第34章 锐角三角函数（热考六大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

第34章《锐角三角函数》 分层练习 考查题型一 正弦、余弦、正切的相关概念 1．（2023·福建泉州·统考一模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 3．（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 4．（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 考查题型二 特殊角三角函数值的混合运算 1．（2022上·山东青岛·九年级统考期中）计算： (1)； (2)cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°． 2．（2022上·九年级单元测试）计算： (1) (2) 3．（2023上·河南洛阳·九年级校考期末）计算： (1)； (2)． 4．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）计算： (1) (2) 考查题型三 解直角三角形 1．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知：如图，是的高，，，．求． 2．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，在矩形中，于E，设，且，，求的长．    3．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）中，，，点在上，，，求的长．    4．（2023上·山东东营·九年级校考期中）如图，在中，AD是上的高，，． (1)求的长； (2)求． 考查题型四 仰角俯角问题 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在某建筑物上挂着宣传条幅（即），小刚站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行30米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为． (1)求宣传条幅的长（小刚的身高不计，结果保留根号）； (2)若小刚从点到点用了60秒钟，按照这个速度，小刚从点到点所用的时间为多少秒？ 2．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图所示，实习期间小田接到任务测量塔的高度，但是无法直接测量．于是他先在塔附近的空地C处地面上水平放置了一个平面镜，然后他沿着方向移动，当移动到点E时，他刚好在平面镜内看到这座塔的顶端A的像，此时，测得顶端A的仰角为40°，米，小田同学眼睛与地面的距离米，已知点B，C，E在同一水平线上，且，均垂直于，若平面镜的厚度忽略不计，则这座塔的高度约为多少米．（参考数据：，，）（结果精确到0.1米） 3．（2023上·四川泸州·九年级统考期中）如图，两座建筑物与，其中的高为120米，测得其底部C的俯角为，求这两座建筑物的地面距离为多少米？（结果保留根号） 4．（2023上·湖南郴州·九年级统考阶段练习）一天，小红，小丽相约去爬山，她俩爬山之前想估测一下小山的高度．如图所示，山顶上有一标志A，在山脚平地上的B处测得标志A的仰角为，向小山前进180米到达点D处，测得标志A的仰角为，若点B、D在同一水平线上，设于点C，求小山的高度．（结果保留根号） 考查题型五 方位角问题 1．（2023上·重庆开州·九年级校联考阶段练习）事发地点C处发生了一起交通事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，位于B点处的警车和A处的救护车接到通知后立刻同时出发前往事发地点C处．计划由警车赶到事发地点C处接该伤员，再沿方向行驶，与救护车相遇后将该伤员转到救护车上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上米处，且在C的正南方向上． (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟，救护车的平均速度为米分，警车的平均速度为米分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治?请说明理由．（事发与接到通知之间的时间、接送伤员上下车的时间均忽略不计） 2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米．米．（参考数据：，） (1)求景点C、D的距离（结果保留根号）； (2)小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由． 3．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，小岛位于小岛的南偏东方向，在的中点处建设了灯塔，一艘物资船位于小岛的正南方向、小岛的正西方向的处，它从处沿正北方向航行，到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上，这时，处距离小岛A有多远?（参考数据：，，） 4．（2023上·山东东营·九年级统考期中）如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，） 考查题型六 坡度坡比问题 1．（2023上·湖南株洲·九年级校考阶段练习）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)求D到的距离． (2)求古塔的高度（结果保留根）． 2．（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 3．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度（结果保留整数）． 4．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，一段河堤的斜坡，为了加固河堤，需要将堤坝加厚．竣工后，斜坡的坡度由原来的变成，加固后斜坡的长是多少？（结果保留根号）    1．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，． (1)若支架， ①求的度数； ②求与水平底座之间的距离．（结果精确到） (2)若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度． （参考数据：，，，） 2．（2023·浙江温州·统考一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 3．