1.2 直线的方程（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

1.2直线的方程 题型1：点斜式 1．斜率为k且过点的直线的点斜式方程为 ． 【答案】 【分析】略 【解析】略 2．经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 . 【答案】 【分析】求出直线斜率，根据直线的点斜式方程即可得答案. 【解析】倾斜角为的直线的斜率为， 又该直线经过点， 所以其点斜式方程为 故答案为： 3．已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】求出直线的倾斜角，从而可求得直线的倾斜角，即可得解. 【解析】解：直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角为， 所以直线的方程为． 故答案为：x = -2 4．已知倾斜角为的直线经过点，且，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得到结果. 【解析】由题意可得，则，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． 故答案为： 5．经过点和点的直线方程是 . 【答案】 【分析】根据两点式求得直线方程. 【解析】经过点和点的直线方程是：， 整理得. 故答案为： 6．已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－1)，则m= 【答案】1 【分析】由倾斜角为90°的直线方程的特点即可求解. 【解析】因为直线的倾斜角为90°且过点A(2m，3)，B(2，－1)，故其方程为， 所以，解得. 故答案为：1 7．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为 . 【答案】 【分析】边上的中线过的中点及点,根据两点坐标,求出中点坐标,再结合点坐标,用两点式即可求出方程. 【解析】解:由题知,, 故的中点坐标为:, 因为, 所以边上的中线所在的直线为: , 即:. 故答案为: 8．下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①一条直线不与x轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式； ②点斜式方程适用于不垂直于x轴的任何直线； ③过，两点的所有直线方程可表示为； ④经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示． 【答案】②④ 【分析】结合两点式与点斜式的概念及辨析逐项分析即可求出结果. 【解析】两点式不能表示与轴平行或重合的直线，故①③错误；点斜式适用于不垂直于x轴的任何直线，故②正确；④是两点式的变形，但是包括了与轴平行或重合的直线，故④正确， 故答案为：②④. 9．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 【答案】 【分析】直接利用两点的坐标求出直线的方程，进一步转换为斜截式． 【解析】已知两点、，故直线的斜率， 则方程为：，整理得， 转化为直线的斜截式为． 故答案为：． 10．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)斜率，在y轴上的截距1，直线与y轴交点的坐标为． 【分析】（1）利用斜截式方程直接写出方程即可. （2）利用直线的点斜式写出方程，再化成斜截式. （3）化方程为斜截式，再求出斜率、纵截距及与y轴交点的坐标. 【解析】（1）直线的斜率，纵截距， 所以该直线的斜截式方程为. （2）过点，斜率为的直线的点斜式方程为， 所以该直线的斜截式方程为. （3）直线方程化为， 所以该直线的斜率为，在y轴上的截距为1，直线与y轴交点的坐标为． 11．直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 【答案】 【分析】先找到直线的斜率，再由直线过点求出直线方程. 【解析】设直线l的倾斜角为，则，则， 所以直线， 故答案为：. 12．已知直线在轴与轴上的截距分别为4，9，若点在直线上，则 ． 【答案】/ 【分析】由截距式方程计算直线的方程，然后将点代入即可求解. 【解析】由题得直线截距式方程为． 又点在直线上， 所以， 解得． 故答案为：. 13．若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】通过讨论截距为0和不为0两类情况讨论即可. 【解析】当截距为0时,过点和原点,所以的方程为,即; 当截距不为0时，设的方程为，由过点，得， 解得，所以的方程为. 故答案为：或 14．纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【解析】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 15．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 【答案】/ 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【解析】因为直线经过点，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故答案为：. 16．已知直线l通过点与，则直线l的一个方向向量为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，得到答案. 【解析】由已知可得，是直线l的一个方向向量． 故答案为：（答案不唯一） 17．直线的一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出直线的斜率，结合选项，即可作答. 【解析】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为， 故选：A. 18．直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求直线方程. 【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为， 直线的方程为，即， 故答案为：. 19．