专题01 全等三角形（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）

专题01 全等三角形 【考点1】全等图形的定义 【考点2】全等三角形的性质 【考点3】全等三角形的判定 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【考点5】全等三角形的应用 【考点6】角平分线的性质 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【考点8】角平分线与中线巧算面积 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 5 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点6 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 【考点1】全等图形的定义 【典例1】下列各组图形中，不是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组图形，是全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等 【变式1-3】已知，若，，，则（   ） A．10 B．7 C．6 D．6或7 【变式1-4】在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【考点2】全等三角形的性质 【典例2】如图，若，且，，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．4.5 D．5 【变式2-1】如图，，，则的度数为 ． 【变式2-2】如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是 ． 【变式2-3】如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【变式2-4】如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 【考点3】全等三角形的判定 【典例3】如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，，，，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】如图，，，．求证：． 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【典例4】在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： (1)； (2) ． 【变式4-1】如图，点在同一条直线上，，，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-2】已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【变式4-3】如图，点E在外部，点在边上，交于点，若，，   (1)求证：． (2)若，，且，则的面积是多少？ 【变式4-4】【观察发现】 （1）如图1，，，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P，则线段和的数量关系是__________，的度数是__________．（只要求写出结论，不必说出理由） 【深入探究1】 （2）如图2，，，，连接和相交于点P，则线段和的数量关系，以及的度数．请说明理由． 【深入探究2】 （3）如图3，，，且，连接，过点C作，并延长交于点Q．求证：Q为中点． 【考点5】全等三角形的应用 【典例5】如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 【变式5-3】如图，小明用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【考点6】角平分线的性质 【典例6】如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，，AD平分，，，那么点D到直线AB的距离是（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm 【变式6-2】如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 【变式6-3】如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（        ） A．12 B．15 C．16 D．18 【变式6-4】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为 ． 【变式6-5】如图，为锐角内一点，点在边上，点在边上，且，．求证：平分．    【考点7】角平分线的判定与性质综合 【典例7】如图，中，，平分，过点作于点，在上取． (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【变式7-1】如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 【变式7-2】（1）如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 请你证明结论②． （2）如图，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论． 【变式7-3】如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC， (1)求证：∠ADB与∠ACB互补； (2)求证：CD平分∠ADB； (3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数. 【考点8】角平分线的实际应用 【典例8】如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有（    ）处 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-1】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（   ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 一、单选题 1．下列各组的两个图形中，属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 4．如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，的面积（    ） A．4 B．5 C．6 D．4.5 7．如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 8．如图，为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．在图中标示的各点组成的三角形中，能与全等的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 9．如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（  ） A．或 B． C．或14 D． 二、填空题 10．如图，若，且，，则 11．如图，，点D，E分别在边，上，若，，则 ． 