第十九章 几何证明（10大题型）（50道压轴题专练）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（沪教版）

第十九章 几何证明（10大题型）（50道压轴题专练） 压轴题型一 线段垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 2．四边形中，点为线段的中点． (1)，平分． ①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 3．【阅读理解】 （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】 （2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 4．【阅读理解】 （1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是____________； 【灵活运用】 （2）如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 5．【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 压轴题型二 角平分线的性质与判定 6．已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M (1)若，，求的面积； (2)求证：． 7．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接． (1)证明：； (2)求的度数； (3)问是否平分？并说明理由． 8．如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 9．在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 10．在中，平分，平分，与交于点O． (1)如图1，若，直接写出的大小为__________； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，则__________． 压轴题型三 直角三角形全等的判定 11．如图，于，于，． (1)求证：平分； (2)直接写出与之间的等量关系． 12．如图，在中，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作，，垂足分别为M，N，若，，求的长． 13．如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 14．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 15．已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 压轴题型四 含30度角的直角三角形 16．如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 17．在中，平分交于． (1)如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； (2)如图2，若，，，，，求四边形的周长． 18．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 19．在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，当时，求的边长； (3)连接，若，，求的值． 20．在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 压轴题型五 斜边的中线定理 21．如图，已知锐角中，、分别是边、上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 22．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．如图， 在中， 于F，于E， M为的中点． (1)若 ，求的周长； (2)若求的度数． 24．在中，，M是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 25．（1）如图1，中，，分别是，上的高，M，N分别是，的中点，求证：． 拓展： （2）如图2，中，，，点E是上的点，于点D，点M是的中点，探索与的数量关系与位置关系． （3）如图3，将（2）中的绕点B逆时针转小于的角，（2）中的结论是否还成立？成立，请说明理由．    压轴题型六 用勾股定理解三角形 26．如图，在长方形中，，，E为边上一点，． (1)求的长： (2)点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，为等腰三角形？ 27．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足的周长为，求此时的值； (2)若点在的平分线上，求此时的值； (3)在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 28．如图，在中，．    (1)如图，若，，求的面积； (2)如图，为外的一点，连接，且，，过点作交的延长线于点，求证：． 29．如图，在长方形中，，点M是边上一点且，点P是边或上一点． (1)如图①，如果的周长：四边形的周长，求边的长； (2)如图②，若点P与点D重合且，求的长； (3)如图③，如果，为等腰三角形，求的面积． 30．已知如图，点D是外一点，，． (1)如图（1），若，，求证：； (2)如图（2），若，，，，求证：； (3)如图（3），若，，，，则__________． 压轴题型七 勾股定理与折叠问题 31．长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 32．如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 33．如图，在中，点为边上的一点，，，． (1)试说明； (2)求的长； (3)直线上是否存在一点，使为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段的长度；若不存在，请说明理由； (4)如图1，动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，设运动时间为秒．现把沿着直线翻折，请直接写出当为何值时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 34．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 35．如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 压轴题型八 勾股定理的应用 36．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米， （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 37．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 38．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 39．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 40．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 压轴题型九 求最短路径问题 41．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 42．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 43．如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 44．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 45．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 压轴题型十 两点的距离公式 46．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 47．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 48．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 49．