第25讲 线段的垂直平分线(三类知识点+八大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第25讲 线段的垂直平分线（八大题型） 学习目标 1、 知道线段的垂直平分线的性质； 2、 学会线段的垂直平分线的判定； 3、 掌握线段的垂直平分线的性质与判定综合。 一、线段的垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 线段垂直平分线的尺规作图 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 要点：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理 　　和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合． 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心． 【即学即练1】如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据“垂直平分线上的点到两端距离相等”进行解答即可． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故A正确，符合题意； B、C、D均不正确，不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】如图，在中，线段的垂直平分线分别交，于点，，，则的长是（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；根据线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”求解即可． 【解析】解：是的垂直平分线， ， ， ， 故选C． 【即学即练3】如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于E，的周长为，的长为8，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【解析】解：∵垂直平分， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴ ∵的周长为，的长为8， ∴ 故选：C 【即学即练4】如图，，，下列结论正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】B 【分析】根据题意可得垂直平分，由此即可得到答案． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分，故B结论正确，符合题意； 根据现有条件无法证明垂直平分，则无法证明平分，故A、C、D结论错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 【即学即练5】如图，是的边的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质得出，即可求出结果． 【解析】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点的距离相等． 【即学即练6】如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，，进而根据，得出，根据等角对等边即可得证； （2）根据是的垂直平分线，得出，根据等边对等角得出，进而得出，可得是等边三角形. 【解析】（1）证明：∵，，是边上的中线， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）结论：是等边三角形． ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，是边上的中线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 题型1：线段的垂直平分线的性质 【典例1】．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故选：B． 【典例2】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【解析】解：是的垂直平分线，， ， ． 故选：A． 【典例3】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质；根据此性质得，即可求解． 【解析】解：∵直线为线段的垂直平分线，且，， ∴； 故选：B． 【典例4】．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案． 【解析】解：，， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【典例5】．如图，在中，垂直平分，交于点D，交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A．30° B．31° C．20° D．21° 【答案】B 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，则，再根据三角形内角和定理求解即可． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 【典例6】．到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，掌握线段垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等是解决问题的关键． 【解析】解：    ∵在的垂直平分线上， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即是到三角形三个顶点的距离相等的点， 故选：B． 题型2：根据线段的垂直平分线的性质求周长 【典例7】．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键． 【典例8】．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式进行求解即可． 【解析】解：∵的垂直平分线交于点D，交于点E， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键． 【典例9】．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 【答案】B 【分析】利用线垂直平分线的性质得,再等量代换即可求得三角形的周长． 【解析】∵是中边的垂直平分线，∴， ∴， ∴的周长． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等效转移是正确解答本题的关键． 【典例10】．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 【答案】C 【分析】利用垂直平分线的性质得，，等量代换即可求解． 【解析】解：∵、分别是线段、的垂直平分线， ∴，， ∴的周长． 故选C． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 题型3：尺规作图 【典例11】．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择． 【解析】1．以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F， 2．过EF作直线即为AB的垂直平分线． 故选C． 【点睛】本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键． 【典例12】．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，作图即可. 【解析】根据“将军饮马”模型求最短路线题型，作点P关于直线l的对称点，连接Q交直线l于点M，利用两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图即可， 故选：B． 【点睛】本题考查了“将军饮马”模型求最短路线题型，掌握两点之间线段最短和线段垂直平分线的性质作图方法. 【典例13】．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据作图信息，一一判断即可． 【解析】解：由作图可知， 垂直平分线段，故D选项是正确的 ∴，故B选项是正确的； ∴，故C选项是正确的； 则不一定正确的是 故选：A 【典例14】．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题考查了作图复杂作图，线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 连接、，如图，设，利用基本作图得到，则，所以，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到，接着利用得到，则根据求出． 【解析】解：连接、，如图，设， 由作法得垂直平分， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 题型4：线段的垂直平分线的判定 【典例15】．如图，在 中，，，， ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，根据题意可得垂直平分，则由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可得． 【解析】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 【典例16】．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定是解题的关键．