精品解析：山西省太原市新希望双语学校2024-2025学年九年级第一学期第一次阶段性测试数学试题

2024-2025学年第一学期阶段性测试（一） 九年级数学试题（卷） 【说明：本试卷为闭卷答题，做题时间90分钟】 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，本题共10个小题） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得： 配方得． 2. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（ ） A. 无解 B. 两个不相等的实数根 C. 两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．由直线解析式求得，然后确定的符号即可． 【详解】解：直线不经过第四象限， ， 关于的方程， ， 关于的方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 3. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解决本题的关键．根据直角三角形的性质解决此题即可． 【详解】解：在中，，是斜边上的中线， ． ． 故选：． 4. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（ ） A. 测量一组对角是否都为直角 B. 测量三个内角是否都为直角 C. 测量两条对角线是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，根据矩形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：A．测量一组对角是否都为直角，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意； B．测量三个内角是否都为直角，根据有三个角是直角的四边形为矩形，可以判断四边形门框是矩形，符合题意； C．测量两条对角线是否相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意； D．测量两组对边是否分别相等，无法判断四边形门框是矩形，不符合题意； 故选：B． 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形以及特殊平行四边形的判定定理，掌握相关定理内容是解题关键． 【详解】解：对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故A是假命题； 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形，故B是真命题； 两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故C是真命题； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题； 故选：A ． 6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、两点间距离公式，先求得的长度，然后根据矩形的对角线相等求解即可． 【详解】解：连接，， ∵点B的坐标是， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 故选：C． 7. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，根据点在上运动时，的面积逐渐增大，点在上运动时，的面积保持不变，结合图象得到，即可得出结果． 【详解】解：当点在上运动时， 的面积，随着的增大而增大， 当点在上运动时，的面积为定值，保持不变， 由图象可知：， ∴矩形的周长是； 故选B． 8. 用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形，下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质和菱形的判定． 在A选项中只能证明四边形为平行四边形，利用作法和菱形的判定方法可得到、、D选项中四边形为菱形． 【详解】解：A．如图， 根据作图过程可知：， ∵四边形是平行四边形， ，即， ， ， ， ∴四边形是平行四边形，不能证明是菱形，故此选项符合题意； B．如图， 根据作图过程可知：， 在和中， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形，故此选项不符合题意； C．如图，根据作图过程可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故此选项不符合题意； D．如图，根据作图过程可知：， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形，故此选项不符合题意． 故选：A． 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G，证明四边形是菱形；利用勾股定理解答即可；本题考查了菱形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】连接，交于点O，过点D作于点F，过点B作于点G， 根据平行线间的距离处处相等，得到， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形是菱形； ∴； ∴； 故选：A． 10. 把边长为4的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理．此题难度适中，注意连接构造等腰是解题的关键，注意旋转中的对应关系． 在中，利用勾股定理的知识求出的长，再根据等腰直角三角形的性质，在中，由勾股定理可求，，从而可求四边形的周长． 【详解】解：如图所示，连接， 四边形是正方形， ， 由旋转性质知：旋转角，， ， 在对角线上， 在中，， ； ∵， ∴在等腰中，， 在中，， ， 四边形的周长是：， 故选：A． 二、填空题 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入方程，即可求解． 【详解】解：依题意，将代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：． 12. 柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查画树状图，概率的意义及求法，熟练画树状图是解题的关键；根据概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图 共12种等可能出现的情况，其中刚好配成一双的有4种，则所求概率 故答案为：． 13. 如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑宽度相同的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则根据题意可列的方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知草坪的面积相当于一个长为米、宽为米的长方形面积，然后利用长方形面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意，草坪的面积为， 故所列方程为． 14. 已知，则的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法、换元法求一元二次方程的解，设，则原方程转化为，根据解一元二次方程的方法即可求解，掌握因式分解法求一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：设，则原方程转化为， 所以或， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为：2． 15. 如图，四边形ABCD中，AB = BC，∠ABC =∠CDA = 90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE =_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：过B作BF垂直DC的延长线于点F， ∵∠ABC=∠CDA=90°，BF⊥CD， ∴∠ABE+∠EBC=∠CBF+∠EBC， ∴∠ABE=∠CBF； 又∵BE⊥AD，BF⊥DF，且AB=BC， ∴△ABE≌△CBF， ∴BE=BF； ∵BE⊥AD，∠CDA=90°，BE=BF， ∴四边形BEDF为正方形； ∴四边形ABCD的面积等于正方形BEDF的面积，即等于9， ∴，即BE= 故答案是： 三、解答题（应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）无解 （4） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）先移项，再根据直接开平方法解一元二次方程； （2）根据配方法得到，再开平方法解一元二次方程； （3）根据公式法解一元二次方程，得出，即可判断方程无解； （4）先移项，然后因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得：， 【小问2详解】 解：， ∴即， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴原方程无解； 【小问4详解】 解：， ∴， ∴即， 解得：． 17. 如图，菱形的对角线与交于点，，，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1） （2） ∵，， ∴四边形是平行四边形 四边形是菱形 ∴ 四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的判定： （1）根据菱形的性质，平行线的性质，进行求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质，得到，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴设， 则：， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 18. 每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题． （1）参加此安全竞赛的学生共有 人， （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ． （3）将条形统计图补充完整， （4）获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级．