专题22 函数中的恒成立和有解问题（2大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题22 函数中的恒成立和有解问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、函数中的恒成立问题 3 题型二、函数中的有解问题 4 压轴能力测评（14题） 6 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 函数中的恒成立问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的定义域为全体实数R． (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围． 7．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 8．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围. 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 10．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 11．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【题型二 函数中的有解问题】 一、单选题 1．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的图象经过定点，那么使得不等式在区间上有解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 3．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）设，若关于的不等式在上有解，则的取值范围是 ． 三、解答题 4．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知为幂函数. (1)求函数的值域； (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设函数是定义上的奇函数． (1)求的值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，求在上的最小值． 7．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 8．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性，并求若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围． 9．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的值域； (2)，，使得成立，求实数的取值范围． 10．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 一、单选题 1．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知为偶函数，为奇函数，且满足，若方程有解，则实数m的取值范围是 . 三、解答题 4．（22-23高一上·山东日照·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)当时，不等式有解，求实数m的取值范围． 5．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且． (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 6．（22-23高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数（且）． (1)当时，解关于的方程； (2)当时，方程在上有解，求实数的取值范围． 7．（22-23高一上·辽宁·期中）已知， (1)求的解析式； (2)已知在上有解，求的取值范围． 8．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 9．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 11．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）设函数，其中. (1)若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； (2)若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； (3)求函数 在 上的最小值. 12．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 13．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)当时，用定义法证明函数在上是减函数； (2)已知二次函数满足，，若不等式有解，求的取值范围. 14．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数，，. (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (3)设，记为函数在上的最大值，求的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22 函数中的恒成立和有解问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 题型一、函数中的恒成立问题 3 题型二、函数中的有解问题 12 压轴能力测评（14题） 20 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数的值域为或，或或中之一种，则 ①若恒成立（即无解），则； ②若恒成立（即无解），则； ③若有解（即存在使得成立），则； ④若有解（即存在使得成立），则； ⑤若有解（即无解），则； ⑥若无解（即有解），则． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的取舍） 二、分离参数的方法 ①常规法分离参数：如； ②倒数法分离参数：如； 【当的值有可能取到，而的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】 ③讨论法分离参数：如: ④整体法分离参数：如； ⑤不完全分离参数法：如； ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ①在上是增函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ②在 上是减函数，则恒成立．(等号不能漏掉)． ③在上是单调函数，方法一：分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ①，使得方程成立． ②，使得方程成． 五、其他恒成立类型三 ①，； ②，； ③，； ④，． 【题型一 函数中的恒成立问题】 一、单选题 1．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）函数，若对于任意的，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件进行参变分离，构造新函数，借助对勾函数单调性求出新函数的最值，即可求出的范围. 【详解】对于任意的， 设，，而当时，函数在上递减，在上递增， 又，，，因此，，则， 所以的取值范围是. 故选：A 2．