第28讲 直角三角形全等的判定(二类知识点+五大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第28讲 直角三角形全等的判定（五大题型） 学习目标 1、 学会直角三角形的“HL”判定定理； 2、 利用直角三角形的判定定理求解； 3、 掌直角三角形的判定定理证明。 1、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点： （1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即学即练1】如图，已知，求证：． 【即学即练2】如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 . 【即学即练3】如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，那么的长度为（　） A． B． C． D． 题型1：直角三角形全等的判定 【典例1】．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【典例2】．下列命题中，假命题是（    ） A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 【典例3】．下列结论中错误有（    ） ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ③两个锐角对应相等的两直角三角形全等 ④有两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等 ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 题型2：直角三角形全等的判定的条件或理由 【典例4】．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 【典例5】．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【典例6】．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（    ） A． B． C． D． 【典例7】．如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（    ） A．BD＝AD B．∠B＝∠C C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD 【典例8】．如图，在△ABC中，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C．BD＝CD D．△ABC是等边三角形 【典例9】．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 【典例10】．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．HL 【典例11】．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30° 题型3：利用直角三角形全等的判定求长度、角度、面积等 【典例12】．如图，，，，，则 ． 【典例13】．如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【典例14】．如图，点在上，，，．若．则 ． 【典例15】．如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是 【典例16】．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，且，若，则的面积为 ． 【典例17】．如图，在中，于点D，若，则= ． 【典例18】．如图，是的角平分线，于E，点F、G分别是、上的点，且，与的面积分别是20和6，则的面积为 ． 【典例19】．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则 ． 题型4：直角三角形全等的判定的综合 【典例20】．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【典例21】．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（  ） ①PA=PB   ②PO平分∠APB   ③OA=OB   ④OP垂直平分AB． A．1 B．2 C．3 D．4 【典例22】．如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例23】．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5：直角三角形全等的判定的相关几何证明 【典例24】．如图，，，，求证：． 【典例25】．如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)请说明的理由； (2)若，，求线段的长． 【典例26】．如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接，过点B作交于F，且． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【典例27】．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于G点． (1)证明：； (2)与垂直吗？证明你的结论． 【典例28】．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 一、单选题 1．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（    ） A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．两个面积相等的直角三角形全等 2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(  ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）    A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 4．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．E为BC中点 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（    ） A．40° B．50° C．70° D．71° 6．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的长为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 7．如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 8．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 9．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，，，，则 °． 12．如图，在与中，，，，，则 ． 13．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    14．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE= 15．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ． 16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝ ． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 ． 三、解答题 19．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 20．已知，如图， 中， 平分 ，，，垂足分别为E、F，且．求证： ． 21．如图，于E，于F，若，求证：平分． 22．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． (1)求证△AMB≌△CNA； (2)求证∠BAC＝90°． 23．已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：． 24．如图，在中， (1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）； (2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：． 