第14期 《一元二次方程》章节测试卷（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年九年级(中考)数学学案（青岛版）

书书书 ２０．（７ 分 ） 一 个 容 器 盛 满 纯 药 液 ４５ 升 ， 第 一 次 倒 出 一 部 分 纯 药 液 后 ， 用 水 加 满 ； 第 二 次 又 倒 出 同 样 多 的 药 液 ， 若 此 时 容 器 内 剩 下 的 纯 药 液 是 ２０ 升 ，求 每 次 倒 出 的 液 体 的 体 积 ． ２１． （１０ 分 ） 如 果 关 于 ｘ 的 一 元 二 次 方 程 ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ （ａ ≠ ０ ） 有 两 个 实 数 根 ，且 其 中 一 个 根 比 另 一 个 根 大 １ ， 那 么 称 这 样 的 方 程 为 “ 邻 根 方 程 ”．例 如 ，一 元 二 次 方 程 ｘ ２ ＋ ｘ ＝ ０ 的 两 个 根 是 ｘ １ ＝ ０ ，ｘ ２ ＝ － １ ，则 方 程 ｘ ２ ＋ ｘ ＝ ０ 是 “ 邻 根 方 程 ”． （１ ） 通 过 计 算 ， 判 断 方 程 ２ｘ ２ － 槡 ２ ３ｘ ＋ １ ＝ ０ 是 否 是 “ 邻 根 方 程 ” ； （ ２ ） 已 知 关 于 ｘ 的 方 程 ｘ ２ － （ｍ － １ ）ｘ － ｍ ＝ ０ （ｍ 是 常 数 ） 是 “ 邻 根 方 程 ” ，求 ｍ 的 值 ； ２２． （１０ 分 ） 国 家 推 行 “ 节 能 减 排 ，低 碳 经 济 ” 政 策 后 ，环 保 节 能 设 备 的 产 品 供 不 应 求 ．某 公 司 购 进 了 Ａ ，Ｂ 两 种 节 能 产 品 ， 其 中 Ａ 种 节 能 产 品 每 件 成 本 比 Ｂ 种 节 能 产 品 多 ４ 万 元 ；若 购 买 相 同 数 量 的 两 种 节 能 产 品 ，Ａ 种 节 能 产 品 要 花 １２０ 万 元 ，Ｂ 种 节 能 产 品 要 花 ８０ 万 元 ．已 知 Ａ ，Ｂ 两 种 节 能 产 品 每 周 的 销 售 数 量 ｙ（ 件 ） 与 售 价 ｘ（ 万 元 ／ 件 ） 都 满 足 函 数 关 系 ｙ ＝ － ｘ ＋ ２０ （ｘ ＞ ０ ）．（１ ） 求 两 种 节 能 产 品 的 单 价 ； （２） 若 Ａ 种 节 能 产 品 的 售 价 比 Ｂ 种 节 能 产 品 的 售 价 高 ２ 万 元 ，当 这 两 种 节 能 产 品 每 周 的 总 销 售 利 润 为 ５２ 万 元 时 ，求 Ａ 种 节 能 产 品 的 售 价 为 多 少 ？ ２３． （１０ 分 ） 阅 读 下 面 材 料 ，并 解 答 问 题 ． 为 解 方 程 （ｘ ２ － １） ２ － ５（ ｘ ２ － １） ＋ ４ ＝ ０，我 们 可 以 将 ｘ ２ － １ 视 为 一 个 整 体 ， 然 后 设 ｘ ２ － １ ＝ ｙ，则 （ ｘ ２ － １） ２ ＝ ｙ ２，原 方 程 可 化 为 ｙ ２ － ５ｙ ＋ ４ ＝ ０，解 此 方 程 ， 得 ｙ １ ＝ １，ｙ ２ ＝ ４． 当 ｙ ＝ １ 时 ， ｘ ２ － １ ＝ １， ｘ ２ ＝ ２，所 以 ｘ ＝ ± 槡 ２． 当 ｙ ＝ ４ 时 ，ｘ ２ － １ ＝ ４，所 以 ｘ ＝ ± 槡 ５． 所 以 原 方 程 的 解 为 ｘ １ ＝ － 槡 ２ ， ｘ ２ ＝ 槡 ２ ，ｘ ３ ＝ － 槡 ５ ，ｘ ４ ＝ 槡 ５． 以 上 解 题 方 法 就 叫 换 元 法 ，请 利 用 换 元 法 解 方 程 ： （ｘ ２ － ｘ ） ２ － ４ （ｘ ２ － ｘ） － １２ ＝ ０． ２４．（１０ 分 ） 如 图 ３，把 一 张 长 １０ ｃｍ ，宽 ８ ｃｍ 的 长 方 形 硬 纸 板 的 四 周 各 剪 去 一 个 同 样 大 小 的 正 方 形 ，再 折 合 成 一 个 无 盖 的 长 方 体 盒 子 （ 纸 板 的 厚 度 忽 略 不 计 ）． （１） 要 使 无 盖 长 方 体 盒 子 的 底 面 积 为 ４８ ｃｍ ２，那 么 剪 去 的 正 方 形 的 边 长 为 多 少 ？