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，． (1)若关闭折伞后，点、、三点重合，点与点重合，求的长度； (2)在（1）的条件下，折伞完全撑开时，，则点到伞柄距离为多少． 4．（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第34章《锐角三角函数》 分层练习 考查题型一 正弦、余弦、正切的相关概念 1．（2023·福建泉州·统考一模）在中，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义得到，设，，利用勾股定理得到，即可求出的值． 【详解】解：如图，中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 2．（2021·浙江杭州·统考一模）在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， 则cosA＝＝，故A错误； sinB＝＝，故B错误； tanA＝，故C错误； tanB＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键． 3．（2022·湖北·统考模拟预测）如图，在中，是斜边上的高，，则下列比值中等于的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由同角的余角相等求得∠A=∠DBC，根据正弦三角函数的定义判断即可； 【详解】解：∵∠ABD+∠A=90°，∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠A=∠DBC， A．=cosA，不符合题意； B．=tanA，不符合题意； C．=cos∠DBC=cosA，不符合题意； D．=sin∠DBC=sinA，符合题意； 故选： D． 【点睛】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键． 4．（2022·浙江温州·温州绣山中学校联考二模）如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC． 【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C， 则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24， ， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键． 考查题型二 特殊角三角函数值的混合运算 1．（2022上·山东青岛·九年级统考期中）计算： (1)； (2)cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°． 【答案】(1)﹣ (2)﹣ 【分析】对于（1），根据，，，代入计算即可； 对于（2），根据，，，代入计算即可． 【详解】（1）原式＝ ＝ ＝﹣1﹣ ＝﹣； （2）原式＝ ＝ ＝﹣． 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算，记忆和理解特殊角的三角函数值是解题的关键． 2．（2022上·九年级单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值依次计算即可； （2）先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键． 3．（2023上·河南洛阳·九年级校考期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算，熟记各个特殊角的三角函数是解题关键． （1）将各特殊角的三角函数代入，然后计算即可； （2）将各特殊角的三角函数代入，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 4．（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值即可化简求解； （2）根据实数的性质化简，再合并求解． 此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 【详解】（1） = = = （2） = = =2 考查题型三 解直角三角形 1．（2023上·江苏徐州·九年级校考阶段练习）已知：如图，是的高，，，．求． 【答案】 【分析】解：本题考查解直角三角形，先在中，利用求出的长，然后再中，运用计算是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴． 2．（2023上·湖北·九年级校考周测）如图，在矩形中，于E，设，且，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，根据题意得到，然后利用，设，，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，， ∴设， ∵ ∴，即 ∴解得，负值舍去， ∴． 3．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）中，，，点在上，，，求的长．    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，等角对等边；根据三角形的外角的性质可得，进而可得，解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，． 4．（2023上·山东东营·九年级校考期中）如图，在中，AD是上的高，，． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1)8 (2)64 【分析】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理； （1）由是上的高得到，则，得到； （2）勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （2）∵，，， ∴， ∴， ∴． 考查题型四 仰角俯角问题 1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）如图，在某建筑物上挂着宣传条幅（即），小刚站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行30米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为． (1)求宣传条幅的长（小刚的身高不计，结果保留根号）； (2)若小刚从点到点用了60秒钟，按照这个速度，小刚从点到点所用的时间为多少秒？ 【答案】(1)宣传条幅的长米； (2)小刚从点到点所用的时间为90秒． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． （1）根据题意得到，解直角三角形即可求得长； （2）根据（1）的结果，在中，根据，求出，然后根据速度、时间、路程的关系即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得：，， ， ， 在中， ， ， 答：宣传条幅的长米； （2）解：在中， ， ， 小刚的速度为（米/秒）， 则小刚从点到点所用的时间为（秒）， 答：小刚从点到点所用的时间为90秒． 2．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图所示，实习期间小田接到任务测量塔的高度，但是无法直接测量．于是他先在塔附近的空地C处地面上水平放置了一个平面镜，然后他沿着方向移动，当移动到点E时，他刚好在平面镜内看到这座塔的顶端A的像，此时，测得顶端A的仰角为40°，米，小田同学眼睛与地面的距离米，已知点B，C，E在同一水平线上，且，均垂直于，若平面镜的厚度忽略不计，则这座塔的高度约为多少米．（参考数据：，，）（结果精确到0.1米） 【答案】这座塔的高度约为5.3米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．作于F，则，证，得出，设，再分别用含x的式子表示出、，根据三角函数，即可得到关于x的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：作于F，如图： 则， 依题意可得：， ， ， ， ， 设， ， 在中， ， ， 解得：， （米）， 答：这座塔的高度约为5.3米． 3．（2023上·四川泸州·九年级统考期中）如图，两座建筑物与，其中的高为120米，测得其底部C的俯角为，求这两座建筑物的地面距离为多少米？（结果保留根号） 【答案】两座建筑物的地面距离为米 【分析】此题考查解直角三角形的应用，仰角俯角问题，作于E，可知四边形为矩形，设，根据三角函数求得，，根据，列出方程即可解答，解题关键在于利用三角函数值进行计算． 【详解】解：作于E，    则四边形为矩形， ∴， 设， 在中，， 则， ∵， ∴， 由题意得，，即， 解得，， ∴， ∴， 答：两座建筑物的地面距离为米． 4．（2023上·湖南郴州·九年级统考阶段练习）一天，小红，小丽相约去爬山，她俩爬山之前想估测一下小山的高度．如图所示，山顶上有一标志A，在山脚平地上的B处测得标志A的仰角为，向小山前进180米到达点D处，测得标志A的仰角为，若点B、D在同一水平线上，设于点C，求小山的高度．（结果保留根号） 【答案】小山AC的高为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题意和图形，求得米，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴米， 在中，， ∴， 答：小山AC的高为米． 考查题型五 方位角问题 1．（2023上·重庆开州·九年级校联考阶段练习）事发地点C处发生了一起交通事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，位于B点处的警车和A处的救护车接到通知后立刻同时出发前往事发地点C处．计划由警车赶到事发地点C处接该伤员，再沿方向行驶，与救护车相遇后将该伤员转到救护车上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上米处，且在C的正南方向上． (1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）； (2)黄金救援时间是6分钟，救护车的平均速度为米分，警车的平均速度为米分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治?请说明理由．（事发与接到通知之间的时间、接送伤员上下车的时间均忽略不计） 【答案】(1)米 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形及其应用，构造直角三角形并利用三角函数求解使解答本题得关键． （1）过点A作的垂线，交的延长线于点D，在中，利用三角函数的定义，可逐步求得米，米，进一步在中，可求得的长； （2）设从接到通知后到警车与救护车相遇共用时x分钟，在中，利用三角函数的定义，可求得米，米，进一步列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）过点A作的垂线，交的延长线于点D， 由题意可知，，， 则， 在中，米， 米， 在中，， 米； （2）设从接到通知后到警车与救护车相遇共用时x分钟， 在中， 米， 米， 由题意可列方程 解得 所以该伤员能在黄金救援时间内接受救治． 2．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆一中校考期末）某景区有A、B、C、D四个景点，景点C在景点D的正东方向，景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东方向，已知景点A到的距离米，景点B到的距离米．米．（参考数据：，） (1)求景点C、D的距离（结果保留根号）； (2)小东和小明在景点D游览后，小东准备乘坐观光车，从景点D到景点A到再到景点B，小明则步行从景点D到景点C再到景点B，小明出发5分钟后，小东才搭上观光车出发，已知小明步行的平均速度为每分钟60米，观光车的速度为每分钟300米，观光车和小明中途不停歇，后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达吗？请说明理由． 【答案】(1)景点C、D的距离是米； (2)后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由见解析． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数以及勾股定理是解题关键． （1）过点B作于点，可得四边形是矩形，得到，米，再根据直角三角形的性质，分别得到米，米，米，即可求出景点C、D的距离； （2）先利用勾股定理，求得米，从而求得小东所用时间，再利用锐角三角函数，求得米，从而求得小明所用时间，然后得到两人的时间差，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点， ， 四边形是矩形， ，米， 由题意：景点A在景点D的东北方向，景点B在景点C的北偏东30°方向， ∴，， 又∵米，米， 米， 在中，米， 米， 在中，米， 在中，米， 米， 即景点C、D的距离是米； （2）解：后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达，理由如下： 在中，米， 小东所用时间为分钟， 在中，米， 小明所用时间为分钟， 明出发5分钟后小东出发，观光车和小明中途不停歇， 两人的时间差为：， 后到的人能在先到的人到达后的3分钟内到达． 3．