12．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号）． 三、解答题 13．如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．   (1)求证：； (2)若，求证：； 14．（1）如图1，是的中线，延长至点E，使得，连结 ①求证； ②若，，设，求x的取值范围； （2）如图2，是的中线，，点E在的延长线上，，求证：． 15．如图， 与是以点A为公共顶点的两个三角形，且，，且线段交于F． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 16．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明,可得出结论,则他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 全等三角形 【考点1】全等图形的定义 【考点2】全等三角形的性质 【考点3】全等三角形的判定 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【考点5】全等三角形的应用 【考点6】角平分线的性质 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【考点8】角平分线与中线巧算面积 知识点 1： 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点2：全等多边形 （1）定义：能够完全重合的两个多边形叫做全等多边形.相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角. （2）性质：全等多边形的对应边相等，对应角相等. （3）判定：边、角分别对应相等的两个多边形全等. 知识点3： 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点4 ：全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点 5 全等三角形的判定 1.判定全等三角形（边边边） 三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 判定全等三角形（边角边） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.判定全等三角形（角边角） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 判定全等三角形（角角边） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. 判定全等三角形（直角边、斜边） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 知识点6 角的平分线的性质和判定 （一）作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） 1、以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 2、分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 3、画射线OC，射线OC即为所求。 （二）角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 （三） 角的平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 几何表示： ∵点P是∠AOB内的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上 【考点1】全等图形的定义 【典例1】下列各组图形中，不是全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等形的识别．根据能够完全重合的两个图形是全等图形对各选项分析即可得解． 【详解】解：观察发现，B、C、D选项的两个图形都可以完全重合， ∴B、C、D选项的两个图形都是全等图形， A选项中两个图形不可能完全重合， ∴它们不是全等形． 故选：A． 【变式1-1】下列各组图形，是全等图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查全等图形的定义“形状、大小完全相同的两个图形”，根据定义，图形结合分析，掌握全等图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是全等图形，不符合题意； 、不是全等图形，不符合题意； 、不是全等图形，不符合题意； 、是全等图形，符合题意； 故选：． 【变式1-2】下列说法正确的是（    ） A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形 C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等形的周长一定相等 【答案】D 【分析】根据全等图形的判定和性质，对每个选项进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、两个面积相等的图形，形状不一定相同，所以不一定是全等形，故A错误； B、两个等边三角形，边长不一定相等，所以不一定是全等形，故B错误； C、若两个图形的周长相等，形状不一定相同，所以它们不一定是全等形，故C错误； D、两个全等三角形的对应边相等，所以周长一定相等，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等图形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等图形的定义和性质． 【变式1-3】已知，若，，，则（   ） A．10 B．7 C．6 D．6或7 【答案】C 【分析】本题考查了全等，了解全等图形中对应边相等是解决本题的关键．根据全等图形中的对应边相等即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【变式1-4】在如图所示的正方形网格中，等于 ．    【答案】/225度 【分析】根据图形和正方形的性质可知，，，再把它们相加可得的度数． 【详解】解：观察图形可知与所在的三角形全等，二角互余，与所在的三角形全等，二角互余，， ∴，，， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题结合网格的特点考查了余角，注意本题中，，是解题的关键． 【考点2】全等三角形的性质 【典例2】如图，若，且，，则的长为（    ）． A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质，根据得到，进而求解即可． 【详解】∵，且， ∴ ∵ ∴． 故选：B． 【变式2-1】如图，，，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可． 【详解】解：， ， ， 即， ， 故答案为：． 【变式2-2】如图，，B，E，C，F四个点在同一直线上．若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答本题的关键．根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ， 故答案为：3． 【变式2-3】如图， ，，交于点F，则的度数是 °． 