直线的一个方向向量为，则＝ ． 【答案】3 【分析】利用直线的方向向量与法向量垂直可得结果. 【解析】由直线的一般式方程可知，该直线的一个法向量， 因为，所以，解得. 故答案为：3 20．在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是 . 【答案】 【分析】根据直线的方向向量得出斜率，再点斜式写出直线方程，最后转化为一般式即可. 【解析】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，在x轴上的截距为1， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 21．过点且法向量的直线的点法向式方程是 ； 【答案】 【分析】直接根据直线的点法向式方程的定义即可得出答案. 【解析】解：因为直线过点且法向量， 所以直线的点法向式方程是. 故答案为：. 22．过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 【答案】 【分析】利用直线的点法式方程写出即可. 【解析】根据直线的点法式方程可得直线的点法式方程：. 故答案为： 23．已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】由直线的法向量可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得解. 【解析】因为是直线的法向量， 所以直线的斜率， 又点是直线上点，所以直线的方程为， 整理得. 故答案为：. 24．过点且与经过两点的直线垂直的直线的点法向式方程为 ． 【答案】 【分析】 根据给定条件，求出直线的法向量，再利用点法式方程写出作答. 【解析】依题意，直线的一个方向向量为， 因为直线，因此直线的一个法向量为， 所以直线的点法向式方程为：. 故答案为： 25．根据下列条件分别写出直线的一般式方程 (1)斜率为，且经过点； (2)过点，且垂直于x轴； (3)斜率是4，在y轴上截距为； (4)经过两点； (5)在x轴y轴上的截距分别为. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用直线的点斜式，再化简为一般式，从而得解； （2）由题意可知直线斜率不存在，据此可得一般式； （3）利用直线的斜截式，再化简为一般式，从而得解； （4）利用直线的两点式，再化简为一般式，从而得解； （5）利用直线的截距式，再化简为一般式，从而得解. 【解析】（1）由点斜式，可得， 则直线的一般式方程为； （2）因直线垂直于x轴，又过点，则直线的一般式方程为：； （3）由斜截式，可得， 则直线的一般式方程为：； （4）由两点式，可得， 则直线的一般式方程为； （5）由截距式，可得， 则直线的一般式方程为：. 26．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由直线的方向向量得直线的斜率，进而利用直线方程的点斜式即可得出结果. 【解析】∵直线的方向向量, ∴直线的斜率， 又∵直线过点 ∴由点斜式可得：,即， 故答案为：. 27．直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 【答案】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【解析】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 28．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ． 【答案】 【分析】求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程； 【解析】中点坐标为，即， 所以边上的中线所在的直线方程是：， 整理得：. 故答案为： 29．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 【答案】或 【分析】根据两坐标轴上的截距之和为零，先设直线方程，再根据点在线上求参即可得出直线方程. 【解析】因为直线在两坐标轴上的截距之和为零 所以设直线方程为或, 再因为直线过点可得， ,可得. 所以直线方程为或. 故答案为：或. 30．若直线过点且在两坐标轴上的截距之差为，则直线的一般式方程为 . 【答案】或 【分析】依题意可得直线在轴上的截距为或，利用直线的截距式方程求解即可得结果. 【解析】直线过点，即直线在轴上的截距为， 又直线在两坐标轴上的截距之差为， 则直线在轴上的截距为或， 则或， 所以直线方程为或， 故答案为：或 二、单选题 31．一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由题可得点关于轴的对称点，得到直线方程，进而求得点的坐标． 【解析】由题可得关于轴的对称点为， 则直线的方程为，可得， 令，可得，所以点. 故答案为：. 32．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可求得，即可确定l的斜率，即可求得直线l的点斜式方程，化为一般式，即得答案. 【解析】由题意知，，则， 则，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 故选：A 33．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 【答案】B 【分析】 将直线变形结合斜率、截距的概念即可分别判断AB，令即可排除CD. 【解析】直线：即，它的斜率为，在轴上的截距为，故A错，B对， 令，则直线：与轴平行，且与直线垂直，故CD错误. 故选：B. 34．过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 【答案】 【分析】可设直线方程为，由题意得到，再利用基本不等式得到，进而求出，从而得出结果. 【解析】由题可设直线方程为，又直线过点， 得到，又三角形面积为， 又，得到，当且仅当，即时取等号， 又，得到，所以直线方程为，即， 故答案为：. 35．在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 【答案】或 【分析】方程化为，根据函数的单调性分为和来讨论，利用单调性求最值即可求解. 