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 50．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．    （1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明） （2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？ （3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十九章 几何证明（10大题型）（50道压轴题专练） 压轴题型一 线段垂直平分线的性质与判定 1．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，，的垂直平分线分别交，于点，，直线，交于点． (1)求证：点在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （）先根据相等垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可. 本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，对顶角相等，解题关键是熟练掌握知识点的应用. 【详解】（1）证明：如图所示， 连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上； （2）解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， 设，， ∴，，， ， ∴，， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 2．四边形中，点为线段的中点． (1)，平分． ①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据平行线的性质，证明，得到，，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出，即可求出的度数； ②延长交的延长线于点，证明，，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到，进而得到，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点，使得，证明，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，最后利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：①， ，，， ， ， 点为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； ② 如图，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的中点， 平分； （2）证明：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 3．【阅读理解】 （1）如图1，在中，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．小芳在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（也叫“倍长中线法”）：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是________． 【灵活运用】 （2）如图2，中，，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，平分，且交于点D，的中点为G，过点G作平行于，交于点，交的延长线于点F．若，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）8 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，证明，得到，， ，再证明垂直平分，得到，据此根据线段的和差关系可得答案； （3）延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）∵是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图：   ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴垂直平分， ， ， ； （3）延长到，使，连接，如图所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点G是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题的关键． 4．【阅读理解】 （1）如图，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，再证明“”．探究得出的取值范围是____________； 【灵活运用】 （2）如图，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图，在中，平分，且交于点，的中点为，过点作平行于，交于点，交的延长线于点．若，，求． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）利用全等三角形的判定及性质可得，再利用三角形的三边关系可得，进而可求解． （2）延长交的延长线于，利用全等三角形的判定及性质和线段垂直平分线的性质即可求解． （3）利用倍长中线法，延长到，使，连接，如图所示，利用等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，最后数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【详解】解：（1）延长到 E ，使 ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）延长交的延长线于，如图2：    ∵是的中线， ∴， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ∵， ， ， ； （3）延长到，使，连接，如图3所示： ， ，， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、线段垂直平分线的性质、平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质和三角形三边关系是解题 的关键． 5．【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）见解析；（2）①与是偏等积三角形，理由见解析；②修建小路的总造价为元 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；②过点作，交的延长线于，则，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求；              （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于， ∴， ∵、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； ②如图，过点作，交的延长线于，则， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 由①得：与是偏等积三角形， ∴，， ∴（）， ∴（元）． 答：修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 压轴题型二 角平分线的性质与判定 6．已知：如图，D为外角平分线上一点，且，于点M (1)若，，求的面积； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的全等等知识． （1）作于N，先证明，再根据三角形面积公式即可求解； （2）先证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：如图，作于N． ∵平分，，， ∴， ∴； （2）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 7．如图，在和中，，，，，连接，交于点M，连接． (1)证明：； (2)求的度数； (3)问是否平分？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)平分，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识． （1）由证明，根据全等三角形的性质得出； （2）令与的交点为，由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，据此得出； （3）作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，令与的交点为， 由（1）得， ∴，， 又， ； （3）解：平分，理由如下： 如图所示，作于，于， 则， 在和中， ， ∴， ， 平分． 8．如图，射线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度在射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)的度数为________； (2)若，试求动点、的运动时间的值； (3)试问当动点、在运动过程中，存在某个时间，使得，直接写出的值． 【答案】(1) (2)当或12时， (3) 【分析】（1）根据，平分，得出，根据，得出； （2）分两种情况分别讨论，①当点在线段上时，②当点运动到点的右侧时； （3）先证明，得出，说明当在线段上，且时，，得出，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当点在线段上时，过作于，于，如图所示： ∵平分， ∴， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点运动到点的右侧时， ， 解得：， 综上分析可知：当或12时，． （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当在线段上，且时，， ∴， 解得：， ∴当时，． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，以及一元一次方程的应用，进行分类讨论是解答本题的关键． 9．在中，，．若点D在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点D在的外部时，过点D作于E，作交的延长线于F，且． ①求证：点D在的垂直平分线上； ②________； (2)如图2，当点D在线段上时，若，平分，交于点E，交与点F，过点F作，交于点G． ①________； ②若，，求的长度； (3)如图3，过点A的直线，若，，点D到三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是________． 【答案】(1)①见解析；②1 (2)①；② (3)2或6． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； （3）分2种情况讨论，分别画出图形利用角平分线的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点D在内部时，如图： ∵， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 当点D在的下方时，如图： 设点D到三边的距离为x， 由题意得：， ∴， ∴， 点D到直线l的距离是； 综上，点D到直线l的距离是2或6． 故答案为：2或6． 10．在中，平分，平分，与交于点O． (1)如图1，若，直接写出的大小为__________； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，则__________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形内角和及角平分线的定义求出即可； （2）过点O作，，，证明，得到，，，得到，，即可得到结论， （3）在上截取，，连接，，作，，由，平分，平分，得到，，由，得到，设，，由，，得到，，，，进而得到，，根据角平分线的性质定理，得到 ，由，，得到，根据即可求解， 本题考查了，角平分线的性质定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：等高三角形的面积比等于底边之比． 【详解】（1）解：在中，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， （2）解：过点O作，，，垂足分别为，，， 在中，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分，，，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， （3）解：在上截取，连接，，过点作于，于， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴，， 同理可证，，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 压轴题型三 直角三角形全等的判定 11．如图，于，于，． (1)求证：平分； (2)直接写出与之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质， （1）根据“”定理得出，故可得出，所以平分； （2）根据证明，所以，故． 【详解】（1）解：于，于， ， ∴与均为直角三角形， ， ∴， ，， 平分； （2）解：． 理由：， 在与中， ， ∴， ， ． 12．如图，在中，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作，，垂足分别为M，N，若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查角平分线的定义及性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质． （1）根据角平分线的性质结合三角形的外角可得，代入计算即可； （2）连接，作于，根据角平分线的性质可得，再证明，得到，同理得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ； （2）解：连接，作于， 平分，，， ， 同理，， ， 在和中， ， ∴， ， 同理，， ． 13．如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）连接，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可； （2）根据，得出方程解答即可． 【详解】（1）证明：连接，   垂直平分， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：在，中， ∴ ∴， 设， 则，， ， ， ， ． 故答案为： ． 14．如图，在锐角三角形中，，是角平分线，分别是，的高，点E在上，且，动点F在边上（不包括两端点），连接． 【问题感知】 (1)填空： （填“”，“”或“”）； 【探究发现】 (2)若，小杰经过探究，得到结论：．请你帮小杰证明此结论； 【类比探究】 (3)若，请判断上述结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； 【拓展提升】 (4)已知，，，若点E关于DF的对称点落在边AC上，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)或 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得． （4）分两种情况讨论：和时，分别画出图形，求出和，得的面积． 【详解】（1）∵平分，，分别是，的高 ∴． 故答案为：． （2）证明：如图1，作于点， 在和中 ， ∴（）， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中 ， ∴（）， ∴． （3）成立， 证明：如图2， ∵， ∴， 延长交的延长线于点， ∴， ∴， 在和中 ， ∴（） ∴，． ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴． （4）当时，如图3，在线段上取点，使得． ∵， ∴点是点关于的对称点， ∴， ∴， 可得， ∴，， ∴， ∴． 当时，如图4， 在线段上取点，使得， 同理可得，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定，关键是解决拓展提升时，要分和两种情况讨论． 15．已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 压轴题型四 含30度角的直角三角形 16．如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）先证明，得到，再根据直角三角形的性质，即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 17．