第16期 5.1 函数与它的表示法（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书 上期３，４版 一、１．Ｃ；　２．Ｂ； ３．Ｄ；　４．Ｃ；　５．Ｄ； ６．Ｃ；　７．Ｂ；　８．Ｄ． 二、９．４５；　１０．５．４； １１．３；　１２．１１１； １３．３０°； １４． 槡３ １０５ 或 槡９ １０ ５ ． 三、１５．ｘ１＝－３，ｘ２＝２． １６．（１）ＢＤ的长为１２． （２）ｔａｎＣ的值为 ３２． １７．（１）ｋ≤ －１２． （２）由根与系数的关 系，得ｘ１＋ｘ２＝２ｋ，ｘ１ｘ２＝ ｋ２＋２ｋ＋１．因为（２ｘ１ ＋ １）（２ｘ２＋１） ＝２１，所以 ４ｘ１ｘ２＋２（ｘ１＋ｘ２）＋１＝ ２１，所以４（ｋ２＋２ｋ＋１）＋４ｋ ＝２０．即ｋ２＋３ｋ－４＝０，解 得ｋ１＝１，ｋ２ ＝－４．因为ｋ ≤－１２，所以ｋ的值为 －４． １８．延长 ＭＥ交 ＣＤ于 点Ｎ，由题意得ＡＭ＝ＥＦ＝ ＣＮ＝１．５米，ＭＥ＝ＥＮ＝ １ ２ＭＮ，∠ＢＥＭ＝∠ＤＭＮ， ∠ＢＭＥ＝∠ＤＮＭ ＝９０°， 所以△ＢＭＥ∽△ＤＮＭ，所 以 ＢＭ ＤＮ ＝ ＭＥ ＭＮ．因为 ＡＢ＝ ７米，所以 ＢＭ ＝ＡＢ－ＡＭ ＝５．５（米），所以５．５ＤＮ － １ ２ＭＮ ＭＮ ＝ １ ２，解得 ＤＮ＝ １１，所以ＣＤ＝ＣＮ＋ＤＮ＝ １２．５（米）． 答：大楼ＣＤ的高度为 １２．５米． １９．（１）进馆人次的月 平均增长率为５０％． （２）校图书馆能接待 第四个月的进馆人次． ２０．（１）ＡＤ 的 长 为 槡３２． （２）证明：因为 ＡＥ平 分 ∠ＢＡＣ，所以 ∠ＣＡＥ＝ ∠ＥＡＢ， 因 为 ＣＤ 平 分 ∠ＡＣＢ，所 以 ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＢＣＤ，因为 ∠ＢＣＤ ＝ ∠ＢＡＤ，所 以 ∠ＡＣＤ ＝ ∠ＢＡＤ， 所 以 ∠ＡＣＤ ＋ ∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＤ＋∠ＥＡＢ， 所以 ∠ＥＡＤ＝∠ＡＥＤ，所 以ＤＥ＝ＤＡ． ２１．证明：（１）在平行 四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ， 所以∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ．因为 ＢＤ 平 分 ∠ＡＢＣ， 所 以 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＤ，所 以 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．因为ＡＢ２ ＝ＢＦ·ＢＤ，所以ＡＢＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ． 又因为 ∠ＡＢＤ＝∠ＦＢＡ， 所以 △ＡＢＦ∽ △ＤＢＡ，所 书 上期１，２版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｄ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．１２；　１０．４；　１１．－４；　１２．槡８２；　１３． 槡４１＋５ ２ ； １４．槡７２或 槡５７ ６． 三、１５．５４． １６．∠ＢＯＣ＝１３２°． １７．（１）证明：因为ＡＣ⊥ＡＤ，ＥＤ⊥ＡＤ，所以∠Ａ＝∠Ｄ＝ ９０°，∠Ｃ＋∠ＡＢＣ＝９０°，因为ＣＢ⊥ＢＥ，所以∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＤ ＝９０°，所以∠Ｃ＝∠ＥＢＤ，所以△ＡＢＣ∽△ＤＥＢ． （２）ＢＤ＝３． １８．Ａ，Ｃ相距约１２８．５ｍ． １９．（１）本周他销售这种水果可获利２８８元． （２）不能获得５００元的利润，理由略． ２０．（１）证明：连接ＯＤ，因为ＤＥ⊥ＢＣ，所以∠ＤＥＣ＝９０°， 因为Ｄ是 ) ＡＣ的中点，所以 ) ) ＡＤ＝ＣＤ，所以∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ． 