（２） 你 认 为 折 合 而 成 的 无 盖 长 方 体 盒 子 的 侧 面 积 有 可 能 等 于 ５２ ｃｍ ２ 吗 ？请 说 明 理 由 ． （３） 如 果 把 长 方 形 硬 纸 板 的 四 周 分 别 剪 去 ２ 个 同 样 大 小 的 正 方 形 和 ２ 个 同 样 形 状 、 同 样 大 小 的 长 方 形 ，然 后 折 合 成 一 个 有 盖 的 长 方 体 盒 子 ，那 么 它 的 侧 面 积 （ 指 的 是 高 为 剪 去 的 正 方 形 边 长 的 长 方 体 的 侧 面 积 ） 可 以 达 到 ３０ ｃｍ ２ 吗 ？请 说 明 理 由 ． !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ !"# $ %&!' $ ()&*+,-./ ! ! 书 １８．（１）设 ＡＢ ＝ ｘ米， 则 ＢＣ ＝ （４０ － ２ｘ）米， 依题意得 ｘ（４０－ ２ｘ）＝１５０， 整理得 ｘ２－２０ｘ＋ ７５＝０， 解得 ｘ１ ＝５，ｘ２ ＝ １５． 当ｘ＝５时，４０－２ｘ ＝３０＞２５，不合题意， 舍去； 当ｘ＝１５时，４０－ ２ｘ＝１０＜２５，符合题 意． 答：要使矩形花园 的面积为 １５０平方米， 则ＡＢ的长度为１５米． （２）这个提议不可 行，理由如下： 设ＡＢ＝ｙ米， 则 ＢＣ ＝ （４０ － ２ｙ）米， 依题意得 ｙ（４０－ ２ｙ）＝２１０， 整理得 ｙ２－２０ｙ＋ １０５＝０． 因为Δ＝（－２０）２ －４×１×１０５＝－２０＜ ０， 所以该方程无实数 根， 所以不能围成面积 为２１０平方米的矩形花 园，这个提议不可行． 附加题　（１）原式 ＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）＋ｚ（ｘ －ｙ）＝（ｘ＋ｙ＋ｚ）（ｘ－ ｙ）． （２）① 因为 ｂ２ ＋ ２ａｂ＝ｃ２＋２ａｃ， 所以ｂ２－ｃ２＋２ａｂ －２ａｃ＝０， 即（ｂ＋ｃ）（ｂ－ｃ）＋ ２ａ（ｂ－ｃ）＝０， 书 一、转化思想 例１　我们解一元二次方程３ｘ２－６ｘ＝０时，可以运 用因式分解法，将此方程化为３ｘ（ｘ－２）＝０，从而得到 两个一元一次方程：３ｘ＝０或ｘ－２＝０，进而得到原方程 的解为ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝２．这种解法体现的数学思想是 （　　） Ａ．转化思想 Ｂ．函数思想 Ｃ．数形结合思想 Ｄ．公理化思想 分析：这种把一元二次方程转化为一元一次方程来 求解的思想方法体现了转化思想． 解：选Ａ． 二、整体思想 例２　设ａ，ｂ是一个直角三角形的两条直角边的 长，且（ａ２＋ｂ２）（ａ２＋ｂ２＋１）＝１２，求这个直角三角形的 斜边长ｃ的值． 分析：对题目中所给的条件进行变形，利用整体思想求 出ａ２＋ｂ２的值，从而结合勾股定理求解斜边长即可． 解：由题意，得（ａ２＋ｂ２）２＋（ａ２＋ｂ２）－１２＝０， 解得ａ２＋ｂ２＝３或ａ２＋ｂ２＝－４（不合题意，舍去）， 则ｃ２ ＝ａ２＋ｂ２ ＝３， 所以ｃ＝槡３（负值舍去）． 答：这个直角三角形的斜边长是槡３． 三、分类讨论思想 例３　若关于ｘ的方程ｋｘ２＋４ｘ－１＝０有实数根， 则ｋ的取值范围是 （　　） Ａ．ｋ＜－４ Ｂ．ｋ≥－４ Ｃ．ｋ＞－４且ｋ≠０ Ｄ．ｋ≤－４ 分析：分ｋ＝０和ｋ≠０两种情况考虑，当ｋ＝０时 可得出方程有一个实数根；当ｋ≠０时，根据方程有实数 根，并结合根的判别式可得到关于 ｍ的一元一次不等 式，解不等式即可得出 ｋ的取值范围．综合上面两种情 况即可得出结论． 解：当ｋ＝０时，原方程为４ｘ－１＝０，解得ｘ＝１４， 所以ｋ＝０符合题意； 当ｋ≠０时， 因为方程ｋｘ２＋４ｘ－１＝０有实数根，所以Δ＝４２＋ ４ｋ≥０，解得ｋ≥－４且ｋ≠０． 综上所述，ｋ的取值范围是ｋ≥－４． 故选Ｂ． 书 一元二次方程是初中数学的重要知识点，也是每年 中考必考的内容之一，其应用非常广泛，常常与其他知 识联系在一起．下面举例说明一元二次方程携手三角形 的一些问题，供同学们学习时参考． 例１　已知ａ，ｂ，ｃ分别是三角形的三边，则方程（ａ ＋ｂ）ｘ２＋２ｃｘ＋（ａ＋ｂ）＝０的根的情况是 （　　） Ａ．没有实数根 Ｂ．有且只有一个实数根 Ｃ．有两个相等的实数根 Ｄ．有两个不相等的实数根 分析：由于这个方程是一元二次方程，所以利用根 的判别式可以判断其根的情况，再根据三角形的三边关 系来判断判别式的符号即可求解． 解：因为Δ＝（２ｃ）２－４（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）＝４ｃ２－４（ａ ＋ｂ）２ ＝４［ｃ２－（ａ＋ｂ）２］＝４（ｃ＋ａ＋ｂ）［ｃ－（ａ＋ｂ）］， 根据三角形三边关系，得ｃ＋ａ＋ｂ＞０，ｃ－（ａ＋ｂ）＜０， 所以Δ＜０，所以该方程没有实数根．故选Ａ． 例２　若一个直角三角形两条直角边的长分别是 一元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０的两个实数根，则这个直 角三角形斜边的长是 ． 分析：由题意解一元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０得到 ｘ＝３＋槡５或ｘ＝３－槡５，再根据勾股定理求得直角三角 形斜边的长即可． 解：因为一个直角三角形两条直角边的长分别是一 元二次方程ｘ２－６ｘ＋４＝０的两个实数根，所以解ｘ２－ ６ｘ＋４＝０，可得ｘ＝６± ３６－槡 １６２ ＝ ６± 槡２５ ２ ＝３±槡５， 所以根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是 （３＋槡５） ２＋（３－槡５）槡 ２ ＝槡２８＝ 槡２７．故填 槡２７． 例３　关于ｘ的一元二次方程ａ（１－ｘ２）－ 槡２２ｂｘ＋ ｃ（１＋ｘ２）＝０中，ａ，ｂ，ｃ是Ｒｔ△ＡＢＣ的三条边，其中∠Ｃ ＝９０°．若方程的两个根是ｘ１，ｘ２，且ｘ ２ １＋ｘ ２ ２ ＝１２，求ａ∶ ｂ∶ｃ的值． 分析：根据韦达定理得 ｘ１ ＋ｘ２ ＝ 槡 ２２ｂ ｃ－ａ，ｘ１ｘ２ ＝ ａ＋ｃ ｃ－ａ，再用完全平方公式化简得（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２ ＝ １２，代入即可解答． 解：因为方程的两个根是 ｘ１，ｘ２，所以 ｘ１ ＋ｘ２ ＝ 槡２２ｂ ｃ－ａ，ｘ１ｘ２ ＝ ａ＋ｃ ｃ－ａ．因为ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝１２，所以（ｘ１＋ｘ２） ２－ ２ｘ１ｘ２ ＝１２，即 ８ｂ２ （ｃ－ａ）２ －２ａ＋２ｃｃ－ａ ＝１２．因为ｂ ２ ＝ｃ２－ ａ２，所以８（ｃ ２－ａ２） （ｃ－ａ）２ －２ａ＋２ｃｃ－ａ ＝１２，代简得 ６（ｃ＋ａ） ｃ－ａ ＝ １２，所以ｃ＋ａ＝２ｃ－２ａ，所以３ａ＝ｃ，所以ｂ２ ＝ｃ２－ａ２ ＝８ａ２，所以ｂ＝ 槡２２ａ，所以ａ∶ｂ∶ｃ＝ 槡１∶２２∶３． 书 一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根与系 数的关系：若方程的两根为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝－ ｂ ａ，ｘ１ｘ２ ＝ ｃａ．与之有关的常见题型有如下三种． 一、已知一根求另一根 例１　已知关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋５ｘ－ｍ＝ ０的一个根是２，则另一个根是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．－７ Ｂ．７ Ｃ．３ Ｄ．－３ 解析：设另一个根为ｘ，则由根与系数的关系可得 ｘ＋２＝－５，解得ｘ＝－７． 故选Ａ． 