【答案】50 【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，，求出，得到，求出，得到，求出，由邻补角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：50． 【变式2-4】如图，，于，于，且，点从向运动，每分钟走，点从向运动，每分钟走，、两点同时出发，运动 分钟后，与全等． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识．设运动分钟后与全等；则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果． 【详解】解：于，于， ， 设运动分钟后与全等； 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ，，， ； ②若，则， 解得：，， 此时与不全等； 综上所述：运动4分钟后与全等； 故答案为：4． 【考点3】全等三角形的判定 【典例3】如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 【变式3-1】如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，已知一边一角，结合选项，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：在与中，已知，， A. 添加，不能证明，故该选项符合题意； B. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意； C. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意；     D. 添加，根据可以证明证明，故该选项不合题意； 故选：A 【变式3-2】根据下列条件，能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，根据相关知识逐个选项判断即可． 【详解】解：A、不满足三角形的三边关系，本选项不符合题意． B、边边角，三角形不能唯一确定，本选项不符合题意． C、角角边，三角形唯一确定，本选项符合题意． D、一边一角无法确定三角形，本选项不符合题意， 故选：C． 【变式3-3】如图，，，，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的不同判定方法，本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， A、，无法证明， 故本选项正确； B、∵， ∴，则和中， ， ∴， 故本选项错误； C、，则和中， ， ∴， 故本选项错误； D、，则和中， ， ∴， 故本选项错误； 故选：A． 【变式3-4】如图，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行线的性质得到，由，根据同角的补角相等得到，根据全等三角形的判定，即可求证， 本题考查了平行线的性质，同角的补角相等，全等三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， 又∵（邻补角互补）， ∴（同角的补角相等）， 在与中， ∴（AAS）． 【考点4】全等三角形的判定与性质综合 【典例4】在中，，直线经过点C，且于D，于E．求证： (1)； (2) ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据，，，证明即可； （2）由（1）可知，，则，由，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，点在同一条直线上，，，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形判定及性质． （1）根据题意证明即可； （2）利用（1）证明，继而得到，再利用已知条件即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4-2】已知，如图，为等边三角形，，相交于点P，于Q． (1)求证：； (2)求的度数； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （1）根据全等三角形的判定证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质以及等量代换证明 即可得到答案； （3）根据含角的直角三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【变式4-3】如图，点E在外部，点在边上，交于点，若，，    (1)求证：． (2)若，，且，则的面积是多少？ 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】此题考查学生对三角形内角和定理及全等三角形的判定的理解及运用， 熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键； （1）先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法判定即可； （2）根据三角形面积公式，同高找底的关系即可求解面积，再根据即可求解； 【详解】（1）证明：， 即， ，， ， ， ， 在和中， ； （2）解： ， ， ， ， ． 【变式4-4】【观察发现】 （1）如图1，，，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P，则线段和的数量关系是__________，的度数是__________．（只要求写出结论，不必说出理由） 【深入探究1】 （2）如图2，，，，连接和相交于点P，则线段和的数量关系，以及的度数．请说明理由． 【深入探究2】 （3）如图3，，，且，连接，过点C作，并延长交于点Q．求证：Q为中点． 【答案】（1）相等，；（2），与相交构成的锐角的度数为；（3）证明见详解 【分析】（1）根据，得到，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，根据全等三角形对应角相等可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出； （2）证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）分别过点A点D作的垂线，垂足分别为，证明，可得，推出，再证明，可得，即可证明结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由三角形的外角性质，， ， ∴； 故答案为：相等，； （2）与相交构成的锐角的度数为． 证明：∵， ∴ ，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：如图3，分别过点A点D作的垂线，垂足分别为， ， ， ，，且， ， ， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， Q为中点． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟记性质与判定方法是解题的关键． 【考点5】全等三角形的应用 【典例5】如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．根据全等三角形判定的“”定理即可证得． 【详解】解：，点，分别是，的中点， ， 在和中， ． ， 故选：D． 【变式5-1】如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：． 