第33章 相似（单元测试）数学人教版五四制九年级下册

第33章《相似》 考试时间:120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．（2021上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考期中）视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，五个不同方向的“E”之间存在的变换有（    ） A．平移、旋转 B．旋转、相似 C．轴对称、平移、相似 D．相似、平移 【答案】B 【分析】很显然图中的“E”都可以经过旋转、相似来得到，由此可确定正确的答案． 【详解】解：由图可知：图中的“E”都存在旋转、相似的变换， 故选B． 【点睛】此题中应注意：①轴对称图形是沿一条直线对折后能互相重合的两个图形，也就是说轴对称图形首先要满足全等形的要求；要分清这些概念之间的区别，以免造成错解；②平移和旋转不改变图形的大小，变换前后两图形全等． 2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是(    )    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】 以原点为位似中心，相似比为 把缩小， ， 则点的对应点的坐标为 或 即或， 故选：C． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 3．（2021上·福建泉州·九年级统考期中）如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可． 【详解】DE∥BC △ADE∽△ABC，所以. 因为AD=5，BD=10，DE=4，所以，解得BC=12． 故选B. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4．（2019上·九年级课时练习）有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（   ） A．全等 B．相似 C．既不全等与也不相似 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据“两角对应相等，两三角形相似”即可判定. 【详解】两角均为直角三角形，又因另一个锐角也对应相等，故依据“两角对应相等，两三角形相似”，判定这两个直角三角形相似. 故选择B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法. 5．（2021·河南郑州·统考二模）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为（    ） A．3 B．3 C．3 D．4 【答案】B 【分析】证出△GEC∽△ABC，由相似三角形的性质得出，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置， ∴AB∥EG， ∴△GEC∽△ABC， ∴， ∴， ∵BC=6， ∴EC=3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质；证明三角形相似是解题的关键． 6．（2021·河南·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AC，AB交于点D，E；②分别以D，E为半径，大于DE的长度为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF交BC于点G；④以点B为圆心，BG的长为半径画弧，交射线AG于点H．则线段GH的长为（　　） A．3 B． C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】过点G作GT⊥AB于点T，过点B作BJ⊥GH于点J．利用面积法求出CG，再利用相似三角形的性质求出GJ，可得结论． 【详解】解：如图，过点G作GT⊥AB于点T，过点B作BJ⊥GH于点J． 由作图可知，AG平分∠CAB，BG＝BH， ∵GC⊥AC，GT⊥AB， ∴GC＝GT，设GC＝GT＝x， 在Rt△ACB中，AC＝12，BC＝9， ∵S△ACB＝S△ACG+S△AGB， ∴12×912×x15×x，解得x＝4， ∴GC＝GT＝4，GB＝BC﹣CG＝5， ∴, ∵∠BGJ＝∠AGC，∠BJG＝∠C＝90°， ∴△BJG∽△ACG， ∴ ∴， ∴GJ， ∵BG＝BH，BJ⊥GH， ∴JG＝JH， ∴GH＝2GJ， 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的作法和性质，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质；解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（2021上·海南儋州·九年级校考阶段练习）如果，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的性质得出a和b的关系再得出答案． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查比例的性质，能运用性质进行简单计算是解题关键． 8．（2023·上海青浦·校考一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【详解】解：两个相似三角形对应边上的中线之比为， 其相似比为， 这两个三角形的周长之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解答此题的关键． 9．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图（数据如图），则 （1）与是否平行？ （填“是”或“否”）； （2） ． 【答案】 是 48 【分析】（1）根据可得； （2）由可得，代入计算即可． 【详解】（1）由图可得， ∴， 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 10．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作轴于点B，，连接，若的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义及反比例函数图像与性质，相似三角形的判定与性质、利用面积公式求k得值注意符号是解题的关键． 连接，根据，的面积为1，即可求得的面积为2，证明，求得，从而求得，得到，根据k的几何意义可得，根据图象可知，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，的面积为1， ∴的面积为2， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由图象可得，， ∴， 故答案为：． 11．（2019·浙江台州·统考中考真题）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】过作于，延长交于，过作于，过作于，设，，，，则，，由，得，即，由，得 ，即，故，整理得，根据二次函数最值即可求解. 