33.3 位似 重难点专项练习（五大题型）（题型专练）数学人教版五四制九年级下册

33.3《位似》 分层练习 考查题型一 位似图形的识别 1．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 2．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 3．（2023上·河北保定·九年级统考期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接，，，则下列叙述不正确的是（    ） A．与位似 B．与位似 C．与位似 D．与位似 4．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）下列选项中的两个图形（实线部分），不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 考查题型二 判断位似中心 1．（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 3．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（  ） A．点A B．点 C．点 D．点 4．（2023上·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 考查题型三 求两个位似图形的相似比 1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 3．（2023上·山西长治·九年级统考期中）如图，与关于点位似，且相似比为，则与的比为（    ） A． B． C． D． 4．（2023上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，已知，点和分别在，的延长线上，且，连接，则与的位似比为（    ）    A． B． C． D． 考查题型四 求位似图形的对应坐标 1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形，并直接写出点的坐标； (2)求出的面积． 2．（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．      (1)画图：以点为位似中心将向右侧放大两倍； (2)若内有一点，则放大后点对应点的坐标是 ． 3．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以点为位似中心，在所给方格纸内画出的位似图形，使与的位似比为，且与在点的两侧； (2)若点在线段上，请直接写出点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标． 4．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是，，．    (1)画出关于y轴对称的； (2)以O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍，得到，画出； (3)内有一点，直接写出经过（2）位似变换后P的对应点的坐标______． 考查题型五 求位似图形的相似比、周长比或面积比 1．（2024上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 2．（2023上·广东深圳·九年级深圳市云顶学校校考期中）已知图中的每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上．    (1)画出位似中心，并写出它的坐标________ (2)与的面积之比是________． 3．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）已知：三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于x轴对称的； (2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出 (3)①点的坐标为 ②求的面积为 4．（2023上·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学校考阶段练习）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．    (1)以点为位似中心，把按放大到，在轴的左侧； (2)点的对应点的坐标是_____________； (3)_____________． 1．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)请在图1中画出以点O为位似中心的位似图形（原点右侧），使与的位似比为； (2)若（1）中的直线与双曲线交于M、N两点（点M在点N的左侧），请在备用图中画出草图，解答下列问题： ①请求出点M与点N的坐标： ②点P在双曲线即第三象限的图像上，求面积S的最小值． 2．（2023下·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系中点是的边上的任意一点． (1)以点为位似中心，在M点的右侧把△按放大得，画出；直接写出的边上与点的对应点的坐标． (2)将绕逆时针转90º得，画出，求旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积（用表示） 3．（2022上·广东广州·九年级统考期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 4．（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．    (1)点A关于x轴对称的点的坐标为______； (2)以C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，使它与的相似比为2：1，请画出图形，并直接写出的面积为______； (3)在y轴上找一点M，使的值最小，此时点M的坐标为______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 33.3《位似》 分层练习 考查题型一 位似图形的识别 1．（2023上·安徽阜阳·九年级统考期中）如图为用杭州亚运会吉祥物莲莲所作的图形改变，这种图形改变属于（    ）    A．平移 B．位似 C．旋转 D．轴对称 【答案】B 【分析】本题考查了位似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于位似变换，是解答本题的关键． 【详解】解：这种图形改变属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于位似变换． 故选B． 2．（2023上·山东滨州·九年级统考期末）下图所示的四种画法中，能使得是位似图形的有（    ） A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵每组对应点所在的直线都经过同一个点，且对应边互相平行 ∴①②③④能使得是位似图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了位图图形的性质与画法，掌握位似图形的性质是解题的关键． 3．（2023上·河北保定·九年级统考期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点，，分别是边，的中点，连接，，，则下列叙述不正确的是（    ） A．与位似 B．与位似 C．与位似 D．与位似 【答案】B 【分析】根据位似三角形的定义进行逐一判断即可：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴点O是线段的中点，， ∴， ∴与位似，故C不符合题意； ∵是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴ ，， ∴与位似，与位似，故A、D不符合题意； ∵与每组对应点所在的直线不是相交于一点， ∴与不位似，故B符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理，熟知位似三角形的定义是解题的关键． 4．（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）下列选项中的两个图形（实线部分），不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：因为两个位似图形的对应点的连线所在的直线经过同一点，所以A，B，C中的两个图形是位似图形， D中的两个图形不是位似图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 考查题型二 判断位似中心 1．