根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线． 故选：B． 【变式5-2】小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去； 故答案为：4． 【变式5-3】如图，小明用10块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】10 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【详解】解：由题意得：，，，， ， ，， ， 在和中， ， ； 由题意得：，， ， 答：两堵木墙之间的距离为． 故答案为10． 【考点6】角平分线的性质 【典例6】如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；证明可得，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴的周长； 故选：D． 【变式6-1】如图，在中，，AD平分，，，那么点D到直线AB的距离是（    ） A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm 【答案】B 【分析】过点D作DE⊥AB于E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE=CD，再代入数据求出CD，即可得解． 【详解】 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，AD平分∠CAB， ∴DE=CD， ∵BC=12cm，BD=8cm， ∴CD=BC-BD=12-8=4cm， ∴DE=4cm． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（　　）    A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到DH=DG，证明Rt△DEG≌Rt△DFH，得到∠DEG=∠DFH，根据互为邻补角的性质得到答案． 【详解】作DG⊥AB于G，DH⊥BC于H，    ∵D是∠ABC平分线上一点，DG⊥AB，DH⊥BC， ∴DH=DG， 在Rt△DEG和Rt△DFH中， ∴Rt△DEG≌Rt△DFH（HL）， ∴∠DEG=∠DFH，又∠DEG+∠BED=180°， ∴∠BFD+∠BED=180°， ∴∠BFD的度数=180°-140°=40°， 故选A． 【点睛】此题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，邻补角的性质，解题关键在于作辅助线 【变式6-3】如图，在中，，，为角平分线的交点，若的面积为20，则的面积为是（        ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】由角平分线的性质可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比． 【详解】∵点O是三条角平分线的交点， ∴点O到AB，AC的距离相等， ∴△AOB、△AOC面积的比=AB：AC=8：6=4：3． ∵△ABO的面积为20， ∴△ACO的面积为15． 故选B． 【点睛】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 【变式6-4】如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为40和28，则△EDF的面积为 ． 【答案】6 【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF=S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF=S△ADH列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于H， ∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB， ∴DF=DH， 在Rt△DEF和Rt△DGH中， ， ∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL）， ∴S△EDF=S△GDH，设面积为S， 同理Rt△ADF≌Rt△ADH（HL） ∴S△ADF=S△ADH， 即28+S=40-S， 解得：S=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并利用角平分线的性质是解题的关键． 【变式6-5】如图，为锐角内一点，点在边上，点在边上，且，．求证：平分．    【答案】见解析 【分析】过点作，垂足分别为，根据可证，进而证得，从而可证平分． 【详解】证明：如图，过点作，垂足分别为．    而 在与中， ， ． 又点在内部，， 点在的平分线上， 即平分． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，证明是解决问题的关键． 【考点7】角平分线的判定与性质综合 【典例7】如图，中，，平分，过点作于点，在上取． (1)求证：； (2)猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平分，可得，即可证明和全等； （2）证明和全等，可得，即可解得 【详解】（1）证明：∵， ∴ 又∵平分 ∴ 在和中 ∴ （2），理由如下 ∵， ∴ 又∵平分 ∴ 在和中 ∴ ∴ 又∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形的全等以及角平分线的性质，灵活运用所学的知识是解题的关键． 【变式7-1】如图所示，，是的中点，平分． （1）求证：是的平分线；（2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）8cm. 【分析】（1）过点E分别作于F，由角平分线的性质就可以得出EF=EC，根据HL得，即可得出结论； （2）根据角平分线和平行线的性质求出 ，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解. 【详解】 （1）证明：过点E分别作于F， ∴∠DFE=∠AFE=90°． ∵∠B=∠C=90°， ∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°． ∴CB⊥AB，CB⊥CD． ∵DE平分∠ADC． ∴∠EDC=∠EDF，CE=EF． ∵E是BC的中点， ∴CE=BE， ∴BE=EF． 在Rt△AEB和Rt△AEF中， ， ∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL）， ∴∠EAB=∠EAF， ∴AE是∠DAB的平分线； （2）解：∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠ADC=180°， ∵∠BAD=60°，平分，AE是∠DAB的平分线， ， ，， ∵∠C=90° ∴  ， ， . 故答案为（1）详见解析；（2）8cm. 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段中点的定义，全等三角形的判定与性质的运用，含30°角的直角三角形，证明三角形全等是解（1）题的关键，掌握含30°角的直角三角形的性质是解（2）题的关键． 