精品解析：甘肃省武威市凉州区武威三中联片教研组2024-2025学年九年级上学期10月期中数学试题

2024-2025学年第一学期甘肃省武威三中联片教研 九年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式且，计算即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：B． 3. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该厂今年十月份以及十二月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 4. 如果函数是二次函数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是掌握二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0的条件不能漏． 根据二次项系数不等于0，二次函数最高指数为2列出方程组，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故选：C． 5. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将P（－2，4）代入，得， ∴二次函数解析式为． ∴所给四点中，只有（2，4）满足．故选A． 6. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线， ，，，即， 离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故选：A． 7. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 8. 二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称性、二次函数与一元二次方程的关系；二次函数与x轴的两个交点的横坐标就是一元二次方程的两个根．熟练掌握以上知识是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，进而得出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 抛物线与x轴的一个交点坐标为，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标 ∴方程的解为， 故选：B． 9. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，勾股定理．利用分割图形求面积法找出是解题的关键．在中，利用勾股定理可得，设运动时间为，则，，利用分割图形求面积法可得，利用配方法即可求出四边形的面积最小值． 【详解】解：在中，，，， ， 设运动时间为，则，， 当时，四边形的面积取最小值，最小值为． 故选：C． 10. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时的函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的增减性可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，由即可得出，则可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故①错误； ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， 而点关于直线的对称点的坐标为，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵若， ∴， ∴时的函数值小于时的函数值， ∵横坐标是的点的对称点的横坐标为， ∴时函数值等于时的函数值， ∴时的函数值小于时的函数值， 故③错误； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴抛物线为， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴， ∴， ∵点的对称点是， ∴点一定在此抛物线上，故④正确． 故选：C． 二、填空题（共24分） 11. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ___________． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 13. 已知线段，点C是上的一点，且，那么________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 14. 抛物线 是二次函数，则m=_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，形如“(a、b、c是常数，且)”的函数就是二次函数，据此可得到关于m的方程，解方程求出m的值． 【详解】解：∵抛物线 是二次函数， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 15. 已知抛物线的开口向下，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次函数的性质，绝对值的意义，利用抛物线开口向下得出，是解决问题的关键． 由抛物线的开口向下，得出，再由，，由此得出答案即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ， ， ． 故答案为：． 16. 抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的特点，熟练掌握二次函数的顶点式的特点是解此题的关键． 直接利用顶点式的特点可求顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 17. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律总结归纳出旋转后的解析式为，进而求出抛物线的解析式，再把P代入，求出n的值即可． 【详解】解：∵一段抛物线与x轴交于点O，， ∴图象与x轴交点坐标为：， ∵将绕点旋转得，交x轴于点， ∴； ∴的解析式为， ∵将绕点旋转得，交x轴于点； ∴； ∴的解析式为， ∴的解析式为， ∴的解析式为， 当时，． 故答案为：． 18. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数图象判断式子符号等等．根据二次函数开口向上，与y轴交于正半轴，得到，根据对称轴为，得到，即即可判断①②；当时，即可判断③；根据当时，，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故②正确； ∴，故①正确； ∵当时，， ∴， ∴，即，故③正确； ∵当时，，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，， ∴，故④正确； ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（共66分） 19. 已知的图象与的图象交于A，B两点（点A在点B的左边），点O为坐标原点． （1）求点A，B的坐标； （2）画出图象并求出的面积． 【答案】（1） （2）函数图象见解析，6 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴的交点问题，画二次函数图象，一次函数图象等等： （1）联立两函数解析式解方程即可得到答案； （2）先画出对应的函数图象，然后求出直线与y轴交点C的坐标，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：联立，解得或， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，函数图象即为所求； 设直线与y轴交于C，则， ∴， ∴ ． 20. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）两边同时除以得，然后根据直接开平方法解一元二次方程； （2）先移项，然后配方得，再根据直接开平方法解一元二次方程； （3）先计算判别式，再根据求根公式，即可求解； （4）根据因式分解法得，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：方程中，，， ∵， ， ； 【小问4详解】 解：， 方程变形得：， 分解因式得：， 解得：，． 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件衬衫应降价元，由题意可列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每件衬衫应降价元， 由题意可得， 化简得 解得，，， ∵为了尽量减少库存，由， 所以应该选择降价元， 答：每件衬衫应降价元． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系： （1）根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，列出方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：且方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 答：的取值范围是． 【小问2详解】 由题知，该方程的两根之和为，两根之积为 方程的两根之和等于两根之积， ， 解得，． 由（1）可知：时方程有实数根， ． 23. 已知是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，因式分解求一元二次方程的解，根据题意可得，，，因式分解求值即可． 【详解】解：已知是关于的二次函数， ∴，， 解得：，， ∴． 24. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 【答案】（1）交点A，B的坐标分别为， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像，一次函数与坐标轴的交点，解一元二次方程，联立两个函数得到点，的坐标是解题的关键． （1）将两个函数的解析式联立组成方程组，求得方程组的解就可得到交点的坐标； （2）根据题意得到，再利用即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得： 解得：或 在的右边 交点，的坐标分别为，； 【小问2详解】 解：直线与轴交于点 当时，，即点坐标为 又， 点，到的距离分别为3，1 ． 25. 已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点． （1）求的值； （2）求二次函数的图象与轴交点坐标． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点等知识． （1）把点代入函数解析式即可求出答案； （2）由（1）得到函数解析式，取，进一步解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：把代入中，得， 解得． 【小问2详解】 由（1）得二次函数的解析式为， 令，得， 解得，， 图象与轴交点坐标是和 26. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质得出，根据旋转的性质得出 ，求出，证即可； （2）求出，进而求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：是等边三角形， ， 线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ， ； 小问2详解】 解：如图，连接， ， 为等边三角形， ， 又， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质和等边三角形的性质等知识点，能灵活运用性质定理进行推理是解此题的关键． 27. 如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； （3）抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3）时，有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键. （1）依据题意，把点代入求出后即可求得解析式； （2）依据题意，先求出点C和点D的坐标，然后连接，设点P的坐标为， 根据列方程求出m值即可解题； （3）依据题意可得点的坐标是，又把与 联立方程组，得 可得, 连接, 有再结合二次函数的性质即可判断得解. 【小问1详解】 由题意, 把点. 代入 得 ， ， ∴抛物线的解析式为 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为， ∵x轴正半轴上有一点D，且， ∴点D的坐标为， 连接， 设点P的坐标为， 则， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 【小问3详解】 解：∵点的坐标是, ∴. 又∵ ∴点的坐标是. 把与联立方程组，得 ， 如图, 连接. , 当时，有最小值，最小值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期甘肃省武威三中联片教研 九年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 2. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 3. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨，若平均每月增长率为x，则可以列出方程（　　） A. B. C. D. 4. 如果函数是二次函数，则m取值范围是（ ） A. B. C. D. m为全体实数 5. 若二次函数的图象经过点P（－2，4），则该图象必经过点（ ） A. （2，4） B. （－2，－4） C. （－4，2） D. （4，－2） 6. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A. B. C. D. 7. 将抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C D. 8. 二次函数的图象过点，方程的解为（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运到（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形的面积最小值为（ ） A. 19 B. 16 C. 15 D. 12 10. 抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③若，则时函数值大于时的函数值；④点一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④ 二、填空题（共24分） 11. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ___________． 12. 关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为______． 13. 已知线段，点C是上一点，且，那么________ ． 14. 抛物线 是二次函数，则m=_______． 15. 已知抛物线的开口向下，且，则______． 16. 抛物线的顶点坐标是__________． 17. 如图所示，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得，若在第22段抛物线上，则_________ 18. 已知二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是_______． 三、解答题（共66分） 19. 已知的图象与的图象交于A，B两点（点A在点B的左边），点O为坐标原点． （1）求点A，B的坐标； （2）画出图象并求出的面积． 20. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 21. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件衬衫降价元，商场平均每天可多售出件，若商场每天盈利元，请帮助商场算一算，每件应降价多少元？ 22. 已知关于的一元二次方程． （1）有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）如果方程的两根之和等于两根之积，求的值． 23. 已知是关于的二次函数，求的值． 24. 已知函数与的交点为A，B（A在B的右边）． （1）求点A、点B的坐标． （2）求的面积． 25. 已知二次函数（为常数）的图象与轴交于点． （1）求的值； （2）求二次函数的图象与轴交点坐标． 26. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 27. 如图，抛物线过点，，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）第一象限内的抛物线图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，且，当的面积是3时，求出点P的坐标； （3）抛物线的顶点为Q，直线与抛物线交于点E，F，M是线段的中点，当时，求四边形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $