第31讲 勾股定理（第2课时）(一类知识点+九大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪教版）

第31讲 勾股定理（第2课时）（九大题型） 学习目标 1、 学会利用勾股定理解决实际问题； 2、 在实际问题中建立数学模型。 一、应用勾股定理解决实际问题 （1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。 （2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。 （3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。 （4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。 （5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。 （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短问题。 【即学即练1】如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【即学即练2】如图，点B到数轴的距离为1，，则数轴上点C所表示的数为（  ） A． B． C． D． 【即学即练3】如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【即学即练4】如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm 题型1：应用勾股定理表示无理数 【典例1】．如图作图所示，点A所表示的数为x，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 【典例2】．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1 题型2：河宽问题 【典例3】．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 题型3：筷子问题 【典例4】．如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是6，高是16，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：折断问题 【典例5】．如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈（一丈＝10尺），折断后，其竹稍恰好抵地（地面水平），抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是（    ） A．8尺 B．尺 C．尺 D．2尺 题型5：旗杆问题 【典例6】．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（    ）． A． B． C． D． 【典例7】．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ） A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22 题型6：飞行问题 【典例8】．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．13米 题型7：航海问题 【典例9】．如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB=30海里，则乙轮船每小时航行（   ） A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里 【典例10】．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛A，乙客轮沿着南偏东的方向航行，到达小岛B．则A，B两岛的距离为（    ）． A．30 B．40 C．50 D．60 题型8：地毯、楼梯问题 【典例11】．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ） A． B． C． D． 【典例12】．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 题型9：最短距离问题 【典例13】．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（　　　） A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm 【典例14】．如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（    ） A． B． C． D．无法确定 【典例15】．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S，若，底面半径为2，取3，求点P移动的最短距离为（    ） A．8 B．10 C． D． 【典例16】．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1． 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为（　　）米．    A．1+ B．1+ C．2-1 D．3 2．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 3．如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 4．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm 5．如图，一架长25米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，梯底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那么梯子底端将向左滑动（　　）米． A．4 B．6 C．8 D．10 6．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 7．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 8．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（    ） A． B． C． D． 9．在A地有甲、乙两支部队，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B处和C处，则BC之间的距离为（    ）千米. A．80 B．60 C．100 D．120 10．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（   ） A． B． C． D．10 二、填空题 11．如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ． 12．如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 13．在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为 米． 14．如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ． 15．如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是 海里． 16．如图， 圆柱形容器中，高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 (容器厚度忽略不计)． 17．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 18．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 三、解答题 19．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    20．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 21．