【变式7-2】（1）如图，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得到如下两个结论：①DC＝BC；②AD+AB＝AC． 请你证明结论②． （2）如图，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC+∠ADC＝180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＝∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC． 【分析】（1）由已知易证得△ADC≌△ABC，可得AD＝AB，根据已知可得∠ACD＝30°可得AC＝2AD，即可得结论． （2）以上结论仍成立；作辅助线CE⊥AD，CF⊥AB，首先证得△ACF≌△ACE，可得CF＝CE，即可证得△CFB≌△CED，即可得（1）中结论． （3）同（2）理作辅助线可得DC＝BC成立，AB﹣AD＝AC． 【详解】解：（1）∵AC平分∠MAN， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，AC为公共边， ∴△ADC≌△ABC（AAS）， ∴AD＝AB，DC＝BC①； ∵∠DCA＝30°， ∴AC＝2AD＝AD+AB②； （2）如图：作辅助线CF⊥AB，CE⊥AD， ∵AC平分∠MAN， ∴∠DAC＝∠BAC＝60°， 又∵CF⊥AB，CE⊥AD，且AC为公共边， ∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF＝CE①； ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠MAN＝120°， ∴∠DCB＝180°﹣120°＝60°， ∵在直角三角形AFC中∠ACF＝30°， ∴∠DCA+∠FCB＝30°， ∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE＝30°， ∴∠FCB＝∠DCE②； 由CE⊥AD，CF⊥AB，且已证得条件①②， ∴△CED≌△CFB（ASA）， ∴DC＝BC；ED＝FB； ∵在直角△ACF中，AC＝2AF，在直角△ACE中，AC＝2AE，即AC＝AE+AF， 已证得ED＝FB， ∴AC＝AD+AB； （3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC． 故答案为（1）见解析；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3）①DC＝BC成立；②不成立，AB﹣AD＝AC． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，涉及到直角三角形、角平分线、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式7-3】如图，已知A(-1,0),B(1,0),C为y轴正半轴上一点，点D为第三象限一动点，CD交AB于F,且∠ADB=2∠BAC， (1)求证：∠ADB与∠ACB互补； (2)求证：CD平分∠ADB； (3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB,在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)∠BAC=60°. 【分析】(1)先判断△ABC是等腰三角形，然后在△ABC中利用三角形内角和定理以及∠ADB=2∠BAC即可得到结论； (2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，运用“AAS”证明△CAM≌△CBN得CM=CN，根据“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”得证； (3)延长DB至点P，使BP=AD，连接CP，则可得CD=DP，证明△CAD≌△CBP，从而可得 △CDP是等边三角形，从而求∠BAC的度数． 【详解】(1)∵A(-1,0),B(1,0)， ∴OA=OB=1， ∵CO⊥AB， ∴CA=CB， ∴∠ABC=∠BAC， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∠ADB=2∠BAC， ∴∠ADB+∠ACB=180°， 即∠ADB与∠ACB互补； (2)过点C作AM⊥DA于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC=∠CNB=90°， ∵∠ADB+∠AMC+∠DNC+∠MCN=360°， ∴∠ADB+∠MCN=180°， 又∵∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠MCN=∠ACB， ∴∠MCN-∠CAN=∠ACB-∠CAN， 即∠ACM=∠BCN， 又∵AB=AC， ∴△ACM≌△ABN (AAS)， ∴AM=AN． ∴CD平分∠ADB(到角的两边距离相等的点在角的平分线上)； (3)∠BAC的度数不变化， 延长DB至点P，使BP=AD，连接CP， ∵CD=AD+BD， ∴CD=DP， ∵∠ADB+∠DBC+∠ACB+∠CAD=360°，∠ADB+∠ACB=180°， ∴∠CAD+∠CBD=180°， ∵∠CBD+∠CBP=180°， ∴∠CAD=∠CBP， 又∵CA=CB， ∴△CAD≌△CBP， ∴CD=CP， ∴CD=DP=CP，即△CDP是等边三角形， ∴∠CDP=60°， ∴∠ADB=2∠CDP=120°， 又∵∠ADB=2∠BAC， ∴∠BAC=60°. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，四边形内角和定理，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 【考点8】角平分线的实际应用 【典例8】如图，要在三条交错的公路区域附近修建一个物流公司仓库，使仓库到三条公路的距离相等，则可以选择的地址有（    ）处 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】要使物流公司仓库到三条公路的距离相等，可根据角平分线的性质进行解答； 角平分线上的点到这个角两边的距离相等， 确定出三角形的内角的角平分线的交点或者相邻的外角的角平分线的交点，即可解答本题. 【详解】由角平分线上的点到角两边的距离相等，可得满足题意的物流公司仓库的地址有： （1）三角形两个内角的角平分线的交点，共一处； （2）三角形两个相邻外角的角平分线的交点，共三处. 综上可知，总共有4处地址可供选择. 故选D. 【点睛】考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 【变式8-1】如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城的一块三角形平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应该修在（   ） A．三边中线的交点 B．三个角的平分线的交点 C．三边高线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在∠ABC和∠CAB的角平分线的交点处． 【详解】要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在△ABC内角平分线的交点， 故选B． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 一、单选题 1．