根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等证明即可． 【解析】证明：，， ， 点D在AC边的垂直平分线上． 【典例17】．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【解析】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 【典例18】．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键，实际上，要判定一条直线是一条线段的垂直平分线，至少应找出直线上的两点在这条线段的垂直平分线上．证明．得，．再利用线段垂直平分线的判定即可得证． 【解析】∵是的平分线， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴，两点都在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， 即是线段的垂直平分线． 【典例19】．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长到M，使，连接，利用证明，得到，再根据三线合一的逆定理得出，最后根据三角形三边关系即可得解． 【解析】解：延长到M，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明是解题的关键． 题型5：线段的垂直平分线的性质与判定综合辨析 【典例20】．如图，，，则下列判断一定正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．平分 D．以上都不正确 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的判定求解即可． 【解析】解：∵，， ∴点A、B在线段的垂直平分线上， 即垂直平分， 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的判定，熟知到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上是解答的关键． 【典例21】．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【答案】A 【分析】由AC＝AD，BC＝BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线． 【解析】∵AC＝AD，BC＝BD， ∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上， ∴AB是CD的垂直平分线． 即AB垂直平分CD． 故选A 【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，熟悉垂直平分线的判定定理是解题的关键． 【典例22】．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是(　　)    A． B． C． D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】根据作图方法可得，进而可得是等边三角形，再利用垂直平分线的判定方法可得垂直平分，利用等腰三角形的性质可得，，利用面积公式可计算四边形的面积． 【解析】解：根据作图方法可得， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线，故A结论正确； ，则 ，则 ，故C结论正确； ， ，故B结论正确； ，则四边形的面积， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，关键是掌握等腰三角形三线合一． 【典例23】．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的判定可知是的垂直平分线，从而可判断A、B选项正确；通过证明可得，可判定C选项正确；根据轴对称的性质可判定D选项错误． 【解析】解：∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴筝形是轴对称图形，故A、B选项正确； ∵， ∴， ∴， 即平分一组对角，故C选项正确； ∵直线不是筝形的对称轴， ∴不平分一组对角，故D选项错误； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，轴对称的性质，解本题的关键是熟练掌握相关判定定理和性质定理． 题型6：线段的垂直平分线的性质与判定与其他几何知识 【典例24】．如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【解析】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD，即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键． 【典例25】．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可． 【解析】解：∵在中，，垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 【典例26】．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质与判定，先根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质得出，再由于点可得出的度数，进而得出的度数，由线段垂直平分线的性质可得出，据此可得出结论． 【解析】解：在中，，， ． ， ， ， ． ，， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 故答案为：40． 【典例27】．，，若， ． 【答案】 【分析】根据，则垂直平分，又，则为等边三角形，即可求得 【解析】， 为等边三角形 ， 点在的垂直平分线上 则垂直平分 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质与判定，等边三角形的性质与判定，证明是的垂直平分线是解题的关键． 【典例28】．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接．过点D作交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】先根据等边三角形性质和垂直平分线的判定得出点B、D在线段的垂直平分线上，根据，，得出平分，根据平行线的性质得出，最后根据等腰三角形的判定得出． 【解析】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴点B、D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是根据题目中的已知条件证明． 【典例29】．如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】如图所示，取的中点F，连接，则可证明在的垂直平分线上，得到，证明得到，同理可得，设，则，由三角形外角的性质得到，再根据三角形内角和定理求出答案即可． 【解析】解：如图所示，取的中点F，连接， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴三点共线，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 题型7：线段的垂直平分线与平面直角坐标系 【典例30】．如图，已知点和点，在轴或轴上有一点，且点到点和点的距离相等，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】如图所示，取格点E、F，作直线，利用证明得到，则直线是线段的垂直平分线，由此只需要求出直线与坐标轴的交点即可得到答案． 【解析】解：如图所示，取格点E、F，作直线， 由题意得，点F为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵直线与x轴交于，与y轴交于，点到点和点的距离相等，即点P在线段垂直平分线上， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键． 【典例31】．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则其旋转中心的坐标是 .    【答案】(1，-1) 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点即为所求． 【解析】解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´， ∴A、B的对应点分别是A´、B´， 又∵线段BB′的垂直平分线为x=1， 线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线， 由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，-1）． 故答案为(1，-1)． 【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解题的关键． 题型8：解答综合题 【典例32】．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． （1）由在中，，，利用等腰三角形的性质，即可求得的度数，然后根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得的度数，则可求得的度数； （2）根据，，由的周长为10，代入即可求出答案． 【解析】（1）解：在中， ，， ， 是的垂直平分线， ，， ； （2）解：是的垂直平分线，， ，， ， ． 【典例33】．