精品解析：湖南省郴州市桂阳县蒙泉学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

蒙泉学校2024年下期九年级第一次质量监测 数 学 试 卷 （满分120分， 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ） A. y=3x B. C. D. x+y=5 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 3. 关于x的方程3x2﹣5=2x的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，﹣2 B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 4. 已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限 C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 8. 把方程的左边配成完全平方，正确的变形是（） A. B. C. D. 9. 已知点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. 无法确定 10. 如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　） A. 1＜k＜9 B. 2≤k≤34 C. 1≤k≤16 D. 4≤k＜16 二、填空题 （共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 一元二次方程的根是__________． 12. 若反比例函数 的图象经过点，则k的值是_______________． 13. 已知y与成反比例，且当时，，那么当时， _____． 14. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________． 15. 设， 是方程 的两根，则 的值为_____________． 16. 已知m是关于x的方程的一个根，则_____________． 17. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭． 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”试问竿长为 ______________． 18. 如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点， 若为的中点，则的值为_________． 三、解答题（19题8分， 20题6分， 21~23题每题8分， 24~25题9分， 26题10分， 共66分） 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） 20. 如果函数 是反比例函数，且当时y随x的增大而增大，求函数的解析式． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等实数根，求m的取值范围； （2）若该方程一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 22. 如图， 已知一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求反比例函数的解析式和一次函数解析式； （2）根据图象直接回答，当x在什么范围内时 23. 为了预防甲流感，我市某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟） 成正比例； 药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 24. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为320元时，应该降价多少元？ 25. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1） 中，面积能否等于？请说明理由． 26. 如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． （1）求C、E点的坐标； （2）求面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蒙泉学校2024年下期九年级第一次质量监测 数 学 试 卷 （满分120分， 考试时间120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ） A. y=3x B. C. D. x+y=5 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】A、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意； B、该函数符合反比例函数的定义，故本选项符合题意； C、该函数是二次函数，故本选项不符合题意； D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的一般形式是y＝（k≠0）． 2. 下列各点中，在反比例函数图象上的是（ ） A. (3，1) B. （-3，1） C. (3，) D. （，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得：反比例函数图像上的点满足xy=3． 【详解】解：A、∵3×1=3，∴此点在反比例函数的图象上，故A正确； B、∵（-3）×1=-3≠3，∴此点不在反比例函数的图象上，故B错误； C、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故C错误； D、∵,∴此点不在反比例函数的图象上，故D错误； 故选A． 3. 关于x的方程3x2﹣5=2x的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，﹣2 B. 3，2 C. 3，5 D. 5，2 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式，可得答案． 【详解】解：化为一般式，得3x2﹣2x﹣5=0． 二次项系数和一次项系数分别是3，﹣2， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用移项化成一般式是解题关键． 4. 已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出． 【详解】解：已知三角形的面积s一定， 则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah，即； 该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0； 故其图象只在第一象限． 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限． 5. 一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】由题意可知△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×1=0， 所以方程x2﹣2x+1=0有两个相等的实数根． 故选A． 6. 函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论． ①当k＞0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限； ∴D选项错误，不符合题意， ②当k＜0时，y=kx+1与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限． ∴A选项正确，符合题意，B、C选项错误，不符合题意 故选：A． 7. 已知反比例函数，下列结论中不正确的是（ ） A. 其图象经过点 B. 其图象分别位于第一、第三象限 C. 当时， D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质直接解答即可． 【详解】解：将代入解析式，得，故A正确，不符合题意； 由于，则函数图象过一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，故B正确，不符合题意、D错误，符合题意； ∵时，，且当时，随的增大而减小 ∴当时，，故C正确，不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 8. 把方程的左边配成完全平方，正确的变形是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程的方法求解即可，解题时要注意解题步骤的准确应用，选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. ＜＜ B. ＜＜ C. ＜＜ D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据反比例函数的性质排除选项即可． 【详解】因为点A（，），B（1，），C（2，）是函数图象上的三点， ，反比例函数的图像在二、四象限，所以在每一象限内y随x的的增大而增大， 即； 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 10. 如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点A的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围为（　　） A. 1＜k＜9 B. 2≤k≤34 C. 1≤k≤16 D. 4≤k＜16 【答案】C 【解析】 【详解】解：把x=1代入y=x解得y=1， ∴A的坐标是（1，1）， ∵AB=BC=3， ∴C点的坐标是（4，4）， ∴当双曲线经过点（1，1）时，k=1； 当双曲线经过点（4，4）时，k=16， ∴1≤k≤16． 故选C． 二、填空题 （共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 一元二次方程的根是__________． 【答案】，##， 【解析】 【分析】首先把移至方程左边，再把方程左边的多项式进行因式分解，即可得到答案． 【详解】解：， 移项得：， ∴， ∴或， ∴，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题运用的是因式分解法．结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12. 若反比例函数 的图象经过点，则k的值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，将点的坐标代入反比例函数解析式即可确定的值． 【详解】解：把已知点，代入 可得，， ∴． 故答案为：． 13. 已知y与成反比例，且当时，，那么当时， _____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反比例关系，设，根据时，，求出，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设， 当时，， 解得：， ∴， 当时，， 故答案为：． 14. 若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围． 【详解】∵，，， 由题意知，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 15. 设， 是方程 的两根，则 的值为_____________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，，进而利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故答案：13． 16. 已知m是关于x的方程的一个根，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求代数式的值，一元二次方程的解，根据题意得到，然后利用整体代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵m是关于x的方程的一个根， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 17. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭． 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”试问竿长为 ______________． 【答案】10尺 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由实际问题抽象出一元二次方程，设竿长为尺，根据题意可得房门的宽为尺，高为尺，对角线长为尺，然后根据勾股定理列出方程． 【详解】解：设竿长为尺， 由题意得，． 解这个方程，得，， 当时，，（不合题意舍去）， ， ∴竹竿为10尺． 故答案为：10尺． 18. 如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，轴于点，．一次函数的图象与交于点， 若为的中点，则的值为_________． 【答案】16 【解析】 【分析】设一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为，易得到和的坐标，易证得四边形是正方形，进而可证得，求得，由为的中点，可知为的中点，得出，从而得出点的坐标，再利用待定系数法即可求解． 【详解】解：设一次函数的图象与轴的交点为，与轴的交点为， 则，， ∴． ∵轴于点，轴于点，， ∴四边形是正方形， ∴轴，， ∴， ∴ ∴． ∵为的中点， ∴为的中点， ∴， ∴， ∴． ∵点在反比例函数)的图象上， ∴． 故答案：16． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式的求法，正方形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，求得点的坐标是解题的关键． 三、解答题（19题8分， 20题6分， 21~23题每题8分， 24~25题9分， 26题10分， 共66分） 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）把方程左边提公因式2，然后把方程右边移到左边，继续提公因式，即可利用因式分解法解一元二次方程， （2）把方程展开，用十字相乘法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ∴， 【小问2详解】 解： ∴， 20. 如果函数 是反比例函数，且当时y随x的增大而增大，求函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义，反比例函数的图象和性质，由反比例函数的定义得出，，求出k的值，再根据图象的增减性对k值进行取舍即可． 【详解】解：是反比例函数， ，， 解得，， 当时y随x的增大而增大， ， ， ， ， 即函数的解析式为． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求m的值及该方程的另一根． 【答案】（1）m的取值范围是； （2）m的值为，该方程的另一根是． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确理解熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． （）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）设方程的两个实数根，，其中，利用根与系数的关系，，求解即可； 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴m的取值范围是； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根，，其中， ∴，即， 解得：，， ∴m的值为，该方程的另一根是． 22. 如图， 已知一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求反比例函数的解析式和一次函数解析式； （2）根据图象直接回答，当x在什么范围内时 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）当或时， 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，能直接利用函数图象求出不等式的解集是解答此题的关键． （1）把A点坐标代入反比例函数的解析式，即可得出k的值，将点B坐标代入即可得出的值，利用待定系数法即可得出一次函数的解析式． （2）观察图象根据两函数的交点即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴，即， ∴反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， 解得，， ∴ 把，代入一次函数得， ， 解得，， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：结合函数图象可知：当或时， 23. 为了预防甲流感，我市某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟） 成正比例； 药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示． 根据图中信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】（1） （2）2小时 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用： （1）设出正比例函数、反比例函数解析式，将代入求解即可； （2）令反比例函数值为0.45，求出对应的x的值即可． 【小问1详解】 解：设药物释放过程中y与x的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 将代入，得 解得， 因此药物释放过程中y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：令， 解得， （小时）， 即至少需要经过2小时后，学生才能进入教室． 24. 由于新冠疫情的影响，口罩需求量急剧上升，经过连续两次价格的上调，口罩的价格由每包10元涨到了每包16.9元． （1）求出这两次价格上调的平均增长率； （2）在有关部门调控下，口罩价格还是降到了每包10元，而且调查发现，定价为每包10元时，一天可以卖出30包，每降价1元，可以多卖出5包，当销售额为320元时，应该降价多少元？ 【答案】（1）这两次价格上调平均增长率为； （2）每包应该降价2元． 【解析】 【分析】（1）设这两次价格上调的平均增长率为x,利用经过两次上调价格后的价格=原价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包，根据每天该口罩的销售额为元，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设这两次价格上调的平均增长率为x, 依题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：这两次价格上调的平均增长率为． 【小问2详解】 设每包应该降价m元，则每包的售价为元，每天可售出包， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 经检验符合题意， 答：每包应该降价2元． 25. 已知：如图所示，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． （1）如果P、Q分别从A、B同时出发， 那么几秒后，的面积等于？ （2）在（1） 中，的面积能否等于？请说明理由． 【答案】（1）2秒或者3秒后的面积等于 （2）不能等于，理由见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“的面积等于”得出等量关系是解决问题的关键． （1）设经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解． （2）通过根的判别式即可判定能否达到． 【小问1详解】 解：设经过x秒以后面积为， 则， 整理得：， 解得：， 答：2秒或者3秒后的面积等于； 【小问2详解】 解：的面积不能等于，理由如下∶ 设经过t秒以后面积为， 则， 整理得：， ， 所以此方程无解， 故的面积不能等于． 26. 如图， 反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点． 且一次函数图象交y轴于点A． （1）求C、E点的坐标； （2）求的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使为等腰三角形？ 若存在，请你求出所有满足条件的M点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或或， 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形性质等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． （1）联立反比例函数与一次函数求解方程组即可； （2））先求出点坐标，根据计算即可． （3）设，，，，分三种情形①当时，②当时，②当时，分别列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数 的图象与一次函数的图象交于C、E两点， ∴联立，整理得， 解得， ∴或， 经检验或都是方程组的解， ∴，； 【小问2详解】 解：一次函数的解析式为与轴交于点 ． 【小问3详解】 解：如图，， ， 设， ∴，，， ①当时，，，解得， 此时． ②当时，，，解得，此时，． ②当时，则有，解得，此时． 综上所述，点坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$