第34章 锐角三角函数（单元测试）数学人教版五四制九年级下册

第34章《锐角三角函数》 考试时间:120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．（2022上·山东泰安·九年级统考开学考试）在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（2023上·四川泸州·八年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D．8 4．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（    ）    A．6 B． C． D．2 5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边上的点E处．若，则为（    ）        A． B．1 C． D． 6．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图为的直径，点P为延长线上的点，过点P作的切线，切点为M，过A、B两点分别作垂线、，垂足分别为C、D，连接，则①平分；②；③若，，则弧的长为；④若，则有，其中正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（2023上·上海松江·九年级统考期中）在中，，，，则的余切值为 ． 8．（2022上·湖南永州·九年级校考期末）已知（如图），一斜坡的坡度为，则坡角为 度． 9．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，在中，，且，AC上有一点D，满足，则的值是 ． 10．（2023上·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，轴于，，则的值为 11．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进，又测得该建筑物顶端A的仰角为，则该建筑物的高度为 （结果保留根号） 12．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在等腰中，，点为平面上一点，，连接，若，，则的长度为 ． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）计算： (1) (2) 14．（2022上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，，求的值．    15．（2023上·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在灯塔周围海里水域有暗礁．一艘由西向东航行的轮船航行到处发现，灯塔在轮船的北偏东的方向上，且与轮船相距海里．若该轮船不改变航向，通过计算说明该轮船是否有触暗礁的危险．【参考数据：，，】 16．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距60米，在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为，测得铁塔顶部的仰角为，求： (1)建筑物高（精确到1米）； (2)求铁塔的高度（精确到1米）．（已知，） 17．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且斜坡，． (1)求斜坡的坡度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．    (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长． 19．（2023上·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米． (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． 20．（2023·江西·统考中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）    (1)连接，求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 22．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为． (1)当时，求的值； (2)将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示； (3)连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式． 六、解答题（本大题共12分） 23．（2023上·广东揭阳·九年级校考期末）（1）在中，，． ①绕点C顺时针旋转得到，点恰好落在边上．如图1，则与的数量关系是 ； ②当绕点C旋转到图2的位置时，小娜猜想①中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中，边上的高，请你证明小娜的猜想； （2）已知，，点是平分线上一点，，交于点，如图3．若在射线上存在点，使，则 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第34章《锐角三角函数》 考试时间:120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．（2022上·山东泰安·九年级统考开学考试）在中，，，，则的长为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先利用直角三角形的边角间关系，用含的代数式表示出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：在中， ， ． ， ． ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 2．（2023上·四川泸州·八年级统考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在中，，，得，代入已知条件计算即可． 【详解】解：在中，，，， ∵ ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 3．（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D．8 【答案】D 【分析】此题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 4．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（    ）    A．6 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意可知，再由可得出的长，再在中通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，、、三点共线， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 5．（2023上·山东济南·九年级统考期中）如图，在中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边上的点E处．