【详解】过作于，延长交于，过作于，过作于， 设，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当最大时，， ∵， ∴当时，， ∴， ∴的最大值为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助线构造相似三角形进行求解. 12．（2022上·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】设点A的坐标为（a，），根据位似比即可得出BD的长度，根据的面积为1，即可求出k的值． 【详解】解：设点A的横坐标为a， ∵点A在反比例函数图像上， ∴点A的纵坐标为反比例函数，即A（a，）， ∴B（0，），则OB=，AB=a， ∵与的位似比是1：3， ∴， ∴BD==， ∵的面积为1， ∴，则：，解得：k=8． ∴该反比例函数的表达式为：， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的位似以及反比例函数的图像和性质，熟练掌握相关内容，通过位似比和三角形的面积求出k的值是解题的关键． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．（2022上·山东济南·九年级统考期末）如图，在中，D、E在边、上，，求的长度． 【答案】 【分析】由，可证，根据对应边成比例即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，本题三角形相似判定方法是由一组平行线得到两组同位角相等，两组对应角相等的三角形相似，相似三角形的性质是对应边成比例． 14．（2022上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】设，则，， 然后代入计算即可． 【详解】解：设，则，， ∴． 【点睛】本题考查比例的性质，此类题目用参数法求解是解题的常用解法，应熟练掌握． 15．（2021·福建漳州·统考一模）如图，在矩形中，，，点是的中点． （1）尺规作图：在上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）作图见解析；（2）． 【分析】（1）由题意可得AF⊥AE，进而问题可求解； （2）由题意易得，，则根据（1）可得，进而根据相似三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）由题意可得需作AF⊥AE，如图所示， ∴点就是所求作的点，即； （2）∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵四边形是矩形， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、勾股定理及矩形的性质是解题的关键． 16．（2022上·山东枣庄·九年级校考期中）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，求的周长. 【答案】16 【分析】根据平行四边形及角平分线的性质得出，，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理确定，再计算出的周长，然后根据相似三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵在中，，，的平分线交BC于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴，同理， ∴； ∵， ∴， 在中，，，， 在中，， ∴， ∴的周长等于， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴即相似比为， ∴的周长为16， 【点睛】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，灵活利用数形结合思想，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 17．（2021上·湖南永州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，． 求证：△ACD∽△ABC． 【答案】见解析 【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可． 【详解】证明：AD＝1，AB＝3，AC＝ ，        又 ∽ 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．（2017上·陕西西安·九年级西安市铁一中学阶段练习）如图，小亮、小芳同学想测量一座塔的高度，他们经过观察发现需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和塔之间的直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，来回走动，走到点时，看到塔顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度米，米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从点沿方向走了米，到达塔影子的末端点处，此时，测得小亮身高的影长米，米，如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中的信息，求出塔的高的长度. 【答案】塔高32米 【详解】试题分析：由两同学的测量方法可知，，然后利用相似三角形的性质即可得. 试题解析：由题可知， 设为米，，即，即解得：综上：塔高米. 19．（2022上·广西百色·九年级统考期末）已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，，点F在AD上，且．求证： (1)； (2)∽． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到．即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又， ∴∽． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定，熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定定理是解题的关键． 20．（2023·四川成都·统考二模）如图，为的直径，C，D为上两点，连接，，，，线段与相交于点E，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 【答案】(1)见详解 (2)3 【分析】（1）连接并延长，交于点G，连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由（1）及题意易得，则有，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：连接并延长，交于点G，连接，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即 ∴， 即的半径为3． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、切线的性质与判定及勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定、切线的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．