第13期 圆锥曲线核心素养综合测评-【数理报】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册同步学案（北师大版2019）

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第Ⅰ卷 选择题 （共５８分） 一、单项选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．（２０２４济南模拟）椭圆ｘ ２ ５＋ｙ ２ ＝１的焦点坐标是 （　　） （Ａ）（±槡６，０） （Ｂ）（±２，０） （Ｃ）（０，±槡６） （Ｄ）（０，±２） ２．（２０２４河北石家庄期中）双曲线ｘ ２ ａ－ｙ ２＝１（ａ＞０）的右焦点是（３， ０），则实数ａ＝ （　　） （Ａ）８ （Ｂ）４ （Ｃ）１０ （Ｄ）２ ３．（２０２４山东潍坊一模）已知抛物线Ｃ：ｘ２＝ｙ上点Ｍ的纵坐标为１，则 Ｍ到Ｃ的焦点的距离为 （　　） （Ａ）１ （Ｂ）５４ （Ｃ） ３ ２ （Ｄ）２ ４．（２０２４江西模拟预测）椭圆Ｃ：ｘ ２ ８０＋ ｙ２ ３５＝１的长轴长与焦距之差等 于 （　　） （Ａ）槡５ （Ｂ）槡２５ （Ｃ）槡２６ （Ｄ）槡３６ ５．（２０２４陕西西安一模）已知双曲线ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的一 条渐近线经过点Ｐ（３，－９），则该双曲线的离心率为 （　　） （Ａ）槡１０ （Ｂ）３ （Ｃ）槡２２ （Ｄ）槡７ ６．（２０２４湖北期中）若抛物线ｙ２＝４ｘ的弦ＡＢ (中点坐标为 １， )１２ ，则 直线ＡＢ的斜率为 （　　） （Ａ）－４ （Ｂ）４ （Ｃ）－２ （Ｄ）２ ７．（２０２４模拟预测）在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形 状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种 形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔．图１为某机场的 一个飞船库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系 ｘＯｙ 中，如图２．已知该飞船库的底面宽度约为９６ｍ，高度约为６０ｍ，则此纵截 面所在抛物线的方程为 （　　） （Ａ）ｘ２ ＝－７５２ｙ （Ｂ）ｘ ２ ＝－９６５ｙ （Ｃ）ｘ２ ＝－１９２５ｙ （Ｄ）ｘ ２ ＝－７５ｙ ８．（２０２４山西太原期中）已知椭圆Ｃ：ｘ ２ ９＋ ｙ２ ５ ＝１的左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，点Ｍ在Ｃ上，点Ｎ的坐标为（３，槡５），则｜ＭＮ｜＋｜ＭＦ１｜的取值范围 为 （　　） （Ａ）［４＋槡６，６＋槡６］ （Ｂ）［６＋槡６，９＋槡６］ （Ｃ）［槡３０，４＋槡６］ （Ｄ）［槡３０，６＋槡６］ 二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得６分，部分选对的得部分分， 有选错的得０分． ９．（２０２４重庆八中模拟预测）如图３所示，用一个与圆柱底面成 (θ ０ ＜θ＜π )２ 角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为２， θ＝π３，则 （　　） （Ａ）椭圆的长轴长等于４ （Ｂ）椭圆的离心率为槡３２ （Ｃ）椭圆的标准方程可以是ｙ ２ １６＋ ｘ２ ４ ＝１ （Ｄ）椭圆上的点到焦点的距离的最小值为４－ 槡２３ １０．（２０２４山西模拟预测）已知抛物线Ｃ：ｙ２＝４ｘ的焦点为Ｆ，点Ｍ（ｘ０， ｙ０）在Ｃ上，若∠ＭＯＦ＝４５°（Ｏ为坐标原点），则 （　　） （Ａ）ｘ０ ＝４ （Ｂ）ｙ０ ＝４ （Ｃ）｜ＭＦ｜＝５ （Ｄ）ｃｏｓ∠ＯＦＭ ＝ ３５ １１．（２０２４威海期末）过双曲线Ｅ：ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的右焦 点Ｆ作渐近线的垂线，交ｙ轴于点Ｐ，垂足为点Ｍ，若 →ＭＦ＝２→ＰＭ，则 （　　） （Ａ）直线ＦＰ与圆ｘ２＋ｙ２ ＝ａ２相切 （Ｂ）Ｅ与ｘ ２ ２ｂ２ ＋ｙ ２ ａ２ ＝１有相同的焦点 （Ｃ）Ｅ的渐近线方程为ｙ＝±槡２２ｘ （Ｄ）Ｅ的离心率为槡３ 第Ⅱ卷 非选择题 （共９２分） 三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分． １２．（２０２４广东深圳市第七高级中学期末）若椭圆ｘ ２ ｍ＋ ｙ２ ４ ＝１的一个 焦点为（０，－１），则ｍ的值为 ． １３．（２０２４山东省实验中学诊断）若抛物线 ｙ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）上的点 Ａ（ｘ０，－３）到其焦点的距离是Ａ到ｙ轴距离的２倍，则ｐ＝ ． １４．