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 23．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 24．（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第31讲 勾股定理（第2课时）（九大题型） 学习目标 1、 学会利用勾股定理解决实际问题； 2、 在实际问题中建立数学模型。 一、应用勾股定理解决实际问题 （1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。 （2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。 （3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。 （4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。 （5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。 （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短问题。 【即学即练1】如图，一棵大树被风吹断后，树尖落在距树脚8米远，大树折断处离地面6米，则大树高（    ） A．6米 B．10米 C．16米 D．18米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理求得长即可． 【解析】解： 如图，根据题意，得米，米，， 则， ∴米， ∴大树高（米）， 故选：C． 【即学即练2】如图，点B到数轴的距离为1，，则数轴上点C所表示的数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，利用勾股定理求出的值为解决本题的关键． 可利用勾股定理求出的值，即可得到答案． 【解析】解：由勾股定理可知： ， 即， 为数轴上的， 数轴上点表示的数为． 故选：B． 【即学即练3】如图，是台阶的模型图．已知每个台阶的宽度都是2cm，每个台阶的高度都是1cm，连接，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可得出结论． 【解析】如图，由题意得， ， 故． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【即学即练4】如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解． 【解析】解：如图， 根据题意得：BC=10cm，AB= cm，CE=2cm， ∴BE=BC-CE=8cm， 在 中，由勾股定理得： ， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键． 题型1：应用勾股定理表示无理数 【典例1】．如图作图所示，点A所表示的数为x，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 【答案】D 【分析】由勾股定理求出OB,进而求得OA的长即可． 【解析】解：∵△OBC是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴OB＝， ∴OA＝﹣． ∴点A表示的数为：﹣． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解勾股定理是解答本题的关键． 【典例2】．如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（    ） A．2﹣1 B．2 C．2.8 D．2+1 【答案】A 【分析】根据题意得，，，则是直角三角形，根据勾股定理得，得，即可得． 【解析】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理． 题型2：河宽问题 【典例3】．如图，原来从A村到B村，需要沿路A→C→B（）绕过两地间的一片湖，在A， B间建好桥后，就可直接从A村到B村．已知，，那么，建好桥后从 A村到B村比原来减少的路程为（ ） A．2km B．4km C．10 km D．14 km 【答案】B 【分析】直接利用勾股定理得出的长，进而得出答案． 【解析】解：由题意可得： 则打通隧道后从A村到B村比原来减少的路程为：（km）． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出的长是解题关键． 题型3：筷子问题 【典例4】．如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是6，高是16，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长24的直吸管露在杯外部分a的长度（杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对两种临界点的情况进行讨论：①当吸管底部在点B时，吸管露在杯外部分a的长度最短；②当吸管底部在点C时，吸管露在杯外部分a的长度最长；分别求解即可得答案． 【解析】如图，①当吸管底部在点B时，吸管露在杯外部分a的长度最短， 此时，， 在中，， 或（不符合题意，舍去）； ②当吸管底部在点C时，吸管露在杯外部分a的长度最长， 此时，； 故直吸管露在杯外部分a的长度范围是：； 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意、熟练运用勾股定理是解答此题的关键． 题型4：折断问题 【典例5】．如图，一根竖直生长的竹子，原高一丈（一丈＝10尺），折断后，其竹稍恰好抵地（地面水平），抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是（    ） A．8尺 B．尺 C．尺 D．2尺 【答案】C 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可． 【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺， 根据勾股定理得：x2+62=（10-x）2． 解得 ∴折断处离地面的高度为尺． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 题型5：旗杆问题 【典例6】．如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离CD长为2m，点D到旗杆AB的水平距离为8m，若设旗杆的高度AB长为xm，则根据题意所列的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点作于点，在中，根据列出方程即可． 【解析】如图，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 设旗杆的高度AB长为x，则，， 在中， ， 即． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 【典例7】．《九章算术》是我国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文是：今有户不知高、广，从之不出二尺，斜之适出，不知其高、宽，有竿，竿比门宽长出4尺；竖放；斜放，竿与门对角线恰好相等问．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程（ ） A．x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 B．2x2＝（x﹣4）2＋（x﹣2）2 C．x2＝42＋（x﹣2）2 D．x2＝（x﹣4）2＋22 【答案】A 【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长． 【解析】解：根据勾股定理可得： x2=（x-4）2+（x-2）2， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般． 题型6：飞行问题 【典例8】．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　） A．6米 B．8米 C．10米 D．13米 【答案】D 【分析】根据勾股定理解答即可. 【解析】如图， AC=米. 故选D. 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 题型7：航海问题 【典例9】．如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB=30海里，则乙轮船每小时航行（   ） A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里 【答案】A 【分析】根据题目提供的方位角判定AO⊥BO，然后根据甲轮船的速度和行驶时间求得OB的长，利用勾股定理求得OA的长，除以时间即得到乙轮船的行驶速度． 【解析】解：∵甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， ∴AO⊥BO， ∵甲轮船以16海里/小时的速度航行了一个半小时， ∴OB=16×1.5=24海里，AB=30海里， ∴在Rt△AOB中，AO= =18（海里）， ∴乙轮船每小时航行18÷1.5=12海里． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是根据题目提供的方位角判定直角三角形． 【典例10】．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮沿着北偏东的方向航行，后到达小岛A，乙客轮沿着南偏东的方向航行，到达小岛B．则A，B两岛的距离为（    ）． A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】由题意得，km，km，根据勾股定理可得，即可得出答案． 【解析】解：如图， 由题意得，，， ， km，km， km． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角问题、勾股定理，能够正确标注方向角是解答本题的关键． 题型8：地毯、楼梯问题 【典例11】．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【解析】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度==12， ∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， 地毯的长度至少是12+5=17（米）． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性． 【典例12】．如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【解析】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 题型9：最短距离问题 【典例13】．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点开始经过个侧面缠绕一圈到达，那么用细线最短需要（　　　） A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm 【答案】B 【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理求出所需结果． 【解析】 解：如图，将长方体展开，连接A、B′， 则AA′＝1＋3＋1＋3＝8（cm）， A′B′＝6cm， 根据两点之间线段最短，由勾股定理得：AB′2＝AA′2+A′B′2＝82＋62＝102cm， 所以AB′＝10 cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，本题的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，构造直角三角形运用勾股定理解决． 【典例14】．如图，一圆柱高，底面半径，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程（取3）是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据两点之间，线段最短．先将图形展开，再根据勾股定理可知． 【解析】解：如图所示： 可以把A和B展开到一个平面内， 即圆柱的半个侧面是矩形： 矩形的长BC==2π=6，矩形的宽AC=8， 在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6， 根据勾股定理得：AB=≈10． 故选A． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，要求不在同一个平面内的两点之间的最短距离，需要把两个点展开到一个平面内，再计算． 【典例15】．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点S，若，底面半径为2，取3，求点P移动的最短距离为（    ） A．8 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出点P移动的最短距离的长度即可． 【解析】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为的长度， ∵，的中点S， ∴， 在中，，，， ∴， 即点P移动的最短距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是的长度是解答的关键． 【典例16】．如图，在长方体盒子中，已知，长为的细直木棒恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面接触，当木棒的端点I在长方形内及边界运动时，长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当最大时，最小，当I运动到点A时，最大，根据勾股定理求解即可． 【解析】解：当最大时，最小，当I运动到点A时，最大， 此时， 而， ∴， ∴长度的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的最大值是解题的关键． 一、单选题 1． 如图所示，一场台风过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B 恰好碰到地面，经测量AB=2，则树高为（　　）米．    A．1+ B．1+ C．2-1 D．3 【答案】A 【分析】根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案． 【解析】解：由题意得：在直角△ABC中， AC2+AB2=BC2， 则12+22=BC2， ∴BC=， ∴树高为：（1+）m． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键． 2．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的．则这根芦苇的长度是（　　） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，可知边长为10尺的正方形，则＝5尺，设出AB＝＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理列出方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长. 【解析】解：设芦苇长AB＝＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺， 因为边长为10尺的正方形，所以＝5尺 在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2， 解之得x＝13， 即芦苇长13尺． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用数形结合的解题思想是解题关键. 3．如图，在数轴上点表示的实数是（　　）    A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径即可求解． 【解析】解：设原点表示的点为， 由图可得：， ∵， ∴点表示的实数是， 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与无理数．