因为 ＯＤ＝ＯＢ，所以 ∠ＯＤＢ＝∠ＯＢＤ，所以 ∠ＯＤＢ＝ ∠ＣＢＤ，所以ＯＤ∥ＢＣ， 所以∠ＯＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ＝９０°，所以ＯＤ⊥ＤＥ，因为 ＯＤ是⊙Ｏ的半径，所以ＤＥ是⊙Ｏ的切线． （２）过点Ｄ作 ＤＦ⊥ ＡＢ，垂足为 Ｆ，由（１）得 ∠ＡＢＤ＝ ∠ＣＢＤ，所以ＢＤ平分∠ＡＢＣ， 因为ＤＦ⊥ＡＢ，ＤＥ⊥ＢＣ，所以ＤＦ＝ＤＥ，因为四边形ＡＢＣＤ 内接于⊙Ｏ，所以∠Ａ＋∠ＤＣＢ＝１８０°， 因为∠ＤＣＢ＋∠ＤＣＥ＝１８０°，所以 ∠Ａ＝∠ＤＣＥ，因为 ∠ＤＦＡ＝∠ＤＥＣ＝９０°，所以△ＡＤＦ≌△ＣＤＥ（ＡＡＳ），所以ＡＦ ＝ＥＣ， 因为∠ＤＦＢ＝∠ＤＥＣ＝９０°，ＢＤ＝ＢＤ，所以 △ＢＤＦ≌ △ＢＤＥ（ＡＡＳ），所以ＢＦ＝ＢＥ， 设ＥＣ＝ｘ，则ＢＥ＝ＢＦ＝８＋ｘ，因为ＡＢ＝ＡＦ＋ＢＦ＝１０， 所以ｘ＋８＋ｘ＝１０，所以ｘ＝１，即ＥＣ＝１． ２１．火箭从Ｐ到Ｑ处的平均速度约为２９４ｍ／ｓ． ２２．（１）ｋ的取值范围是ｋ＞ １２． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，且四边形的对角线 相等，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以∠ＡＢＣ＝９０°，由勾股定理 得ｍ２＋ｎ２＝（槡１０２ ） ２，整理，得（ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ＝ ５２，因为ｍ ＋ｎ＝ｋ，ｍｎ＝ ｋ２ － １ ４，所以ｋ ２－２（ｋ２ － １ ４）＝ ５ ２，解得ｋ１ ＝２，ｋ２＝－１（舍去），所以矩形ＡＢＣＤ的周长是２（ｍ＋ｎ）＝２ｋ ＝４，面积是ｍｎ＝ ｋ２ － １ ４ ＝ ３ ４．故此时四边形ＡＢＣＤ的周长 是４，面积是 ３４． ２３．（１）证明：连接 ＡＤ，ＡＣ，因为 ∠ＣＫＦ是圆内接四边形 ＡＤＣＫ的外角， 所以∠ＣＫＦ＋∠ＡＫＣ＝１８０°，∠ＡＫＣ＋∠ＡＤＣ＝１８０°，所以 ∠ＣＫＦ＝∠ＡＤＣ， 因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，所以 ) ) ＢＤ＝ＢＣ，所以 ) ＡＤ ) ＝ＡＣ，所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＫＤ，所以∠ＡＫＤ＝∠ＣＫＦ． （２）连接ＯＤ，因为ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝８，所以ＯＤ＝４， 因为弦ＣＤ⊥ＡＢ，ＣＤ＝ 槡４３，所以ＤＥ＝ＣＥ＝ １ ２ＣＤ＝ 槡２３． 在Ｒｔ△ＯＤＥ中，由勾股定理，得ＯＥ＝ ＯＤ２－ＤＥ槡 ２ ＝２， 所以 ＡＥ ＝６，在 Ｒｔ△ＡＤＥ中，由勾股定理，得 ＡＤ ＝ ＤＥ２＋ＡＥ槡 ２ ＝ 槡４３， 因为 ) ) ＡＤ＝ＡＣ，所以ＡＣ＝ＡＤ＝ 槡４３＝ＤＣ，所以△ＡＤＣ是 等边三角形，所以∠ＡＤＥ＝６０°． 由（１）得，∠ＣＫＦ＝∠ＡＤＥ，所以∠ＣＫＦ＝６０°． ２４．（１）证明略． （２）连接ＣＥ，因为ＡＢ＝４，ＡＣ＝３，∠ＢＡＣ＝９０°，所以ＢＣ ＝５．因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ，所以△ＡＢＣ ∽△ＡＤＥ，所以ＡＢＡＣ＝ ＡＤ ＡＥ＝ ４ ３．因为∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，所 以∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥ，所以△ＢＡＤ∽△ＣＡＥ，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＥ， ＡＢ ＡＣ＝ ＢＤ ＣＥ＝ ４ ３，所以设ＢＤ＝４ｘ，ＣＥ＝３ｘ，所以ＣＤ＝５－４ｘ． 因为∠Ｂ＋∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＡＣＥ＋∠ＡＣＢ＝９０°，所以 ∠ＤＣＥ＝９０°．因为ｔａｎ∠ＥＤＣ＝ＥＣＤＣ＝ １ ２，所以 ３ｘ ５－４ｘ＝ １ ２，所 以ｘ＝ １２，所以ＥＣ＝ ３ ２，ＣＤ＝３，所以ＤＥ＝ 槡３５ ２． （３）过点Ａ作ＡＢ的垂线，过点Ｄ作ＡＤ的垂线，两垂线交于 点Ｍ，连接ＢＭ，所以 ∠ＢＡＭ ＝∠ＡＤＭ ＝∠ＢＤＣ＝９０°．因为 ∠ＢＡＤ＝∠ＤＢＣ，所以 ∠ＤＡＭ ＝∠ＢＣＤ．