25．如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 26．已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，E、F为垂足，再过点D作，交于点G，且． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 27．五边形中，，平分，，求证：． 28．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 29．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28讲 直角三角形全等的判定（五大题型） 学习目标 1、 学会直角三角形的“HL”判定定理； 2、 利用直角三角形的判定定理求解； 3、 掌直角三角形的判定定理证明。 1、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 2、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 【即学即练1】如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接根据即可证明． 【解析】解：在和中， ， ∴． 【即学即练2】如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 . 【答案】BD＝BC（或AD＝AC） 【分析】要利用HL判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，具备了一组斜边、一组角相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等． 【解析】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB， ∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD 故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【即学即练3】如图，，是上一点，过点作于点，且，如果，那么的长度为（　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明可得，再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【解析】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型1：直角三角形全等的判定 【典例1】．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可． 【解析】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意； D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可． 【解析】解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确； ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等，故②正确； ③两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故③错误； ④有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，因为该角不一定是两边的夹角，故④错误； ⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据判定它们全等．故⑤正确； ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形，可以根据判定它们全等．故⑥正确； 综上所述，错误的说法有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 【典例2】．下列命题中，假命题是（    ） A．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 D．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】A 【分析】本题主要考查真假命题以及两个直角三角形全等的判定，判定两个直角三角形全等的方法有：SSS、AAS、ASA、HL四种，对每个选项依次判定解答． 【解析】A、两直角相等，两个锐角对应相等，只有两个角相等，不能判定全等，选项是假命题，符合题意； B、两个直角对应相等、斜边及锐角对应相等，构成AAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意； C、两个直角对应相等、两条直角边对应相等，构成了SAS，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意； D、两个直角相等、一条直角边和斜边对应相等，构成了HL，能判定全等，选项说法是真命题，不符合题意． 故选：A． 【典例3】．下列结论中错误有（    ） ①两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等 ③两个锐角对应相等的两直角三角形全等 ④有两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等 ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等 A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可． 【解析】解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故①正确； ②两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等，故②正确； ③两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故③错误； ④有两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等，因为该角不一定是两边的夹角，故④错误； ⑤一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据判定它们全等．故⑤正确； ⑥两边及其中一边上的高对应相等的两三角形，可以根据判定它们全等．故⑥正确； 综上所述，错误的说法有2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 题型2：直角三角形全等的判定的条件或理由 【典例4】．如图，已知AC⊥BD，垂足为O，AO＝CO，AB＝CD，则可得到△AOB ≌△COD，理由是（　　） A．HL B．SAS C．ASA D．SSS 【答案】A 【分析】由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°，根据斜边直角边对应相等的两个直角三角形全等，可得答案． 【解析】解：由AC⊥BD，可得∠AOB=∠COD=90°， ∴△AOB和△COD是直角三角形， AO＝CO，AB＝CD，直角边和斜边对应相等， 所以用的是斜边和直角边对应相等的方法判定的△AOB ≌△COD， 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，准确掌握方法的适用情况是解题的关键． 【典例5】．如图，于点，于点，．要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【解析】解：∵CD⊥AB于点D，EF⊥AB于点F， ∴∠ADC＝∠BFE＝90°， ∵CD＝EF， ∴当添加AC＝BE时，根据“HL”判断Rt△ACD≌Rt△BEF． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 【典例6】．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，则的理由根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据AD是三角形的高，得到∠BDF=∠ADC=90°，故可根据HL可以判定． 【解析】∵AD是三角形的高， ∴∠BDF=∠ADC=90°， ∵BF=AC，FD=CD， ∴（HL）， 故选D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握高的意义和直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 【典例7】．