1.1 直线的倾斜角与斜率（七大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.1 直线的倾斜角与斜率 题型1：直线的倾斜角 1．直线的倾斜角 （1）定义 如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 【答案】 逆时针 0 【分析】略 【解析】略 2．已知直线l经过点，则它的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】两点式求出斜率，进而由反三角函数表示倾斜角. 【解析】斜率，所以倾斜角为． 故答案为： 3．若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解. 【解析】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 4．已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 . 【答案】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角. 【解析】将代入解析式得，解得， 故直线l倾斜角为 故答案为： 5．直线的倾斜角为 ． 【答案】/ 【分析】根据直线方程直接确定倾斜角. 【解析】由直线与轴垂直，即其倾斜角为. 故答案为： 6．直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的斜率为，求解即可. 【解析】由题意，直线的斜率为, 故选：C. 7．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解出斜率． 【解析】直线的斜率为， 故选：C． 8．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【解析】由直线方程：得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故答案为：. 9．直线的斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据范围可得答案. 【解析】直线的斜率为， 因为，所以. 故答案为：. 10．直线经过点和，则此直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】根据两点求斜率公式求过、两点的直线的斜率即可. 【解析】因为，已知，，所以过、两点的直线的斜率 为. 故答案为： 11．经过点、两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【解析】由题意可得直线的斜率，则，解得. 故答案为：. 12．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】由的斜率和的斜率相等，求出实数m的值． 【解析】因为三点、、在同一直线上， ∴的斜率和的斜率相等， 即， ∴. 故答案为：． 13．给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 【答案】④ 【分析】根据直线倾斜角、斜率的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【解析】对于①、⑤，任一条直线都有倾斜角，但倾斜角为直角的直线没有斜率， 即任一条直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，①、⑤均错误； 对于②，平行于轴的直线的倾斜角是，②错； 对于③，若两条直线的倾斜角均为时，它们的斜率都不存在，③错误； 对于④，若k是直线的斜率，则，④对. 故答案为：④. 14．图中4条直线中斜率最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题图确定直线斜率的大小关系即可得. 【解析】由图易得，故的斜率最小. 故选：C. 15．经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和，求出倾斜角的取值范围. 【解析】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 16．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 【答案】/ 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【解析】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 17．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 【答案】 【分析】根据给定直线的斜率，结合正切函数性质求出倾斜角范围即可. 【解析】直线的斜率取值范围为，即，则， 所以倾斜角的范围为. 故答案为： 18．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 【答案】/ 【分析】根据直线斜率的求法及斜率与倾斜角的关系求解. 【解析】由直线l经过，两点， 则直线的斜率， 所以直线的斜率， 由，所以. 故答案为： 19．若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 【答案】/ 【分析】由直线斜率与倾斜角之间的关系，计算即可得出答案． 【解析】 如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为3， 建立如图平面直角坐标系， 设对角线OB所在直线的倾斜角为，则， 由正方形性质可知，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 故， ， 则 故答案为： 20．已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反射的对称性及斜率公式求解. 【解析】设点， 根据反射的对称性，知点关于轴的对称点与在同一直线上， 所以，所以，解得， 所以点的坐标为． 故答案为：. 21．如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，得到，，设，根据条件建立关系式，从而得到，即可求解. 【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 由条件知，，， 因为直线的斜率为，又， 所以直线的斜率， 设点的坐标为，则，， 联立，解得，故 所以，，    故答案为：. 22．直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围. 【解析】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 23．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得且斜率，计算即可得解. 【解析】根据题意，即， 且斜率， 即， 解得或. 实数的范围是. 故答案为： 24．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【解析】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 25．若，，且过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 . 【答案】， 【分析】先计算直线的斜率，根据题意结合图象可得直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围. 【解析】因为直线的斜率，倾斜角为， 直线的斜率，倾斜角为， 如图所示，    可得直线l的斜率的取值范围为，倾斜角的取值范围. 故答案为：，. 26．已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值集合为 . 【答案】 【分析】 设两直线的倾斜角为，分与两种情况，得到方程，求出答案, 【解析】 设直线与直线的倾斜角为， 因为为正实数，所以均为锐角， 因为直线，与轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况， （1）时，，所以， 因为，解得， （2）时，，所以， 因为，解得. 故答案为： 二、解答题 27．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)，； (2)，； (3)，). 【答案】(1)存在，斜率，倾斜角 (2)存在，斜率，倾斜角 (3)答案见解析 【分析】 （1）存在，计算斜率和倾斜角即可； （2）存在，计算斜率和倾斜角即可； （3）考虑和两种情况，计算斜率和倾斜角即可； 【解析】（1）存在，直线AB的斜率，即，又，倾斜角. （2）存在，直线CD的斜率，即，又，倾斜角. （3）当时，斜率不存在，则倾斜角； 当时，直线的斜率且倾斜角满足，. 28．已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率公式和斜率为倾斜角的正切值可得. （2）倾斜角为钝角时，斜率小于，再利用斜率公式可得. 