在中，平分交于． (1)如图1，的两边分别与、相交于M、N两点，过D作于F，，证明：； (2)如图2，若，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）过点D作于G，，证明和，得，，再把变形即可得出等于； （2）过点D作于E，，可证明，得，再证明，，根据直角三角形的性质，所对的直角边等于斜边的一半，从而得出，，，同理得：，即可求得四边形的周长． 【详解】（1）证明：过点D作于G，如图1， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：过点D作于E，如图2， ，， ，， ， ， ， ， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，，， 同理可得：， 四边形AMDN的周长为． 【点睛】本题考查了三角形以及多边形内角和，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 18．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．如果、两点同时出发． (1)________，________，________（用含的代数式表示）； (2)经过几秒后的面积等于； (3)四边形的面积能否等于，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)2秒 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程的应用，含30度角的直角三角形，利用面积公式正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）过点作，利用含30度角的直角三角形的性质，求出的长，利用面积公式，列出一元二次方程，进行求解即可； （3）利用分割法求面积，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，； 故答案为： （2）过点作， ∵，， ∴， ∴的面积为， 解得：或（不合题意，舍去）； 故经过2秒后的面积等于； （3）不能，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 当四边形的面积等于时， ，整理，得：， ∵， ∴方程无实数根， 故四边形的面积不能等于． 19．在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． (1)若，求证； (2)在（1）的条件下，当时，求的边长； (3)连接，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)1+ (3)或 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键， （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，则，作于H，根据直角三角形的性质可得，进而得到即可解答； （3）分或两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， 如图：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， ∴，则， ∴， ∴， ∴的值为； 如图，当时， 由等边三角形的对称性知，当时，仍然有， 同理可得的值为． 综上所述：的值为或． 20．在中，点P在平面内，连接并将线段绕点A顺时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接 【发现问题】（1）如图1，如果点P是边上任意一点，则线段和线段的数量关系是______； 【探究猜想】（2）如图2，如果点P为平面内任意一点，前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）； 【拓展应用】（3）如图3，在中，，，，P是线段上的任意一点连接，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】（1）；（2）仍然成立；理由见解析；（3）． 【分析】本题考查三角形旋转变换的性质，全等三角形判定与性质，角直角三角形性质，掌握旋转变换的性质，根据垂线段最短确定线段位置是解本题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）在上取一点E，使，连接，过点E作于F，证明，得到，进而得到最小时，最小，利用垂线段最短和含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）前面发现的结论仍然成立；理由如下： 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，在上取一点E，使，连接，过点E作于F， 由旋转知，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 要使最小，则有最小，而点E是定点，点P是上的动点， ∴当（点P和点F重合）时，最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 故线段长度最小值是 压轴题型五 斜边的中线定理 21．如图，已知锐角中，、分别是边、上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)求证：； (2)连接、，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理， （1）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到，再根据等腰三角形三线合一的性质证明； （2）根据三角形的内角和定理可得，再根据等腰三角形两底角相等表示出，然后根据平角等于180°表示出，整理即可得解； 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，是的中点， ∴，， ∴ 又∵为中点， ∴； （2）解：在中，， ∵， ∴ ∴； 22．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 23．如图， 在中， 于F，于E， M为的中点． (1)若 ，求的周长； (2)若求的度数． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟练应用以上性质是解题的关键． （1）首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，进而得出的周长； （2）根据等腰三角形的性质，得，，再根据三角形的内角和定理求出，，进而求出的度数，再根据等边对等角，即可得出答案． 【详解】（1）解：于F，于E，M为的中点， ，， ，， 的周长； 故的周长为14． （2）， ，，， ，， ， ∴ 故的度数为． 24．在中，，M是边的中点，于点H，平分． (1)求证：平分； (2)过点M作的垂线交的延长线于点E， ①求证：； ②是什么三角形？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）要证明平分，则需证明，因为平分．所以，所以只需要证明即可；通过直角三角形斜边上的中线性质可得，从而得到，然后运用等量代换及同角的余角相等即可证明，则可证明结论； （2）①通过同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可以得到，然后运用二直线平行，内错角相等及等量代换可得，从而根据等角对等边可得； ②易得，从而得到是等腰三角形，再根据，即可证明是等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：中，， ∵M是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴平分； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②是等腰直角三角形，理由如下： ∵且， ∴ ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 25．（1）如图1，中，，分别是，上的高，M，N分别是，的中点，求证：． 拓展： （2）如图2，中，，，点E是上的点，于点D，点M是的中点，探索与的数量关系与位置关系． （3）如图3，将（2）中的绕点B逆时针转小于的角，（2）中的结论是否还成立？成立，请说明理由．    【答案】（1）见解析；（2），，见解析；（3）结论成立．