点评：若方程给出了二次项和一次项的系数，则可 利用两根之和求出另一根；若方程给出了二次项系数 和常数项，则可利用两根之积求出另一根． 二、求与两根相关的代数式的值 例２　已知实数ｍ，ｎ满足条件ｍ２－７ｍ＋２＝０， ｎ２－７ｎ＋２＝０，则 ｎｍ ＋ ｍ ｎ的值是 （　　） Ａ．４５２ Ｂ． １５ ２ Ｃ．１５２或２ Ｄ． ４５ ２或２ 解析：因为实数ｍ，ｎ满足条件ｍ２－７ｍ＋２＝０，ｎ２ －７ｎ＋２＝０，所以ｍ＝ｎ或ｍ，ｎ为一元二次方程ｘ２－ ７ｘ＋２＝０的两个不等实数根． 当ｍ＝ｎ时，ｎｍ ＋ ｍ ｎ ＝１＋１＝２； 当ｍ，ｎ为一元二次方程ｘ２－７ｘ＋２＝０的两个不 等实数根时，ｍ＋ｎ＝７，ｍｎ＝２， 所以 ｎ ｍ ＋ ｍ ｎ ＝ （ｍ＋ｎ）２－２ｍｎ ｍｎ ＝ ７２－２×２ ２ ＝ ４５ ２． 综上所述， ｎ ｍ ＋ ｍ ｎ的值为２或 ４５ ２． 故选Ｄ． 点评：求与两根相关的代数式的值，一般方法是把 所求代数式化成包含两根之和与两根之积的形式，然 后把两根之和与两根之积的值代入计算．在将所求代 数式变形时，可能需要将原一元二次方程的某部分看 成一个整体同时代入．注意根与系数的关系只在一元 二次方程有实数根时成立，因此必须保证所求字母的 值使原方程有实数根． 三、已知两根求一元二次方程 例３　若关于ｘ的一元二次方程的两个不相等的 实数根分别为１和２，请你写出满足条件且二次项系数 为２的关于ｘ的一元二次方程： ． 解析：设ｘ２＋ｐｘ＋ｇ＝０的实数根分别为１和２，则 ｐ＝－（１＋２）＝－３，ｇ＝１×２＝２， 所以实数根分别为１和２的一元二次方程为ｘ２－ ３ｘ＋２＝０． 将其两边同乘以２，得２ｘ２－６ｘ＋４＝０． 故填２ｘ２－６ｘ＋４＝０． 点评：本题也可以利用因式分解进行求解．根据条 件可直接得到２（ｘ－１）（ｘ－２）＝０．整理方程即可得 到２ｘ２－６ｘ＋４＝０． ! !" #$% " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " ! " #! !!"# " $"% !" !"#$ !"#$%&'" ()*+,-'. !"#$%& &'()*+,- &'(*./012345 &'(*6789:;<=,> ?@ABCDEF BGHIJK LMNOPQEFRSH"#$%&'()(*T+U & '( IJK ) & '( VWX ) # * +, YZK ) & '( [ \ ) & '( ] ^ -+./0, Y _ 12./0, Y`a *34/5, b c *3467( def Wgh i j klm n o pqr Vst nu` v e wxm yzJ i{| }{~ VJ €^ ‚ƒj „ r …†‡ Wˆ‰ 80-+( b Š 809:( W ˆ ;<-+( ‹{Œ =>-+,  Ž ?@AB, ‘ """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! &’ “”• ! –' — ˜ T™š ,›! FœU Tž ,FŸ ¡¢U 书 即（２ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ－ ｃ）＝０． 因为２ａ＋ｂ＋ｃ≠ ０， 所以ｂ－ｃ＝０，即ｂ ＝ｃ， 所以△ＡＢＣ是等腰 三角形． ②Ⅰ．当ｋ＝１时， ａ２＋ａｃ＝１２， 即ａ（ａ＋ｃ）＝１２； ｃ２＋ａｃ＝２４， 即ｃ（ｃ＋ａ）＝２４； 则ａ＋ｃ≠０， 故ｃ＝２ａ， 把它代入 ａ２ ＋ａｃ ＝１２， 得ａ２＋２ａ２ ＝１２， 解得ａ＝±２． 当ａ＝２时，ｃ＝４， 则ａ＋ｃ＝６； 当ａ＝－２时，ｃ＝ －４， 则ａ＋ｃ＝－６． 综上所述，ａ＋ｃ的 值为６或 －６． Ⅱ．当ｋ≠０时， 因为ａ２＋ａｃ＝１２ｋ ＝ｂ２＋ｂｃ， 所以（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ －ｂ）＝０． 因为ａ≠ｂ， 所以ａ＋ｂ＋ｃ＝０． 同理，由 ｃ２＋ａｃ＝ ２４ｋ＝ｄ２＋ａｄ，得ａ＋ｃ＋ ｄ＝０． 