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得． 法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得． 【详解】法一：由题意，恒成立， 等价于， 当时，即，，则恒成立， ，，解得：， 当时，即时，不等式不成立， 当时，即，，则， ，，解得：， 综上所述：的取值范围是或； 法二：由，即， 令函数， ，即，对于中的任意恒成立， 则有且，即，解得或， 所以的取值范围是或. 故选：D． 3．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知函数，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质及对数函数的单调性，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 由，得，即， 因为不等式在上恒成立， 所以，即可. 由，得，即， 所以的取值范围为. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若对均有成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，，可得出对恒成立，令，由题意可得出，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为函数，则函数在上为增函数， 因为对均有成立， 则，即对恒成立， 令，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 二、解答题 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论； (2)若对于恒成立，求实数m的范围. 【答案】(1)奇函数；见解析. (2) 【分析】（1）利用奇函数的定义求解即可； （2）利用函数的单调性求解即可. 【详解】（1）判断函数为奇函数. 由函数, 知即或， 且， 故函数为奇函数. （2）， 时，为增函数，故为增函数， 所以， 若对于恒成立， 则. 6．（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的定义域为全体实数R． (1)求的解析式； (2)若在上恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求出m的值即可； （2）恒成立问题，参变分离，求最值. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 又时，，定义域不为R，舍去， 所以，. （2）由（1）得，，在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 当时,，显然成立； 当x时，得在x时恒成立， 由对勾函数的性质得，在x时单调递减， 所以，所以， 所以实数k的取值范围为. 7．（24-25高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【详解】（1），， ，解得， . （2）在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ，， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. （3）由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数的取值范围为. 8．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求的解析式； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解参数即可. （2）通过参变分离，把原不等式转化成，然后求解中的范围，进而求出的最小值. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 所以，可得恒成立， 即，所以， 所以，， 所以. （2）由（1）知，令，则，. 因为不等式恒成立，等价于恒成立， 所以恒成立，则， 又因为，所以，此时， 所以. 9．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明； (3)若在区间上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据，得到方程，求出； （2）先得到，定义法判断函数单调性步骤，取值，作差，判号，下结论； （3）参变分离得到，构造，换元后得到，根据单调性求出其最值，得到结论. 【详解】（1）定义域为R， ， 由于函数为偶函数，所以， 即，即， 即恒成立， ． （2）已知函数，由于函数在上单调递增， 由第（1）问可得，因此 不妨设，，且 则 因为，因此，由因为，，因此， 所以，故，所以函数在单调递增． （3）由题得在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 因为，所以，所以在区间上恒成立， 令，令， 则， 因为在单调递增， 所以函数在上单调递减，故． ． 对任意的恒成立，且， ． 实数的取值范围是． 10．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中是奇函数． (1)求a的值； (2)求解不等式； (3)当时，恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的奇函数，满足，列式求解； （2）根据（1）的结果，解指数不等式； （3）首先判断函数的单调性，再根据函数是奇函数，化简不等式得，再讨论得到取值，求解的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以， ， 则，则； （2），即， 整理得，则， 所以． （3），所以在和上是严格减函数， 且当时，；当时，； 由可得：，， 当时，， 当时，，所以，即，又，所以； 当时，，则，而，，则满足题意； 函数的定义域，则时不符，舍去． 综上． 11．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证； （2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解. 【详解】（1）证明：当时，， 当时， ， 由于，则，，， 则，，即； 当时，， 由于，则，则， ，即； 当时，， 由于，则， ，即； 综上，为单调递增函数； （2）①当时，恒成立，即恒成立， 或，解得； ②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则； 综上，实数的取值范围为． 【题型二 函数中的有解问题】 一、单选题 1．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的图象经过定点，那么使得不等式在区间上有解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可求得，进而得到，根据对数真数大于零可确定；将不等式化为，根据对数函数单调性，结合分离变量法可得，根据不等式有解可知，令，将问题转化为求解在上的最大值的问题，利用二次函数性质可求得最大值，结合可得结果. 【详解】，，解得：，； 当时，恒成立，若，则； 由得：， ，即； 令，，，即； 令，则当时，， ，又，，即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知定义在上的奇函数在时满足，且在有解，则实数的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【分析】由题设得到，结合函数单调性得到在有解求参数范围，即可得答案. 