第29讲 直角三角形的性质(三类知识点+七大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第29讲 直角三角形的性质（七大题型） 学习目标 1、 知道直角三角形中两锐角互余； 2、 学会直角三角形中30°角的性质及推论； 3、 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。 直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【即学即练1】如图，在中，，，若，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【即学即练2】如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【即学即练3】如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ． 【即学即练4】如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ． 【即学即练5】如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 题型1：直角三角形的两个锐角互余 【典例1】．如图，在RtABC中，＝90°，＝55°，则的度数为（   ） A．25° B．35° C．45° D．55° 【典例2】．直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【典例3】．如图，在中，，则与∠A互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型2：Rt▲中30°角所对的直角边等于斜边的一半 【典例4】．如图，在中，，，，则的长度是（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【典例5】．如图，在中，，．则长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 题型3：Rt▲中30°角所对的直角边等于斜边的一半与三角形其他性质结合 【典例6】．如图，已知，点P在边上，cm，点M、N在边上，，若cm，则为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm 【典7】．如图，在中，，，点D是上一点，连接，，，则长是（        ） A．4 B．5 C．6 D．8 【典例8】．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中斜梁，立柱，且顶角，则（　　） A．16m B．8m C．4m D．2m 【典例9】．等腰三角形的顶角为，腰长为6，则它底边上的高等于（　　） A．3 B．8 C．9 D．7 【典例10】．如图，在中，，，交于点D，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例11】．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【典例12】．已知直角三角形斜边上的高线为2，斜边上的中线长3，则直角三角形的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【典例13】．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 【典例14】．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【典例15】．图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，连接交于点F，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 题型5：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形其他性质结合 【典例16】．如图，中，，点为的中点，点在上，且，相交于点，若，则等于 ． 【典例17】．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ． 【典例18】．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【典例19】．如图，在中，，，点是的中点，将沿对折，点落在点处，与相交于点，则的度数为 ．    【典20】．如图，在中， ，点D为的中点，连接，过点B作于点E，点F为上一点，，若，，则的长为 ． 题型6：直角三角形的性质综合 【典例21】．如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是 ． 【典例22】．如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 【典例23】．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 【典例24】．如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【典例25】．如图，在中，，，D在内部，以为直角边作等腰直角三角形，，连接，且，若，，则 ． 题型7：解答题 【典例26】．已知如图，在中，，，，求证：． 【典例27】．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【典例28】．如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【典例29】．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【典例30】．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接． (1)求线段之间的数量关系； (2)若，求线段之间的数量关系． 【典例31】．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．在直角三角形中，若斜边上的中线长为6，则斜边长为(　　) A．3 B．6 C．12 D．无法确定 2．在中，，则为（    ） A．4 B．2 C．1 D．不能确定 3．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 4．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 5．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 6．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（    ） A．5 B．4 C．7 D．6 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）    A．50° B．40° C．30° D．25° 8．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且交于P点，则图中60度的角共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 9．在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 10．如图，在等边中，分别是边上的点，且，与相交于点，垂直于．则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，，，，则 ． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A= 度． 13．在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE= . 14．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 15．如图，在中，点D在边BC上，，点E，点F分别是AC，BD的中点，，则AC的长为 ． 16．