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，小岛位于小岛的南偏东方向，在的中点处建设了灯塔，一艘物资船位于小岛的正南方向、小岛的正西方向的处，它从处沿正北方向航行，到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上，这时，处距离小岛A有多远?（参考数据：，，） 【答案】 【分析】作于．设，在中，，在中，得到，证明，则，进一步得到，则，求出x的值，进一步即可得到答案． 此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和利用数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：如图，作于．设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 处距离港口A有． 4．（2023上·山东东营·九年级统考期中）如图，灯塔A周围12海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行8海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：，，，，，） 【答案】渔船没有触礁的危险． 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方向角问题．过点作，分别解和，求出的长，即可得出结论． 【详解】解：过点作，由题意，得：，，， 设，    在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴渔船没有触礁的危险． 考查题型六 坡度坡比问题 1．（2023上·湖南株洲·九年级校考阶段练习）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡的底部点C处，然后沿斜坡前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度，且点A，B，C，D，E在同一平面内． (1)求D到的距离． (2)求古塔的高度（结果保留根）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作，根据斜坡的斜面坡度，结合勾股定理求出的长即可； （2）过点作，垂足为点，易得四边形为矩形，推出，在中，求出的值，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， ∵斜坡的斜面坡度， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∵， ∴． （2）过点作，垂足为点． 由题意得，， ∵ ， ∴四边形为矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴，， ∴， 在中， ∵， ∴． ∴． 答：古塔的高度． 2．（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)4米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比，仰角问题，熟练掌握坡比，仰角的计算是解题的关键． （1）作于H，解，即可求出； （2）延长交于点G，解、，求出、，得到，再说明，在中，利用正切的定义求出即可． 【详解】（1）过D作于H，如图所示： 在中， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米． （2）延长交于点G，设米，由题意得，， ∴， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 在中， ∴， 解得：， 故大树的高度为米． 3．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲山处的位置向乙山处拉电线．已知甲山上点到的垂直高度米；乙山的坡比为，乙山上点到河边的距离米，从处看处的俯角为．（在同一平面内，参考值：） (1)求乙山处到河边的垂直距离； (2)求河的宽度（结果保留整数）． 【答案】(1)乙山B处到河边的垂直距离为520米 (2)河的宽度约为468米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题． （1）过点B作，垂足为E，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点A作，垂足为F，根据题意可得：米，，从而可得，再利用（1）的结论可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进行计算即可解答． 【详解】（1）过点B作，垂足为E， ∵乙山的坡比为， ∴， ∴设米，则米， 在中，（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∴乙山B处到河边的垂直距离为520米； （2）如图：过点A作，垂足为F， 由题意得：米，， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， ∴（米）， ∴河的宽度约为468米． 4．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图，一段河堤的斜坡，为了加固河堤，需要将堤坝加厚．竣工后，斜坡的坡度由原来的变成，加固后斜坡的长是多少？（结果保留根号）    【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度问题；过作，过作，垂足分别为、．设，根据坡度的定义得出，．在中，利用勾股定理得出，解方程求出，然后在中，由勾股定理求出，将的值代入计算即可． 【详解】解：过作，过作，垂足分别为、． 设，则，，， 在中，，， ，得：．    在中，， ． 答：加固后斜坡是米． 1．（2023·江西萍乡·萍乡市安源中学校考模拟预测）如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架，交于点，支架与水平底座的夹角，，，，灯罩抽象为，，，． (1)若支架， ①求的度数； ②求与水平底座之间的距离．（结果精确到） (2)若在（1）的条件下，将支架绕点旋转，使与水平底座之间的距离为，求支架的旋转方向及角度． （参考数据：，，，） 【答案】(1)①；② (2)将支架绕点逆时针旋转，与水平底座之间的距离为 【分析】（1）①过点作，交于点K，求出的角度，即可解答； ②过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形，根据特殊直角三角形的相关性质，即可解答； （2）旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了，再根据解直角三角形，即可解答． 【详解】（1）①如图（1），过点作， 交的延长线于点，交于点． ， ． ，， ．   ， ． ，， ， ．   ②解：，， ． 