第33章 相似（热考六大题型）（专项训练）数学人教版五四制九年级下册

第33章《相似》 分层练习 考查题型一 相似图形的识别 1．（2021上·贵州贵阳·九年级校考期中）下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 2．（2020上·上海·九年级上海交大附中校考期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 3．（2021上·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 4．（2022上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）下列图形中，不一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆 考查题型二 相似多边形的性质 1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2022上·安徽合肥·九年级统考期中）如图，四边形四边形，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2020上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（　　　） A．1 B． C． D．2 考查题型三 证明两三角形相似 1．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，点，在线段上，，，求证：．    2．（2023上·福建福州·九年级福州华伦中学校考期中）如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 3．（2022上·福建宁德·九年级校联考期中）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：．    4．（2023上·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    考查题型四 利用相似三角形的性质求解 1．（2023上·北京平谷·九年级校考期中）已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）已知：如图，中，，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M．    (1)已知点M是BC的中点．求证：； (2)已知，四边形BCED的面积为42，求的面积． 3．（2023上·安徽宿州·九年级统考期中）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)，，求的长． 4．（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点． (1)求的值； (2)与的面积的比为___________． 考查题型五 相似三角形的综合问题 1．（2021上·上海闵行·九年级上海市文来中学校考期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 2．（2020·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 3．（2021·安徽·统考中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 4．（2021·四川乐山·统考中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 考查题型六 相似三角形的应用 1．（2023上·辽宁丹东·九年级校考期中）如图，晚上小丽由路灯走向路灯，当她行至点F处时，发现她在路灯下的影长为，且影子的顶端恰好在B点，接着她又走了至点H处，此时她在路灯下的影子的顶端恰好在D点，已知小丽的身高为，路灯的高度为．（小丽与路灯，在同一平面内） (1)请在图中画出路灯； (2)计算路灯的高度． 2．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求平面镜与木板的水平距离的长； (2)求点到地面的高度的长． 3．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 4．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 1．（2023上·广西来宾·九年级校考期中）如图，在矩形中，，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用表示移动的时间（）那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 2．（2023上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）已知，如图，在矩形中，是对角线，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P作于点M，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)是否存在某一时刻，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，点在一条直线上 3．（2023上·江西抚州·九年级黎川县第一中学校考期中）如图，在矩形中，，．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为， (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由． 4．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果，分别从，同时出发，秒后停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ； (2)当为何值时，的面积为？ (3)是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第33章《相似》 分层练习 考查题型一 相似图形的识别 1．（2021上·贵州贵阳·九年级校考期中）下列各组图形中，能够相似的一组图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、对应边的比值不相等，对应角不对应相等，不符合相似形的定义，故错误； B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故正确; C、形状不同，不符合相似形的定义，故错误； D、形状不同，不符合相似形的定义，故错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的变换是相似变换． 2．（2020上·上海·九年级上海交大附中校考期中）下列各组图形中，一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个等腰梯形 【答案】C 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似形的定义，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 3．（2021上·上海·九年级校考阶段练习）下列命题中，错误的是（    ） A．两个含有角的等腰三角形一定相似 B．两个矩形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个正方形一定相似 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义分别判断即可得到答案． 【详解】解：A．两个含有角的等腰三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； B．两个矩形一定相似，对应角相等，但对应边不成比例，故两个矩形不一定相似，说法错误，符合题意，选项正确； C．两个等边三角形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误； D．两个正方形一定相似，说法正确，不符合题意，选项错误， 故选B． 【点睛】本题考查了相似图形的定义，熟练掌握相似多边形对应角相等，对应边成比例是解题关键． 4．（2022上·江苏无锡·九年级校联考阶段练习）下列图形中，不一定是相似图形的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个等腰直角三角形 C．两个长方形 D．两个圆 【答案】C 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形，对选项一一进行判断即可． 【详解】解：A、∵等边三角形的三个内角都是， ∴任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故该选项不符合题意； B、∵等腰直角三角形的三个内角分别为、、， ∴任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故该选项不符合题意； C、∵任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等， ∴任意两个长方形不一定相似，故该选项符合题意； D、∵任意两个圆中，其中一个圆放大或缩小后能够与另一个圆重合， ∴任意两个圆一定相似，故该选项不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了相似图形的判定，涉及等腰三角形、等腰直角三角形、长方形、圆等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关图形的性质． 考查题型二 相似多边形的性质 1．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得． 【详解】解：设矩形的长，宽， 则， 矩形与矩形相似， ，即， 即． ． 故选：A． 2．（2023上·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）两个相似多边形的面积比是，若较小多边形的周长为，则较大多边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周长比等于相似比进行计算即可． 【详解】∵两相似多边形的面积比是， ∴两相似多边形的相似比为：， ∴两相似多边形的周长比为：， ∵较小多边形的周长为， ∴较大多边形的周长为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似多边形．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比的性质，是解题的关键． 3．（2022上·安徽合肥·九年级统考期中）如图，四边形四边形，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】∵四边形四边形，，，， ∴， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 4．（2020上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，若矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为（　　　） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】要求矩形的面积只要求出BC的长就可以，可以依据相似多边形的对应边的比相等，可以求出BC，进而得出面积即可． 【详解】解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得， 设AE=x，则AD=BC=2x， 又AB=1， ∴， 可得：． ∵矩形的长不能是负数， 解得：， ∴BC=2x=2×， ∴S矩形ABCD=BC×AB=×1=． 故选：C． 【点睛】此题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形的对应边的比相等． 考查题型三 证明两三角形相似 1．（2023上·陕西西安·九年级西安市东方中学校联考期中）如图，点，在线段上，，，求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定，根据平行线的性质推出，根据两组对应边成比例夹角相等即可证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】证明：∵， ， ， ． 2．（2023上·福建福州·九年级福州华伦中学校考期中）如图，，作，D在异侧，且，，E是延长线上一点，连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵， ∴． 3．（2022上·福建宁德·九年级校联考期中）如图，在等边中，D为边上一点，E为边上一点，且．求证：．    【答案】见解析 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得的关键． 由，证明，可证得． 【详解】证明：是等边三角形， ， ， ，    ， ， 又， 4．（2023上·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考查题型四 利用相似三角形的性质求解 1．（2023上·北京平谷·九年级校考期中）已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴． 2．（2023上·河南洛阳·九年级统考期中）已知：如图，中，，BE与CD交于点O，AO与DE、BC分别交于点N、M．    (1)已知点M是BC的中点．求证：； (2)已知，四边形BCED的面积为42，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，第（1）题中转化相等比、第（2）题中利用设未知数列方程是解答本题的两个关键点． （1）由可知，，再利用相似三角形的性质推得，，进一步得到即可得出结论； （2）通过证明两对三角形相似，将转化为，再利用及其性质，得到，最后通过设未知数，列方程求解面积即可解答． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， 又点M是BC的中点， ， ． （2）， ， 则， ， ， ， ， ， 设，则， 四边形BCED的面积为42， ， 解得， ． 3．（2023上·安徽宿州·九年级统考期中）如图，在中，，点D在上，于点E． (1)求证：； (2)，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是： （1）由得到，然后得到； （2）利用勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，代入已知数据可得结果． 【详解】（1）解：证明：于点，， ， ， ； （2）∵，，， ∴， ， ，即， ∴． 4．（2023上·江苏苏州·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点． (1)求的值； (2)与的面积的比为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定 （1）根据平行四边形性质可得，由即可求出答案． （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得． 【详解】（1）解：∵平行四边形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）解：∵由（1）可知，， ∴． 故答案为： 考查题型五 相似三角形的综合问题 1．（2021上·上海闵行·九年级上海市文来中学校考期中）如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 2．（2020·安徽合肥·合肥市五十中学西校校考一模）如图，AM是ABC的中线，D是线段AM上一点（不与点A重合）．