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ． 17．在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式 .（不写函数定义域）． 18．如图，在等腰中，，点M，N分别是边上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当且时，若，则的面积为 ． 三、解答题 19．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长． 20．如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 22．已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证： (1)DG＝DE； (2)∠DEG＝∠DEC． 23．已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 24．如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 25．在中，，点在边上，连接，． (1)如图1，求证：为等边三角形； (2)如图2，点在边上，连接交于，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点是中点，点在延长线上，连接，且，过点作于点，若，，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第29讲 直角三角形的性质（七大题型） 学习目标 1、 知道直角三角形中两锐角互余； 2、 学会直角三角形中30°角的性质及推论； 3、 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边一半。 直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【即学即练1】如图，在中，，，若，则（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，在直角三角形中，如果有一个角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 根据含30度角的直角三角形性质得出，代入求解即可． 【解析】，，， 故选D． 【即学即练2】如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【解析】解：∵，点D为的中点， ∴， 故选A． 【即学即练3】如图，在中，于点D，，E是的中点，则等于 ． 【答案】/度 【分析】先由得出，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，算出，最后结合三角形的外角性质作答即可．本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线的性质． 【解析】解：∵， ∴， ， 在中，， ∵E是的中点， ∴ ∴ 故答案为： 【即学即练4】如图，中，是高，E、F分别是的中点．若，则四边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，熟记直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出、，根据线段中点的概念分别求出、，进而求出四边形的周长． 【解析】解：∵是的高， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴四边形的周长， 故答案为：21． 【即学即练5】如图，在中，，平分，点是的中点，，则 ． 【答案】20 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质， 根据角平分线的概念得到，然后利用等腰三角形三线合一性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，进而求解即可． 【解析】∵平分， ∴ ∵，平分， ∴ ∵点是的中点， ∴ ∴． 故答案为：20． 题型1：直角三角形的两个锐角互余 【典例1】．如图，在RtABC中，＝90°，＝55°，则的度数为（   ） A．25° B．35° C．45° D．55° 【答案】B 【分析】根据直角三角形的两锐角互余求解即可． 【解析】解：， ， ， ． 故选：B． 【点睛】此题考查了直角三角形的性质，熟记“直角三角形的两锐角互余”是解题的关键． 【典例2】．直角三角形的一锐角是50°，那么另一锐角是（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的两锐角互余即可求解． 【解析】解：∵直角三角形的一锐角是50°， ∴另一锐角是． 故选A． 【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【典例3】．如图，在中，，则与∠A互余的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角． 【解析】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高线， ∴∠A＋∠B＝90°，∠A＋∠ACD＝90°， ∴与∠A互余的角有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余． 题型2：Rt▲中30°角所对的直角边等于斜边的一半 【典例4】．如图，在中，，，，则的长度是（    ） A．3.5 B．3 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，计算选择即可． 【解析】因为，，， 所以， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【典例5】．如图，在中，，．则长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用两个直角等量代换得出，再利用角所对的直角边是斜边的一半求出的长度，然后则的长度可求． 【解析】解：∵， ， ， ， ∵ ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 题型3：Rt▲中30°角所对的直角边等于斜边的一半与三角形其他性质结合 【典例6】．如图，已知，点P在边上，cm，点M、N在边上，，若cm，则为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm 【答案】B 【分析】过P作于D，根据等腰三角形的性质和已知条件求出，根据含 角的直角三角形的性质求出，再求出答案即可． 【解析】解：过P作于D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵cm， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半． 【典例7】．如图，在中，，，点D是上一点，连接，，，则长是（        ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，然后根据三角形外角的性质求得，从而得到，最后根据等角对等边可得即可解答． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余的性质、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用等角对等边的性质是解题的关键． 【典例8】．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中斜梁，立柱，且顶角，则（　　） A．16m B．8m C．4m D．2m 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到再利用含的直角三角形的性质可得答案． 【解析】解：∵ ∴ ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解题的关键． 【典例9】．等腰三角形的顶角为，腰长为6，则它底边上的高等于（　　） A．3 B．8 C．9 D．