注意计算的准确性． 4．如图，有一个圆柱形玻璃杯，高为10cm，底而周长为12cm，在圆柱的下底面的内壁A处有一只蚂蚁，它想吃到在杯内离杯上沿2cm的点E处的一滴蜂蜜，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（　　） A．2cm B．2cm C．4cm D．10cm 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理，即可求解． 【解析】解：如图， 根据题意得：BC=10cm，AB= cm，CE=2cm， ∴BE=BC-CE=8cm， 在 中，由勾股定理得： ， 即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离10cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，画出图形是解题的关键． 5．如图，一架长25米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，梯底端离墙7米，若梯子顶端下滑4米至C点，那么梯子底端将向左滑动（　　）米． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端将向左滑动的距离． 【解析】解：由题意可得：BE＝7m，AB＝25m， 则AE＝＝24（m）， ∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20（米）， ∴BD+BE＝DE＝＝15（m）， ∴DB＝15﹣7＝8（米），即梯子底端将向左滑动8米． 故选：C． 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质特点. 6．如图，城南大道的同一侧有A、B两个社区，于C，于D，C、D两点相距，已知．现要在CD上建一个社区服务站E，使得A、B两社区到E站的距离相等，则的长是（    ）． A．2 B．3.3 C．2.5 D．2.8 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理分别可得，然后根据建立方程，解方程即可得． 【解析】解：由题意，设，则， ， ， 、两社区到站的距离相等， ， ，即， 解得， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 7．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分b最短，此时本题就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分b最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出． 【解析】解：如图， 当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短， 此时b就是圆柱形的高， 即b＝12； ∴a＝16﹣12＝4， 当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长， b13， ∴此时a＝3， 所以3≤a≤4． 故选：B． 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键． 8．一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为、、，和是这个台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解析】如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为(2+3)×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：=+=， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题以及勾股定理的应用，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 9．在A地有甲、乙两支部队，接到命令后分别沿着东北方向与西北方向参加长江大堤的抗洪抢险.行进的速度都为每小时60千米，结果甲、乙两支部队分别用了1小时和1小时20分赶到指定的地点B处和C处，则BC之间的距离为（    ）千米. A．80 B．60 C．100 D．120 【答案】C 【分析】由题意可判断CA⊥BA，再根据勾股定理即可求解. 【解析】解：如图，由题意得：CA⊥BA，且BA=60km，CA=60×=80km， 所以在Rt△ABC中，(km)， 故选C. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解题时从实际问题中得出直角三角形是求解的关键. 10．如图所示，在长方形中，，若将长方形沿折叠，使点C落在边上的点F处，则线段的长为（   ） A． B． C． D．10 【答案】C 【分析】设要求的线段的长为x，根据翻折的性质得到DF的长，并根据勾股定理求出AF的长，在直角三角形BEF中将三边用含有x的式子进行表示，并用勾股定理求解即可. 【解析】解：如图所示： 设长为x，， （翻折）， ， 根据勾股定理可得： ， ， ， ∴在中， ， ， ， ， ， 长为． 故选C. 【点睛】本题主要考察勾股定理得应用，利用轴对称的性质和勾股定理在直角三角形BEF中建立三边长的等量关系，形成方程求解即可得到CE的长. 二、填空题 11．如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值． 【解析】解：由图可得，， 表示的数比表示的数小， ， ， ， ， 的值最接近的整数是， 故答案为：． 12．如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理可直接求解． 【解析】由题意知，，， 在中，由勾股定理得， ， 即地面钢缆到电线杆底部的距离是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键． 13．在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为 米． 【答案】 【分析】根据题意可知，利用勾股定理求出的长即可． 【解析】解：∵在水塔O的东北方向32米处有一抽水站A，在水塔的东南方向24米处有一建筑工地B， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，方位角，灵活运用所学知识是解题的关键． 14．如图是一块长、宽、高分别为4cm、2cm和1cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体木块的表面爬到长方体木块上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是 ． 【答案】5cm 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线． （1）展开前面右面由勾股定理得AB2＝（2+4）2+12＝37； （2）展开左面上面由勾股定理得AB2＝（1+4）2+22＝29； （3）展开前面上面由勾股定理得AB2＝（2+1）2+42＝25． 所以最短路径的长为AB＝＝5cm． 故答案为：5cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．注意在三种不同的情况，要一一求得再比较． 15．如图，在渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是 海里． 【答案】 【分析】过点B作BN⊥AM于点N，由已知可求得BN的长；再根据勾股定理求BM的长． 【解析】解：由已知得，AB=×28=14海里，∠MAB=30°，∠ABM=105°． 过点B作BN⊥AM于点N． ∵在直角△ABN中，∠BAN=30° ∴BN=AB=7海里． 在直角△BNM中，∠MBN=45°， 则直角△BNM是等腰直角三角形． 即BN=MN=7海里， ∴BM=（海里）． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、掌握勾股定理是解题的关键． 16．如图， 圆柱形容器中，高为底面周长为在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 (容器厚度忽略不计)． 