．A　例2．B　 3．(4，－6)　 4．(4,7)　 考点2　平面向量共线的坐标表示 例1．C 变式1．解：因为＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(2,1)，所以＝－＝(a－1,1)， ＝－＝(1,3)． 因为A，B，C三点共线， 所以＝λ，即(a－1,1)＝λ(1,3)， 所以可得a＝. 变式2．解：因为＝(1，－2)，＝(a，－1)． 所以＝－＝(a－1,1)． 因为向量c＝(2，a)与向量方向相反， 所以a(a－1)－1×2＝0，即a2－a－2＝0， 所以a＝－1或a＝2(舍去)， 所以|c|＝＝. 变式：解：由O，P，B三点共线， 可设＝λ＝(4λ，4λ)， 则＝－＝(4λ－4,4λ)． 又＝－＝(－2,6)， 由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝，所以＝＝(3,3)， 所以点P的坐标为(3,3)． 考点3　平面向量基本定理的应用 考向1　用已知基底表示向量 例2．C　 考向2　解析法(坐标法)在向量中的应用 例3．C　 考向3　利用平面向量基本定理求参数的值(或范围) 例4．　 变式1．C　 变式2．解：(方法一)如图，作平行四边形OB1CA1， 则＝1＋1. 因为与的夹角为120°，与的夹角为30°， 所以∠B1OC＝90°. 在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2， 所以|1|＝2，||＝4，所以||＝||＝4， 所以＝4＋2， 所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. (方法二)以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(1,0)，B，C(3，)． 由＝λ＋μ， 得解得 所以λ＋μ＝6. 1．B　2．C　 3．C　4．C　5．ABC　6．0　7．(－2,0)　 8．4　 9．解：(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． 因为ka－b与a＋2b共线， 所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)(方法一)因为A，B，C三点共线，所以＝λ， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以解得m＝. (方法二)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． 因为A，B，C三点共线，所以∥， 所以8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，所以m＝. 10．解：以O为原点，OC，OB所在直线分别为x轴和y轴建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意知，OA＝2，∠AOC＝120°， 所以A(2cos 120°，2sin 120°)， 即A(－1，)，易知B(0，－1)，C(3,0)． 设＝λ1＋λ2， 即(－1，)＝λ1(0，－1)＋λ2(3,0)， 所以解得 所以a＝－b－c，即c＝－3a－3b. 1．ACD　 2. C　 3．　 4．－2　2　 5．(1)解：＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ. (2)证明：由(1)，得 ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.① 又因为G是△OAB的重心， 所以＝＝×(＋)＝＋.② 而，不共线， 所以由①②，得 解得 所以＋＝3(定值)． 6．解：(方法一)设∠AOC＝α，则α∈.过点C作CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E(图略)，则四边形ODCE是平行四边形，所以＝＋.又＝x＋y，所以x＝cos α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝sin.又因为α∈，则≤α＋≤，所以1≤x＋y≤，即x＋y的最大值是. (方法二)因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，所以x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，所以x＋y的最大值为. $$