学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率 【答案】（1）40， （2） （3） 将条形统计图补充完整如下： （4） 【解析】 【分析】（1）由获得特等奖的人数除以所占的百分比即可； （2）由乘以获“三等奖”的人数所占的比例即可； （3）求得获得二等奖的人数，将条形统计图补充完整即可； （4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 由题意可得：（人， 即参加此安全竞赛的学生共有40人， 故答案为：40； 【小问2详解】 ， 即在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为， 故答案为：； 【小问3详解】 二等奖人数为：（人， 【小问4详解】 获得一等奖的学生中，用表示七年级学生，表示八年级学生，九年级的2名学生分别记为、， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好是一名七年级和一名九年级学生的结果有4种，即，，，． （恰好是一名七年级和一名九年级）， 答：两人恰好是一名七年级和名九年级的概率为． 【点睛】本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图：利用树状图法展示所有等可能的结果数目，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率． 19. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 20. 如图，已知，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）作菱形，使点M，N、P在边、、上； （2）若时，则菱形的面积为___________． 【答案】（1） 菱形为所求 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、菱形的判定与性质； （1）结合菱形的判定，先作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，则菱形即为所求． （2）结合菱形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理求出，的长，根据菱形的面积公式可得答案． 【小问1详解】 如图，先作的平分线，交于点，再作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，， 则四边形为菱形． 【小问2详解】 四边形为菱形， ，， ， ， ． 设， 则， 在中，， ， 即， 解得， ，， 菱形的面积为． 故答案为：． 21. 阅读下面材料： 解方程:． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题: （1）对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　． （2）模仿上述换元法解方程：． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握换元法是解此题的关键． （1）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值； （2）按照材料中分式方程的换元的方法，设，则原方程可化为，按照解分式方程的方法，可求得的值，进而求得的值． 【小问1详解】 解：对于方程，若设，则原方程可化为， 方程两边同时乘y，得， 解得或． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的根， 故原方程的解为或； 【小问2详解】 解：原方程化为． 设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，该方程无解； 当时，，解得． 经检验，是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为． 22. 问题情境：已知正方形，是对角线上任意一点． 发现：（1）如图l，若连接，，则线段与的数量关系为 ． 探究：（2）如图2，经过点作，与的延长线交于点，与交于点． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若是的中点，且，，直接写出线段的长． 【答案】（1）； （2）①为等腰三角形，理由如下： 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； ②； 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结果； （2）①根据全等三角形的对应角相等，对顶角相等，以及等角的余角相等，得到，进而得到，即可得出结论； ②过点作，三角形的中线平分面积得到，得到，利用三角形的面积公式求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）①略 ②过点作， ∵， ∴， ∵，点为的中点， ∴，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中，． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期阶段性测试（一） 九年级数学试题（卷） 【说明：本试卷为闭卷答题，做题时间90分钟】 一、选择题（每小题的四个选项中，只有一项最符合题意，本题共10个小题） 1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于x的方程的实数根的情况为（ ） A. 无解 B. 两个不相等的实数根 C. 两个相等的实数根 D. 无法确定 3. 如图，在中，，是斜边上的中线若，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学实践活动中，四个活动小组分别拟定了如下的方案，其中正确的是（ ） A. 测量一组对角是否都为直角 B. 测量三个内角是否都为直角 C. 测量两条对角线是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对角线互相垂直平分的平行四边形是正方形 B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形 C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6. 如图，在直角坐标系中，矩形，点B的坐标是，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 4 7. 如图1，在矩形中，动点P从点B出发，沿运动至点A停止，设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形的周长是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 26 8. 用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形，下列作法错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形，若测得点，之间的距离为，点，之间的距离为，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 10. 把边长为4的正方形绕点A顺时针旋转得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ） A. B. 8 C. D. 二、填空题 11. 已知是一元二次方程的一个解，则的值是____________． 12. 柜子里有2双鞋，随机取出两只刚好配成一双鞋的概率是____________． 13. 如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑宽度相同的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使小路的面积为100平方米，设小路的宽为x米，则根据题意可列的方程为_______． 14. 已知，则的值是 _____． 15. 如图，四边形ABCD中，AB = BC，∠ABC =∠CDA = 90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE =_______． 三、解答题（应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 17. 如图，菱形的对角线与交于点，，，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是矩形． 18. 每年夏天全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某中学为确保学生安全，开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全竞赛．学校对参加比赛的学生获奖情况进行了统计，绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中相关数据解答下列问题． （1）参加此安全竞赛的学生共有 人， （2）在扇形统计图中，“三等奖”所对应的扇形的圆心角的度数为 ． （3）将条形统计图补充完整， （4）获得一等奖的学生中，1人来自七年级，1人来自八年级，2人来自九年级．学校决定从获得一等奖的学生中任选两名学生参加全市防溺水安全竞赛，请通过列表或树状图方法求所选两名学生中，恰好是一名七年级和一名九年级学生的概率 19. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 20. 如图，已知，请用直尺（不带刻度），和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）． （1）作菱形，使点M，N、P在边、、上； （2）若时，则菱形的面积为___________． 21. 阅读下面材料： 解方程:． 解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘y，得， 解得． 经检验，都是方程的解． 当时，，解得； 当时，，解得． 经检验，，都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 解答下面的问题: （1）对于方程，若设，则原方程可化为　　　　　　　，原方程的解为　　　　　　　　． （2）模仿上述换元法解方程：． 22. 问题情境：已知正方形，是对角线上任意一点． 发现：（1）如图l，若连接，，则线段与的数量关系为 ． 探究：（2）如图2，经过点作，与的延长线交于点，与交于点． ①判断的形状并说明理由； ②连接，若是的中点，且，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $