精品解析：福建省泉州市第九中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年上学期泉州九中初三数学10月月考A卷 时间：120分钟 总分：150分 出卷：潘竹树 审核：杨一鸣 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；逐个进行判断即可． 【详解】解：A．符合最简二次根式的定义，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意； B．，因此选项B不符合题意； C．，因此选项C不符合题意； D．，因此选项D不符合题意； 故选：A． 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是移项得到一般式． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式为， 故选：B． 3. 如图：在中，，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：直角三角形中，30度所对的边的长度是斜边的一半， 所以. 故选：D． 【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练运用30度角的直角三角形的性质，本题属于基础题型． 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AC＝（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例可得即由此求解即可． 【详解】解：∵， ∴即， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例． 5. 数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的知识．根据概率是所求情况数与总情况数之比，可得答案． 【详解】解：随机抽取一个小组，共有种等可能结果，抽到第4个小组的有种结果， ∴概率为， 故选：C． 6. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，然后利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】解：∵，是边上中线， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，锐角三角函数的定义，熟记性质和定义是解题的关键． 7. 2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意列出方程求解即可．本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键． 【详解】设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，得， 故选D． 8. 如图，的对角线相交于点O，E是上一点，且，，则的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，再证是的中位线，得出的长，即可得出结论． 【详解】∵的对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴，是的中位线， ∴， ∴的周长． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，证得是的中位线是解题的关键． 9. 如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由等腰直角三角形的性质可推出，，，从而可得出，，证明即可得出结论． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．掌握三角形相似的判定条件是解题关键． 10. 如图，点A、C在x轴上，点B、D在反比例函数的图象上，，过原点O，与反比例函数交于点E，点F在上且，连接交于点G，的面积为2，若，则k的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由反比例函数的对称性可知：四边形是平行四边形，可得，由的面积为2，得，由坐标通过相似表示出的坐标，根据在反比例函数图象上，可列出方程来解决问题． 【详解】解：点、在反比例函数的图象上，、过原点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 设， ， 又， ， 在上， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，重点运用了相似三角形的判定与性质来解决问题，属于压轴题． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是________米． 【答案】24 【解析】 【分析】根据相似多边形周长的比等于相似比即可求解． 【详解】解：设另一块草坪的周长为x米， ∵两块相似的多边形草坪，其相似比为，其中较大的一块草坪的周长是36米， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长的比等于相似比是解题的关键． 12. 在中，，已知，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先设出三角形的三边，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与余弦值，解题关键是理解正弦与余弦的定义． 13. 如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了，则此时小球水平方向前进的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，由，设，，可得，（负值舍去），可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵，． ∴， ∴设，， 由勾股定理得，，即，（负值舍去） ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，能从实际问题中整理出直角三角形是解答本题的关键． 14. 如图，的顶点都是边长为 1 的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点B作，再利用锐角三角函数的定义求解，即可得到答案． 【详解】解：过点B作，则是直角三角形， 由图形可知，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 15. 如图，在中，，点G为重心，若，，那么的长等于________． 【答案】 【解析】 【分析】点G为的重心，就是三角形的三条中线交点，因此延长交于点D，利用中线的定义求出，利用正切的定义求出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：延长交于点D， ∵点G为的重心， ∴是中线， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了重心概念、正切的定义以及勾股定理等知识，根据重心概念添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键． 16. 如图，矩形中，，，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，，G，H分别是，的中点，在点E的整个运动过程中，当时，线段扫过的图形面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设当时，点E的运动时间为t秒，则，由矩形的性质可证出，再证出进而得到可求t的值，此时，线段扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，则可证出四边形是平行四边形，延长交于点P，则，且，利用点H是中点，，即可求出进而得到即可求解． 【详解】解：设当时，点E的运动时间为t秒，则， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴，即 解得 ， 即当时，点E的运动时间为2秒； 此时，线段扫过的图形为图中阴影部分，点M、N分别为点G、H的初始位置，如图： 则点M、点G、点N、点H分别为、、、的中点， ∴、分别是、的中位线， ∴，，，， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， 延长交于点P，如图， 则，且 ， ∵点H是中点， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 即线段扫过的图形面积为 ， 故答案为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；画出辅助线是解题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质是解题的关键． 根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可 【详解】解：原式． 18. 解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】利用公式法可求出方程的解． 【详解】 ∵ ，，， ∴ ∴， ∴,． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程化为一般形式，找出a，b及c，然后计算出根的判别式的值，若，则将a，b及c的值代入求根公式即可求出解． 19. 如图，点D为边上一点．求证：． 【答案】见解答过程 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键． 根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似” 即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 20. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格的方法，求“取出至少一个红球”的概率． 