【解析】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 29．已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3 (2) 【分析】（1）由斜率公式直接求解； （2）由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【解析】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3． （2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是. 30．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【解析】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 一、填空题 1．直线过点，，则直线的倾斜角为 【答案】/ 【分析】利用两点间的斜率公式应用，斜率与倾斜角的关系，即可求解. 【解析】由斜率公式,设倾斜角为 由. 故答案为：. 2．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知确定三等分点坐标，利用两点斜率公式列不等式求范围即可. 【解析】依题意，上靠近的三等分点的坐标为，    直线的斜率存在，所以直线的斜率为， 由题可得，解得，即． 故答案为： 3．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【解析】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    4．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】设点分别为，，求得斜率，进而得出的取值范围，由题意可知，只需即可. 【解析】设点分别为， ，， 为使区间与最多只有一个点重合，应有，即． 故答案为： 5．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件易得四边形为正方形，再由是以角为顶角的等腰三角形得到必为边的中点，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得和，再利用同角三角函数的基本关系和诱导公式得到答案即可. 【解析】由题中条件可得，，且不重合， 所以，，所以四边形为平行四边形， 如图，连接， 由两点间距离公式得，所以平行四边形为菱形， 因为，所以，所以菱形为正方形， 因为为边的中点，是以角为顶角的等腰三角形， 所以必为边的中点，则，， 所以， 由题意得，所以，因为， 解得，(负根舍去)，直线与轴垂直， 则，所以. 故答案为： 二、单选题 6．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率范围，进而求出倾斜角范围. 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 由直线l与线段总有公共点，得直线的斜率，即， 当时，而，则；当，得， 所以l的倾斜角的取值范围为. 故选：D 7．已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到动直线的定点，由动直线与线段有，结合图形判断出倾斜角的范围. 【解析】将代入得， 将代入得， 所以，不在直线上， 又∵， 所以点在线段上， 直线的方程为：， 直线过定点且斜率一定存在，    故由数形结合可知：或 故倾斜角， 故选：D 三、解答题 8．若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）计算，根据和两种情况得到倾斜角. （2），得到倾斜角范围. 【解析】（1）， 当或时，，； 当时，，； （2），所以. 9．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【解析】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 直线的倾斜角与斜率 题型1：直线的倾斜角 1．直线的倾斜角 （1）定义 如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 2．已知直线l经过点，则它的倾斜角为 ． 3．若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 4．已知直线：经过点，则直线l倾斜角的大小为 . 5．直线的倾斜角为 ． 题型2：斜率 6．直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 7．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ． 9．直线的斜率的取值范围是 . 题型3：两点之间斜率及求参 10．直线经过点和，则此直线的斜率为 ． 11．经过点、两点的直线的倾斜角为 . 12．若点、、在同一直线上，则实数k的值为 ． 题型4：斜率与倾斜角之间的关系 13．给出下列命题： ①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；③若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等；④若k是直线的斜率，则；⑤任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中是真命题的有 ．（填序号） 14．图中4条直线中斜率最小的是（   ） A． B． C． D． 15．经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 16．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为   . 17．已知直线l的倾斜角为，斜率为k，直线的斜率取值范围为，则倾斜角的范围为 18．已知直线l经过，两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角是 ． 题型5：斜率的应用 19．若正方形的一条对角线所在直线的斜率为3，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率之和为 20．已知从点射出的光线经轴上的点反射后经过点，则点的坐标为 ． 21．如图，为保护河上古桥，规划建一座新桥，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥与河岸垂直；保护区的边界为圆心在线段上，并与相切的圆，且古桥两端和到该圆上任意一点的距离均不少于.经测量，点位于点正北方向处，点位于点正东方向处（为河岸），，则新桥的长度为 .    22．直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 题型6：倾斜角的种类、直线与线段公共点问题 23．经过两点的直线的倾斜角是钝角，则实数的范围是 . 24．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 25．若，，且过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 . 26．已知为正实数，设直线的斜率为，直线的斜率为，且与交于轴外一点，若，与轴围成一个等腰三角形，则的所有可能的取值集合为 . 题型7：解答题 27．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)，； (2)，； (3)，). 28．已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 29．已知，，． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 30．已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 一、填空题 1．直线过点，，则直线的倾斜角为 2．已知两点，直线过点且交线段于三等分点（靠近），若直线的斜率的绝对值不大于2，则实数的取值范围是 ． 3．一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    4．设的图象与任何斜率不小于2的直线至多有1个公共点，则的范围为 ． 5．已知四边形各顶点的坐标分别为，，，，点为边的中点，点在线段上，且是以角为顶角的等腰三角形，记直线，的倾斜角分别为，，则 . 二、单选题 6．经过点作直线l，若直线l与连接两点的线段总有公共点，则l的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，直线：上存在点P，满足，则的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 8．若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 9．已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$