又因为 ∠ＡＤＭ ＝ ∠ＢＤＣ＝９０°，所以 △ＢＤＣ∽ △ＭＤＡ，所以ＢＤＭＤ＝ ＤＣ ＤＡ．又因为 ∠ＢＤＣ＝∠ＡＤＭ，所以∠ＢＤＣ＋∠ＣＤＭ＝∠ＡＤＭ＋∠ＣＤＭ，即 ∠ＢＤＭ＝∠ＣＤＡ，所以△ＢＤＭ∽△ＣＤＡ，所以ＢＭＡＣ＝ ＤＭ ＡＤ＝ ＢＤ ＤＣ． 因为ｔａｎ∠ＢＡＤ＝ＣＤＢＤ＝ １ ２，ＡＣ＝ 槡２３，所以ＢＤ＝２ＣＤ，所以ＢＭ ＝２ＡＣ＝ 槡４３，ＤＭ＝２ＡＤ，因为ＡＢ＝４，所以ＡＭ＝ 槡４２．因为 ＡＤ２＋ＤＭ２ ＝ＡＭ２，所以ＡＤ＝ 槡４ １０５ ． 书 【提示】 １．过点Ｆ作ＦＨ∥ＣＤ，交ＤＥ于Ｈ，过点Ｃ作ＣＭ ⊥ＡＢ，交ＡＢ的延长线于Ｍ，连接ＦＢ，先证明ＦＨ是 △ＣＤＥ的中位线，得ＦＨ＝１，再证明△ＡＥＧ≌ △ＦＨＧ，得ＡＧ＝ＦＧ，在Ｒｔ△ＣＢＭ中计算ＢＭ和ＣＭ的 长，再证明ＢＦ是中位线得ＢＦ的长，由勾股定理可得 ＡＦ的长，从而得结论． ２．取ＡＢ，ＡＣ的中点为Ｇ，Ｍ，ＣＭ的中点为Ｈ，连 接ＢＨ，ＨＧ，ＭＧ，根据题意，当Ｅ在ＢＣ上运动时，Ｆ在 ＧＨ上运动，当ＢＦ⊥ＨＧ时，取得最小值，然后用勾股 定理即可求解． 书 １．如图１，已知菱形 ＡＢＣＤ的边长为２，∠ＤＡＢ＝ ６０°，Ｅ为ＡＢ的中点，Ｆ为ＣＥ的中点，ＡＦ与ＤＥ相交于点 Ｇ，则ＧＦ的长等于 ． ２．如图２，已知在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°，ＡＣ＝ ２ＢＣ＝８，点Ｄ，Ｅ分别在直角边ＡＣ和ＢＣ上运动，ＢＥ＝ ＡＤ，当点Ｅ到达点Ｃ时，点Ｄ停止运动，点Ｆ为ＤＥ的中 点，则ＢＦ的最小值为 ． ! " # $ % & ' ! ! # ' $ ! & ! " " 书 重点集训营 １．一个蓄水池有水５０ｍ３，打开放水闸门匀速放 水，水池中的水量和放水时间关系如下表： 放水时间（ｍｉｎ） １ ２ ３ ４ … 水池中水量（ｍ３） ４８ ４６ ４４ ４２ … 则放水１４ｍｉｎ后，水池中还有水 ｍ３． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　２．下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人 数的变化趋势： 年份 ２０１５ ２０１６ ２０１７ … 入学儿童人数 ２５２０ ２３３０ ２１４０ … 你预计该地区从 年起入学儿童的人数不 超过２０００人． ３．某５Ｇ套餐收费标准如下：包月１２９元时，超出部 分国内拨打电话另收费．由于业务多，小明的爸爸打电 话已超出了包月费．下表是超出部分国内拨打的收费 标准． 时间 ／分 １ ２ ３ ４ ５ … 电话费 ／元 ０．１５ ０．３０ ０．４５ ０．６０ ０．７５ … （１）这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个 是自变量？ （２）如果用ｘ表示国内拨打超出时间，ｙ表示国内 拨打超出部分的电话费，那么ｙ与ｘ的表达式是什么？ （３）某次超出部分国内拨打电话的费用是５．４元， 那么小明的爸爸国内拨打电话超出几分钟？ 书 表格在生活与生产中应用广泛，培养对表格的阅 读、分析能力是学习两个变量之间关系的重点之一．这 就要求我们能从表格中发现两个变量之间存在的规律， 归纳出相应的表达式． 一、价格变化规律 例１　某商店出售商品时，在进价的基础上又加了 一定的利润，其数量ｘ与售价ｙ的关系如下表： 数量ｘ／千克 １ ２ ３ ４ … 售价ｙ／元 ８＋０．４１６＋０．８２４＋１．２３２＋１．６ … 请根据表中所提供的信息，写出售价 ｙ与数量 ｘ之 间的表达式，并求出当数量是２．５千克时的售价． 分析：从表格可发现，当ｘ＝１时，ｙ＝８＋０．４；当ｘ ＝２时，ｙ＝１６＋０．８＝２×（８＋０．４）；当ｘ＝３时，ｙ＝ ２４＋１．２＝３×（８＋０．４），…，所以ｙ与ｘ之间的表达式 为ｙ＝（８＋０．４）ｘ＝８．４ｘ． 解：根据表格中的信息，可得ｙ＝８．４ｘ． 当ｘ＝２．５时，ｙ＝８．４×２．５＝２１． 所以售价ｙ与数量ｘ之间的表达式为ｙ＝８．４ｘ． 当数量是２．５千克时的售价是２１元． 二、时间变化规律 例２　农村“雨污分流”工程是“美丽乡村”战略的 重要组成部分，农村要铺设一条全长为１０００米的“雨污 分流”管道，现将工程队铺设管道施工时间（天）与铺设 管道长度（米）之间的关系用表格表示： 时间（天） １ ２ ３ ４ ５ … 管道长度（米） ２０ ４０ ６０ ８０ １００ … 则施工８天后，未铺设的管道长度为 米． 