【解析】方程化为， 当时，为增函数， 则，解得， 此时方程为，即； 当时，为减函数， 则，解得， 此时方程为，即； 综上：此直线的一般式方程为或. 故答案为：或. 36．如果且，那么直线不经过第 象限. 【答案】三 【分析】比较直线的斜率与的大小关系，在轴上的截距与的大小关系即可求解. 【解析】因为且，则， 所以，，所以直线， 即直线的斜率小于零， 在y轴上的截距大于零， 故直线经过第一、第二、第四象限，不经过第三象限. 37．如图所示，直线与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出的符号，即可得出合适的选项. 【解析】直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得， A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得，即，B不满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得， C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得，D不满足条件. 故选：C 38．已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）变化主元计算可求直线所过定点； （2）分类讨论结合直线在纵轴上截距及其斜率的大小计算不等式即可. 【解析】（1）整理直线的方程,得(, 联立方程组 解得所以直线恒过的定点的坐标为; （2）当时，直线的方程为，经过二、三象限，不符合题意; 当时,, 因为经过第一、二、三象限，所以， 解得或, 综上所述，当直线经过第一、二、三象限时，的取值范围是. 三、解答题 39．设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． (1)求点A的坐标； (2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把直线一般式化为截距式方程，结合题意进行求解即可； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合二倍角的正切公式、直线的点斜式方程进行求解即可. 【解析】（1）因为， 所以由， 由题意可知：， 因为，所以点A的坐标为； （2）由（1）可知，所以有直线， 设直线倾斜角为，则有， 所以直线的倾斜角为，设直线的斜率为， 则有， 所以直线直线的方程为：. 40．在平面直角坐标系中有， (1)求直线的一般方程； (2)在三角形中，求边的高线方程； (3)若直线将面积两等分，求的值 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）斜截式求直线方程，化简即可； （2）利用垂直关系，得出高线的斜率，再用点斜式方程求解； （3）先由两直线的交点坐标的求法求得D，E的坐标，再结合三角形的面积公式求解即可． 【解析】（1）由题意的，直线AC在x轴和y轴的截距分别为2和3， 由截距式方程， 化简得； （2）直线AB的斜率， 根据垂直关系可得，边AB上的高线，斜率不存在， 由于高线过点，所以边AB上的高线方程为； （3）设直线与边分别交于点． 由，得． 又直线的方程为，而点在边上，故可设．因此，． ， ． 41．已知直线过定点P： (1)求过P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)l与x轴，y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点： （i）求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； （ⅱ）求取最小值时直线l的方程． 【答案】(1)或. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）首先求出其所过定点，再分类讨论是否过原点即可. （2）（i）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （ii）结合（i），利用基本不等式计算取得最小值时和 【解析】（1），即， 则，解得，则定点， 当直线过原点时，此时直线方程为，即直线方程为， 当直线不过原点时，若截距相等，则，则直线方程为，即. 综上所述，直线方程为或. （2）（i）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即，即时得到上述直线方程. （ii）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即，即得到上述直线方程. 一、填空题 1．若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【解析】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 2．已知点在直线上移动，是函数的最小值，则直线的倾斜角 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式求出，进而得到直线斜率，利用斜率的几何意义求解即可. 【解析】∵点在直线上移动， ∴，即． 又由基本不等式可得：， 当且仅当即时等号成立． ∵a是函数的最小值，∴， 则直线可化为， 即．则， ∵，∴， 即直线的倾斜角． 故答案为： 3．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 【答案】9 【分析】根据直线方程求出定点，然后根据直线垂直，结合基本不等式求解即可； 【解析】由题意，动直线过定点， 直线可化为， 令，可得， 又，所以两动直线互相垂直，且交点为P， 所以， 因为， 所以，当且仅当时取等号． 【点睛】根据直线方程求定点，判断直线垂直，将问题转化为基本不等式是本题的难点和突破点. 4．已知点，A是直线上一点，单位向量是的一个法向量，设是平面上的动点，且满足，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】 求出，设，，则，根据得到，由计算出. 【解析】 设直线的一个法向量为， 则， 设，满足且， 所以， 设，则， ， ， 根据题意可得， 故，故， 即，解得， ， ∵， ∴， . 故答案为： 5．