【答案】（1）袋中黄球的个数1个 （2）“取出至少一个红球”的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率的实际应用，掌握概率公式以及树状图或列表法是解题关键． （1）设袋中的黄球个数为x个，根据任意摸出一个球是蓝球的概率为，即可建立方程求解； （2）画出树状图，根据概率公式即可求解． 【小问1详解】 解：设袋中的黄球个数为x个， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴袋中黄球的个数1个； 【小问2详解】 解：画树状图得： 一共有种等可能的情况数，其中“取出至少一个红球”的有种， 则“取出至少一个红球”概率是． 21. 已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程至少有一个实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （2）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 中， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； 【小问2详解】 证明：根据题意原方程为， ∵方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ，即， ． 22. 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角为α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形边角关系以及“折射率”的定义是正确解答的前提． （1）根据平行线的性质得到，根据勾股定理求出，根据正弦的定义求出，根据折射率可求，即可求解； （2）根据（1）中，可得出，根据，先求出，设，，则，列出关于x的方程式，求得x的值，进而求得答案． 【小问1详解】 解： 根据题意，得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得四边形矩形， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，是的中点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，再根据余角和对顶角的性质可得，即可证明． （2）连接，过点作的垂线，垂足为，根据等腰三角形的性质可得，根据是的中点，，，得出，，，勾股定理可得，即，再根据余角和对顶角可得，得，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，过点作的垂线，垂足为，如图： ∵，是的中点，， ∴， ∵是的中点，，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围： 解：令 ∴ ∴ ∴ ∴； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根，（） 则关于的一元二次不等式（）的解集为：或． 则关于的一元二次不等式（）的解集为：． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为－6，则________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为－4，最大值为7，请求出满足条件的，的值． 【答案】（1）；（2）或；（3），或，． 【解析】 【分析】（1）根据材料，令，由根的判别式求出y的取值范围，结合y的最小值即可求出a的值； （2）根据材料，令，利用根的判别式转化为y的一元二次方程，解不等式即可得到解集； （3）根据材料，令，利用根的判别式得到y的不等式，然后由根与系数的关系，列出方程组，即可求出，的值． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∵y的最小值为， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）解：令， 整理得：， ∵方程有解， ， ， 令， 解得，， 或． （3）解：令， ， 当时，且， 存在一个使得． 当时，有解． ， ， ，， ，是方程的解， ， 解得或， 综上,，或，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，以及解不等式组，解题的关键是正确理解题意，熟练运用材料的运算方法进行解题.注意根的判别式和根与系数的关系知识的运用，以及换元法的应用. 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； 【小问3详解】 当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，， 由（2）知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同理可知：， ∴， ∴点的纵坐标为：， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年上学期泉州九中初三数学10月月考A卷 时间：120分钟 总分：150分 出卷：潘竹树 审核：杨一鸣 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图：在中，，，，则等于（ ） A B. C. D. 4 如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，EF＝6，BC＝8，则AC＝（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 9 5. 数学老师要在班上开展项目式学习，他将全班同学分成7个学习小组并采用随机抽签方法确定一个小组进行展示活动，则第4个小组被抽到的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为6.62亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的对角线相交于点O，E是上一点，且，，则的周长为（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 9. 如图，和都是等腰直角三角形，．连接BD，CE．则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，点A、C在x轴上，点B、D在反比例函数的图象上，，过原点O，与反比例函数交于点E，点F在上且，连接交于点G，的面积为2，若，则k的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 某校有两块相似的多边形草坪，其相似比为，其中较大的一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是________米． 12. 在中，，已知，那么的值是________． 13. 如图，一个小球由地面沿着坡度为的坡面向上前进了，则此时小球水平方向前进的距离是_______． 14. 如图，的顶点都是边长为 1 的小正方形组成的网格的格点，则的正切值为___________． 15. 如图，在中，，点G为的重心，若，，那么的长等于________． 16. 如图，矩形中，，，点E从点B出发，以1单位每秒的速度向点C运动，，G，H分别是，的中点，在点E的整个运动过程中，当时，线段扫过的图形面积为________． 三、解答题（共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，点D为边上一点．求证：． 20. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个，蓝球1个，若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为． （1）直接写出袋中黄球的个数； （2）从袋子中一次摸2个球，请用画树状图或列表格方法，求“取出至少一个红球”的概率． 21. 已知方程（x为实数），请你解答下列问题： （1）若，求证：此方程至少有一个实数根； （2）设此方程有两个不相等的实数根分别为，，若，求证：． 22. 在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，如图（一），若入射角α，折射角为，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率． 某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线垂直于液面于点D，交液面底部于点H，四边形为矩形，，，光线由空气进入液体的折射率． （1）在延长线上量取，光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角的正弦值和折射角的度数； （2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角，求的长． 23. 如图，在中，，是中点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 阅读理解： 材料1：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求的取值范围： 解：令 ∴ ∴ ∴ ∴； 材料2：在学习完一元二次方程的解法后，爱思考的小川同学又想到仿造一元二次方程的解法来解决一元二次不等式的解集问题，他的具体做法如下： 若关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根，（） 则关于的一元二次不等式（）的解集为：或． 则关于的一元二次不等式（）的解集为：． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）若关于的二次三项式（为常数）的最小值为－6，则________； （2）求出代数式的取值范围； （3）若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为－4，最大值为7，请求出满足条件的，的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． （1）求直线的表达式； （2）点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； （3）如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$