因为 ａ２ ＋ａｃ＝ １２ｋ，ｃ２＋ａｃ＝２４ｋ， 若ａ＋ｃ＝０，则ｃ＝ －ａ，ｂ＝０，ｄ＝０， 此时ｋ＝０，与题意 矛盾，舍去； 若ａ＋ｃ≠０， 则ｃ＝２ａ，ｂ＝－ａ －ｃ＝－３ａ，ｄ＝－ａ－ｃ ＝－３ａ． 综 上 所 述，ｂ ＝ －３ａ，ｃ＝２ａ，ｄ＝－３ａ． 上期４版 重点集训营 １．Ｄ；　２．Ｂ； ３．２０％． ４．（１）３（２５－ｘ）； （ｘ－１５）． （２）根据题意，得 （ｘ－１５）［３０＋３（２５－ ｘ）］＝２２５， 整理得 ｘ２－５０ｘ＋ ６００＝０， 解得ｘ１ ＝２０，ｘ２ ＝ ３０（不 符 合 题 意，舍 去）． 答：吉祥物的销售 单价应定为２０元． 书 上期２版 ４．４用因式分解法解一元二次方程 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ； ３．－７或１；　４．４或 －１． ５．（１）ｙ１ ＝－３，ｙ２ ＝ １ ２； （２）ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝ ５ ２． 能力提高　６．４ｘ２－５ｘ＋１＝０， 即（４ｘ－１）（ｘ－１）＝０， 所以４ｘ－１＝０或ｘ－１＝０， 解得ｘ１ ＝ １ ４，ｘ２ ＝１． ４．５一元二次方程根的判别式 基础训练　１．Ａ；　２．Ｃ； ３．３４． ４．（１）证明：因为Δ＝（ｍ＋４）２－４（－２ｍ－１２）＝ ｍ２＋１６ｍ＋６４＝（ｍ＋８）２≥０， 所以方程总有两个实数根． （２）如果方程的两根相等，则Δ＝（ｍ＋８）２ ＝０， 解得ｍ＝－８， 此时方程为ｘ２－４ｘ＋４＝０， 即（ｘ－２）２ ＝０， 解得ｘ１ ＝ｘ２ ＝２． ４．６一元二次方程根与系数的关系 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．－１８． ４．（１）因为关于ｘ的方程ｘ２－４ｘ＋ｍ＝０的一个根 为２＋槡３， 设另一根为ａ， 所以ａ＋２＋槡３＝４， 即ａ＝２－槡３， 则ｍ＝（２＋槡３）（２－槡３）＝４－３＝１． （２）因为方程的两个根为ｘ１，ｘ２， 所以ｘ１＋ｘ２ ＝４，ｘ１·ｘ２ ＝１， 则原式 ＝（ｘ１·ｘ２） ２ｎ·ｘ２＋ｘ１ ＝ｘ１＋ｘ２ ＝４． ４．７一元二次方程的应用（第一课时） 基础训练　１．Ｂ； ２．５０；　３．１５． ４．设该企业参加这次旅游的优秀员工一共有ｘ人， 因为３０×８０＝２４００＜２８００， 所以ｘ＞３０． 根据题意，得ｘ［８０－（ｘ－３０）］＝２８００， 解得ｘ１ ＝４０，ｘ２ ＝７０． 当ｘ＝４０时，８０－（ｘ－３０）＝７０＞５５， 当ｘ＝７０时，８０－（ｘ－３０）＝４０＜５５，舍去． 答：该企业参加这次旅游的优秀员工一共有４０人． ４．７一元二次方程的应用（第二课时） 基础训练　１．Ｂ；　２．Ｃ； ３．２４． ４．（１）设该宾馆这两年床位的年平均增长率为ｘ， 依题意，得２００（１＋ｘ）２ ＝２８８， 解得ｘ１ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝－２．２（舍去）． 答：该宾馆这两年床位的年平均增长率为２０％． （２）设每张床位定价ｍ元， 依题意，得ｍ（２８８－２０·ｍ－４０１０ ）＝１４８８０， 整理，得ｍ２－１８４ｍ＋７４４０＝０， 解得ｍ１ ＝６０，ｍ２ ＝１２４． 因为为了减轻游客的经济负担， 所以ｍ＝６０． 答：每张床位应定价６０元． 上期３版 一、题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ｂ 二、９．１；　１０．１０％；　１１．３；　１２．直角；　１３．１４； １４．４９２． 三、１５．（１）ｘ１ ＝１，ｘ２ ＝－ １ ２； （２）ｘ１ ＝－１，ｘ２ ＝３； （３）ｘ１ ＝０，ｘ２ ＝－ ２ ５． １６．设每次降价的百分率为ｘ， 根据题意，得２００（１－ｘ）２ ＝１２８， 解得ｘ１ ＝０．２＝２０％，ｘ２ ＝１．８（不符合题意，舍 去）． 答：每次降价的百分率为２０％． １７．