分析：先根据题意求出函数表达式，进而可以求出 施工８天后已铺设的管道长度，即可知未铺设的管道长 度，由此即可得到答案． 解：设铺设管道长度为ｙ米，施工时间为 ｘ天，观察 表格数据可知：每增加１天，多铺设的管道为２０米，所以 ｙ＝２０ｘ，当ｘ＝８时，ｙ＝２０×８＝１６０，所以未铺设的管 道长度为１０００－１６０＝８４０（米）． 故填８４０． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " !" #$% &'()*+,-./0123 书 一、从表达式理解函数 根据函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量ｘ 和ｙ，对于自变量ｘ的每一个确定的值，ｙ都有惟一确定 的值与它对应．当ｘ取不同的值时，ｙ的值可以相等也可 以不相等，但如果一个ｘ值对应着两个不同的ｙ值，那么 ｙ一定不是ｘ的函数．根据这一点，我们可以判断一个表 达式是否表示函数关系． 例１　下列式子中，ｙ不是ｘ的函数的是 （　　） Ａ．ｙ＝ｘ２ Ｂ．ｙ＝２ｘ－３ｘ－４ Ｃ．ｙ＝ ｘ－槡 １ Ｄ．ｙ＝±槡ｘ 解：ｙ＝ｘ２，对于每一个确定的ｘ的值，ｙ都有惟一确 定的值与它对应，所以ｙ是ｘ的函数； ｙ＝２ｘ－３ｘ－４，对于每一个确定的ｘ的值，ｙ都有惟一确 定的值与它对应，所以ｙ是ｘ的函数； ｙ＝ ｘ－槡 １，对于每一个确定的ｘ的值，ｙ都有惟一 确定的值与它对应，所以ｙ是ｘ的函数； ｙ＝±槡ｘ，对于每一个确定的 ｘ的值，ｙ有一个或两 个值与它对应，所以ｙ不是ｘ的函数． 故选Ｄ． 二、从图象理解函数 根据函数的定义，每一个ｘ值只能对应惟一的ｙ值， 因此要判断哪些图象表示的是函数关系，只要在所给的 自变量的取值范围内任作一条垂直于ｘ轴的直线．若直 线与所给图象只有一个交点，则说明这个图象表示的是 函数关系；若交点不止一个，则说明这个图象表示的不 是函数关系． 例２　下列曲线中，表示ｙ是ｘ的函数的为（　　） 解：根据函数的定义可知，对于自变量ｘ的任何值，ｙ 都有惟一的值与之相对应．所以只有选项Ｂ满足条件． 故选Ｂ． 三、从几何关系理解函数 紧扣函数的定义，仍然是先看是否只有两个变量， 再看对于自变量ｘ的每一个确定的值，ｙ是否都有惟一 确定的值与它对应． 例３　判断变量之间是不是函数关系：长方形的宽 一定时，其面积与长． 解：当长方形的宽一定时，其长所取的每一个值，面 积都有惟一确定的值与之对应，所以长方形的面积与长 是函数关系． 书 一、新定义型 例１　定义一种新运 算：ａ  ｂ ＝ ａ－ｂ（ａ≥２ｂ）， ａ＋ｂ－６（ａ＜２ｂ{ ）， 例 如：３１＝３－１＝２；５ ４＝５＋４－６＝３．则函数 ｙ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）的 图象大致是 （　　） 分析：根据定义的新运算分两种情况讨论，分别求 出每种情况的函数表达式，画出图象进行判断即可． 解：当ｘ＋２≥２（ｘ－１）时，ｘ≤４． 所以当ｘ≤４时，ｙ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）＝（ｘ＋２） －（ｘ－１）＝ｘ＋２－ｘ＋１＝３； 当ｘ＞４时，ｙ＝（ｘ＋２）（ｘ－１）＝（ｘ＋２）＋ （ｘ－１）－６＝ｘ＋２＋ｘ－１－６＝２ｘ－５． 故选Ａ． 二、程序运算型 例２　根据如图１所示的程序计算函数ｙ的值．若 输入ｘ的值是２时，则输出的ｙ的值是６．若输入ｘ的值 是３，则输出的ｙ的值是 （　　） Ａ．６　 　　Ｂ．７　　 　Ｃ．８　 　　Ｄ．９ 分析：根据已知数值和运算公式求出 ｂ的值，进而 代入求出ｘ＝３时对应的ｙ的值． 解：因为输入ｘ的值是２时，输出的ｙ的值是６， 所以６＝２×２＋ｂ．解得ｂ＝２． 所以若输入ｘ的值是３，则输出的ｙ的值是ｙ＝３× ３－２＝７． 故选Ｂ． 三、实际问题型 例３　东东用仪器匀速向如图 ２容器中注水，直到注满为止．用ｔ表 示注水时间，ｙ表示水面的高度，下 列图象适合表示 ｙ与 ｔ的对应关系 的是 （　　） 分析：根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比 较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快， 从而可以解答本题． 