7 【答案】A 【分析】过点A作，垂足为D，利用等腰三角形的性质可得，然后利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答． 【解析】解：如图：过点A作，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴底边上的高为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 【典例10】．如图，在中，，，交于点D，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先根据，求出的度数，再根据，求出的长，从而得出的度数，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出的长，即可得出答案． 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，求出和的长度是解决问题的关键． 题型4：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【典例11】．如图，公路、互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M、C两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出，代入求出即可． 【解析】解：∵， ∴，即是直角三角形，为斜边， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出AB是解题的关键． 【典例12】．已知直角三角形斜边上的高线为2，斜边上的中线长3，则直角三角形的面积为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，求出斜边的长，再利用三角形面积公式即可求解． 【解析】∵直角三角形斜边的中线为3， ∵直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半， ∴该直角三角形的斜边长为， ∵直角三角形斜边上的高线为2， ∴直角三角形面积为：， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的知识，掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，是解答本题的关键． 【典例13】．如图，在中，，，点为边的中点，，则的长为（　　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理可得∠A=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出AC=2BD=4，再利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解析】解：∵∠ABC=90°，∠C=60°， ∴∠A=30°， ∵点D为边AC的中点，BD=2 ∴AC=2BD=4， ∴BC=， 故选：C． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【典例14】．如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】利用等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线进行求解即可． 【解析】∵，平分， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【典例15】．图，在中，，点D为的中点，点E在上，且，连接交于点F，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形的性质可得，即可求解，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可求得，再利用三角形外角的性质可求解． 【解析】解：∵D为的中点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，求解，的度数是解题的关键． 题型5：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半与三角形其他性质结合 【典例16】．如图，中，，点为的中点，点在上，且，相交于点，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半；等腰三角形中等边对等角；三角形中任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据直角三角形斜边中线的性质可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质即可求解． 【解析】解：中，，点E为的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例17】．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案 【解析】∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，点是的中点， ∴ 故答案为： 【典例18】．如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质．由题意易得，，进而问题可求解． 【解析】解：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为； 故答案为：16． 【典例19】．如图，在中，，，点是的中点，将沿对折，点落在点处，与相交于点，则的度数为 ．    【答案】/120度 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质． 由，，得，根据是斜边的中点，得，可得，而将沿对折，使点落在点处，有，即知，从而可得答案． 【解析】解：，， ， 是斜边的中点， ， ， ， 将沿对折，使点落在点处， ， ， ， 故答案为：． 【典例20】．如图，在中， ，点D为的中点，连接，过点B作于点E，点F为上一点，，若，，则的长为 ． 【答案】/0.5 【分析】先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，又由可得为等边三角形，进而可得，则可得．由，根据“等腰三角形三线合一”可得，．又由可得，进而可得，则可得是等边三角形，由此可得的长． 【解析】解：在中，，点D为的中点，，， ， 又∵， 为等边三角形， , ， ， ，且， ， 又，， ， 在和中， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型6：直角三角形的性质综合 【典例21】．如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了垂直平分线的性质、直角三角形的性质，其中灵活利用垂直平分线的性质和直角三角形角所对的边等于斜边的一半是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质、直角三角形的性质，说明，进一步说明，然后再根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半即可． 【解析】解：如图：连接    ∵的垂直平分线交的延长线于F， ∴，,， ∵在中，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故答案为∶2． 【典例22】．如图，等边中，点是延长线上一点，点是上一点，且．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含有30度的直角三角形、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．由可过作垂直，利用三线合一求出，再设，则，，最后在中，利用30度所对直角边是斜边的一半建立方程，求出，进而求出，即可得解． 【解析】解：过作于点， ，， ， 设，则， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，即， 解得， ， ． 故答案为：． 【典例23】．