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 2 【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围. 【解析】 由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴， 因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足， 所以，即， 设点的坐标为， 所以， 所以点的坐标为， 因为点在直线上面， 所以，即， 所以（这里的是指中的）； 因为向量在向量上的投影向量记为， 所以， 如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为， 当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立； 当为直角时，； 当为钝角时，即， 综上，. 【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解. 二、单选题 6．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用中点公式得，根据在上，在上列式求得点，再利用点斜式即可得解. 【解析】设直线夹在直线之间的线段是，（在上，在上）， 设，因为被点平分， 所以，于是， 由于在上，在上， 所以，解得， 即的坐标是，而， 则，由点斜式得，即. 所以直线的方程是：. 故选：D. 7．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】先求得横截距和纵截距，然后根据三角形的面积列方程，解方程求得正确答案. 【解析】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意， ，所以或, 所以或， 设，则或， 则或 解得或， 即或， 即或， 所以这样的直线有条. 故选：D 三、解答题 8．在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）求出直线方程，与直线方程联立求出点的坐标，再设出点的坐标，由的中点在直线上，求出点的坐标，然后求出直线方程. （2）按直线过的中点及与平行求出方程即得. 【解析】（1）由边的垂直平分线的斜率为，得直线方程为，即， 而边中线所在的直线方程为， 由，解得，则，设点，则点， 于是，解得，即点，直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）由（1）知，，， 由直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，得直线过边的中点，或， 当直线过时，直线的斜率为，方程为，即， 当直线时，直线的斜率为，方程为，即， 所以直线l的方程为或. 9．设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，，， 【分析】（1）变形方程为，依题意列出方程组，解出即可； （2）求得轴截距后，表示出的面积，利用基本不等式求得最值，进一步计算即可； （3）根据截距为整数且斜率为正值，求得的值，即可得到所求直线方程. 【解析】（1）由得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由， 令，得， 令，得， 由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以得周长为. （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数， 所以，均为整数，又斜率为正值即，即， ， 所以直线的方程为，，，. 10．城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 【答案】(1) (2)，200平方米 【分析】（1）先求点的坐标与直线的方程，再由点到直线的距离公式可得； （2）由对称性解得点坐标，可得所在直线方程，再由对称性将四边形面积转化为求三角形面积求解即可. 【解析】（1）过作轴，垂足为， 由可知，直线OC的斜率， 直线OC的方程为， 因为点C到OA的距离为20米，设，故，可得， 因为，则为的中点，， 则，所以， 所以点P到OC的距离；    （2）因为，，得AC所在直线方程为， 设，因为点O与点B关于AC对称，故可得 得，，即， 所以所在直线方程为， ， 所以该口袋公园的总面积200平方米． 11．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1)证明见解析，定点坐标为； (2)； (3)． 【分析】（1）整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标； （2）求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程； （3）作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程. 【解析】（1）直线可化为， 令，解得，故直线经过的定点坐标为； （2）因为，，，所以， 由题意得直线方程为， 故直线经过的定点在直线上，所以， 设直线与交于点，所以， 即，所以， 设，所以，即， 所以，，所以， 将点坐标代入直线的方程，解得， 所以直线的方程为； （3）设关于的对称点，关于的对称点， 直线的方程为，即， 直线的方程为，所以， 解得，所以， 由题意得四点共线，，由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2直线的方程 题型1：点斜式 1．斜率为k且过点的直线的点斜式方程为 ． 2．经过点，且倾斜角为的点斜式直线方程为 . 3．已知直线经过点，且它的倾斜角等于直线的倾斜角的倍，则直线的方程为 ． 4．已知倾斜角为的直线经过点，且，则直线的方程为 . 题型2：两点式 5．经过点和点的直线方程是 . 6．已知倾斜角为90°的直线经过点A(2m，3)，B(2，－1)，则m= 7．在中,,则边上的中线所在的直线的一般方程为 . 8．下列说法中，正确的是 ．（填序号） ①一条直线不与x轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式； ②点斜式方程适用于不垂直于x轴的任何直线； ③过，两点的所有直线方程可表示为； ④经过任意两个不同的点，的直线都可以用方程表示． 