专题04 线段垂直平分线应用的三种类型（3大题型）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题04 线段垂直平分线应用的三种类型 类型1：线段垂直平分线的性质在求周长和线段和中的应用 类型2：线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 类型3：线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 类型1：线段垂直平分线的性质在求周长和线段和中的应用 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质．由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 一．选择题（共5小题） 1．如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，若，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   二、填空题（共2小题） 6．如图，在中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则周长的最小值为 ． 7．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 类型2：线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 如图，是的垂直平分线上一点，连接，．以为直角边作 ，且，交于点，交于点． (1)求证：； (2)判断 的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)直角三角形，证明见详解 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得到结论； （2）在和中，有一对对顶角相等，由（1）知，故，所以是直角三角形． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线上一点， ∴， ∴，同理，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：为直角三角形，证明如下： ∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 一．解答题（共4小题） 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 2．已知：是的高，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接，将沿折叠得到，与相交于点，若，求的大小． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长； (2)若， 　　°，若， 　　．° 4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求． 类型3：线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 如图，在中，平分于点平分，交于点，交于点交于点．    (1)求证：； (2)判断直线与线段之间的关系，并说明理由． 一．解答题（共4小题） 1．老师布置了如下尺规作图的作业： 已知：如图．    求作：边上的高． 下面是小红设计的尺规作图过程： 作法：①延长线段 ； ②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D； ③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ④连接，交于点M． 如图所示，所以线段就是所求作的高线． 根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题： 将该作图证明过程补充完整： 由②可得： ． 由③可得： ． ∴ （ ）．（填推理的依据） 即是边上的 线． 2．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． (1)若，，则 ； (2)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 3．如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 4．如图，在中，，、分别在、上，和相交于点，连接交于点，若，求证：点是的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 线段垂直平分线应用的三种类型 类型1：线段垂直平分线的性质在求周长和线段和中的应用 类型2：线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 类型3：线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 类型1：线段垂直平分线的性质在求周长和线段和中的应用 如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（   ） A．13 B．11 C．8 D．6.5 【答案】C 【分析】本题考查作图-复杂作图、线段垂直平分线的性质．由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，即可得出答案． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线， ， ， ， ， 的周长为． 故选：C． 一．选择题（共5小题） 1．如图，中，，是的垂直平分线，垂足为D，交于E，若，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再根据三角形周长计算公式得到，进而推出，求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，是的中点，且，，交于点，，，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，由是的中点可得，进而由可得为的垂直平分线，得到，由三线合一得到，又由得，即得，得到，据此可得的周长，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， 又∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：． 3．如图，在中，，，，，垂直平分，点为直线上的任一点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，先根据垂直平分线的性质得到，然后根据解题即可． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值是4， 故选：B． 4．如图，在中，是边的垂直平分线，垂足为E，交于点D，若，则的周长是（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，再根据三角形周长计算公式可推出的周长，即可求解． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长， 故选：C． 5．如图，中，，使，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由和可得，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在的垂直平分线上，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点P在的垂直平分线上， 即点P为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 二、填空题（共2小题） 6．如图，在中，，，点为边的垂直平分线上一点，若，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，角所对直角边是斜边的一半，连接，由垂直平分线的性质得，当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为，然后根据角所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小，即周长的最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 7．如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，根据等腰三角形的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，由此可得，又由“两点之间线段最短”和“垂线段最短”可得当三点共线且时最短，根据三角形的面积公式可求出的长，即的最小值，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，平分， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图，当三点共线且时， ，此时最小，即的值最小， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型2：线段垂直平分线的性质在求角的度数中的应用 如图，是的垂直平分线上一点，连接，．以为直角边作 ，且，交于点，交于点． (1)求证：； (2)判断 的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)直角三角形，证明见详解 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得到结论； （2）在和中，有一对对顶角相等，由（1）知，故，所以是直角三角形． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线上一点， ∴， ∴，同理，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：为直角三角形，证明如下： ∵， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 一．解答题（共4小题） 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用. 【详解】（1）证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 2．已知：是的高，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接，将沿折叠得到，与相交于点，若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线． （1）利用线段的垂直平分线的性质证明，再利用等腰三角形的性质即可解决问题； （2）如图2中，连接．首先证明是等边三角形，推出，再由解决问题． 【详解】（1）证明：如图1中， ，， ， ； （2）解：如图2中，连接． ，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 由翻折的性质可知：， ，由（1）可知， ． 3．如图，在中，边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，与相交于点O，的周长为． (1)求的长； (2)若， 　　°，若， 　　．° 【答案】(1)6cm (2)70， 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，然后利用等线段代换求解； （2）先利用等腰三角形的性质得到，，则利用三角形内角和定理和等量代换得到，所以，接着根据四边形内角和得到，则可证明，然后把或分别代入得到对应的的度数． 【详解】（1）∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， 即； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E， ∴， ∴， 当时，； 当时，． 故答案为：70，． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质． 4．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明； （2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，然后利用等边对等角得到，最后利用等腰三角形三线合一性质及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ，是的垂直平分线， ， ， ，即是等腰三角形， 为线段的中点， ； （2）解：，， ， ， 由（1）知是等腰三角形，， 由等腰三角形三线合一性质可知是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了证明及求角度，涉及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 类型3：线段垂直平分线的性质在判断两线位置关系中的应用 如图，在中，平分于点平分，交于点，交于点交于点．    (1)求证：； (2)判断直线与线段之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直平分， 理由见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由可得，由证明，然后根据等量代换即可证明结论； （2）由平分线的性质可得，再证明可得 最后利用等腰三角形的性质的三线合一即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：垂直平分， 理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵平分， ∴垂直平分． 一．解答题（共4小题） 1．老师布置了如下尺规作图的作业： 已知：如图．    求作：边上的高． 下面是小红设计的尺规作图过程： 作法：①延长线段 ； ②以点A为圆心，长为半径作弧交的延长线于点D； ③分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ④连接，交于点M． 如图所示，所以线段就是所求作的高线． 根据小红设计的尺规作图过程和图形，完成问题： 将该作图证明过程补充完整： 由②可得： ． 由③可得： ． ∴ （ ）．（填推理的依据） 即是边上的 线． 【答案】；；；是的垂直平分线；到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；垂 【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定，基本作图，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键．根据到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上证明即可． 【详解】解：如图，根据题中作法作图即可得； 由②可得：，（均为圆的半径） 由③可得：，（相同圆的半径） ∴是的垂直平分线（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）， 即是边上的垂线． 2．如图，在中，边，的垂直平分线分别交于点D，E． (1)若，，则 ； (2)设直线，交于点O，判断点O是否在的垂直平分线上． 【答案】(1)11 (2)点O在的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定等： （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，则； （2）如图，连接，，，由线段垂直平分线的性质证明，即可证明点O在的垂直平分线上． 【详解】（1）解：∵边，的垂直平分线分别交于点D，E， ∴，． ∵，， ∴， 故答案为：11； （2）解：点O在的垂直平分线上． 理由：如图，连接，，，    ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 3．如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 4．如图，在中，，、分别在、上，和相交于点，连接交于点，若，求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的判定定理证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴是的中点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$