第10讲 平面向量的数量积-2024-2025学年高三年级数学暑假讲义（江苏专用）

第10讲 平面向量的数量积 适用学科 数学 适用年级 高三 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．数量积的概念及几何意义 2．建系与基底转化 3．极化恒等式 1．向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角 设θ为a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤π θ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b 2.平面向量的数量积 定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 (1)在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现． (2)两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线． 3．向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (1)要准确理解数量积的运算律，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量． (2)平面向量数量积运算的常用公式． ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.　　　　　　　　 ②(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. ③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2. 4．平面向量数量积的性质 已知两个非空向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2. 性质 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 考点1　平面向量数量积的运算 例1．已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，则a在b上的投影为(　　) A．－　　B．　　C．－　　D． 例2．已知向量a与向量m＝(4,6)平行，b＝(－5,1)，且a·b＝14，则a＝(　　) A．(4,6) B．(－4，－6) C． D． 3．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足＝，设AM与BD交于点G，则·＝(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 4．已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于 ． 考点2　平面向量数量积的性质 例1．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|，且a⊥(a－2b)，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 变式1．将本例条件改为“已知平面向量a，b满足|a＋b|＝|a|＝|b|≠0”，求a与b的夹角． 变式2．本例若把条件改为“已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝|2a－b|＝1”，求|b|. 例2．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝·，i＝1,2,3，…，8}中的元素个数(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 变式：已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，求向量a＋b与a－b的夹角． 考点3　平面向量数量积的应用 考向1　平面向量与三角函数 例3．已知A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)． (1)若||＝||，求角α 的值； (2)若·＝－1，求的值． 考向2　平面向量的最值问题 例4．已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　) A．－1 B．＋1 C．2 D．2－ 变式1.设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，则|a＋xb|(x∈R)的最小值为(　　) A．　　 B．　　 C．1　　 D． 2．已知向量a＝，b＝，且x∈. (1)求a·b及|a＋b|； (2)若f (x)＝a·b－|a＋b|，求f (x)的最大值和最小值． 例：在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠BAD＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝ ． 变式：已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝ ． 1．(多选题)已知向量a＝(0,5)，b＝(4，－3)，c＝(－2，－1)，那么下列结论正确的是(　　) A．a＋b与c为共线向量 B．a－b与c垂直 C．a－b与a的夹角为钝角 D．a－b与b的夹角为锐角 2．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时．若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400 N，则该学生的体重(单位：kg)约为(　　) (参考数据：取重力加速度大小为g＝10 m/s2，≈1.732) A．63 B．69 C．75 D．81 3．在△ABC 中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则·等于(　　) A．16　　 B．12　　 C．8　　 D．－4 4．在边长为2的等边三角形ABC中．若D是BC边上的中点，点P是线段AD上的一动点，则·的取值范围是(　　) A．[－1.0] B．[－1,1] C． D． 5．已知向量a，b满足|a|＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 6．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,4)．若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为，则|c|＝ ． 7．已知向量＝(2,3)，＝(3，t)，且与夹角为锐角，则实数t的取值范围为 ． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，－1)，B(－3，－4)两点．若点C在∠AOB的平分线上，且||＝，则点C的坐标是 ． 9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|； (3)若＝a，＝b，求△ABC的面积． 10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影． 1．(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是(　　) A．不存在θ，使e1·e2＝ B．e＝e C．(e1－e2)⊥(e1＋e2) D．e1在e2方向上的投影为sin θ 2．如图，已知函数f (x)＝|sin πx|，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f (x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记ni＝·(i＝1,2，…，5)，则n1＋n2＋…＋n5的值为(　　) A．　　 