题型3：斜截式 9．已知两点、，则直线的斜截式方程是 ． 10．根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)写出斜率为，在y轴上截距为的直线的斜截式方程； (2)求过点，斜率为的直线的斜截式方程； (3)已知直线方程为，求直线的斜率，在y轴上的截距，以及与y轴交点的坐标． 11．直线l：绕着点逆时针旋转与直线重合，则的斜截式方程是 . 题型4：截距式 12．已知直线在轴与轴上的截距分别为4，9，若点在直线上，则 ． 13．若直线过点且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为 . 14．纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 15．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时， . 题型5：直线的方向向量 16．已知直线l通过点与，则直线l的一个方向向量为 . 17．直线的一个方向向量是（   ） A． B． C． D． 18．直线经过点，且它的一个方向向量为，则直线的方程为 ． 19．直线的一个方向向量为，则＝ ． 20．在x轴上的截距为1且方向向量为的直线的方程是 . 题型6：点法式（点法向式） 21．过点且法向量的直线的点法向式方程是 ； 22．过点，且法向量是的直线的点法向式方程是 . 23．已知是直线l上一点，且是直线l的一个法向量，则直线l的方程为 ． 24．过点且与经过两点的直线垂直的直线的点法向式方程为 ． 题型7：直线的一般方程，及与其他方程互化 25．根据下列条件分别写出直线的一般式方程 (1)斜率为，且经过点； (2)过点，且垂直于x轴； (3)斜率是4，在y轴上截距为； (4)经过两点； (5)在x轴y轴上的截距分别为. 26．直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的一般式方程为 . 27．直线过点，法向量为，则的一般式方程为 . 28．的顶点，则边上的中线所在的直线方程是 ． 29．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 30．若直线过点且在两坐标轴上的截距之差为，则直线的一般式方程为 . 题型8：直线方程的应用 31．一条光线从点射向轴，经过轴上的点反射后通过点，则点的坐标为 ． 32．已知平面直角坐标系内两点，，则过点且以为法向量的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 33．设，对于直线：，下列说法中正确的是（    ） A．的斜率为 B．在轴上的截距为 C．不可能平行于轴 D．与直线平行 34．过点与轴、轴正半轴围成的三角形面积最小时的直线一般式方程为 ． 35．在直线上，当时，恰好，则此直线的一般式方程为 ． 题型9：直线的一般式的参数符号与图像的相互判断（含定点问题） 36．如果且，那么直线不经过第 象限. 37．如图所示，直线与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 38．已知直线. (1)求恒过的定点的坐标; (2)若经过第一、二、三象限，求实数的取值范围. 题型10：解答题 39．设m为实数，直线在x轴、y轴上截距之和等于1，且与x轴的交点记作A． (1)求点A的坐标； (2)直线过点A且倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的方程 40．在平面直角坐标系中有， (1)求直线的一般方程； (2)在三角形中，求边的高线方程； (3)若直线将面积两等分，求的值 41．已知直线过定点P： (1)求过P且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)l与x轴，y轴正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点： （i）求三角形OAB面积取最小值时直线l的方程； （ⅱ）求取最小值时直线l的方程． 一、填空题 1．若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 2．已知点在直线上移动，是函数的最小值，则直线的倾斜角 ． 3．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值 ． 4．已知点，A是直线上一点，单位向量是的一个法向量，设是平面上的动点，且满足，若，则实数的取值范围是 . 5．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ． 二、单选题 6．过点有一条直线，它夹在两条直线与之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为6，则这样的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 三、解答题 8．在中，顶点A在直线上，顶点B的坐标为边的中线所在的直线方程为边的垂直平分线的斜率为． (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B，且点A、点C到直线l的距离相等，求直线l的方程． 9．设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 10．城市发展，拼“内涵”也要拼“颜值”，近年来，多地持续推进城市绿化，以城市绿化增量提质，擦亮城市生态底色，街头随处可见的“口袋公园”已规划完善，一幅“推窗见绿、出门即景”的美丽画卷正徐徐展开．某市规划四边形空地OABC建设“口袋公园”，已知三角形区域OAC与ABC关于中心道路AC对称，在AC的中点P处规划建一公共厕所．测得且，点C到OA的距离为20米，米．设计人员方便规划计算，在图纸上以O为坐标原点，以直线OA为x轴建立如图所示平面直角坐标系xOy．    (1)求点P到OC的距离； (2)求出BC所在直线方程及该口袋公园的总面积． 11．如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； (3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$