解：因为底部的圆柱底面半径最大，所以刚开始水 面上升最慢． 中间部分的圆柱底面半径较小，所以第二阶段水 面上升较快． 顶部的圆柱底面半径最小，所以最后阶段水面上 升最快． 故选Ｃ． 书 对于函数ｙ＝ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）是一个含有ｘ的式子，如何 确定这个函数自变量的取值范围呢？现归纳讲解如下： 展厅一、当ｆ（ｘ）是整式时，其自变量的取值范围是 全体实数 例１　在函数ｙ＝－２ｘ＋３中，自变量ｘ的取值范围 是 ． 解：根据题意，得其自变量 ｘ的取值范围是全体实 数． 故填全体实数． 展厅二、当ｆ（ｘ）是分式时，其自变量的取值是使分 母不为零的实数 例２　在函数ｙ＝ ｘ５ｘ＋３中，自变量ｘ的取值范围是 ． 解：根据题意，得５ｘ＋３≠０．解得ｘ≠－３５． 故填ｘ≠－３５． 展厅三、当ｆ（ｘ）是二次根式时，其自变量的取值必 须使被开方数为非负数 例３　函数ｙ＝ ｘ－槡 ２中，自变量ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤－２ Ｂ．ｘ≥－２ Ｃ．ｘ≤２ Ｄ．ｘ≥２ 解：根据题意，得ｘ－２≥０．解得ｘ≥２． 故选Ｄ． 展厅四、实际问题中自变量的取值要使函数表达式 和实际问题均有意义 例４　一个正方形的边长为５ｃｍ，它的边长减少 ｘｃｍ后得到的新正方形的周长为ｙｃｍ，写出ｙ与ｘ之间 的函数表达式，并指出自变量的取值范围． 解：根据题意，得周长ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ ＝４（５－ｘ），即ｙ＝２０－４ｘ．其中自变量ｘ的取值需满足 正方形的边长是正数，即满足５－ｘ＞０和ｘ≥０．解得０ ≤ｘ＜５．故自变量ｘ的取值范围为０≤ｘ＜５． 展厅五、综合情况要全面考虑，先局部后整体 例５　在函数ｙ＝ ｘ＋槡 ３ｘ 中，自变量ｘ的取值范围 是 （　　） Ａ．ｘ≥３ Ｂ．ｘ≥－３ Ｃ．ｘ≥３且ｘ≠０ Ｄ．ｘ≥－３且ｘ≠０ 解：根据题意，得ｘ＋３≥０且ｘ≠０．解得ｘ≥－３且 ｘ≠０． 故选Ｄ． " 45 678 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !" 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BCD !E$ FGHI B56 $ F1P23I 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．变量ｘ与ｙ之间的表达式是ｙ＝３５ｘ＋２０．当自变 量ｘ＝２时，因变量ｙ的值是 （　　） Ａ．９０ Ｂ．６５ Ｃ．７０ Ｄ．７５ ２．小明现已存款５００元，为赞助“希望工程”，他计 划今后每月存款 ２０元，则存款总金额 ｙ（元）与时间 ｘ（月）之间的表达式是 （　　） Ａ．ｙ＝２０ｘ Ｂ．ｙ＝５００ｘ Ｃ．ｙ＝５００＋２０ｘ Ｄ．ｙ＝５００－２０ｘ ３．函数ｙ＝ ｘ ｘ＋槡 ５ 中自变量ｘ的取值范围是（　　） Ａ．ｘ＞－５ Ｂ．ｘ≠－５ Ｃ．ｘ≥－５ Ｄ．ｘ＞－５且ｘ≠０ ４．“龟兔赛跑”中兔子跑得快，一开始领先，但它太 骄傲在途中睡了一觉再继续跑；乌龟跑得慢，但一直不 停地跑，抵达终点，赢得胜利．下面哪幅图基本反映了比 赛的过程 （　　） ５．根据实验结果表明，在弹簧的承受范围内，弹簧 挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度ｙ（ｃｍ）与所挂的 物体的重量ｘ（ｋｇ）间有下表的关系，下列说法不正确的 是 （　　） ｘ／ｋｇ ０ １ ２ ３ ４ ｙ／ｃｍ ２０ ２１ ２２ ２３ ２４ Ａ．ｘ与ｙ都是变量，且ｘ是自变量，ｙ是因变量 Ｂ．弹簧不挂重物时的长度为０ｃｍ Ｃ．随着所挂物体重量的增加，弹簧长度逐渐变长 Ｄ．在弹性范围内，所挂物体的重量每增加１ｋｇ，弹 簧长度增加１ｃｍ ６．已知ｙ１和ｙ２均是以ｘ为自变量的函数，当ｘ＝ｎ 时，函数值分别是Ｎ１和Ｎ２．若存在正数ｎ，使得Ｎ１＋Ｎ２ ＝１，则称函数ｙ１和ｙ２是“正和谐函数”．下列函数ｙ１和 ｙ２是“正和谐函数”的是 （　　） Ａ．ｙ１ ＝２ｘ＋１和ｙ２ ＝３ｘ＋２ Ｂ．ｙ１ ＝－ｘ＋３和ｙ２ ＝２ｘ－１ Ｃ．ｙ１ ＝－ｘ－１和ｙ２ ＝３ｘ－２ Ｄ．ｙ１ ＝－ｘ＋１和ｙ２ ＝２ｘ＋３ ７．阳光中学举行学生 运动会，小汪和小勇参加了 ８００米跑．路程 ｓ（米）与时 间 ｔ（分钟）之间的函数图 象如图１所示，两位同学在 跑步中均保持匀速，则下列 说法错误的是 （　　） Ａ．小勇的平均速度为１６０米 ／分 Ｂ．到终点前２分钟，小汪的速度比小勇的速度快 ８０米 ／分 Ｃ．小勇和小汪同时到达终点 Ｄ．小汪和小勇的平均速度相等 ８．定义新运算“※”为 ａ※ｂ＝ －ａｂ（ｂ＞０）， ａｂ（ｂ≤０{ ）， 如 １※（－２）＝１×（－２）＝－２，则函数ｙ＝２※ｘ的图象大 致是 （　　） 二、细心填一填（每小题４分，共２４分） ９．在函数ｙ＝ １－２槡 ｘ中，自变量ｘ的取值范围是 ． １０．自变量ｘ与函数ｙ的关系如图２， 当ｘ每增加１时，ｙ增加 ． １１．已知华氏温度（ ! ）与摄氏温度 （℃）之间的关系满足下表： 摄氏温度 ／℃ … －１００ １０ ２０ ３０ … 华氏温度 ／ ! … １４ ３２ ５０ ６８ ８６ … 若火星上某处的温度大约是 －５０℃，则此温度换 算成华氏温度约为 ! ． １２．某品牌鞋子的长度ｙｃｍ与鞋子的码数ｘ之间满 足一次函数关系．若２２码 鞋子的长度为１６ｃｍ，４４码鞋 子的长度为２７ｃｍ，则３８码鞋子的长度为 ｃｍ． １３．如图３，在等边△ＡＢＣ中，Ｄ是 ＢＣ的中点，点 Ｐ 为ＡＢ边上一动点，设ＡＰ＝ｘ，ＤＰ＝ｙ，如果ｙ与ｘ的函数 关系的图象如图４所示，那么ＡＢ＝ ． １４．一个有进水管与出水管的 容器已装水１０Ｌ，开始４ｍｉｎ内只进 水不出水，在随后的时间内既进水 又出水，其出水的速度为 １５ ４Ｌ／ｍｉｎ． 容器内的水量 ｙ（Ｌ）与时间 ｘ（ｍｉｎ） 之间的关系如图５所示，若一开始同时开进水管和出水 管，则比原来多 ｍｉｎ将该容器灌满． 三、耐心解一解（共４４分） １５．（１０分）某天早晨，王老师从家出发步行前往学 校，途中在路边一饭店吃早餐，如图６，是王老师从家到 学校这一过程中的所走路程ｓ（米）与时间ｔ（分钟）之间 的关系． （１）学校离王老师家 米，从出发到学校， 王老师共用了 分钟，王老师在饭店吃早餐用了 分钟； （２）王老师吃早餐前的速度快还是吃早餐后的速 度快？ １６．（１０分）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作 用，还将继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称 为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车 速不超过１４０千米 ／时），对这种汽车进行测试，测得数 据如下表： 刹车时车速 ／（千米 ／时） ２０ ４０ ６０ ８０ １００ １２０ 刹车距离 ／米 １．０ ３．６ ７．８１３．６ ２１ ３０ （１）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自 变量？哪个是因变量？ （２）如果刹车时车速越大，那么刹车距离如何 变化？ １７．（１２分）“十一”期间，小华一家人开车到距家 １００千米的景点旅游，出发前，汽车油箱内储油２２升，当 行驶６０千米时，发现油箱余油量为１６升（假设行驶过程 中汽车的耗油量是均匀的）． （１）求该车平均每千米的耗油量； （２）写出余油量Ｑ（升）与行驶路程 ｘ（千米）之间 的表达式； （３）当油箱中余油量低于３升时，汽车将自动报警． 若往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？说 明理由． １８．（１２分）甲、乙两人驾车都从Ｐ地出发，沿一条笔 直的公路匀速前往 Ｑ地，乙先出发一段时间后甲再出 发，甲、乙两人分别到达Ｑ地后停止．已知Ｐ，Ｑ两地相距 ２００ｋｍ，设乙行驶的时间为ｔ（ｈ），甲、乙两人之间的距离 为ｙ（ｋｍ），表示 ｙ与 ｔ的函数关系的部分图象如图７所 示． （１）由图象可知，甲比乙迟出发 ｈ，解释图 象中点Ｂ与点Ｃ的实际意义； （２）求甲、乙两人的速度                                                                                                                                                                 ． 书 ５．１函数与它的表示法（第一课时） １．一个容器中装有一定质量的糖，向容器中加入 水，随着水量的增加，糖水的浓度将降低，这个问题中 自变量和因变量分别是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．糖量，糖水的浓度 Ｂ．水量，糖水 Ｃ．糖量，糖水 Ｄ．水量，糖水的浓度 ２．如图１，曲线表示某同学 身高的增长速度（厘米 ／年）随 年龄（岁）的变化情况，则该同 学身高增长速度最快的年龄约 为 （　　） Ａ．５．５岁 Ｂ．６．５岁 Ｃ．７岁 Ｄ．１０岁 ３．在函数ｙ＝ ２槡ｘ中，自变量ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≤０ Ｂ．ｘ＜０ Ｃ．ｘ≥０ Ｄ．ｘ＞０ ４．如图２，是物理课上测量铁块Ａ的体积 实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水 面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高 度ｈ与铁块被提起的时间ｔ之间函数关系的大 致图象是 （　　） ５．如图３，是ｙ关于ｘ的函数图象（与ｘ轴只有三个 交点），请写出当 ｙ＜０时，自变量 ｘ的取值范围是 ． ６．春暖花开，正是草莓成熟的时节．草莓园给每位 入园采摘草莓的顾客配一个篮子．每位顾客采摘草莓 需付总金额ｙ（元）与采摘草莓质量 ｘ（ｋｇ）的关系如下 表： 采摘草莓质量ｘ／ｋｇ １ ２ ３ ４ ５ … 需付总金额ｙ／元 ２７ ５１ ７５ ９９１２３ … 请根据上表中的数据写出需付总金额 ｙ（元）与采 摘草莓质量ｘ（ｋｇ）之间的表达式为 ． ７．火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度 ｙ（米）与火车行驶时间ｘ（秒）之间的关系用图象描述如 图４所示，火车整体都在隧道内的时间为 秒． ８．某市为了节约用水，采用分段收费标准，设居民 每月应交水费为ｙ（元），用水量为ｘ（立方米）． 用水量 ／立方米 收费 ／元 不超过１０立方米 每立方米２．５元 超过１０立方米 超过的部分每立方米３．５元 （１）写出每月用水量不超过１０立方米和超过１０立 方米时，水费与用水量之间的函数表达式． ①每月用水量不超过１０立方米时，ｙ＝ ； ②每月用水量超过１０立方米时，ｙ＝ ． （２）若某户居民某月用水量为６立方米，则该户居 民应交水费多少元？ （３）若某户居民某月交水费３２元，则该户居民用 水多少立方米？ ９．今年小麦大丰收，收割方式基本以收割机收割 为主，农户支付收割费用的付款方式有现金支付和微 信支付两种．收割小麦全天结束后，收割机机主小王让 上初中的弟弟帮自己算算一天的收入情况．当天共收 现金２８４０元，如图５是弟弟根据小王收款的微信零钱 记录绘制的微信零钱ｙ（元）与收割小麦数量ｘ（亩）之 间的关系图象． （１）图象中Ａ点表示的意义是什么？ （２）收割机收割一亩小麦多少钱？ （３）图象中ａ表示的数值是多少？ （４）全天收割小麦共收入多少元？ ５．１函数与它的表示法（第二课时） １．点点与圆圆同学相约去 博物馆，点点同学从家步行出 发去汽车站，等了圆圆一会儿 后再一起乘客车去博物馆，如 图１是点点同学离开家的路程 ｙ（千米）和所用时间 ｘ（分钟） 之间的函数关系，则下列说法 正确的是 （　　） Ａ．点点同学从家到汽车站的步行速度为０．１千米／时 Ｂ．点点同学在汽车站等圆圆用了３０分钟 Ｃ．客车的平均速度是３０千米 ／时 Ｄ．圆圆同学乘客车用了２０分钟 ２．小明从家跑步到学校，接着马上原路步行回家．如 图２是小明离家的路程ｙ（米）与所用时间ｔ（分钟）的函数 图象，则小明回家的速度是每分钟步行 米． ３．Ａ，Ｂ两地相距６０ｋｍ，甲、乙两人从两地出发相向 而行，甲先出发，如图３，ｌ１，ｌ２表示两人离 Ａ地的距离 ｓ（ｋｍ）与时间ｔ（ｈ）的关系，则乙出发 ｈ两人恰 好相距５千米． ４．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随 着时间的增加而减少．蓄水量ｙ（万立方米）与干旱时间 ｔ（天）之间的关系如图４所示，回答下列问题： （１）干旱持续到第１０天，水库的蓄水量为 万 立方米； （２）若水库的蓄水量小于３６０万立方米时，将发生 严重干旱警报，那么多少天后将发生严重干旱警报？ （３）在（２）的条件下，照这样干旱下去，预计再持 续多少天时，水库将干涸？ ５．一辆轿车和一辆货车同时从甲地出发驶往乙 地，轿车到达乙地后立即以另一速度原路返回甲地，货 车到达乙地后停止．如图５所示的图象分别表示货车、 轿车离甲地的距离ｙ（千米）与所用时间ｘ（小时）的关 系．当轿车从乙地返回甲地的途中与货车相遇时，相遇 处离甲地的距离为多少千米？ 如图，是一个“函数求值机”的示意图，其中 ｙ是 ｘ 的函数，当输入不同的ｘ值时，将输出对应的ｙ值． （１）当输入ｘ的值分别为 －３和２时，输出的ｙ值分 别是多少？ （２）下列图象中，可以是“函数求值机”中函数的 对应图象的是 ． （３）要使输出结果为１，求输入的ｘ值 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 檪 ． 书 以 ∠ＦＡＢ＝∠ＡＤＢ，所以 ∠ＦＡＢ＝∠ＡＢＤ，所以 ＡＦ ＝ＢＦ，即点Ｆ在边ＡＢ的垂 直平分线上． （２） 由 （１） 可 知 ∠ＦＡＢ＝∠ＣＢＤ，又因为 ∠ＢＥＡ ＝ ∠ＦＥＢ，所 以 △ＢＥＡ∽ △ＦＥＢ，所以ＢＥＡＥ ＝ＢＦＡＢ．因为 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＦ ＡＢ，所以 ＡＢ ＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＡＢＤ，所以 ＡＢ＝ＡＤ，所 以 ＡＤ ＢＤ＝ ＢＥ ＡＥ，即ＡＤ·ＡＥ＝ ＢＥ·ＢＤ． ２２．（１）机械臂端点 Ｃ 到工作台的距离 ＣＤ的长 约为６６ｍ． （２）ＯＤ的长约为３．８ｍ． ２３．（１）连接 ＯＭ，ＯＡ， 由题意可知ＯＭ＝ＯＦ＝３， ＡＦ＝８，ＥＦ⊥ｌ，所以ＯＡ＝ ＡＦ２＋ＯＦ槡 ２ ＝ 槡７３．当 点Ｍ是线段 ＯＡ与半圆的 交点时，ＡＭ有最小值，最 小值为槡７３－３．当点Ｍ与 点Ｅ重合时，ＡＭ有最大值， 最大值 ＝ ＡＦ２＋ＥＦ槡 ２ ＝ １０．过点Ｂ作ＢＧ⊥ｌ，垂足 为点 Ｇ．因为 ∠ＤＡＦ ＝ ６０°，∠ＢＡＤ ＝９０°，所以 ∠ＢＡＧ＝３０°，所以 ＧＢ＝ １ ２ＡＢ＝３＝ＯＦ．又因为 ＧＢ∥ ＯＦ，所以四边形 ＯＢＧＦ为平行四边形，所以 ＯＢ∥ＦＧ，即ＯＢ∥ｌ．故填 槡７３－３；１０；平行． （２）半圆与矩形重合 部分的周长为２π＋槡３３；半 圆与矩形重合部分的面积 为３π－ 槡９３４． ２４．（１）证明：因为 ∠Ａ＝９０°，∠ＣＢＥ＝９０°， 所以∠Ｃ＋∠ＣＢＡ＝９０°， ∠ＣＢＡ＋∠ＤＢＥ＝９０°，所 以∠Ｃ＝∠ＤＢＥ．又因为 ∠Ａ＝∠Ｄ ＝９０°，所以 △ＡＢＣ∽△ＤＥＢ． （２）①因为 Ｍ绕点 Ｂ 顺时针旋转９０°至点 Ｅ，Ｍ 为ＢＣ中点，所以△ＢＭＥ为 等腰直角三角形， ＢＥ ＢＣ ＝ ＢＭ ＢＣ ＝ １ ２，所以 ＢＥ ＝ 槡２ ２ＭＥ． 又 因 为 ＤＥ ＝ 槡２ ２ＭＥ，所以 ＢＥ＝ＤＥ．过 点Ｅ作 ＥＦ⊥ ＡＤ，垂足为 Ｆ，则ＢＦ＝ＤＦ，因为∠Ａ＝ ∠ＣＢＥ＝∠ＢＦＥ＝９０°，所 以 △ＡＢＣ∽ △ＦＥＢ，所以 ＢＦ ＡＣ＝ ＢＥ ＢＣ＝ １ ２．因为ＡＣ＝ ４，所以ＢＦ＝２，所以ＡＢ＝ ＡＤ－ＢＦ－ＦＤ＝１６． ②过点Ｍ作 ＡＤ的垂 线交ＡＤ于点Ｈ，过点 Ｅ作 ＡＤ的垂线交ＡＤ于点Ｆ，过 点Ｄ作ＤＰ⊥ＡＤ，过点Ｅ作 ＮＰ⊥ＤＰ，交ＡＣ的延长线 于点Ｎ，因为Ｍ为ＢＣ中点， ＭＨ∥ＡＣ，ＭＨＡＣ＝ ＢＭ ＢＣ＝ ＢＨ ＡＢ ＝１２，所以ＭＨ＝ １ ２ＡＣ＝ ２，ＢＨ＝ＡＨ．因为 ∠ＭＨＢ ＝ ∠ＭＢＥ ＝ ∠ＢＦＥ ＝ ９０°，∠ＨＢＭ ＝∠ＦＥＢ，ＭＢ ＝ＥＢ，所以 △ＭＨＢ≌ △ＢＦＥ，所以 ＢＦ＝ＭＨ＝ ２，ＥＦ＝ＢＨ．设ＥＦ＝ｘ，则 ＤＰ＝ｘ，ＢＨ＝ＡＨ＝ｘ，ＥＰ ＝ＦＤ＝２０－２－２ｘ＝１８－ ２ｘ，ＧＮ＝ｘ＋８，ＮＥ＝ＡＦ＝ ２ｘ＋２，同（１）易得 △ＮＧＥ ∽△ＰＥＤ，所以ＰＥＮＧ＝ ＰＤ ＮＥ， 即 １８－２ｘ ｘ＋８ ＝ ｘ ２ｘ＋２，解得 ｘ１＝６，ｘ２＝－ ６ ５（舍去）， 所以ＦＤ＝１８－２ｘ＝６，所 以ＥＤ＝ ＥＦ２＋ＦＤ槡 ２ ＝ 槡６２． !"#$ ! %& !" #$ %& '(")*+,- ./0123"45 # !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 6789:;<70= #$ 4 %&'( ! 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