如图（1），过点分别作，的垂线，垂足为，则四边形为矩形， ，． ， ．   ，    ，，， ．   答：与水平底座之间的距离约为． （2）解：由（1）②可知当时，与水平底座之间的距离约为， 若使与水平底座之间的距离为，则需将支架绕点逆时针旋转． 设需要将绕点逆时针旋转，旋转后点的对应点为，如图（2）． ， 旋转后，与水平底座之间的距离增加了，即点在竖直方向上上升了（关键点）． 过点作，垂足为，过点作于点． 结合（1）②可知． ， ， ，   将支架绕点逆时针旋转，与水平底座之间的距离为．   【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数是解题的关键． 2．（2023·浙江温州·统考一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷． 素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为，最大夹角为．如图2，小浩设计直角形遮阳篷，点在的延长线上，，它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光（太阳光与平行）． 素材2：小浩查阅资料，计算出，（，，如图2）． 素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧延伸后经过点，段可伸缩，为的中点），，的长保持不变． 【任务1】如图2，求，的长． 【任务2】如图3，求劣弧的弓高． 【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角的正切值，要最大限度地使阳光射入室内，求遮阳篷点上升高度的最小值（点到的距离）． 【答案】任务1： ，；任务2：劣弧的弓高为米；任务3：遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【分析】任务1：由题意得：，，，得到，，进而推出，在中，，得到，在中，，得到，结合，，即可求得，的长； 任务2：已知，得到是直径，取的中点，过点作交于点，即点是圆心，已知，，求得，根据是的中点，求得，已知，得到，结合，得到，进而得到，求得，，得到，结合是直径，点是圆心，得到，结合，，即可得到即为劣弧的弓高，根据，即可求得劣弧的弓高； 任务3：过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， 根据，得到，在中，结合，得到 ，进而得到，结合，可知点与点重合，连接，过点作，得到 ，在中，得到，设，则，根据，，得到，同理得到，，， 即可证明四边形是矩形，进一步得到，，， ，，结合是半径，得到， 在中，根据勾股定理求出的值，即可求得遮阳篷点上升高度的最小值． 【详解】任务1： 如图所示： 由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 又∵，，则， ∴， ∴， 即，； 任务2： 如图所示： ∵， ∴是直径， 取的中点，过点作交于点，即点是圆心， ∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由题意可知：是直径，点是圆心， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴即为劣弧的弓高， ∴， ∴劣弧的弓高为米； 任务3： 如图所示： 过点作，作使得，交于点，连接，过点作，与相交于点，与相交于点， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴点与点重合， 连接，过点作， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴，， 又∵是半径， ∴， 在中， ∵，，， 则， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴遮阳篷点上升高度的最小值为米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 3．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形和四边形都是平行四边形，，，． (1)若关闭折伞后，点、、三点重合，点与点重合，求的长度； (2)在（1）的条件下，折伞完全撑开时，，则点到伞柄距离为多少． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，有关闭折伞后，点A、E、H三点重合，得到，则，； （2）先求出得到，即可得到，求出，过F作于R，过G作于T，在上取一点Q使得，则，解直角三角形得到，设，则，利用勾股定理得到， 解得，即可得到，同理可得，则． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴； （2）解：由题意得，当伞完全撑开时，三点共线， ∵ ， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合， ∴， 过F作于R，过G作于T，在上取一点Q使得， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 4．（2021·甘肃兰州·统考模拟预测）如图①是某公园的一个上肢牵引器，图②是其静止状态下的简化示意图（CE、DF分别在同一水平线上），立柱AB与水平地面MN垂直，挑杆AC＝AE，手拉链CD＝EF，且始终与地面垂直．经查询，挑杆AC＝AE＝0.33m，∠CAE＝130°．当运动者做上肢牵引运动时，将牵引器由静止状态拉至如图③所示的状态，此时∠CAB＝52°，求点E上升的高度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70） 【答案】0.07m 【分析】先在图2中，设AB与CE相交于点Q利用等腰三角形的三线合一性质求出∠CAQ＝65°，然后在Rt△ACQ中，求出AQ，再在图3中，过点E作EP⊥AB，垂足为P，先求出∠EAP＝78°，然后在Rt△APE中，求出AP，然后进行计算即可解答． 【详解】解：设AB与CE相交于点Q，如图： ∵CE∥MN，AB⊥MN， ∴AQ⊥CE， ∵AC＝AE， ∴∠CAQ∠CAE130°＝65°， 在Rt△ACQ中，AQ＝ACcos65°＝0.33×0.42＝0.1386m， 过点E作EP⊥AB，垂足为P， ∵∠CAB＝52°，∠CAE＝130°， ∴∠EAP＝∠CAE﹣∠CAB＝130°﹣52°＝78°， 在Rt△APE中，AP＝AEcos78°＝0.33×0.21＝0.0693m， ∴AQ﹣AP＝0.1386﹣0.0693≈0.07（m）， ∴点E上升的高度为0.07m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系的解题关键，难点在于如何添加辅助线将问题转化为解直角三角形问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$