如图，在ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论，一定成立的是（    ） A．BD＝AD B．∠B＝∠C C．AD＝CD D．∠BAD＝∠ACD 【答案】B 【分析】根据直角三角形全等的特殊判定方法（直角边斜边）得出，再由全等三角形的性质依次判断各选项即可得． 【解析】解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，，， 故选：B． 【点睛】题目主要考查直角三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【典例8】．如图，在△ABC中，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C．BD＝CD D．△ABC是等边三角形 【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的特殊判定方法（直角边斜边）得出再由全等三角形的性质依次判断各选项即可得． 【解析】解： 在与中， ∴ 故选项A、B、C成立，选项D不成立， 故选：D． 【点睛】题目主要考查直角三角形全等的判定定理和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 【典例9】．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　） A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 【答案】D 【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【解析】解：∵，， ∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 【典例10】．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．HL 【答案】D 【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN． 【解析】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°， ∴△OPM≌△OPN  所用的判定定理是HL． ​故选D. 【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决． 【典例11】．下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（　　） A．AB＝2cm，BC＝6cm，AC＝3cm B．BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90° C．∠A＝∠B＝∠C＝60° D．AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30° 【答案】B 【分析】根据三角形三边的关系对A进行判断；根据全等三角形的判定方法对B、C、D进行判断． 【解析】解：A、因为AB+AC＜BC，三条线段不能组成三角形，所以A选项不符合题意； B、BC＝3cm，AC＝5cm，∠B＝90°，根据直角三角形 可判断此三角形为唯一三角形，所以B选项符合题意； C、利用∠A＝∠B＝∠C＝60°根据 不能确定三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以C选项不符合题意； D、利用AB＝4cm，AC＝6cm，∠C＝30°根据 ，不能判断两个三角形全等，画出来的三角形不唯一，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法—— ， ， ， ． 题型3：利用直角三角形全等的判定求长度、角度、面积等 【典例12】．如图，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键．根据直角三角形全等的判定与性质，即可证明结论． 【解析】，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例13】．如图，已知，是的两条高线，，，则 度． 【答案】40 【分析】由，是的两条高线，得，证明，得，则，． 【解析】解：∵，是的两条高线， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 【典例14】．如图，点在上，，，．若．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，可得，即可求解． 【解析】解：， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【典例15】．如图，中，，是的角平分线，于点，若，，，则的周长是 【答案】24 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据角平分线的性质得出． 根据角平分线的性质得出，再证，推出，进而解答即可． 【解析】解：，是的角平分线，于点， ， 在和中， ， ， ， 的周长， 故答案为：． 【典例16】．如图，在中，是边上的高，E是边上一点，且，若，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 证明，则，根据的面积为，计算求解即可． 【解析】解：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：8． 【典例17】．如图，在中，于点D，若，则= ． 【答案】/9厘米 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证得得到是解题的关键．由条件可证明，则可求得，可求得答案． 【解析】解：， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：． 【典例18】．如图，是的角平分线，于E，点F、G分别是、上的点，且，与的面积分别是20和6，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，过点D作于点H，根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，则，再证明，得出，最后根据即可求解．解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形面积相等． 【解析】解：过点D作于点H， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 【典例19】．如图，已知：的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则 ． 【答案】2 【分析】连接，，证明，，根据，即可求得的长． 【解析】解：连接，， 是的平分线，，， ，，， 在和中， ， ∴， ， 是的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 题型4：直角三角形全等的判定的综合 【典例20】．如图，在中，，，，线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟，当运动时间为 秒时，和全等． 【答案】4或8 【分析】当运动时间为秒或8秒时，根据定理推出和全等，即可作答． 【解析】解：∵，， ∴， ①当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴ 所以运动时间为秒； ②当时， 在和中， ， ∴， ∵点P从点A运动到点C，点P的运动速度为每秒钟， ∴， 所以运动时间为秒； 综上：当运动时间为4秒或秒时，和全等． 故答案为：4或8 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有，，，，． 【典例21】．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B，下列四个结论正确的个数是（  ） ①PA=PB   ②PO平分∠APB   ③OA=OB   ④OP垂直平分AB． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质可得PA＝PB，然后依据HL证明Rt△AOP≌Rt△BOP，则OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，进而可得OP是AB的垂直平分线，则结论可一一判断． 