微专题09 分式不等式、高次不等式、绝对值不等式3种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题09 分式不等式、高次不等式、绝对值不等式常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 解分式不等式 题型2 解高次不等式 题型3 解绝对值不等式 一、分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1）（2） （3）（4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 二、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 三、含绝对值不等式 1、绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 题型1 解分式不等式 【例1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式4】解下列分式不等式： （1）≤1； （2）<0. 【变式5】解不等式： 【变式6】不等式的解集为 . 题型2 解高次不等式 【例2】不等式的解集为___________. 【变式1】不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】不等式的解集为 . 【变式3】解下列分式不等式： （1）;（2）;   （3）; （4）． 【变式4】不等式的解集为 . 【变式5】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【变式6】关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型3 解绝对值不等式 【例3】解不等式：（1）； （2） （3） 【变式1】解不等式：（1）；（2）；（3）； 【变式2】已知集合，，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式4】不等式的解集是___________ 【变式5】关于的不等式解集是 ． 【变式6】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式7】解不等式： 【变式8】不等式的解集为 【变式9】不等式的解集是（ ） A．或 B． C． D． 【变式10】已知函数． (1)求的最小值； (2)若时，恒成立，求的最小值． $$2023-2024学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题09 分式不等式、高次不等式、绝对值不等式常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 解分式不等式 题型2 解高次不等式 题型3 解绝对值不等式 一、分式不等式的解法 解分式不等式的实质就是讲分式不等式转化为整式不等式。 设A、B均为含x的多项式 （1）（2） （3）（4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。 二、高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： 1、标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； 2、分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； 3、求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注） 4、穿线：从右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，（奇穿偶回：经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧） 5、得解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间； 若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间 三、含绝对值不等式 1、绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 2、绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3、两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． 4、绝对值不等式： （1）的解集是，如图1． （2）的解集是，如图2． （3）． （4）或 题型1 解分式不等式 【例1】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原不等式可化为，解得．故选：D． 【变式1】【多选】与不等式不同解的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】 结合分式不等式，二次不等式及一次不等式的求法分别检验各选项即可判断. 【详解】 由得，解得， A：由得，不同； B：由得，相同； C：由得且，解得，不同； D：由得，不同． 故选：ACD． 【变式2】已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以或，所以.故选：D. 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，解得：或， ∴不等式的解集为，故选：D. 【变式4】解下列分式不等式： （1）≤1； （2）<0. 【答案】（1）{或}；（2）{或}. 【解析】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为 {或} （2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为或}. 【变式5】解不等式： 【答案】 【解析】通分整理，原不等式化为：， 它等价于：，得到：或且 【变式6】不等式的解集为 . 【答案】. 【分析】由，将原不等式转化为求解. 【详解】因为， 所以原不等式转化，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型2 解高次不等式 【例2】不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】不等式， 由穿针引线法画出图线，可得不等式的解集为. 故答案为：. 【变式1】不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】不等式，化为：， 由穿根法可知：不等式的解集为：或.故选：A. 【变式2】不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】利用穿线法，即可求解不等式. 【详解】设， 则的根分别是－2，－1，1，2， 将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图： 所以原不等式的解集是或. 故答案为：或 【变式3】解下列分式不等式： （1）;（2）;   （3）; （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【解析】（1），所以， 所以， 即，解得， 故原不等式的解集为； （2），所以 等价于， 解得或或， 故原不等式的解集为 （3），所以， 等价于， 解得或， 故原不等式的解集为； （4），所以，即， 即,因为恒成立， 所以原不等式等价于， 即，解得或， 故原不等式的解集为 【变式4】不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式，即， 方程的根有（2重根），，，，（2重根）， 按照数轴标根法可得不等式的解集为. 【变式5】解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0. 【答案】. 【解析】根据不等式标根 所以原不等式的解为. 故答案为：. 【变式6】关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为关于x的不等式的解集为 ， 则原式化为： 所以不等式的解为或.故选：A. 题型3 解绝对值不等式 【例3】解不等式：（1）； （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【变式1】解不等式：（1）；（2）；（3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． （2）由题意，或，解得或， 所以原不等式的解集为． （3）由题意，，解得， 所以原不等式的解集为． 【变式2】已知集合，，若，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 首先解绝对值不等式求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】由，即，解得， 所以， 又且，所以或， 故符合题意的只有B选项. 故选：B 【变式3】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故，故，故，故选：D. 【变式4】不等式的解集是___________ 【答案】 【解析】不等式可化为， ∴，或； 解之得：或， 即不等式的解集是. 故答案为：. 【变式5】关于的不等式解集是 ． 【答案】 【解析】当时，不等式化为，解得，即； 当时，不等式化为，解得，即. 综上所述，不等式的解集为． 故答案为：． 【变式6】不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】不等式.故选：D. 【变式7】解不等式： 【答案】 【解析】方法一：（零点分段法） （1）当时，原不等式变为：， 解得，所以； （2）当时，原不等式变为：， 解得，所以； 综上所述，原不等式的解集为． 方法二：或，解得或， 所以原不等式的解集为． 【变式8】不等式的解集为 【答案】 【解析】当时，，故； 当时，恒成立，故； 当时，，故 综上： 故不等式的解集为： 【变式9】不等式的解集是（ ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 当时，， 则不等式可化为，解得，故； 当时，， 则不等式可化为，解得，故； 当时，， 则不等式可化为，解得，故； 综上：或，即不等式的解集为或.故选：A. 【变式10】已知函数． (1)求的最小值； (2)若时，恒成立，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）分类讨论去掉绝对值符号后可求的最小值； （2）就、分类讨论后可得的最小值. 【详解】（1） 由题设可得， 当时，，当时，， 故的最小值为. （2）因为时，，所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 当时，有恒成立， 故在上恒成立，因为的图象为线段， 所以，故且. 当时，有在上恒成立， 所以在上恒成立，故， 所以且， 所以，故的最小值为. $$