下列各组的两个图形中，属于全等形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，根据全等图形的定义：形状大小都相同的图形是全等图形，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项C中的两个图形的形状大小都相同，是全等形； 故选C． 2．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基尺规作图-作一个角等于已知角、全等三角形的判定与性质，根据作图过程和全等三角形的判定“”证得，然后利用全等三角形的对应角相等可得结论． 【详解】解：根据作图痕迹，得，，， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，，，，于D，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．根据题意证明，得到，，故可求出的长． 【详解】解：，， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：B． 4．如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，判定三角形全等是解题的关键；由题意可得，则有，再由三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即； ∵， ∴， ∴； ∴； 故选：B． 5．如图，，若要判定，则需要补充的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴补充的一个条件为，可利用证明； 或补充的一个条件为，可利用证明； 故选：C． 6．如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，的面积（    ） A．4 B．5 C．6 D．4.5 【答案】A 【分析】此题主要是考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，然后证得，得出，根据中点定义可得的面积为面积的2倍． 【详解】延长交于点， ， ， 平分， ， 在和中， ． ∴， ， ，， ． 故选：A． 7．如图，在中，于点是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得、，即可得的周长即可求解． 【详解】解：∵， ∴、， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：B． 8．如图，为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．在图中标示的各点组成的三角形中，能与全等的有（   ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：，，，．根据全等三角形的判定定理，，，结合图形进行判断即可． 【详解】解：根据图象可知和全等，理由如下： ∵根据图形可知，，， ∴， 即和全等， 其余顶点构成的三角形与不全等， ∴能与全等的三角形有1个， 故选：B． 9．如图所示框架，其中足够长，于点，点M从B出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M，N运动的速度之比为，当两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为（  ） A．或 B． C．或14 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． 设，则，使与全等，由可知，分两种情况：情况一：当时，列方程解得，可得；情况二：当时，列方程解得，可得． 【详解】解：∵点运动的速度之比为， ∴设，则， ∵与全等， 可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， ∴， 解得：， ； 情况二：当时， ∵， ， 解得：， ； 综上所述，或， 故选：C． 二、填空题 10．如图，若，且，，则 【答案】/90度 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的性质，掌握“全等三角形的对应角相等”是解本题的关键．先利用三角形的内角和定理求解，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11．如图，，点D，E分别在边，上，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，由可得，最后根据计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明即可判断③；证明得出，，即可判断①②，根据即可判断④，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：在和中， ， ∴，故③正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，故②正确， ∴，故①正确； ，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题 13．如图，在中，，点在边上（点不与点、点重合），作，交边于点．    (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定定理“”即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． （2）证明：由（1）知：， 在和中， ， ∴． 14．（1）如图1，是的中线，延长至点E，使得，连结 ①求证； ②若，，设，求x的取值范围； （2）如图2，是的中线，，点E在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）①见解析；②；（2）见解析 【分析】（1）①由“”可证即可； ②利用全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （2）如图2，延长至点M，使，连接，先证明 ，可得，，再证明≌ ，可得． 【详解】解：（1）①如图1中，延长至点E，使． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）如图2，延长至点M，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴≌ ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形三边关系的应用，全等三角形的判断与性质，作出合适的辅助线构建全等三角形是解本题的关键． 15．如图， 与是以点A为公共顶点的两个三角形，且，，且线段交于F． (1)求证：； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义： （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理可证明，即． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 16．【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明,可得出结论,则他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 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