如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含的直角三角形的性质，先线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，利用角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的性质得出，利用含的直角三角形的性质求出，进而即可求解． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：6． 【典例24】．如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数． 【解析】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∵在直角和直角中，和都和互余， ∴， ∵， ∴点F是中点，是直角的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【典例25】．如图，在中，，，D在内部，以为直角边作等腰直角三角形，，连接，且，若，，则 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再由直角三角形的性质得出，最后再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【解析】解：如图，作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型7：解答题 【典例26】．已知如图，在中，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的小侄子，先根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理得到，由垂直的定义得到，则，进一步证明，得到，则． 【解析】证明：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例27】．如图，是的斜边上的中线，． (1)求的度数． (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为15 【分析】此题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定， （1）根据直角三角形两锐角互余求解即可； （2）首先根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可． 【解析】（1）解：，， ． （2）解：是的斜边边上的中线，且， ， ， 是等边三角形， 的周长为15． 【典例28】．如图，在中，，是斜边上的中线，过点A作于点F，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，得出，根据，推出，根据是斜边上的中线，得出，进而得出，即可等量代换求证； （2）由（1）可得：，则，得出则平分，推出，进而得出为等边三角形，则，得出，根据等角对等边得出，即可求证． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴，则平分， ∵， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴为等边三角形，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，等腰三角形等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，并灵活运用． 【典例29】．如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析， (2) 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．正确的连接辅助线是解题关键． （1）由是的中点，得到是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到由是的斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可得到． （2）由得到，由得到 根据三角形外角性质得到 则 由此根据外角的性质来求的度数． 【解析】（1）解： ∵是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴． ∵是高，是中线， ∴是的斜边上的中线， ∴． ∴； （2）解：∵， ， ． 【典例30】．如图，在中，点在上，且，点为的中点，点为的中点，连接交于点，连接． (1)求线段之间的数量关系； (2)若，求线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形性质可得，根据直角三角形你斜边上中线性质即得； （2）证明为等腰直角三角形，证明垂直平分，得到，结合，可得． 【解析】（1）证明：∵，点E为的中点， ∴． ∴． ∵点F为的中点， ∴． （2）证明：∵， ∴是等腰直角三角形． ∵点F为的中点， ∴垂直平分， ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质，线段垂直平分线判定和性质，是解决问题的关键． 【典例31】．如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)如图2，其余条件不变，若______． (3)如图3，其余条件不变，若，判断的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60 (3)，见解析 【分析】（1）过点C作于点E，交延长线于点F，角平分线的性质，得到，证明，即可得证； （2）延长交于点E，证明，得到，证明，进而求出，即可得出结果； （3）过点C作交延长线于点E，于点F，先证明，得到，再证明，得到，根据线段的和差关系，以及含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论． 【解析】（1）证明：如图，过点C作于点E，交延长线于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：60； （3）解：，理由如下： 如图，过点C作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键． 一、单选题 1．在直角三角形中，若斜边上的中线长为6，则斜边长为(　　) A．3 B．6 C．12 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【解析】解：直角三角形的斜边上的中线长为6，则斜边上的长为12， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 2．在中，，则为（    ） A．4 B．2 C．1 D．不能确定 【答案】C 【分析】含30°角的直角三角形中，30°角的对边等于斜边的一半． 【解析】解：如图， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【答案】D 【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长． 【解析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=AC，∠BED=∠CAD， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，， ∴AC==1.5． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 4．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ） A．5° B．10° C．15° D．45° 【答案】C 【分析】先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解． 【解析】∵的三个内角比为1：1：2， ∴∠A=180°=90°， ∴∠ABC=45°， 在Rt△ABD中，， ∴∠ABD=30°， ∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键． 