证明见解析 【分析】（1）连接，，利用直角三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得证； （2）利用直角三角形的性质可得出，，利用等边对等角得出，，利用等腰直角三角形的性质可求出，则，然后利用四边形内角和为即可判断； （3）延长到F，使得，连接，，，证明，得出，，利用三角形的内角和定理可得出，证明，得出，，进而得出，则是等腰直角三角形，然后利用等腰三角形三线合一的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接，，    ∵，分别是，上的高，M，N分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵N为中点， ∴； （2）解：如图2，，．    ∵，点M是的点， ∴， ∴， ∵，点M是的点， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）结论成立． 如图3，当绕点B逆时针转小于的角时，仍是等腰直角三角形，延长到F，使得，连接，，．    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 压轴题型六 用勾股定理解三角形 26．如图，在长方形中，，，E为边上一点，． (1)求的长： (2)点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点A运动，连接．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，为等腰三角形？ 【答案】(1)5 (2)t值为6或5或 【分析】本题考查了四边形综合应用，涉及直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质和勾股定理等知识，解题的关键是方程思想和分类讨论思想的应用． （1）在长方形中，，可得，在中，由勾股定理可得的长； （2）若为等腰三角形，则有三种可能：当时、当时、当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在长方形中，，， 在中，， ； （2）若为等腰三角形，则有三种可能， 当时，则， ； 当时，则， ， 当时，过点E作于点F，则， ， ， 综上所述：符合要求的t值为6或5或． 27．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)若点在上，且满足的周长为，求此时的值； (2)若点在的平分线上，求此时的值； (3)在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)当t为或5或或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据的周长为，可得，，在中根据勾股定理列出方程可求得t的值； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴由勾股定理得， 如图，连接， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得，即， 解得； （2）解：如图1，过P作于E，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图3所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图4所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图5所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 28．如图，在中，．    (1)如图，若，，求的面积； (2)如图，为外的一点，连接，且，，过点作交的延长线于点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）通过构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出边上的高，再利用三角形面积公式即可求解； （2）通过在上截取，构造出两组全等三角形，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，   ， ， ， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，在上截取，连接，   ，， 又， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ． 29．如图，在长方形中，，点M是边上一点且，点P是边或上一点． (1)如图①，如果的周长：四边形的周长，求边的长； (2)如图②，若点P与点D重合且，求的长； (3)如图③，如果，为等腰三角形，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为或 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用、等腰三角形的性质等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键． （1）设，用x分别表示出的周长和四边形的周长，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据勾股定理列出方程，解方程求出； （3）分、两种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理解答． 【详解】（1）解：设， 在长方形中，，，， 由勾股定理得， 的周长， 四边形的周长， 由题意得， ， 解得，，即， ； （2）设，则， 在中，， 在中，， ， 解得，， ； （3）如图3，当时， ，， 由勾股定理得：， 则， 的面积； 如图4，当时， 设，则，， ∵ ∴， 解得，，即，则 的面积； 综上所述：的面积为或 30．已知如图，点D是外一点，，． (1)如图（1），若，，求证：； (2)如图（2），若，，，，求证：； (3)如图（3），若，，，，则__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）延长交于，连接，通过证明，即可求证； （3）过在的上方作，，连接，，利用前面的结论以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）证明：延长交于，连接，如下图： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：过在的上方作，，连接，，如下图： 则， 设，交于点，，交于点， 由（1）可得，则，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键． 压轴题型七 勾股定理与折叠问题 31．长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由折叠的性质可，，，利用勾股定理求得，进而得到，设，则再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即线段的长为． 32．如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 33．如图，在中，点为边上的一点，，，． (1)试说明； (2)求的长； (3)直线上是否存在一点，使为等腰三角形．若存在，请直接写出此时线段的长度；若不存在，请说明理由； (4)如图1，动点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，设运动时间为秒．现把沿着直线翻折，请直接写出当为何值时，点翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)存在，或4或6或16 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判断即可； （2）根据勾股定理即可解答； （3）当时，根据等腰三角形的性质可解答；当点在线段上，且时，根据可得答案；当点在延长线上，且时，根据可得答案；当时，设，则，根据勾股定理可得答案； （4）当点在线段上时，设，则，在中，根据勾股定理可得，进而得出答案； 当点在延长线上时：设，则，在中，根据勾股定理可得，进而得出答案. 【详解】（1）证明： ， 根据勾股定理的逆定理可得：为直角三角形，且， （2）解：由（1）得： ， 点为边上的一点， 为直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： （3）①当时： 为中点， ②当点在线段上，且时： ③当点在延长线上，且时： ； ④当时： 在左侧，设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得：，   综上所述，线段的长度为或4或6或16． （4）①当点在线段上时： 设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得， ②当点在延长线上时：设，则， 在中，根据勾股定理可得： 解得：， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，注意分情况讨论，不能丢解． 