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连接AE． （1）如图1，当点D与M重合时，求证：AB＝ED； （2）如图2，当点D不与M重合时，请判断四边形ABDE的形状，请说明理由； （3）如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM．当FH＝，DM＝6时，求DH的长． 【答案】（1）见解析；（2）平行四边形，见解析；（3）DH＝1+ 【分析】（1）由平行线的性质可得∠EDC＝∠ABM，∠ECD＝∠ADB，由“ASA”可证△ABD≌△EDC，即可得出结论； （2）先判断出四边形DMGE是平行四边形，借助（1）的结论即可得出结论； （3）先判断出MI∥BH，MI＝BH，进而利用直角三角形的性质即可得出结论．设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x，推出AM＝6+2x，BH＝6+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可； 【详解】（1）∵DE∥AB， ∴∠EDC＝∠ABM， ∵CE∥AM， ∴∠ECD＝∠ADB， ∵AM是△ABC的中线，且D与M重合， ∴BD＝DC， ∴△ABD≌△EDC（ASA）， ∴AB＝ED； （2）四边形ABDE是平行四边形， 理由如下：如图2，过点M作MG∥DE交CE于G， ∵CE∥AM， ∴四边形DMGE是平行四边形， ∴ED＝GM，且ED∥GM， 由（1）知，AB＝GM， ∴AB＝DE， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形； （3）如图3取线段CH的中点I，连接MI， ∵BM＝MC， ∴MI是△BHC的中位线， ∴MI∥BH，MI＝BH， ∵BH⊥AC，且BH＝AM， ∴MI＝AM，MI⊥AC， ∴∠CAM＝30°． 设DH＝x，则AH＝x，AD＝2x， ∴AM＝6+2x， ∴BH＝6+2x， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴DF∥AB， ∴， ∴ 解得x＝1+或1﹣（负值舍去）， ∴DH＝1+． 【点睛】本题考查的是全等三角形的证明，平行四边形的判定，平行线分线段成比例，一元二次方程的求解，正确理解题意，掌握三角形的判定，平行四边形的判定和正确的做出图形，是解题的关键． 3．（2021·安徽·统考中考真题）如图1，在四边形ABCD中，，点E在边BC上，且，，作交线段AE于点F，连接BF． （1）求证：； （2）如图2，若，，，求BE的长； （3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证，，即可得，；再证四边形AFCD是平行四边形即可得，所以，根据SAS即可证得； （2）证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）延长BM、ED交于点G．易证，可得；设，，，由此可得，；再证明，根据全等三角形的性质可得．证明，根据相似三角形的性质可得，即，解方程求得x的值，继而求得的值． 【详解】（1）证明：， ； ， ，， ， ，， ，， ，， 四边形AFCD是平行四边形 在与中． ， （2）， ， 在中，， ， ， 又，， ， 在与中． ， ； ； ， ； ， ； ， ， 或（舍）； （3）延长BM、ED交于点G． 与均为等腰三角形，， ， ， 设，，， 则，， ， ， ； 在与中， ， ； ． ； ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键． 4．（2021·四川乐山·统考中考真题）在等腰中，，点是边上一点（不与点、重合），连结． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，结，，则________； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且，试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30°；（2）①见解析；②；见解析；（3），见解析 【分析】（1）先根据题意得出△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可 （2）①按要求补全图即可 ②先根据已知条件证明△ABC是等边三角形，再证明，即可得出 （3）先证明，再证明，得出，从而证明，得出，从而证明 【详解】解：（1）∵， ∴△ABC是等边三角形 ∴∠B=60° ∵点关于直线的对称点为点 ∴AB⊥DE， ∴ 故答案为：； （2）①补全图如图2所示； ②与的数量关系为：； 证明：∵，． ∴为正三角形， 又∵绕点顺时针旋转， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）连接． ∵，，∴． ∴． 又∵， ∴， ∴．∵，∴， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点 考查题型六 相似三角形的应用 1．（2023上·辽宁丹东·九年级校考期中）如图，晚上小丽由路灯走向路灯，当她行至点F处时，发现她在路灯下的影长为，且影子的顶端恰好在B点，接着她又走了至点H处，此时她在路灯下的影子的顶端恰好在D点，已知小丽的身高为，路灯的高度为．（小丽与路灯，在同一平面内） (1)请在图中画出路灯； (2)计算路灯的高度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）连接并延长，交过点且垂直于的直线于，即为所求； （2）由题意知，，证明，则，求，，证明，则，求即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由题意知，， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴路灯的高度为． 2．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）【学科融合】如图1，在光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，林舒同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求平面镜与木板的水平距离的长； (2)求点到地面的高度的长． 【答案】(1)平面镜与木板的水平距离的长 (2)点E到地面的高度的长为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用． （1）根据光在镜面反射中的反射角等于入射角，得，然后利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）由题意可得：，根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：∵反射角等于入射角， ， 又， ， ∴， ∴， 解得， ∴平面镜与木板的水平距离的长； （2）解：， ， ∴，即， 解得 ∴点E到地面的高度的长为． 3．（2023上·河北邢台·九年级校考期中）张师傅有一块如的锐角三角形木料，其中，高，张师傅想把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，与交于点H．    (1)当点P恰好为中点时，______； (2)当四边形为正方形时，求出这个零件的边长； (3)若这个零件的边．则这个零件的长、宽各是多少？ 【答案】(1)60 (2)这个零件的边长为； (3)矩形的长为，宽为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）根据，得到，利用相似三角形的性质可得到答案； （2）设正方形的边长为，根据，得到，得到对应高之比等于相似比，，据此求解即可； （3）设矩形的宽为，则长为，然后根据相似三角形，列出比例关系式求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ， ∴； 故答案为：60； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， 设正方形的边长为，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个零件的边长为； （3）解：设矩形宽为，则长为， 同理， ∴， ∴， 解得，， 故矩形的长为，宽为． 