5．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD等于（    ） A．3 B．2.5 C．2 D．1 【答案】C 【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可∠PCE=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD． 【解析】解：如图，过点P作PE⊥OB于E， ∵PC∥OA， ∠AOP＝∠BOP＝15° ∴∠CPO=∠AOP＝∠BOP＝15° ∴OC=PC=4，∠PCE= ∠AOB=∠BOP+∠AOP=30°， ∴PE=PC=2， ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA， ∴PD=PE=2. 故选：C. 【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键． 6．如图，在中，，，，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（    ） A．5 B．4 C．7 D．6 【答案】C 【分析】利用垂线段最短分析最小不能小于3；利用含30度角的直角三角形的性质得出，可知最大不能大于6．此题可解． 【解析】解：根据垂线段最短，可知的长不可小于3； 中，，，， ， 的长不能大于6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解题的关键是利用含30度角的直角三角形的性质得出． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠DEC的度数是（　　）    A．50° B．40° C．30° D．25° 【答案】A 【分析】先根据直角三角形中两锐角互余求出，然后在Rt△CDB中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，再由外角定理即可求解． 【解析】解：∵在中，，，， ，点E是的中点， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的外角定理等知识点，熟练掌握直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 8．如图，等边三角形中，D、E分别在边上，且交于P点，则图中60度的角共有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质证明△ADC≌△CEB，得到推出，再根据三角形的外角性质证得． 【解析】解：在等边三角形中，，AC=BC， ∵AD=CE， ∴△ADC≌△CEB， ∴， ∵, ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记等边三角形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键． 9．在四边形中，，点为对角线的中点，，，连接，，，则（    ） A．25° B．22° C．30° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，理解掌握这些知识点是解本题的关键．证明，可得，，可得，再利用等腰三角形的性质可得答案． 【解析】解：∵，点为对角线的中点， ∴， ∴，， 在中，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10．如图，在等边中，分别是边上的点，且，与相交于点，垂直于．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形全等的性质、含角的直角三角形的性质，作于，由等边三角形的性质可得，，证明得出，求出，得出，从而得到，再证明，得出，推出，即可得解，熟练掌握等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形全等的性质、含角的直角三角形的性质是解此题的关键． 【解析】解：如图，作于， ， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 垂直于， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题 11．在中，，，，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A= 度． 【答案】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，根据角平分线性质求出，然后通过证明是等边三角形得出，由三角形内角和定理即可求解． 【解析】证明：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则， ∵， ∴, ∵EF是的中线， ∴， ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：30． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质的应用及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是做辅助线证明是等边三角形，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 13．在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD是△ABC中∠CAB的平分线，点E在直线AB上，如果DE=2CD，那么∠ADE= . 【答案】127.5°或7.5° 【分析】过D作DF⊥AB于F，根据直角三角形DEF求出∠DEF=30°，求出结果． 【解析】解：如图，过D作DF⊥AB于F， ∵AD平分∠CAB，DF⊥AB，DC⊥AC， ∴DF=DC，∠ADF=67.5°， 当点E在线段AB上时， ∵DE=2CD=2DF，∠DFE=90°， ∴DEF=30°，∠EDF=60°， ∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=67.5°-60°=7.5°； 当点E在线段AB的延长线上时， 同理可得∠ADE=∠ADF+∠EDF=67.5°+60°=127.5°； 综上述：∠ADE=7.5°或127.5°． 【点睛】本题考查角平分线的性质和直角三角形的性质，解决问题的关键是遇到角平分线作垂线段． 14．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，那么的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，等边对等角，条件辅助线是解题的关键．连接，根据垂直平分线的性质，可得，从而得到，进而得到，再由含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【解析】解：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：4 15．如图，在中，点D在边BC上，，点E，点F分别是AC，BD的中点，，则AC的长为 ． 【答案】7 【分析】连接AF，根据等腰三角形的性质得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半进行解答即可得． 【解析】解：如图所示，连接AF， ∵AB=AD，点F分别是BD的中点， ∴， 在中，点E分别是AC的中点，， ∴， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 16．如图，在中，，点是边上的一点，点是的中点，连结．若点在边的垂直平分线上，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，先根据线段垂直平分线的性质得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案 【解析】∵点在的垂直平分线上， ∴， ∵，点是的中点， ∴ 故答案为： 17．在△ABC中，，△ABC的面积为3，过点A作AD⊥AB交边BC边于点D．