34．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．如图，已知矩形，，，点P是射线上的动点，连接，是由沿翻折所得到的图形． (1)当点Q落在边上时， ； (2)当直线经过点D时，求的长； (3)如图2，点M是的中点，连接、． ①的最小值为 ； ②当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可； （2）分点在线段上，点在线段的延长线上，两种情况，进行讨论求解； （3）①连接，勾股定理求出的长，折叠求出的长，根据，求出最小值即可； ②分和两种情况，再分点在线段上，点在线段的延长线上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当点Q落在边上时，如图所示， ∵矩形，，， ∴，， ∵翻折， ∴， ∴， 在中，； 故答案为：； （2）当直线经过点D时，分两种情况： 当点在线段上时，如图： ∵翻折， ∴，，， ∴， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； ②当在线段的延长线上时： ∵翻折， ∴，， ∴， 设，则：，， 在中，，即：， ∴； ∴； 综上：或； （3）①连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小， 即：； 故答案为：； ②当时，如图： ∵翻折， ∴， 设，则：， 在中，，即：， 解得：， 即：； 当，点在线段上时，如图： ∵，， ∴， ∴，点在上， 由（1）知：， ∴， ∴； 当点在的延长线上时：如图：此时点在上，连接， ∵翻折， ∴， ∵， ∴； 综上：或或． 【点睛】本题考查折叠问题，全的三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，综合性强，难度大，属于压轴题．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 压轴题型八 勾股定理的应用 36．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米C处，过了2秒后，小汽车行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米， （1）求BC的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1）40米；（2）超速了 【详解】试题分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，AC根据勾股定理即可求出小汽车2秒内行驶的距离BC； （2）根据小汽车在两秒内行驶的距离BC可以求出小汽车的平均速度，求得数值与70千米/时比较，即可计算小汽车是否超速． 试题解析：（1）在直角△ABC中，已知AC=30米，AB=50米， 且AB为斜边，则BC==40米． 答：小汽车在2秒内行驶的距离BC为40米； （2）小汽车在2秒内行驶了40米，所以平均速度为20米/秒， 20米/秒=72千米/时， 因为72＞70， 所以这辆小汽车超速了． 答：这辆小汽车的平均速度大于70千米/时，故这辆小汽车超速了． 37．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km． （2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响． （3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言． 38．新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．某镇政府采用了宣讲车进行宣传动员．如图，宣讲车P在笔直公路的两个站点A、B来回宣传，点C是一个村庄，村庄C到A、B两站点的距离分别为、，且．宣讲车周围以内能听到广播宣传． (1)求的度数． (2)宣讲车P宣传时，村庄C是否能听到？请说明理由． (3)如果能听到，已知宣讲车P的速度是100米/分钟，那么宣讲车P沿方向行驶中，村庄C一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】(1) (2)宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由见解析 (3)村庄C一共能听到分钟的宣传． 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）证明，则由勾股定理的逆定理可知； （2）利用等面积法求出，再由即可得到结论； （3）在上取两点E、F使得，连接，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【详解】（1）解：∵村庄C到A、B两站点的距离分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）解：宣讲车P宣传时，村庄C能听到，理由如下： 如图所示，过点C作于D， ∵， ∴， ∵， ∴宣讲车P宣传时，村庄C能听到； （3）解：如图所示，在上取两点E、F使得，连接， 在中，由勾股定理得， 同理可得， ∴， ∵分， ∴村庄C一共能听到分钟的宣传． 39．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即， 求水池的深度和芦苇的长度(1丈等于10尺)． (1)求水池的深度； (2)中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法．他的解法用现代符号语言可以表示为：若已知水池宽， 芦苇高出水面的部分，则水池的深度可以通过公式计算得到．请证明刘徽解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）解：设水池深度为x尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； 即尺； 答：水池的深度为12尺； （2）证明：水池深度，则芦苇高度为， 由题意有：； 为中点，且， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：； 表明刘徽解法是正确的． 40．（1）【阅读理解】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是 ； A．     B．       C．       D． （2）【实践操作】如图1，在数轴上找出表示的点，过点作直线垂直于，在上取点，使，以原点为圆心，长为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点表示的数是 ； （3）【延伸应用】如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽尺，求竹竿长． 【答案】（1）C；（2）；（3）竹竿长尺 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用、实数与数轴，理解题意、熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）观察图形，根据各个图形面积之间的和差关系，列出等式整理，逐个判断即可； （2）根据勾股定理求得，根据交点在数轴负半轴，得出答案即可； （3）设竹竿长尺，根据题意，则尺，门高尺，门宽尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵A图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵B图形中，四个直角三角形的面积小正方形的面积大正方形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； ∵C图形中，大正方形的面积两个小正方形的面积两个长方形的面积， ∴，不能证明勾股定理： ∵D图形中，两个小直角三角形的面积大直角三角形的面积整个梯形的面积， ∴， 整理得：，能证明勾股定理； 综上所述，不能证明勾股定理的是C， 故答案为：C； （2）∵由题意得：，，， 在中，， ∴， ∵交点在数轴负半轴， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）设竹竿长尺，则尺，门高尺，门宽尺， 在中， ∴， ∴， 整理得：， 解得：， 答：竹竿长尺． 压轴题型九 求最短路径问题 41．如图是放在地面上的一个无盖的长方体形盒子，长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的侧面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ 【答案】能，最短行程是． 【分析】此题考查了平面展开——最短路径问题，根据题意分两种情况利用勾股定理求解，然后比较即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， 如图所示，连接即为所求路线， 根据题意：在中，根据勾股定理 ∵，， ∴， ∵ ∴最短行程是． 42．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 43．如图①，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点，嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图（图③）是______； (2)求该长度最短的金属丝的长； (3)如图②，若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝的最短长度为，则的值为______． 【答案】(1)A (2)20 (3)2368 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可； （3）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：根据两点之间线段最短可得：所得的圆柱侧面展开图为A． 故选A． （2）解：∵圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴金属丝的长为． （3）解：根据勾股定理可得：． 44．综合与实践 问题情境： “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．例如，如图1，一个正方体的棱长为1，有一只蚂蚁从点出发，沿着正方体的表面爬行到点．沿怎样的路线爬行路程最短？要解决这个问题，我们可以把正方体展开（如图2，图3，图4），把空间两个面上的两点，之间的最短路径问题转化为同一个面上两点之间的距离问题．根据“两点之间，线段最短”，可知蚂蚁沿线段爬行的路程最短，利用勾股定理易证最短路程为．    问题解决： (1)如图5，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图6，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点在棱上，．一只蚂蚁要沿长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 45．一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． (1)如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由． (2)如图1，如果蚂蚁要从边长为的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的 　　 （A）（B） （C） （D） 这样的最短路径有 　　条． (3)如果将正方体换成长，宽，高的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图来说明） 【答案】(1)沿线段爬行；理由见解答过程 (2)D；6 (3)蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由见解答过程 【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． （1）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （2）根据图形可得出最短路径为，进而得出答案即可； （3）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 【详解】（1）解：沿线段爬行；理由如下： 如图所示，根据两点之间线段最短，沿线段爬行即可； （2）解：如图所示： 最短路径的长度为， ，即， 如图所示： ∴路线有6条， 故选：D；6； （3）解：蚂蚁爬行的最短路线是沿面和面展开后所连接的线段；理由如下： 如图2.1和图2.2所示作图，分别连接， 图2.1中； 图2.2中； ， 图2.2中的路径最短． 压轴题型十 两点的距离公式 46．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 47．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若时，，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少5千米；（3） 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少5千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 48．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 49．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力． 【知识运用】 (1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米． (2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离． (3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ． 【答案】(1)； (2)P点的位置见解析，的距离为16千米； (3)15． 【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离； （2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可； （3）如图3，，，，，，设， 则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米，千米， ∴千米， ∴（千米）， 即两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，点P即为所求， 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即的距离为16千米； （3）解：如图3，，，，，，设， 则， 作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E， 则是的最小值，即代数式的最小值， ∵，，， ∴代数式最小值为：， 故答案为：15． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点． 50．如图，在公路的同侧有两个居民点、，居民点、分别到公路的距离千米和千米，且两个居民点、相距千米．    （1）要在公路边修一个污水处理站来收集处理居民点、的污水，污水处理站修在什么地方到居民点、所用的水管最短；请你在图中设计出污水处理站的位置．（保留作图痕迹，不要证明） （2）如图铺设水管的工程费用为每千米万元，为使铺设水管的费用最节省，请求出最节省的费用为多少万元？ （3）要在公路边修一个汽车站，使汽车站到两个居民点、的距离相等，则点应该修在距点多远的地方（另画图并写出解答过程） 【答案】（1）画图见解析；（2）万元；（3）；画图见解析 【分析】（1）作点A关于CD的对称点，连接，与CD的交点即为所求； （2）AF⊥BD于点F，过点A′作，交BD延长线于点E，可得，，，利用勾股定理求得，继而由可得答案． （3）作AB的中垂线，交CD于点M，点M即为所求；设，则，由即，列方程求解可得． 【详解】（1）如图1所示，点即为所求．    （2）如图1，过点作于点，过点作，交延长线于点， 则四边形和四边形均为矩形， ， ， 则，， 在中，， ， 则， 所以最节省的费用为（万元）． （3）如图，作的中垂线，交于点， 则点即为所求；    连接、， 设，则， ， ，即， 解得：，即点在距离点的地方． 【点睛】本题考查了尺规作图，轴对称的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理的应用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$