（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 【答案】D 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【详解】点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点， 各对应点的连线交于点， 位似中心是点， ∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比， ∴与位似比是 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 2．（2023·河北沧州·模拟预测）如图，与是位似图形，则位似中心为（    ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可． 【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，    故选D． 【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键． 3．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（  ） A．点A B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质即可判断； 【详解】解：根据位似图形的位似中心在对应点的连接线的交点处； 故选：A． 【点睛】本题主要考查位似图形的位似中心判断，掌握位似图形的性质是解题的关键． 4．（2023上·福建泉州·九年级泉州五中校联考期末）如图，正方形网格图中的与是位似关系图，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】连接交于点，即可． 【详解】解：如图，连接交于点， ∴位似中心是点． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 考查题型三 求两个位似图形的相似比 1．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，已知与位似，位似中心为，且与的周长之比是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2023上·广东佛山·九年级佛山市实验学校校考期中）如图，已知与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的，则的值为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的性质，根据位似图形的面积比等于相似比的平方可得答案，熟记位似图形的性质是解本题的关键. 【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，且的面积等于面积的， ∴， ∴， ∴； 故选B 3．（2023上·山西长治·九年级统考期中）如图，与关于点位似，且相似比为，则与的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据相似比为，即可求解． 【详解】解：∵与位似，点是它们的位似中心，且相似比为， ∴， 故选：A． 4．（2023上·河北邯郸·九年级校考期中）如图，已知，点和分别在，的延长线上，且，连接，则与的位似比为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形，掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴与的位似比为， 故选B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比． 考查题型四 求位似图形的对应坐标 1．（2023上·河南南阳·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)在坐标系中原点O的异侧，画出以O为位似中心与位似比为2的位似图形，并直接写出点的坐标； (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析， (2)6 【分析】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． （1）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接，并写出点的坐标； （2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求，． （2）的面积为， 2．（2023上·福建宁德·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，．      (1)画图：以点为位似中心将向右侧放大两倍； (2)若内有一点，则放大后点对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了位似图形的基本概念， （1）位似中心是坐标原点，且向右放大两倍，可以得到相似比为，通过连接、、，分别乘以相似比，得到新的三角形即为向右放大两倍的图形； （2）根据位似图形的基本概念，坐标系中的位似图形，在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘以一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为．此时，位似图形对应点的坐标为原来点的坐标乘以（或除以）或．因此三角形内一点，放大后对应坐标乘以相似比得到对应点的坐标． 【详解】（1）如图所示，连接并延长至点，使得；连接并延长至点，使得；连接并延长至点，使得，为所求作的三角形；    （2）由位似图形的基本概念知，放大后点对应点的坐标是． 故答案为． 3．（2023上·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，的顶点都在格点上． (1)以点为位似中心，在所给方格纸内画出的位似图形，使与的位似比为，且与在点的两侧； (2)若点在线段上，请直接写出点经过（1）的位似变换后的对应点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】（1）把点A、B、C点的横纵坐标分别乘以得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标关系写出点的坐标． 本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【详解】（1）如图，为所作； （2）的坐标为． 4．（2023上·四川成都·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形（每个小方格都是边长为1的正方形）．图中是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是，，．    (1)画出关于y轴对称的； (2)以O为位似中心，在第一象限内将放大为原来的2倍，得到，画出； (3)内有一点，直接写出经过（2）位似变换后P的对应点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图—位似变换，轴对称变换等知识， （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点即可； （2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可； （3）利用位似变换的性质，即可解答， 解题的关键是掌握轴对称变换，位似变换的性质，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：内有一点，直接写出经过（2）位似变换后P的对应点的坐标为， 故答案为：．    考查题型五 求位似图形的相似比、周长比或面积比 1．（2024上·湖南怀化·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形网格的格点上． (1)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将放大为，请在网格图中画出（只画出其中一种）； (2)若，的面积分别为S、，写出S、的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】问题考查了位似图形的作图和性质． （1）连接并延长，使，在依次连接即可； （2）根据题意得出和相似比为，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；（另一种同样给分） （2）解：∵，位似比的绝对值为2，放大为， ∴和相似比为， ∴ 即：． 2．（2023上·广东深圳·九年级深圳市云顶学校校考期中）已知图中的每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若与是位似图形，且顶点都在格点上．    (1)画出位似中心，并写出它的坐标________ (2)与的面积之比是________． 【答案】(1)图见解析； (2) 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． （1）连接、，两线相交于点，根据位似中心的概念、结合图形解答即可； （2）根据，，即可得出相似比和面积比． 