若，则为（    ）        A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质可得，，设，则，，利用锐角三角函数即可求解，此题考查了翻折的性质、锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：由翻折的性质可得，， 设，则，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：B 6．（2023上·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图为的直径，点P为延长线上的点，过点P作的切线，切点为M，过A、B两点分别作垂线、，垂足分别为C、D，连接，则①平分；②；③若，，则弧的长为；④若，则有，其中正确的结论有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】连接、，由切线的性质可得，进而得到，再根据平行线的性质以及等边对等角，得到，即可判断①结论；根据直径所对的圆周角是直角，得到，易证，根据相似三角形的对应边成比例，即可判断②结论；根据三角形内角和定理，求出，再利用弧长公式求出弧长，即可判断③结论；证明，得到，进而推出，再利用平行线分线段成比例定理，得出，证明，得到，由勾股定理得出，最后利用三角函数，即可判断④结论． 【详解】解：如图，连接、， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分，①结论正确； 为的直径， ， ， ， ，②结论正确； ，， ， ， ， 弧的长为，③结论错误； ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 在中，， ， ， ，④结论正确， 正确的结论有①②④，共3个， 故选：B 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，灵活运用相似三角形对应边成比例是解题关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（2023上·上海松江·九年级统考期中）在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数的定义，直接得出即可，得出答案．熟练地应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：如图：    ，，， ， 故答案为：． 8．（2022上·湖南永州·九年级校考期末）已知（如图），一斜坡的坡度为，则坡角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求特殊角的度数，坡度坡比的应用；理解坡度是解决本题的关键． 【详解】解：坡度为坡角的正切值， 即， ， 故坡角为度． 故答案为：30． 9．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，在中，，且，AC上有一点D，满足，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质． 作于H，利用两对角相等的三角形相似，由相似得比例列出比例式，由的值，设出与，由代入比例式表示出与，进而求出的值．再由平行性质得出，即可得出答案． 【详解】解：作于H，如图： 在中，， 设，， ∵ ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴， 在中，， ∴． 故答案为：． 10．（2023上·安徽阜阳·九年级校考阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，轴于，，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，余弦的计算，求反比例函数的值的综合，掌握余弦的计算方法，勾股定理，点坐标与反比例函数的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意，，， ∴，， ∵轴，即， ∴在中，， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：． 11．（2023上·河北衡水·九年级校考期末）如图，为了测得某建筑物的高度，在处用高为的测角仪，测得该建筑物顶端的仰角为，再向建筑物方向前进，又测得该建筑物顶端A的仰角为，则该建筑物的高度为 （结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，设米，利用正切的定义用x表示出，，根据列方程，即可求解． 【详解】解：由题意知，，， 设， 在中，， 则， 在中，， 则， ， ， 解得， ， 故答案为：． 12．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在等腰中，，点为平面上一点，，连接，若，，则的长度为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查解直角三角形、全等三角形的判定与性质及勾股定理得综合运用，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定和性质是解题的关键； 分为点在的左侧和点在的右侧，分别画图计算即可； 【详解】若点在的左侧，过点作，交的延长线于点，连接，如图： 则，， ∴， ∴， 即， 在和中， 在中，； 若点在的右侧，过点作，交的延长线于点，连接，如图： 则 ， 即， 在和中， 在中，由勾股定理，得， 在中，， 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用特殊锐角的三角函数值及二次根式的运算法则计算即可； （2）利用特殊锐角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（2022上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，在中，，，，求的值．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，正弦的定义，掌握勾股定理的运用，正弦值的计算方法是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理求出的值，再根据正弦的定义即可求解． 【详解】解：，，， ， ． 15．（2023上·吉林长春·九年级统考阶段练习）如图，在灯塔周围海里水域有暗礁．一艘由西向东航行的轮船航行到处发现，灯塔在轮船的北偏东的方向上，且与轮船相距海里．若该轮船不改变航向，通过计算说明该轮船是否有触暗礁的危险．【参考数据：，，】 【答案】该轮船没有触暗礁的危险 【分析】此题主要考查解直角三角形，要判断是否有触礁危险，只需判断轮船与的最短距离是否大于海里即可，过点作，则为直角三角形，利用和的余弦值求出，再和海里相比较即可得出答案． 【详解】解：过点作． 在中， ， ， （海里） ∵． 该轮船没有触暗礁的危险． 16．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距60米，在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为，测得铁塔顶部的仰角为，求： (1)建筑物高（精确到1米）； (2)求铁塔的高度（精确到1米）．