（2022上·湖北襄阳·九年级统考期末）综合与实践 问题情境 在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在矩形AEFG中，AE＝4，EF＝3，点G在AB上． (1)探究发现 连接AC、AF，如图2，猜想AC与AF之间的位置关系，并说明理由； (2)将矩形AEFG绕点A顺时针旋转到如图3的位置，连接DG、CF，请求出； (3)解决问题 将矩形AEFG绕点A旋转，当点G在落在直线CF上时，直接写出线段CF的长______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件结合矩形的性质证明，即可得到，即可证明; （2）连接，证明，即可求解； （3）根据题意，勾股定理求得，即可求解 【详解】（1）解：在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在矩形AEFG中，AE＝4，EF＝3， （2）如图，连接， 在中， 在中， （3）将矩形AEFG绕点A旋转，当点G在落在直线CF上时， 在中， 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 22．（2019上·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学阶段练习）如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）． （1）试说明：△BDN∽△OCB； （2）试用t的代数式表示MH的长； （3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？ （4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式． 【答案】（1）详见解析；（2）MH=6﹣t；（3）当或时，△BDM与△BOA相似；（4） . 【分析】（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB. （2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得=，代入求解即可. （3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可. （4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN =S△BDM -S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN- S△BDM两种情况求出△DMN的面积． 【详解】（1）∵AB∥CO， ∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO， ∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动， ∴DE∥BC， ∴∠DEO=∠OCB， ∴∠BDN=∠OCB， ∴△BDN∽△OCB； （2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB， ∴∠BHM=∠BAO=90°，OB==10， ∴MH∥AO， ∴△BHM∽△BAO， ∴， ∴， ∴MH=6﹣t； （3）①若△BDM∽△BAO， ∴， ∴， ∴t=， ②若△BDM∽△BOA， ∴， ∴， ∴t=； 综上所述，当或时，△BDM与△BOA相似； （4）过点B作BG⊥OC于G， ∴BG=AO=6， ∴， ∵△BDN∽△OCB， ∴， ∴， ∴， ①当点M在ON上即0＜t＜5时， y=S△DMN=S△BDM﹣S△BDN， =， =， ②当点M在BN上即5＜t＜8时， y=S△DMN=S△BDN﹣S△BDM， =t2﹣×t×（6﹣t）， =t2﹣3t． 【点睛】本题考查了相似三角形、直角梯形、勾股定理、平行线等知识点，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质以及直角梯形、勾股定理、平行线的相关知识. 六、解答题（本大题共12分） 23．（2019·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数 （1）若 ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②定义：对于二次函数，满足方程的的值叫做该二次函数的“不动点”． 求证：二次函数有两个不同的“不动点”． （2）设，如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别相交于不同的两点，其中，，与轴相交于点，连结，点在轴的正半轴上，且，又点的坐标为，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，满足．的延长线与的延长线相交于点，若，求二次函数的表达式． 【答案】（1）①;②见解析;（2）. 【分析】（1）①把的值代入二次函数解析式并配方得顶点式，即求得顶点坐标． ②根据定义，把代入二次函数，得，根据根的判别式可知满足此方程的有两个不相等的值，即原二次函数有两个不同的“不动点”． （2）由条件与联想到证的对应边的比，即有．由轴且可得轴，由平行线分线段定理可证也为中点，其中，可用含的式子表示．可用含表示，通过韦达定理变形和代入可得用表示的式子．又由和可证，对应边成比例可得式子，把含的式子代入再把韦达定理得到的代入化简，可得．即能用表示，代回到解方程即求得的值，进而求的值，得到二次函数表达式． 【详解】解：（1）①∵ ∴ ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ②证明：当时， 整理得： ∴ ∴方程有两个不相等的实数根 即二次函数有两个不同的“不动点”． （2）把代入二次函数得： ∵二次函数与轴交于点 即为方程的两个不相等实数根 ∴ ∵当时， ∴ ∵ ∴， ∵轴， ∴轴 ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即 ∴ 展开得： ∵ ∴， 即 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：，（舍去） ∴， ∴二次函数的表达式为 【点睛】本题考查了求二次函数顶点式，一元二次方程的解法及根与系数的关系，相似三角形的判定和性质，因式分解．第（2）题条件较多且杂时，抓住比较特殊且有联系的条件入手，再通过方程思想不断寻找等量关系列方程，逐个字母消去，求得最终结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第33章《相似》 考试时间:120分钟 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共18分） 1．（2021上·河南驻马店·九年级驻马店市第二初级中学校考期中）视力表对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，五个不同方向的“E”之间存在的变换有（    ） A．平移、旋转 B．旋转、相似 C．轴对称、平移、相似 D．相似、平移 2．