【答案】15 【分析】如图，将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，过A′作A′D⊥BC交BC的延长线于D，则四边形A′ECD为矩形，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离． ∵高为8cm，底面周长为24cm，在容器内壁离容器底部2cm的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处， ∴A′D＝12cm，BD＝BC+CD＝BC+EA′＝8－2＋3＝9cm， ∴在直角△A′DB中，A′B＝cm， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了平面展开−−−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 17．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的．下图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场U型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点E在上，．一名滑雪爱好者从点A滑到点E，他滑行的最短路线长为 m． 【答案】 【分析】根据题意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，线段AE即为滑行的最短路线长．在R t△ADE中，根据勾股定理即可求出滑行的最短路线长． 【解析】解：如图， 根据题意可知： AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20， 线段AE即为滑行的最短路线长． 在Tt△ADE中，根据勾股定理，得 AE＝（m）． 故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解决本题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求最短距离． 18．如图，小明家（A）在小亮家（B）的正北方，某日，小明与小亮约好去图书馆（D），一小明行走的路线是A→C→D，小亮行走的路线是B→C→D，已知，，，，已知小明骑自行车速度为a km/分钟，小亮走路，速度为0.1km分钟。小亮出发20分钟后小明再出发，若小明在路上遇到小亮，则带上小亮一起去图书馆，为了使小亮能坐上小明的顺风车，则a的取值范围是 。 【答案】 【分析】先根据勾股定理得出AC的长，再根据时间、路程、速度之间的关系分别求出小明、小亮同时到达C和D时a的值，即可得出而答案 【解析】解：在Rt中，，，， ∴ 小亮到C所用时间(分); 小亮到D所用时间(分) ∴小明、小亮同时到达C时， 小明、小亮同时到达D时， ∴a的取值范围是： 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，以及路程问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键 三、解答题 19．如图，湖的两岸有两棵景观树，在与垂直的方向上取一点，测得米，米．求两棵景观树之间的距离．    【答案】两棵景观树之间的距离是12米 【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可． 【解析】解：在Rt中，由勾股定理，得： ， （米）． 答：两棵景观树之间的距离是12米． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理． 20．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1)9.5m (2)不能成功． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【解析】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩7m， ∴， ∴不能上升12m，即不能成功． 21．一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全． 【答案】(1)这架梯子的顶端离地面2.4m； (2)此时使用不安全 【分析】（1）利用勾股定理求解； （2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可． 【解析】（1）解：由题意可知 在中，，，， ∴由勾股定理可得，， 即， ∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m； （2）解：如图所示，，则在中，，， ∴由勾股定理可得，， ∴可得， ∴此时使用不安全． ． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键． 22．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为21.6米 (2)他应该往回收线8米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【解析】（1）解：由题意得：， 在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米)， 答：风筝的高度为21.6米； （2）解：由题意得，米， 米， （米)， （米)， 他应该往回收线8米． 23．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地，河边有两个景点 、其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（、、三点在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求原路线的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)原来的路线的长为千米 【分析】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）根据勾股定理解答即可 【解析】（1）是直角三角形， 理由是：在中， ∵， ∴ ∴是直角三角形且； （2）设千米，则 千米， 在中，由已知得， 由勾股定理得：， ∴ 解这个方程，得， 答：原来的路线的长为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题关键 24．（1）请你在图1中画一个边长为的正方形，要求所画正方形的顶点都在格点上； （2）如图2，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且，则点E所表示的数为 ； （3）以图1中1个方格的边长为单位1，画出数轴，然后在数轴上表示和． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）点D所表示的数为，点E所表示的数为 【分析】（1）可看作是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，再结合正方形的性质画图即可． （2）由题意可得，由数轴的定义可知点E所表示的数为． （3）由题意画出数轴，在数轴上取点A，使点A表示的数为2，作直角三角形，使，则，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交数轴于点D，E，则点D所表示的数为，点E所表示的数为． 本题考查了无理数与勾股定理，数轴与实数，勾股定理与网格，在数轴上表示实数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】解：（1）如图1，正方形即为所求． （2）∵正方形的面积为7， ∴正方形的边长为， 即， ∴， ∵点A表示的数为， ∴点E所表示的数为 故答案为：． （3）如图，点D所表示的数为，点E所表示的数为． 25．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【解析】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 36 页 共 36 页 学科网（北京）股份有限公司 $$