表格从左到右依次为３，－９． （１）第ｎ个方程为ｘ２＋２ｎｘ－３ｎ２ ＝０， 方程的解是ｘ１ ＝ｎ，ｘ２ ＝－３ｎ． （２）方程ｘ２＋２０ｘ－３００＝０可写为ｘ２＋２×１０ｘ－ ３×１０２ ＝０， 所以方程的解是ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝－３０． 书 重点训练 １．解下列方程： （１）ｘ２－２ｘ－８＝０； （２）（ｘ－１）２ ＝（ｘ－１）． ２．如图，在长为５０ｍ，宽为３８ｍ的矩形地面内的四 周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面 积为１２６０ｍ２，道路的宽应为多少？ ３．某商店将进价为８元的商品按每件１０元出售，每 天可出售２００件，现在采取提高商品售价减少销售量的办 法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高１元，那 么每天的销售量就减少２０件，则将每件商品提价多少元 时，才能使每天的利润为６４０元？ ４．某养殖场蛋鸡３月份和５月份的产蛋量分别是 ２．５万千克与３．６万千克，若该养殖场蛋鸡产蛋量的 月增长率相同，鸡蛋的市场价格为１５元 ／千克． （１）求养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率； （２）求养殖场６月份的鸡蛋产值（单位：万元）． ５．今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统 计，游玩某景区的游客人数三月份为４万人，五月份为 ５．７６万人． （１）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平 均每月的增长率； （２）若该景区仅有Ａ，Ｂ两个景点，售票处出示的三 种购票方式如表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 Ａ Ｂ Ａ和Ｂ 门票价格 １００元 ／人 ８０元 ／人 １６０元 ／人 据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数 分别有２万、３万和２万．并且当甲、乙两种门票价格不变 时，丙种门票价格每下降１元，将有６００人原计划购买甲 种门票的游客和４００人原计划购买乙种门票的游客改为 购买丙种门票．若丙种门票价格下降１０元，求景区六月 份的门票总收入                                                                                       ． !"!#$%&' ()*+,-./0 !"#$%&'()*+ !"#$%#&'$&() !",-%&'()*+ *"#$+#&'$$&# ! ! !"#$ 12345672*8 "# / !#$9:9; !<A9B; !CDEFG?-"#.+#&'.&#( !#$HI?JKLMNOPQRSTU ."&V3W$X1234CDE !YZC[?-"---( !O\E]$^_?-"#.!#&'..&# -"#.!#&'.&"'̀ abc !]d?ef#$O\EIghijklYm(nc !YZ]d^_?...)# !opqr]st]uv] !#$wijkL(Ocxyz{|$ !}~€o‚V?./----/---..- !}~EFG?-"#.!#&'.&## !#$ƒ„…†‡aˆ‰Š‹ŒŽ(O‘’R“”•–—˜™š .. Vc›‰œ‹‰žŸ ¡&œef#$O\EIg¢£ """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" #- 0 ") 0 ¤̀¥ "œ#;2¦0 .