（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是(    )    A． B． C．或 D．或 3．（2021上·福建泉州·九年级统考期中）如图，△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，DE=4，则BC的值为（　　） A．24 B．12 C．8 D．6 4．（2019上·九年级课时练习）有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（   ） A．全等 B．相似 C．既不全等与也不相似 D．无法确定 5．（2021·河南郑州·统考二模）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，已知BC＝6，则EC的长为（    ） A．3 B．3 C．3 D．4 6．（2021·河南·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AC，AB交于点D，E；②分别以D，E为半径，大于DE的长度为半径画弧，两弧交于点F；③作射线AF交BC于点G；④以点B为圆心，BG的长为半径画弧，交射线AG于点H．则线段GH的长为（　　） A．3 B． C．4 D．4.5 二、填空题（每小题3分，共18分） 7．（2021上·海南儋州·九年级校考阶段练习）如果，那么 ． 8．（2023·上海青浦·校考一模）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 9．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图（数据如图），则 （1）与是否平行？ （填“是”或“否”）； （2） ． 10．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，点A在反比例函数的图象上，经过点A的直线与坐标轴分别交于点C和点D，过点A作轴于点B，，连接，若的面积为1，则k的值为 ． 11．（2019·浙江台州·统考中考真题）如图，直线，，，分别为直线，，上的动点，连接，，，线段交直线于点．设直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，若，，且，则的最大值为 ． 12．（2022上·福建宁德·九年级校考阶段练习）如图，是反比例函数（）图像上一点，点、在轴正半轴上，是关于点的位似图形，且与的位似比是1：3，的面积为1，则该反比例函数的表达式为 ． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13．（2022上·山东济南·九年级统考期末）如图，在中，D、E在边、上，，求的长度． 14．（2022上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）已知，求的值． 15．（2021·福建漳州·统考一模）如图，在矩形中，，，点是的中点． （1）尺规作图：在上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求的长． 16．（2022上·山东枣庄·九年级校考期中）如图，在中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，求的周长. 17．（2021上·湖南永州·九年级统考期中）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，． 求证：△ACD∽△ABC． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18．（2017上·陕西西安·九年级西安市铁一中学阶段练习）如图，小亮、小芳同学想测量一座塔的高度，他们经过观察发现需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和塔之间的直线上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线上的对应位置为点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，来回走动，走到点时，看到塔顶端点在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度米，米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从点沿方向走了米，到达塔影子的末端点处，此时，测得小亮身高的影长米，米，如图，已知，，，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中的信息，求出塔的高的长度. 19．（2022上·广西百色·九年级统考期末）已知：如图，点D在三角形ABC的AB上，DE交AC于点E，，点F在AD上，且．求证： (1)； (2)∽． 20．（2023·四川成都·统考二模）如图，为的直径，C，D为上两点，连接，，，，线段与相交于点E，过点D作，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径． 五、解答题（每小题9分，共18分） 21．（2022上·湖北襄阳·九年级统考期末）综合与实践 问题情境 在综合实践课上，同学们以“矩形的旋转”为主题开展学习探究活动．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在矩形AEFG中，AE＝4，EF＝3，点G在AB上． (1)探究发现 连接AC、AF，如图2，猜想AC与AF之间的位置关系，并说明理由； (2)将矩形AEFG绕点A顺时针旋转到如图3的位置，连接DG、CF，请求出； (3)解决问题 将矩形AEFG绕点A旋转，当点G在落在直线CF上时，直接写出线段CF的长______． 22．（2019上·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学阶段练习）如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）． （1）试说明：△BDN∽△OCB； （2）试用t的代数式表示MH的长； （3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？ （4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式． 六、解答题（本大题共12分） 23．（2019·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数 （1）若 ①求该二次函数图象的顶点坐标； ②定义：对于二次函数，满足方程的的值叫做该二次函数的“不动点”． 求证：二次函数有两个不同的“不动点”． （2）设，如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴分别相交于不同的两点，其中，，与轴相交于点，连结，点在轴的正半轴上，且，又点的坐标为，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，满足．的延长线与的延长线相交于点，若，求二次函数的表达式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$