【解析】解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA于A，PB⊥OB于B， ∴PA＝PB，故①正确； 在Rt△PAO和Rt△PBO中，， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）， ∴OA＝OB，∠OPA＝∠OPB，故②③正确； ∵OA＝OB，AP＝BP， ∴OP是AB的垂直平分线，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键． 【典例22】．如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可． 【解析】解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2（∠ABC+∠CPB）， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 【典例23】．如图，中，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分;④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；③若平分，则，从而得到为等边三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接、，然后证明，从而得到，从而可证明④． 【解析】解：如图所示：连接、． ①平分，，， ． ①正确． ②，平分， ． ， ． ，， ． 同理：． ． ②正确． ③由题意可知：． 假设平分，则， 又， ． ． 是否等于不知道， 不能判定平分， 故③错误． ④是的垂直平分线， ． 在和中 ， ． ． 又，， ． 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 题型5：直角三角形全等的判定的相关几何证明 【典例24】．如图，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用证明，即可得到结论． 【解析】证明：∵， 在和中， ∵，， ∴() ， ∴， ， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 【典例25】．如图，是的角平分线，、分别是和的高． (1)请说明的理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到，然后证明出即可得到； （2）由得到，然后代入求解即可． 【解析】（1）解：∵、分别是和的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【典例26】．如图所示，点M是线段上一点，是过点M的一条直线，连接，过点B作交于F，且． (1)若，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据题意证明，根据全等三角形的性质可得结果； （2）根据题意证明，根据全等三角形的性质可得结果． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理是解本题的关键． 【典例27】．如图，是的角平分线，，垂足分别是E，F，连接与相交于G点． (1)证明：； (2)与垂直吗？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)与垂直，证明见解析 【分析】（1）先利用角平分线的性质证明。再利用证明即可； （2）只需要证明得到即可得到答案； 【解析】（1）解：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：与垂直，证明如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 【典例28】．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)50° (3)见解析 【分析】(1)根据SAS可证得； （2）由，可得，故，即可得出的度数； （3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论． （1） 证明：∵． ∴． 在和中， ， ∴． （2） ∵， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故答案为：50°． （3） 证明：如图，连接AF，过点A作于点J． ∵， ∴，， ∵，． ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键． 一、单选题 1．下列关于两个直角三角形全等的判定，不正确的是（    ） A．斜边和一锐角分别相等的两个直角三角形全等 B．两条直角边分别相等的两个直角三角形全等 C．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 D．两个面积相等的直角三角形全等 【答案】D 【分析】此题需用排除法对每一个选项进行分析从而确定最终答案． 【解析】解：A、利用AAS来判定全等，不符合题意； B、利用SAS来判定全等，不符合题意； C、利用HL来判定全等，不符合题意； D、面积相等不一定能推出两直角三角形全等，没有相关判定方法对应，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题主要考查对全等三角形的判定方法，常用的判定方法有SSS、SAS、AAS、HL等． 2．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB=DE，添加下列选项中的条件，能用HL判定△ABC≌△DEF的是(  ) A．AC=DF B．∠B=∠E C．∠ACB=∠DFE D．BC=EF 【答案】D 【分析】根据判定定理即可得． 【解析】解：A、添加，需用定理判定，则此项不符题意； B、添加，需用定理判定，则此项不符题意； C、添加，需用定理判定，则此项不符题意； D、添加，能用定理判定，则此项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 3．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）    A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 【答案】D 【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【解析】解：∵，， ∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 4．如图，在和中，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．E为BC中点 【答案】D 【分析】首先证明，推出，，由，推出，推出，即可一一判断． 【解析】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故A、B、C正确， 故选：D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（    ） A．40° B．50° C．70° D．71° 【答案】C 【分析】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出 【解析】 根据题意： 在中 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 在中 ∴ 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用． 6．如图，中，，于点D，于点E，于点F，，则的长为（　　） A． B． C． D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键，先利用证明，得出，又，将代入即可求出的值． 【解析】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案 【解析】解：延长，作，，，    设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解题的关键． 8．如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是(    　)    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 【解析】解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 9．如图，在中，的角平分线与的垂直平分线交于点D，于点E，，交的延长线于点F．若，，则的长为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由是的垂直平分线，得,由是的平分线，，，得出,借助证出，由证出，从而有，即可得到，即可求出的长． 【解析】解：如图，连接，，    是的垂直平分线， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 10．