̀§ "œ#;2¦0 书书书 《 一 元 二 次 方 程 》 章 节 测 试 卷 ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 号 一 二 三 总 分 得 分 选 择 题 （ 共 ２４ 分 ） 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ２４ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答 案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 若 方 程 （ ｍ － ２） ｘ２ ＋ ４ｘ － ３ ＝ ０ 是 关 于 ｘ的 一 元 二 次 方 程 ，则 ｍ 的 取 值 范 围 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｍ ＞ ０ Ｂ． ｍ ≠ ０ Ｃ． ｍ ≠ ２ Ｄ ．ｍ ≠ － ２ ２ ． 用 配 方 法 解 方 程 ｘ２ － ６ｘ ＋ １ ＝ ０， 则 方 程 可 变 形 为 （ 　 　 ） Ａ ．（ ｘ － ３） ２ ＝ ８ Ｂ． （ ｘ ＋ ３） ２ ＝ ８ Ｃ． （ ｘ － ３） ２ ＝ － １ Ｄ ．（ ｘ ＋ ３） ２ ＝ － １ ３ ． 某 公 司 前 年 缴 税 ４０ 万 ，今 年 缴 税 ４８ ．４ 万 ，设 该 公 司 这 两 年 缴 税 的 平 均 增 长 率 为 ｘ， 下 列 方 程 正 确 的 是 （ 　 　 ） Ａ ．４ ０（ １ ＋ ２ｘ ） ＝ ４８ ４ Ｂ． ４８ ４ （ １ － ２ｘ ） ＝ ４ ０ Ｃ． ４８ ４ （ １ ＋ ｘ） ２ ＝ ４０ Ｄ ．４ ０（ １ ＋ ｘ） ２ ＝ ４８ ４ ４． 关 于 ｘ 的 方 程 ｘ２ － （ ｍ ２ － １） ｘ ＋ ２ｍ ＝ ０ 的 两 个 根 互 为 相 反 数 ，则 ｍ 的 值 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｍ ＝ ± １ Ｂ． ｍ ＝ － １ Ｃ． ｍ ＝ １ Ｄ ．ｍ ＝ ０ ５ ． 有 一 个 人 患 了 流 感 ， 经 过 两 轮 后 共 有 １２ １ 个 人 患 了 流 感 ， 如 果 按 照 这 样 的 传 染 速 度 ，经 过 三 轮 传 染 后 总 共 传 染 的 人 数 是 （ 　 　 ） Ａ ．１ ３３ １ Ｂ． １ ００ ０ Ｃ． １ ７２ ８ Ｄ ．１ １１ １ ６ ． 已 知 关 于 ｘ 的 方 程 ｘ２ － ７ｘ ＋ ６ａ ＝ ０ 的 一 个 解 是 ｘ １ ＝ ２ａ ，则 原 方 程 的 另 一 个 解 是 （ 　 　 ） Ａ ．ｘ ２ ＝ ０ 或 ７ Ｂ． ｘ ２ ＝ ３ 或 ４ Ｃ． ｘ ２ ＝ ３ 或 ７ Ｄ ． ｘ ２ ＝ ４ 或 ７ ７． 若 方 程 ｘ２ － ２ｘ － １ ＝ ０ 的 根 也 是 方 程 ｘ３ ＋ ａｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ 的 根 ，则 ３ａ ＋ ｂ ＋ ｃ的 值 为 （ 　 　 ） Ａ ．７ Ｂ． － ７ Ｃ． ５ Ｄ ． － ５ ８． 关 于 ｘ 的 一 元 二 次 方 程 （ ａ ＋ ４ ） ｘ２ － ４ｘ － １ ＝ ０ 有 两 个 实 数 根 ，且 关 于 ｘ的 分 式 方 程 ４ ｘ － ３ ＋ ｘ ＋ ａ ３ － ｘ ＝ ４ 有 正 整 数 解 ，则 满 足 条 件 的 所 有 整 数 ａ的 和 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ８ Ｂ． １ Ｃ． １３ Ｄ ．１ ７ 非 选 择 题 （ 共 ９６ 分 ） 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ６ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 １８ 分 ） ９． 一 元 二 次 方 程 ４ｘ ２ － ９ ＝ ０ 的 根 是 ． １０ ．请 填 写 一 个 常 数 ，使 得 关 于 ｘ 的 方 程 ｘ２ － ２ｘ ＋ ＝ ０ 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ． １１ ．