（２０２４四川广元阶段测试）三等分角是“古 希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利 用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图４，在圆Ｄ中， ＡＢ为其一条弦，∠ＡＤＢ＝１２０°，Ｃ，Ｏ是弦ＡＢ的两个 三等分点，以Ａ为左焦点，Ｂ，Ｃ为顶点作双曲线Ｔ．设 双曲线Ｔ与弧ＡＢ的交点为Ｅ，则∠ＡＤＥ＝１３∠ＡＤＢ ＝４０°．若Ｔ的方程为ｘ ２ ａ２ －ｙ ２ ４ ＝１（ａ＞０），则圆Ｄ的半径为 ． 四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤． １５．（１３分）设点Ｐ（ｘ，ｙ）（ｙ≥０）为平面直角坐标系ｘＯｙ内的一个动点（其 中Ｏ为坐标原点），点Ｐ到定点 (Ｍ ０， )１２ 的距离比点Ｐ到ｘ轴的距离大１２． （１）求点Ｐ的轨迹方程； （２）若直线ｌ：ｙ＝ｋｘ＋１与点Ｐ的轨迹相交于Ａ，Ｂ两点，且｜ＡＢ｜＝ 槡２６，求实数ｋ的值． ! " # ! ! ! ! ! ! ! ! ! $ % # ! ! ! ! ! ! ! ! ! & ' # ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # ( ) * ! " + $ % + & ' $ # ( , - . / 0 1 2 3 4 . % # ( 5 ) 6 7 8 9 : - ; 8 < = 7 > ! " # $ 名 师 名 卷 ? @ A %& !!"# ' & ( !" )(* $&$' + "& , ! - !"#$ !"#$%&'()*+,- ! BCDE#FGHIJK ! BLDE#FGHJMNOPQRST FGHJUVWXYZ[\ ! ]^DE#_`ab ! bc#def ! ghijkl]^m'# ()"'*&+&+, n - o ! pqr'# $"*"#$ ! " # $ % & ' ( ! % ! ! % ! $ % ! " ! $ 书 １６．（１５分）Ｐ（ｘ，ｙ）是双曲线Ｃ：ｘ ２ ４－ｙ ２ ＝１上任意一点． （１）求证：点Ｐ到双曲线Ｃ的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （２）已知Ａ（３，０），求｜ＰＡ｜的最小值． １７．（１５分）（２０２４四川攀枝花市第三高级中学校阶段练习）已知椭圆 Ｃ的两焦点分别为Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｐ为椭圆上一点，且２｜Ｆ１Ｆ２｜＝ ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜． （１）求椭圆Ｃ的标准方程； （２）若点Ｐ在第二象限，∠Ｆ１ＰＦ２ ＝１２０°，求△ＰＦ１Ｆ２的面积． １８．（１７分）已知双曲线 Ｃ：ｙ ２ ａ２ －ｘ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的离心率为 槡１０ ３ ，抛物线Ｄ：ｙ ２ ＝２ｐｘ（ｐ＞０）的焦点为Ｆ，准线为ｌ，ｌ交Ｃ的两条渐近 线于Ｍ，Ｎ两点，△ＭＦＮ的面积为１２． （１）求双曲线Ｃ的渐近线方程； （２）求抛物线Ｄ的方程． １９．（１７分）已知椭圆Ｃ：ｘ ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１（ａ＞ｂ＞０）的焦点和上顶点分 别为Ｆ１，Ｆ２，Ｂ，我们称△Ｆ１ＢＦ２为椭圆Ｃ的特征三角形，如果两个椭圆的特 征三角形是相似三角形，则称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的 相似比即为“相似椭圆”的相似比．已知椭圆Ｃ１： ｘ２ ａ２ ＋ｙ ２ ｂ２ ＝１以抛物线ｙ２ ＝ 槡４３ｘ的焦点为一个焦点，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为４． （１）若椭圆Ｃ２与椭圆Ｃ１相似，且相似比为２，求椭圆Ｃ２的方程； （２）已知点Ｐ（０，２），点Ａ是椭圆Ｃ１上的任意一点，点Ｂ是点Ａ关于原 点的对称点．记 →ｙ＝ＰＡ·→ＰＢ，求ｙ的取值范围； （３）已知直线ｌ：ｙ＝ｘ＋１，与椭圆Ｃ１相似且短半轴长为ｂ的椭圆为Ｃｂ， 是否存在这样的ｂ，使得椭圆Ｃｂ上存在两点Ｍ，Ｎ关于直线ｌ对称，若存在， 请求出ｂ的范围；若不存在，请说明理由． " ! !'()* ! +,-./% $%#!&#'(!'#) ! 0123%456789:;<=>? !%' @AB1CDEAF+,- ! GH+I% $%$$$) ! 9J-K1LM% $%#! !#'(!!'# $%#! !#'(!'%( NOPQ ! RSTUV019J-3WXYZ[\G]N^Q ! 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