如图，中，、的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，，．则下列结论中正确的个数（　　） ①BP平分；②；③；③． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】过P作PQ⊥AC于Q，根据角平分线的性质得出PQ=PN，PQ=PM，求出PQ=PM=PN，求出∠PMA=∠PNC=∠PQA=∠PQC=90°，根据全等三角形的判定得出Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，再逐个判断即可． 【解析】解：过P作PQ⊥AC于Q， ∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM=PQ，PQ=PN， ∴PM=PN， ∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确； ∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠PMA=∠PQA=90°，∠PQC=∠PNC=90°， 在Rt△PMA和Rt△PQA中， ， ∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL）， ∴∠MPA=∠QPA， 同理Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴∠QPC=∠NPC， ∵∠PMA=∠PNC=90°， ∴∠ABC+∠MPN=360°-90°-90°=180°， ∴∠ABC+2∠APC=180°，故②正确； ∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠FCA=∠ABC+∠CAB=2∠PCN， 又∵∠PCN=∠ABC+∠CPB， ∴∠ABC+∠CAB=2（∠ABC+∠CPB）， ∴∠CAB=2∠CPB，故③正确； ∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC， ∴S△PAC=S△MAP+S△NCP，故④正确； 即正确的个数是4， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和全等三角形的性质和判定，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 二、填空题 11．如图，，，，则 °． 【答案】25 【分析】先证明△ABC≌△ADC，得到∠DAC＝∠BAC，进一步求得∠DAC的度数，再求得∠DCA的度数即可． 【解析】解：∵， ∴△ABC和△ADC是直角三角形， ∵AC＝AC，， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）, ∴∠DAC＝∠BAC， ∵， ∴∠DAC＝∠BAD＝65°， ∴90°－∠DAC＝25°． 故答案为：25． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键． 12．如图，在与中，，，，，则 ． 【答案】40° 【分析】根据HL，可以证明，则，再根据余角的性质即可求出的度数． 【解析】解：在中， ， ∴ ∴， ∵， ∴， 故答案为：40° 【点睛】此题主要考查了直角三角形全等的判定，直角三角形两锐角互余的性质． 13．如图，，，，要根据“”证明，则还需要添加一个条件是 ．    【答案】或 【分析】根据垂直求出，在根据三角形全等的判定定理即可解答． 【解析】解：∵，， ∴， 在和中， 或， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，解题的关键是灵活运用全等三角形的判定定理进行推理并运用数学结合思想． 14．如图，点D、A、E在直线m上，AB=AC，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，则DE= 【答案】8 【分析】根据BD⊥m，CE⊥m，得∠BDA=∠CEA=90°，再结合已知AB=AC，BD=AE可推出Rt△ADB≌Rt△CEA，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果． 【解析】解：∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠BDA=∠CEA=90°， 在Rt△ADB和Rt△CEA中， ∵AB=AC，BD=AE， ∴Rt△ADB≌Rt△CEA（HL）， ∵BD=3，CE=5， ∴AE=BD=3，AD=CE=5， ∴DE= AD+ AE=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL判定直角三角形的全等是解题的关键． 15．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ． 【答案】2 【分析】根据HL证明，可得，根据即可求解． 【解析】解： AB⊥AD，CE⊥BD， ， 在与中， ， ， AD＝5，CD＝7， ，BD=CD＝7， 故答案为：2 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握HL证明三角形全等是解题的关键． 16．如图是由九个边长为1的小正方形拼成的大正方形，图中∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5的度数为 ． 【答案】225° 【分析】首先判定△ABC≌△AEF，△ABD≌△AEH，可得∠5=∠BCA，∠4=∠BDA，然后可得∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°，∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°，即可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的值． 【解析】解：如图所示： 在△ABC和△AEF中， ∴△ABC≌△AEF（SAS）， ∴∠5=∠BCA， ∴∠1+∠5=∠1+∠BCA=90°， 在Rt△ABD和Rt△AEH中， ∴Rt△ABD≌Rt△AEH（HL）， ∴∠4=∠BDA， ∴∠2+∠4=∠2+∠BDA=90°， ∵∠3=45°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=90°+90°+45°=225°． 故答案为：225°． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的性质：全等三角形对应角相等即可求解． 17．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一点F，连接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，则＝ ． 【答案】 【分析】在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H，先证明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再证明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，则，得S△AEF=S△GAC，设GD=BD=m，则CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，则，，得，于是得到问题的答案． 【解析】解：如图，在CD上取一点G，使GD=BD，连接AG，作EH⊥AB交BA的延长线于点H， ∵AD⊥BC于点D， ∴AG=AB，∠H=∠ADG=90° ∴∠AGD=∠B， ∵AE//BC， ∴∠EAH=∠B， ∴∠EAH=∠AGD， ∵AE=AB， ∴AE=AG， 在△AEH和△GAD中， ， ∴△AEH≌△GAD（AAS）， ∴EH=AD，AH=GD， 在Rt△EHF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL）， ∴FH=CD， ∴FH-AH=CD-GD， ∴AF=GC， ∴， ∴S△AEF=S△GAC， 设GD=BD=m，则CD=4BD=4m， ∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、有关面积比问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 18．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 ． 