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质证明，即可； （2）根据三角形的周长和（1）中结论可求解． 【解析】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，，即垂直平分， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【典例34】．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可； 【解析】（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可． （1）∵分别是上的中线， ∴BE=CD，∠EBC=∠DCB， ∵BC=CB， ∴△EBC≌△DCB， ∴∠ECB=∠DBC， ∴OB=OC； （2）设AO与DE的交点为F， ∵△EBC≌△DCB， ∴EC=DB， ∵OB=OC； ∴OD=OE， ∴点O在线段DE的垂直平分线上， ∵AE=AD， ∴点A在线段DE的垂直平分线上， ∴直线AO是线段DE的垂直平分线， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键． 【典例35】．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由证明，即可得出结论； （2）连接，交于点G，由（1）得，再由，得，则，然后由等腰三角形的性质即可得出结论． 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：如图，连接，交于点G， 由（1）得：， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即垂直平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【典例36】．如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．    (1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长； (2)若，，，连接． ①求证：O点在线段的垂直平分线上； ②求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)8 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等： （1）根据的周长与四边形的周长相等，可得，即可求解； （2）①连接，根据线段垂直平分线的性质可得，然后等腰三角形的性质可得垂直平分，从而得到，进而得到，即可求证；②根据直角三角形的两锐角互余可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质，即可求解． 【解析】（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵的周长与四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，    ∵，D是的中点， ∴， ∵平分，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴O点在线段的垂直平分线上； ②∵，即， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”即可求解． 【解析】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案． 【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴AD=CD，AC=2AE=6cm， 又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm， ∴AB+BD+CD=13cm， 即AB+BC=13cm， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm． 故选C． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解题关键． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，且，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点．熟记相关知识点内容是解题关键．连接得，由得，根据等边对等角可设，则，利用建立方程即可求解． 【解析】解：连接，如图，    由题意得：， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（     ）．   A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得出答案． 【解析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知超市应建在AC、BC两边垂直平分线的交点处， 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握其性质是解题的关键． 5．如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键，由垂直平分．得，进而得，再证，可得，即可得解． 【解析】解：垂直平分． ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项正确； 故选． 6．如图，，垂直平分，，若，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由垂直平分，可得，进而得出，由，即可得到，依据平行线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，最后由三角形内角和定理进行计算，即可得到的度数． 【解析】解：垂直平分， ， ， 又， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，是解题的关键． 二、填空题 7．如图，在中，垂直平分．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线短两个端点的距离相等，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：6． 8．如图，在中，直平分，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】先根据垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式和等量代换可得的周长等于即可解答．本题主要考查了垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解答本题的关键． 【解析】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长等于． 故答案为：． 9．如图，中，，于点H，若，，则 ． 【答案】8 【分析】先作辅助线，然后根据线段垂直平分线的判定和性质，可以得到的长，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质和判定，可以得到的长，从而可以求得的长． 【解析】解：如图，在线段上截取， 则， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，作出辅助线是解答本题的关键． 10．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    【答案】5 【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出． 【解析】解：∵周长为16cm，， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴ ∵垂直平分， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：5． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练线段垂直平分线的性质定理是解题的关键． 11．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据是的垂直平分线，可以得到，，利用余角性质可以得到，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长； 【解析】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即： 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，余角的性质，勾股定理，掌握垂直平分线的尺规作图的方法及垂直平分线的性质，利用余角性质得到相等的角进而得到等腰三角形是解决本题的关键． 12．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ．    【答案】 【分析】连接交于点O，作，可得垂直平分，进而得出，再求出，即可得出四边形的面积，然后求出，根据勾股定理求出，再根据，，求出，即可得出答案． 【解析】连接交于点O，过点D作于点M．        ∵，， ∴点A，C在的垂直平分线上，即垂直平分． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． ∵， ∴， ∴． ∵线段平分四边形的面积， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，求三角形的面积，构造辅助线是解题的关键． 13．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长到M，使，连接，利用证明，得到，再根据三线合一的逆定理得出，最后根据三角形三边关系即可得解． 