一 个 三 角 形 的 两 边 长 分 别 为 ２ 和 ３， 第 三 边 长 是 方 程 ｘ２ － １０ ｘ ＋ ２１ ＝ ０ 的 根 ，则 三 角 形 的 周 长 为 ． １２ ．某 航 空 公 司 有 若 干 个 飞 机 场 ，每 两 个 飞 机 场 之 间 都 开 辟 一 条 航 线 ， 一 共 开 辟 了 ２８ 条 航 线 ，则 这 个 航 空 公 司 共 有 飞 机 场 个 ． １３ ．对 于 实 数 ｐ， ｑ， 我 们 用 符 号 ｍ ａｘ ｛ ｐ， ｑ｝ 表 示 ｐ， ｑ两 数 中 较 大 的 数 ，如 ｍ ａｘ ｛ ２， ３｝ ＝ ３， 若 ｍ ａｘ ｛ （ ｘ － １） ２ ，ｘ ２ ｝ ＝ １， 则 ｘ ＝ ． １４ ．利 用 图 形 的 分 、 和 、 移 、 补 探 索 图 形 关 系 ， 是 我 国 传 统 数 学 的 一 种 重 要 方 法 ．如 图 １， ＢＤ 是 矩 形 ＡＢ ＣＤ 的 对 角 线 ，将 △ ＢＣ Ｄ 分 割 成 两 对 全 等 的 直 角 三 角 形 和 一 个 正 方 形 ， 然 后 按 图 ２ 重 新 摆 放 ，观 察 两 图 ， 若 ａ ＝ ４， ｂ ＝ ２， 则 矩 形 ＡＢ ＣＤ 的 面 积 是 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 ７８ 分 ） １５ ．（ ６ 分 ） 解 方 程 ：（ ２ｘ ＋ ３） ２ ＝ （ ３ｘ ＋ ２） ２ ． １６ ．（ ６ 分 ） 若 关 于 ｘ 的 方 程 ｋｘ ２ － ２ｘ ＋ １ ＝ ０ 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 求 ｋ 的 取 值 范 围 ． １７ ．（ ６ 分 ） 某 水 果 成 本 价 为 １２ 元 ／千 克 ．经 调 研 ，该 水 果 在 某 平 台 上 的 售 价 为 ２８ 元 ／千 克 时 ，可 销 售 ３０ ０ 千 克 ；售 价 每 降 ２ 元 ，销 量 将 增 加 １０ ０ 千 克 ．为 了 推 广 宣 传 ，商 家 决 定 降 价 促 销 ， 同 时 尽 量 减 少 库 存 ， 若 销 售 该 水 果 获 利 ６ ００ ０ 元 ，则 售 价 应 降 低 多 少 元 ？ １８ ．（ ６ 分 ） 已 知 关 于 ｘ 的 方 程 ｘ２ ＋ ２ｍ ｘ ＋ ｍ ２ － １ ＝ ０（ ｍ 为 常 数 ） ． （ １） 求 证 ：不 论 ｍ 为 何 值 ，方 程 总 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ； （ ２） 若 方 程 有 一 个 根 是 － ２， 求 ３ ００ ０ － ｍ ２ ＋ ４ｍ 的 值 ． １９ ．（ ７ 分 ） 某 市 为 了 扎 实 落 实 住 房 保 障 工 作 ，第 一 年 投 入 ５ 亿 元 资 金 ， 之 后 投 入 资 金 逐 年 增 长 ，第 三 年 投 入 ７ ２ 亿 元 资 金 用 于 保 障 性 住 房 建 设 ． 假 设 这 两 年 每 年 投 入 的 年 平 均 增 长 率 相 同 ． （ １） 求 该 市 这 两 年 投 入 资 金 的 年 平 均 增 长 率 ； （ ２） 第 四 年 该 市 计 划 保 持 相 同 的 年 平 均 增 长 率 投 入 资 金 用 于 保 障 性 住 房 建 设 ，如 果 每 户 能 得 到 保 障 房 补 助 款 ３ 万 元 ， 求 第 四 年 该 市 能 够 帮 助 建 设 保 障 性 住 房 的 户 数 ． 4 – ¨ © ª > « ¬ !"#$%&!' ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! " # $ % & ! ' $ ( ) & * + , - . / ! " # $ % & ! $ ! " # $ % & ! &