【答案】5 【分析】过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），得BE=CF，AE=AE，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF=DE=3，则CF=CD+DF=5，即可求解． 【解析】解：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：记交于点 则∠AFC=90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠AED=90°， ∵∠BDC=∠BAC， ∴∠ABE=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴BE=CF，AE=AF， 在Rt△ADF和Rt△ADE中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴DF=DE=3， ∴CF=CD+DF=5， ∴BE=CF=5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，正确作出辅助线，证明Rt△ADF≌Rt△ADE是解题的关键． 三、解答题 19．如图，已知，点P在上，，，垂足分别为D，E．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据题意，用AAS证明． 【解析】证明：∵， ∴为的角平分线， 又∵点P在上，，， ∴ 又∵（公共边）， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，利用合适的条件证明三角形全等是本题的关键． 20．已知，如图， 中， 平分 ，，，垂足分别为E、F，且．求证： ． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线性质得，根据（斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等）证明，，求出，即可得出证明． 【解析】证明： 平分 ， ， ， 在 和 中 （ ） ， 在 和 中 （） 【点睛】本题考查角平分线性质，全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键． 21．如图，于E，于F，若，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．先证明，可得，可证明，可得，即可求证． 【解析】证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 22．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN． (1)求证△AMB≌△CNA； (2)求证∠BAC＝90°． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意知∠AMB＝∠CNA＝90°，证明即可； （2）由，可知∠BAM＝∠ACN，根据∠CAN+∠ACN＝90°，可得∠CAN+∠BAM＝90°，进而结论得证． 【解析】（1）证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l， ∴∠AMB＝∠CNA＝90°， 在和中， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴∠BAM＝∠ACN， ∵∠CAN+∠ACN＝90°， ∴∠CAN+∠BAM＝90°， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23．已知：如图，在中，，为的外角平分线，交的延长线于点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】作交的延长线于点；构造，通过转化线段得出结论； 【解析】证明：如图，作交的延长线于点； ∵ ∴ ∵为的外角平分线； ∴ 在和中 ∴ ∴  ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键． 24．如图，在中， (1)用直尺和圆规作的平分线，交边于点（不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点）； (2)如果在（1）条件下点是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可； （2）作交于点；作交于点；构造；即可得出结论； 【解析】（1）解：作图如下： （2）证明：如图，作交于点；作交于点； 由（1）可知：平分 ∴ ∵点是的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 25．如图，在与中，，，与交于点F，且， 求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据AAS证明即可； （2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可． 【解析】（1）∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴ ∴ （2）解法一：连接 ∵ ∴ 在与中 ， ∴ ∴， ∴， 即 解法二：连接 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、和；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等． 26．已知：如图，点D是的边上的一点，过点D作，，E、F为垂足，再过点D作，交于点G，且． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，先根据，且， 可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先证明，再根据全等三角形的性质可得出，结合，故可得出垂直平分． 【解析】（1）证明：连接． ∵，且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，连接， ∵，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定及线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 27．五边形中，，平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接，过点A作，根据全等三角形的判定分别证明，，，然后再由其性质即可证明． 【解析】解：如图所示，在上截取，连接，过点A作， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线，运用全等三角形的判定和性质是解题关键． 28．在中，． （1）如图1、求证：： （2）如图2，D为AB上一点，连接CD，E为CD中点，过点E作于点E，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，连接AF，若AF∥BC，FH=4，CH=20，BD=10，求的面积 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30 【分析】（1）过点A作于点，只需要证明即可得到答案； （2）只需要证明即可得到答案； （3）过点作延长线于点，然后证明， ，然后计算求解即可得到答案. 【解析】解：（1）证明：过点A作于点， ， ， 在和中， （2）证明： ， ， 为中点， 在和中， （3）过点作延长线于点， ， ， ， ， 在和中， 在和中， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形的面积公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定. 29．已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析； (2)结论成立，证明见解析 (3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析 【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论； （2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论． 【解析】（1）证明：①∵平分，， ∴，． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （2）∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （3）②的结论不成立，结论为：，理由如下： ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 50 页 共 53 页 学科网（北京）股份有限公司 $$