（已知，） 【答案】(1)34米 (2)94米 【分析】本题考查了仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． （1）先过A点作于E点，根据题意得出四边形为矩形，再根据特殊角的三角函数值求出即可； （2）根据等腰直角三角形的特点求出，最后根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：过A点作于E点， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴米； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴米． 17．（2023上·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且斜坡，． (1)求斜坡的坡度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据特殊角三角函数可得的度数，然后根据坡度定义即可得结论； （）过作于点，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可； 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线，灵活运用三角函数解答． 【详解】（1）解：∵是梯形的高，即， 在 中，， ∴， ∴， ∴斜坡的坡度为； （2）解：如图，过作于点， 则，， 在中，∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴坝底的长为． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．    (1)求证：是的切线． (2)若，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的判定，解直角三角形，圆周角定理：熟练的利用以上知识解题是关键. （1）连接，推出，可得，从而推出，进而得到，再根据切线判定推出即可； （2）连接，根据锐角三函数可得的长，即可得答案． 【详解】（1）证明：如图，连接．    是的中点， ， ． ， ， ， ． ， ， 是的切线． （2）解：如图，连接．    为的直径， ． ， ． ， ， ． 19．（2023上·山东枣庄·九年级校联考阶段练习）物体在太阳光照射下，影子的长度与时间变化直接相关，小明在某天的8点至16点之间，测量了一根2.7米长的直杆垂直于地面时的影子长度，发现影子长度y与时间之间近似二次函数关系，可满足关系式．已知该天11点时影子长度为1.31米，12点时影子长度为1.08米． (1)请确定a，c的值． (2)如图，太阳光线和与地面之间的夹角为，求14点时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键用待定系数法求出函数解析式. （1）把 代入解析式，解方程组求出，的值; （2）先根据（1）中，值求出函数解析式，再把代入解析式求出，再根据直角三角函数求出的值； 【详解】（1）解：由题意可知 ，代入函数解析式得 得 解得 ， ； （2）解：由（1）得函数解析式为 把代入， 解得 则； 20．（2023·江西·统考中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．（结果保留小数点后一位）    (1)连接，求证：； (2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高约为米 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证； （2）过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ 即 ∴ 即 ∴； （2）如图所示，过点作，交的延长线于点，    在中， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴ （米）． 答：雕塑的高约为米． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线； （2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． 22．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，反比例函数的图像交分别为． (1)当时，求的值； (2)将沿翻折，点对应点记为，问的值是否为定值，若是求出该值、若不是请用表示； (3)连接，作，并使，求过点的反比例函数解析式． 【答案】(1)； (2)是定值，定值为； (3)． 【分析】()根据点的坐标和已知条件求得点的坐标，然后把点的坐标代入函数解析式即可求出系数的值； ()根据折叠的性质得到，由反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质求得相关线段的长度，将其代入比例式即可求得答案； ()根据余角性质可得，由三角函数可得，然后利用勾股定理通过点即可求出该反比例函数的解析式． 【详解】（1）解：∵矩形的 边在轴上，边在 轴上，点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴的值是； （2）解：是定值． 理由如下： 在矩形中，点坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴设,， ∴，， 由折叠的性质知， ∴， ∴， ∴的定值为； （3）解：如图，连接，，且，过点作轴于，则， ∵点坐标为， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 设，过点的反比例函数关系式为(是常数，且)， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴点的坐标为或， ∴， ∴该反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质以及翻折旋转的性质，利用待定系数法求解析式是解题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23．（2023上·广东揭阳·九年级校考期末）（1）在中，，． ①绕点C顺时针旋转得到，点恰好落在边上．如图1，则与的数量关系是 ； ②当绕点C旋转到图2的位置时，小娜猜想①中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中，边上的高，请你证明小娜的猜想； （2）已知，，点是平分线上一点，，交于点，如图3．若在射线上存在点，使，则 ．    【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】（1）①证明即可判断．②根据旋转的性质可得，，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明； （2）分两种情形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）①如图1，∵，， ∴， ∴， 根据等边三角形的性质，的边、上的高相等， ∴； 故答案为：； ②如图，过点作于点，点作于点， ∴ ∵是由绕点旋转得到， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图4中，作交于．延长交于．    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，易知，在中，， ∴，综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$