设，．那么y与x之间的函数解析式 .（不写函数定义域）． 【答案】 【分析】取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H．根据△ABC的面积计算出，再根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，推导，同时由，可知，借助“30°角所对直角边是斜边的一半”可知，进而得到，然后整理即可得到y与x之间的函数解析式． 【解析】解：取BD中点E，连接AE，过点A作，垂足为H， 根据题意，，即， 解得， ∵在中，AD⊥AB，E为BD中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在中，， 即有，整理得． ∴y与x之间的函数解析式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的求解方法、直角三角形中斜边上的中线性质、30°角所对直角边是斜边的一半等知识，解题关键是准确作出辅助线，掌握三角形面积的求解方法． 18．如图，在等腰中，，点M，N分别是边上的动点，与关于直线对称，点B的对称点为．当且时，若，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【解析】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，综合性强．正确的作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的根据． 三、解答题 19．房梁的一部分如图所示，其中，点D是的中点，且，垂足为E，求的长． 【答案】，． 【分析】先求出以及长，再根据含30°的直角三角形性质求出答案即可． 【解析】解：，， ， ， ， 为中点，， ， ， ． 【点睛】本题考查了含30°的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么这个角所对的直角边等于斜边的一半． 20．如图，在等边三角形中，点D、E分别在边、上，，过点E作，交的延长线于点F． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了运用三角形的内角和算出角度，并能判定等边三角形，会运用含角的直角三角形的性质． （1）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理即可求解； （2）易证是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解． 【解析】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴是等边三角形． ∴， ∵，， ∴． 21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 22．已知：如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝45°，高AD与高BE相交于点F，G为BF的中点．求证： (1)DG＝DE； (2)∠DEG＝∠DEC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据AD⊥BC，∠ABC＝45°，可以得到△ABD是等腰直角三角形，得到AD=BD，根据BE⊥AC，得到∠C+∠CBE=90°，根据∠CAD+∠C＝90°，得到∠FBD＝∠CAD，推出△BDF≌△ADC，得到BF＝AC，根据G为BF的中点，得到DG＝BF，根据AB＝CB，BE⊥AC，得到E为AC的中点．推出DE＝AC，得到DG＝DE； （2）根据BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC，得到BG＝AE，根据∠DBG＝∠DAE，AD=BD，推出△BDG≌△ADE，得到∠BDG＝∠ADE，推出∠DGE＝∠DBG+∠BDG，根据∠DEC＝∠DAE+∠ADE，得到∠DGE＝∠DEC，根据DG＝DE，得到∠DGE＝∠DEG，推出∠DEG＝∠DEC． 【解析】（1）证明：∵AD⊥BD， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠ABC=45°， ∴∠BAD＝90°-∠ABC=45°， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC， ∴∠BEC=90°， ∴∠C+∠CBE=90°， ∵∠CAD+∠C＝90°， ∴∠FBD＝∠CAD， 在△BDF和△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（ASA）， ∴BF＝AC， ∵G为BF的中点． ∴DG＝BF， ∵AB＝CB，BE⊥AC， ∴E为AC的中点． ∴DE＝AC， ∴DG＝DE； （2）（2）由（1）知：∠DBG＝∠DAE，BG＝BF，AE＝AC，BF＝AC， ∴BG＝AE， 在△BDG和△ADE中， ， ∴△BDG≌△ADE（SAS）， ∴∠BDG＝∠ADE， ∴∠DGE＝∠DBG+∠BDG， ∵∠DEC＝∠DAE+∠ADE， ∴∠DGE＝∠DEC， ∵DG＝DE， ∴∠DGE＝∠DEG， ∴∠DEG＝∠DEC． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，全等三角形，等腰三角形，直角三角形斜边上的中线，三角形外角．解决本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形外角性质． 23．已知：如图，在四边形中，，平分，点是中点，，垂足为点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由垂直的定义得到，再由三角形内角和定理得到，则； （2）如图所示，连接，根据直角三角形的性质得到，则，再由角平分线的定义证明，推出，即可证明垂直平分，则． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，相等垂直平分线的性质与判定等等，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 24．如图，和中，，，．边与边交于点P（不与点B，C重合），点B，E在异侧． (1)若，，求的度数； (2)当，，时，设，请用含x的式子表示，并写出的最大值． 【答案】(1)； (2)，3； 【分析】本题考查的是三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键． （1）证明，进而解答即可． （2）根据当时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可． 【解析】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ，， ． （2）解， ， ，，， ， 当时，x最小，最大，， ，， ， ， 时，有最大值，即． 25．在中，，点在边上，连接，． (1)如图1，求证：为等边三角形； (2)如图2，点在边上，连接交于，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点是中点，点在延长线上，连接，且，过点作于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）利用三角形的外角性质得到和，求得，据此即可证明为等边三角形； （2）证明，推出，再利用三角形的外角性质即可求解； （3）延长交于点，连接，证明为等边三角形，推出，推出，，利用三角形的外角性质求得，再证明，再根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴为等边三角形； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长交于点，连接， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，，， ∵， ∴， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 2 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$