4．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市江南中学校考期中）如图，灯杆与墙MN的距离为18m，小丽在离灯杆（底部）9m的D处测得其影长为3m，设小丽身高为1.5m． (1)求灯杆的高度； (2)小丽再向墙走6m，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此时的影长；若不能，求落在墙上的影长． 【答案】(1)灯杆的高度为6米 (2)能，小丽落在墙上的影长为0.6米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）由相似三角形对应成比例即可求出的长． （2）将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，证明，求得，说明小丽的影子不能完全落在地面上，证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∴灯杆的高度为6米； （2）解：将往墙移动6米到，作射线交于点P，延长交地面于点Q，如图所示． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴小丽的影子不能完全落在地面上． 同理，可得出， ∴，即，∴． ∴小丽落在墙上的影长为米． 1．（2023上·广西来宾·九年级校考期中）如图，在矩形中，，．点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P，Q同时出发，用表示移动的时间（）那么： (1)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (2)求四边形的面积； (3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)或时，以点为顶点的三角形与相似． 【分析】此题比较复杂，综合了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题． （1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻当时，为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案； （2）根据（1）中．在中，边上的高，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变； （3）根据题意，在矩形中，可分为两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案． 【详解】（1）解：对于任何时刻 当时，为等腰直角三角形，即： 解得：， 所以，当时，为等腰直角三角形． （2）解：在中，边上的高， ∴ 在中，， ∴. ∴． 由计算结果发现： 在两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变． （3）解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形中： ①当时，，那么有： ，解得 即当时，； ②当时，，那么有： 解得， 即当时，； 所以，当或时，以点为顶点的三角形与相似． 2．（2023上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考阶段练习）已知，如图，在矩形中，是对角线，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，点Q从点B出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P作于点M，连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)是否存在某一时刻，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． (3)当t为何值时，点在一条直线上 【答案】(1) (2)不存在t，使 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求出的长，再由，可得，即可求解； （2）过点P作于点K，由（1）得：，可得，从而得到，进而得到，再由，即可求解； （3）根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，    ∵四边形是矩形，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即，解得：， ∴当t为时，四边形是矩形； （2）解：不存在，理由如下： 如图，过点P作于点K，    由（1）得：， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 即，无解， ∴不存在t，使； （3）解：如图，    ∵点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴当t为时，点在一条直线上． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 3．（2023上·江西抚州·九年级黎川县第一中学校考期中）如图，在矩形中，，．点E，F，G分别从点A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点E，G的速度均为，点F的速度为，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，的面积为， (1)当秒时，S的值是多少？ (2)若点F在矩形的边上移动，当t为何值时，以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似，理由见解析 【分析】（1）利用即可求出答案，数形结合是解题的关键； （2）分两种情况分别列出方程，解方程并检验即可得到答案，利用相似三角形的性质列方程和分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当秒时，则，，，，， 由 （2）解：当点F在矩形的边上的边移动时，在和中，， ①若，即 解得， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 所以当时， ②若即，解得 经检验，是分式方程的解且符合题意， 所以当时， ， 综上所述，当或时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似． 4．（2023上·广西桂林·九年级统考期中）如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果，分别从，同时出发，秒后停止运动，设运动时间为秒． (1)填空： ， ； (2)当为何值时，的面积为？ (3)是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)秒或秒； (3)存在，秒或秒． 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键． （1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和； （2）设经过秒钟，使的面积为，由(1)得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解； （3）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴． （2）解：设经过秒钟，使的面积为， ∵，，， ∴， ∴， ∴解得：，， ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为． （3）解：设经过秒钟，使和相似， ∵， 当使时，和相似， 即， 解得：； 当使时，和相似， 即， 解得：． ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$