B．45　　 C．　　 D． 3．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为 ；·的最大值为 ． 4．已知向量a，b，c满足|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝，(c－a)·(c－b)＝－1，求|c－a|的最大值． 5．已知AB是半圆O的直径，AB＝2，等腰三角形OCD的顶点C，D在半圆弧上运动，且OC＝OD，∠COD＝120°，点P是半圆弧上的动点，求·的取值范围． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第10讲 平面向量的数量积 适用学科 数学 适用年级 高三 考点1　平面向量数量积的运算 例1．A　 例2．B　 3．A　 4．12　 考点2　平面向量数量积的性质 例1．B　 变式1．解：由|a＋b|＝|a|＝|b|≠0， 所以(a＋b)2＝a2＝b2， a2＋2a·b＋b2＝a2＝b2. 设a与b的夹角为θ，则|a|2＋2|a||b|·cos θ＋|b|2＝|a|2，化简得1＋2cos θ＋1＝1， 解得cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，所以a与b的夹角θ＝. 变式2．解：因为|2a－b|＝1， 所以|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝1， 所以4－4|b|cos 30°＋b2＝1， 整理得|b|2－2|b|＋3＝(|b|－)2＝0， 解得|b|＝. 例2．A　 变式：解：将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，所以a·b＝0. 将|a＋b|＝|a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2，所以b2＝a2. 设a＋b与a－b的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝＝. 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝. 考点3　平面向量数量积的应用 考向1　平面向量与三角函数 例3．解：(1)因为A，B，C的坐标分别是A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)， 所以＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)． 所以||＝， ||＝. 因为||＝||，所以＝，即(cos α－3)2＋(sin α)2＝(cos α)2＋(sin α－3)2， 所以sin α＝cos α，所以tan α＝1， 所以α＝kπ＋，k∈Z. (2)由(1)知，＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)， 所以·＝(cos α－3)cos α＋sin α·(sin α－3)＝1－3(sin α＋cos α)＝－1. 所以sin α＋cos α＝， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝， 所以2sin αcos α＝－. 所以＝＝2sin αcos α＝－. 考向2　平面向量的最值问题 例4．A　 变式1. B　 2．解：(1)a·b＝cos cos －sin ·sin ＝cos 2x. 因为a＋b＝， 所以|a＋b|＝ ＝＝2|cos x|. 因为x∈， 所以cos x>0，所以|a＋b|＝2cos x. (2)f (x)＝cos 2x－2cos x＝2cos2x－2cos x－1 ＝2－. 因为x∈，所以≤cos x≤1， 所以当cos x＝时，f (x)取得最小值－； 当cos x＝1时，f (x)取得最大值－1. 例： 思路参考：探究△AEB中的边角大小． －1　 变式：2　 1．AB　 2．B 3．A　 4．D　 5．A　 6．5 7．∪　 8．(－1，－3)　 9．解：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61， 所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61. 又|a|＝4，|b|＝3， 所以64－4a·b－27＝61， 所以a·b＝－6， 所以cos θ＝＝＝－. 又0≤θ≤π，所以θ＝. (2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a＋b|＝. (3)因为与的夹角θ＝， 所以∠ABC＝π－＝. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， 所以S△ABC＝||||·sin∠ABC ＝×4×3×＝3. 10．解：(1)由m·n＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 所以cos A＝－. 因为0＜A＜π， 所以sin A＝＝＝. (2)由正弦定理，得＝， 则sin B＝＝＝， 因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC一内角，则B＝. 由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×， 解得c＝1或c＝－7(舍去)， 故向量在方向上的投影为||·cos B＝ccos B ＝1×＝. 1．ABC　 2．D 3．1　1　 4．解：设＝a，＝b，＝c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)． 因为|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为， 则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)． 因为(c－a)·(c－b)＝－1，所以x2＋y2－6x－2y＋9＝0， 即(x－3)2＋(y－1)2＝1，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|c－a|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离．因为圆心到A的距离为，所以|c－a|的最大值为＋1. 5．解：建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意可得A(－1,0)，B(1,0)，设D(cos α，sin α)，则C(cos(α＋120°)，sin(α＋120°))． 设P(cos θ，sin θ)，其中α∈[0°，60°]，θ∈[0°，180°]， 所以＝(cos(α＋120°)－cos θ，sin(α＋120°)－sin θ)，＝(cos α－cos θ，sin α－sin θ)， 所以·＝[cos(α＋120°)－cos θ]·(cos α－cos θ)＋[sin(α＋120°)－sin θ]·(sin α－sin θ)＝cos α－cos θ－cos α·cos θ＋cos2θ＋sin α－sin θ－sin αsin θ＋sin2θ ＝－cos2α－sin αcos α＋cos α·cos θ＋sin αcos θ－cos αcos θ－·sin2α＋sin αcos α＋sin αsin θ－cos αsin θ－sin αsin θ＋1 ＝－＋1－(cos αcos θ＋sin αsin θ) ＋(sin αcos θ－cos αsin θ) ＝－cos(α－θ)＋sin(α－θ) ＝＋sin(α－θ－30°)． 因为α∈[0°，60°]，θ∈[0°，180°]，所以α－θ－30°∈[－210°，30°]，sin(α－θ－30°)∈，所以·∈. $$