【解析】解：延长到M，使，连接， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线并根据SAS证明是解题的关键． 14．如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是 （填写番号） 【答案】①④⑤ 【分析】由是角平分线及，可以证明，则可得，，，由得是的垂直平分线，则，又可得，可计算出，则可判定②错误； 由，易得，进而可得，即可判定①正确；由可得，即⑤正确；由知，③错误；连接、，过作于点，则，，当与的中点重合时，最小，且最小值为，从而可判定④正确；最后可确定答案． 【解析】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， 由，则是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 故⑤正确； ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 即，     故③错误； 连接、，过作于点， 则点是的中点，且； ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当与的中点重合时，最小，最小值为， 故④正确； 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，注意灵活运用这些知识． 三、解答题 15．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【答案】见解析 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【解析】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 16．如图，已知，，是上一点. 求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】连接BC，根据线段垂直平分线性质得出AD是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出PB=PC，再利用SSS证明△ABP与△ACP全等，进而得出． 【解析】证明：连接 点在的垂直平分线上， 同理，点也在的垂直平分线上， ∵两点确定一条直线， 直线是线段的垂直平分线， 是上一点， 又，， . 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 17．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 【答案】(1)FC=AD，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答； （2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可． 【解析】（1）解：FC=AD，理由如下： ∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等）， ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE=EC（中点的定义）． 在△ADE与△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC=AD（全等三角形的性质）； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等）， ∵BE⊥AE， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB=BF=BC+CF， ∴AB=BC+AD， ∵AB=6，AD=2， ∴BC=4． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 18．如图，中，，． (1)尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质， （1）分别以点A，B为圆心，大于为半径画弧，分别相交于点E，F，连接，即可得； （2）连接，根据，得，根据垂直平分，得，计算得，则，可得，即可得； 掌握尺规作图——垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，垂直平分线的性质是解题的关键． 【解析】（1）解：如图所示， （2）证明：如图所示，连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．如图，，，，． (1)求证：； (2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证得，可得．再由，，．可证得，即可求证； （2）由（1）可知，，．可得，从而得到，进而得到点在的垂直平分线上．再由，点也在的垂直平分线上，即可求证． 【解析】（1）证明：在和中， ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明∶如图， 由（1）可知，，． ∴， ∴， 即， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 又∵， ∴点也在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案； （2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案． 【解析】（1）证明：点，， ， 轴， 轴是线段的垂直平分线； （2）解：①如图，      由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； ②， 证明：如图，延长至，使，连接、，      则垂直平分， ， 由（1）可得：轴是线段的垂直平分线， ，， 是等边三角形， ，， ， 由①可得：， ，， ，， 是等边三角形， ， 轴是线段的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 21．如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 【答案】(1)①作图见解析②作图见解析；，， (2)， (3)8 【分析】（1）①作线段的垂直平分线,与交于点，连接，即为所求，②由，，，得到，，，即可求解， （2）延 长至E， 使 ，由，，，得到，，，结合，得到，进而得到，，代入，即可求解， （3）延长到点，使得，由，，，得到，，，结合，得到，由，，根据垂直平分线的性质，得到， 本题考查了，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定，三角形的中线，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【解析】（1）解：①作图如下，即为所求， ②作图如下： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， （2）解：延 长至E， 使 ，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：延长到点，使得， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 53 页 共 53 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25讲 线段的垂直平分线（八大题型） 学习目标 1、 知道线段的垂直平分线的性质； 2、 学会线段的垂直平分线的判定； 3、 掌握线段的垂直平分线的性质与判定综合。 一、线段的垂直平分线 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线． 线段垂直平分线的尺规作图 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点：作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 二、线段的垂直平分线定理 线段的垂直平分线定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等． 要点：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件． 三、线段的垂直平分线逆定理 线段的垂直平分线逆定理 　　和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 要点： 到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线，也就是线段的垂直平分线可以看做是和这条线段两个端点的距离相等的点的集合． 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心． 【即学即练1】如图，是线段的垂直平分线，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】如图，在中，线段的垂直平分线分别交，于点，，，则的长是（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【即学即练3】如图，在中，，垂直平分，垂足为D，交于E，的周长为，的长为8，则为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【即学即练4】如图，，，下列结论正确的是（    ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【即学即练5】如图，是的边的垂直平分线，若，，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．13 D．14 【即学即练6】如图，在中，，，是边上的中线，的垂直平分线交于点E，交于点F，． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 题型1：线段的垂直平分线的性质 【典例1】．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【典例2】．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点D、E，连接，若，，则的长是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【典例3】．如图，直线为线段的垂直平分线，交于点D，连，若，，则长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例4】．如图，，，点在线段的垂直平分线上，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．如图，在中，垂直平分，交于点D，交于点E，连接．若，，则的度数为（    ） A．30° B．31° C．20° D．21° 【典例6】．到三角形三个顶点距离都相等的点是（　　） A．三角形的三条角平分线的交点 B．三角形的三边垂直平分线的交点 C．三角形的三条高线的交点 D．三角形的三条中线的交点 题型2：根据线段的垂直平分线的性质求周长 【典例7】．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 【典例8】．如图所示，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，则的周长为（    ）    A．12 B．13 C．14 D．15 【典例9】．如图，为中边的中垂线，，则的周长是（    ） A．16 B．18 C．26 D．28 【典例10】．如图，在中，、分别是线段、的垂直平分线，若，则的周长是（    ） A．120 B．50 C．100 D．90 题型3：尺规作图 【典例11】．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（　　） A．B．C．D． 【典例12】．如图所示，直线l是一条河的河岸，P，Q是河同侧的水产的生产基地，现从河岸某点M处分别派出两辆水产车运送水产如下有四种运输方案，则运输路程合理且最短的是（    ） A． B． C． D． 【典例13】．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【典例14】．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧交于点D，交AC于点E．再分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线．若直线经过点E，则的度数为 ． 题型4：线段的垂直平分线的判定 【典例15】．如图，在 中，，，， ． 【典例16】．如图，在中，已知点D在上，且．求证：点D在边的垂直平分线上． 【典例17】．如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为 ． 【典例18】．如图，平面上的四边形是一个“风筝”形的骨架，其中是的平分线，． 求证：是线段的垂直平分线． 【典例19】．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ． 题型5：线段的垂直平分线的性质与判定综合辨析 【典例20】．如图，，，则下列判断一定正确的是（     ）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．平分 D．以上都不正确 【典例21】．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB 【典例22】．如图，在中，，分别以点，为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点，连结，下列结论中错误的是(　　)    A． B． C． D．四边形的面积为 【典例23】．如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，根据所学知识，请在下列选项中选出不正确的一项（    ） A．“筝形”是轴对称图形 B．垂直平分 C．平分一组对角 D．平分一组对角 题型6：线段的垂直平分线的性质与判定与其他几何知识 【典例24】．如图，等边中，，垂足为，点在线段上，，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例25】．如图，在中，，的平分线交于点D，如果垂直平分，那么（    ） A． B． C． D． 【典例26】．已知，在中，，于点D，于点E，若，则 ． 【典例27】．，，若， ． 【典例28】．如图，是等边三角形，点D在外部，且，连接．过点D作交于点E，若，，则的长为 ． 【典例29】．如图，在中，，点D是内部一点，，点E是边上一点，若平分，，则的度数为 ．    题型7：线段的垂直平分线与平面直角坐标系 【典例30】．如图，已知点和点，在轴或轴上有一点，且点到点和点的距离相等，则点的坐标为 ． 【典例31】．如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则其旋转中心的坐标是 .    题型8：解答综合题 【典例32】．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为10，求的长． 【典例33】．如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【典例34】．已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 【典例35】．在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【典例36】．如图，在中，，，平分，D是的中点，E是上一点，连接交于点O．    (1)若的周长与四边形的周长相等，求线段的长； (2)若，，，连接． ①求证：O点在线段的垂直平分线上； ②求的度数（用含的式子表示）． 一、单选题 1．如图所示，线段的垂直平分线与相交于点D，已知，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长是（ ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，且，则的度数是(　　) A． B． C． D． 4．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（     ）．   A．在 AC、BC 两边高线的交点处 B．在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处 C．在 AC、BC 两边中线的交点处 D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处 5．如图，在中，平分，垂直平分．若，以下结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，垂直平分，，若，则（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，在中，垂直平分．若，，则的长为 ． 8．如图，在中，直平分，，，则的周长为 ． 9．如图，中，，于点H，若，，则 ． 10．如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．    11．如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点，连接．若，，则的长为 ． 12．如图，已知四边形中，，，，若线段平分四边形的面积，则 ．    13．如图，在中，D为中点，作交于E，交于F，连接，，则的取值范围是 ． 14．如图，是等腰的角平分线，，，过点A作的垂线，过点C作的平行线，两线交于点G．与交于E，与交于F，连接，点N是线段上的动点，点M是线段上的动点，连接，，下列四个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的是 （填写番号） 三、解答题 15．如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    16．如图，已知，，是上一点. 求证：. 17．如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F． (1)请判断FC与AD的数量关系，并说明理由； (2)若AB＝6，AD＝2，求BC的长度． 18．如图，中，，． (1)尺规作图：在线段上找一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，证明：． 19．如图，，，，． (1)求证：； (2)连接EC，AO，求证：AO垂直平分EC． 20．如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点．    (1)求证：y轴是线段的垂直平分线； (2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设； 若，求的度数(用含有的式子表示)； 探究线段与的数量关系，并证明． 21．如图，已知△ABC． (1)请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：①作的中线；② 延 长至E， 使 ，连接 （保留作图痕迹，不写作法）．线段 和 线 段 的数量关系和位置关系是 ； (2)当 时，如图1所示，若是的中线，试探究与 的数量关系，并说明理由； (3)当 时，如图2所示，若是的中线，，，， ，连 接，请直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$