【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：． （2）解：∵，， ∴与的位似比为：， 与的面积比为：． 故答案为：． 3．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）已知：三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于x轴对称的； (2)以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到，请在网格中画出 (3)①点的坐标为 ②求的面积为 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； 【分析】（1）在坐标系中分别画出点关于轴对称的点，再顺次连接三点就可得所求三角形； （2）将，，，坐标乘以得到，，，再顺次连接三点就可得所求三角形； （3）根据坐标系写出点的坐标，根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求得的面积，进而根据位似的性质，求得的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：如图所示，即为所求，    （3）解：点的坐标为 的面积为倍的面积即． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了画轴对称图形，画位似图形，坐标与图象，熟练掌握位似的性质，轴对称的性质是解题的关键． 4．（2023上·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学校考阶段练习）如图，的顶点都在网格点上，点的坐标为．    (1)以点为位似中心，把按放大到，在轴的左侧； (2)点的对应点的坐标是_____________； (3)_____________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）依据点为位似中心，把按放大，在轴的左侧，即可画出放大后的； （2）依据点的位置，即可得到点的对应点的坐标； （3）依据相似三角形的面积之比等于位似比的平方，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）点的对应点的坐标是， 故答案为：； （3）∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了位似作图，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 1．（2023上·福建泉州·九年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)请在图1中画出以点O为位似中心的位似图形（原点右侧），使与的位似比为； (2)若（1）中的直线与双曲线交于M、N两点（点M在点N的左侧），请在备用图中画出草图，解答下列问题： ①请求出点M与点N的坐标： ②点P在双曲线即第三象限的图像上，求面积S的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①画图见解析，，；② 【分析】（1）根据位似比为，且两三角形在原点两侧确定出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）①根据（1）所求得到，，进而求出直线的解析式为，据此画出对应的图形，联立直线的解析式与反比例函数解析式，即可求出M、N的坐标；②先分别过点和作轴的平行线，再过点作轴的平行线，与前两线分别交于点、．设，则，，，，，由得到，根据完全平方公式的变形得到 则，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；    （2）解：①由（1）作图可得，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立得：或 ∴，； ②如备用图，先分别过点和作轴的平行线，再过点作轴的平行线，与前两线分别交于点、． 设，则由题意可得：，，，， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∵ ∴ ∴当且仅当即时，的面积取得最小值．    【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，完全平方公式的变形求值，画位似图形，求位似图形对应点坐标等等，通过位似比，以及关于原点位似的图形的特点求出A、B的坐标，进而求出M、N的坐标是解题的关键． 2．（2023下·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）如图，平面直角坐标系中点是的边上的任意一点． (1)以点为位似中心，在M点的右侧把△按放大得，画出；直接写出的边上与点的对应点的坐标． (2)将绕逆时针转90º得，画出，求旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积（用表示） 【答案】(1)画图见解析， (2) 【分析】（1）根据位似图形的性质，先确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据位似图形对应点坐标之间的关系求出的坐标即可； （2）先确定A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再根据旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由位似图形的性质可得点的对应点的横坐标为，纵坐标为， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； 由旋转的性质得到，， ∴旋转过程中线段在平面上扫过部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了画位似图形，画旋转图形，求位似图形对应点坐标，扇形面积，正确画出图形利用数形结合的思想求解是解题的关键． 3．（2022上·广东广州·九年级统考期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示： (1)在图中画出沿x轴翻折后的； (2)以点为位似中心，作出按放大后的位似图形； (3)点的坐标___________；与的周长比是___________，与的面积比是___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；； 【分析】（1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）延长到使，延长到使，延长到使，从而得到； （3）先利用轴对称的性质得到，再根据位似的性质得到与的相似比为，所以与的相似比为，然后根据相似三角形的性质解决问题． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：点的坐标为， ∵沿x轴翻折后的， ∴， ∵按放大后的位似图形， ∴与的相似比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长的比为，与的面积的比为． 故答案为：；； 【点睛】本题考查了作图−位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换． 4．（2023上·河南郑州·九年级河南省实验中学校考期中）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．    (1)点A关于x轴对称的点的坐标为______； (2)以C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，使它与的相似比为2：1，请画出图形，并直接写出的面积为______； (3)在y轴上找一点M，使的值最小，此时点M的坐标为______． 【答案】(1) (2)见解析，12 (3)M的坐标是 【分析】本题主要考查作图-位似变换，轴对称变换，一次函数解析式等知识： （1）根据关于x轴对称点的坐标，横坐标不变，纵坐标改变符号得出答案即可； （2）延长到，使，延长到，使，点的对应点为C，然后连接即可，的面积底边×高． （3）作出点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点M，则点M即为所求作的点，求直线的一次函数解析式，M在y轴上，则代入，求出点M的坐标． 【详解】（1）∵点A的坐标为， ∴点A关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴点A关于x轴对称的点的坐标为， 故答案为：； （2）如图所示：为所求，    ∵、， ∴, ∴, ∴的面积, 故答案为：12； （3）∵ ∴点A关于y轴的对称点的为， 连接，交y轴于点M，则点M即为所求作的点， 设直线的解析式为， 将，代入解析式中，得： ， 解得， 则一次函数解析式为，． 当时，， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$