【详解】当时，函数单调递增，值域为， 由在R上为奇函数，则上函数也递增，值域为，且， 综上，在R上单调递增， 因为，所以， 所以，所以，即在有解， 当时，所以. 故选：ABC 二、填空题 3．（24-25高一上·福建三明·阶段练习）设，若关于的不等式在上有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用分离常数，结合函数的最值来求得的取值范围. 【详解】依题意，关于的不等式在上有解， 即在上能成立， 由于函数在区间上单调递增，最大值为， 所以的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 4．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)若不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复合对数函数定义域的求法列出不等式组，解之即可得解； （2）只需结合换元法、对数函数单调性，求出的最大值即可得解. 【详解】（1）函数有意义，须满足，∴． ∴函数的定义域为． （2）∵不等式有解，∴小于的最大值． ． 令，由于，∴． ∴函数的最大值为， ∴实数的取值范围为． 5．（23-24高一下·云南·阶段练习）已知为幂函数. (1)求函数的值域； (2)若关于的不等式在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义可求得，从而得到，利用指数函数的值域和不等式性质即可求得函数的值域； （2）将不等式化成，依题要求在上的最小值，而这由函数的单调性即得. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得， 所以，则. 因为对,都有，则， ， 即函数的值域为. （2）由可得， 令，易得在上单调递增. 因为在上有解，所以， 而 ，故，即的取值范围为. 6．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）设函数是定义上的奇函数． (1)求的值； (2)若不等式有解，求实数的取值范围； (3)设，求在上的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助奇函数的性质计算即可得； （2）有解，即，求出即可得； （3）使用换元法，令，结合函数性质即可得. 【详解】（1）因为是定义域为上的奇函数， 所以，所以，解得，， 当时，，则为奇函数， 故； （2）有解，即有解， 所以， 因为，时，等号成立）， 所以； （3），即， 可令，可得函数在递增，即， ，可得函数，， 由的对称轴为，可得时，取得最小值， 此时，解得， 则在上的最小值为，此时． 7．（23-24高一上·云南昭通·期末）已知函数 (1)判断的奇偶性； (2)判断函数的单调性，并用定义证明； (3)若不等式在区间上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数 (2)在上为减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分析判断； （2）先对函数化简变形后，再任取，且，然后化简变形，再判断符号，可得结论； （3）利用函数是奇函数将原不等式转化为，再由函数为上的减函数，得，即存在，使得成立，然后求出的最大值即可. 【详解】（1）∵，定义域为，关于原点对称， 又， ∴为奇函数. （2）∵， 任取，且，则 ， ∵，∴，，， 故，即， ∴在上为减函数. （3）∵为上的奇函数，又， ∴. 又由于函数为上的减函数， ∴， 则， 又存在，使得成立，则， 又∵在上为减函数， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性，函数单调性的证明，考查利用函数单调性和奇偶性解不等式，第（3）问解题的关键是利用函数为奇函数将原不等式转化后，再利用函数的单调性解不等式，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 8．（22-23高一上·江苏淮安·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明在上的单调性，并求若存在实数，使得不等式有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递增， 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及求得，，从而求得. （2）利用函数单调性的定义证得在上单调递增，利用换元法，结合二次函数的性质来求得的取值范围. 【详解】（1）∵为定义在上的奇函数，∴，则有， 由得，∴，， 又，∴，，. （2）在上单调递增，证明如下： 任取，， ∵，∴，，且，， ∴，∴，在上单调递增； 由上可知在上单调递增，∴，． 令，则有， 令，， ，∴. 【点睛】利用函数单调性的定义判断函数的单调性，首先在定义域内任取，且，然后通过计算的符号，由此来判断出函数的单调性.研究二次函数在闭区间上的单调性，主要是结合二次函数的开口方向、对称轴以及定义域来进行. 9．（2024高一·全国·专题练习）已知函数，． (1)求的值域； (2)，，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元法令， 借助于一元二次函数的性质求出值域； （2）原题等价于，借助于（1）求出，换元平方法求出的最小值，从而求出，代入求解可得的范围. 【详解】（1），解得：， 令，则，则， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即的值域为. （2），，使得成立，等价于. 令，则 因为的图像开口向下，且对称轴为，，所以， 所以，则， 由（1）可知，， 由题意可知：，即. 10．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知幂函数在上单调递减. (1)求函数的解析式； (2)若，求x的取值范围； (3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出关系式，即可求解； （2）由函数的图象与性质，把不等式转化为，结合不等式的解法，即可求解； （3）根据题意，转化为，得到，再由题意，转化为，结合一次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由幂函数在上单调递减， 可得，解得， 所以. （2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增， 则可化为，平方得， 化简得，解得，所以x的取值范围是. （3）解：由（1）知， 因为对，使得都成立， 所以，其中， 由（1）可得函数在上的最大值为4，所以， 因为存在，使得成立，可得， 又因为，所以是关于的单调递增函数， 所以，即，解得或， 所以实数t的取值范围为. 一、单选题 1．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）已知不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数，在区间为单调递增函数，求得，根据题意，转化为不等式，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】令函数， 可得函数在区间为单调递增函数，所以， 因为不等式对任意的恒成立，即， 由，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、填空题 2．（2024高一·全国·专题练习）已知定义域为的函数．若对任意恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由函数单调性可得在上单调递减，再将问题转化为对任意恒成立，化简得，对任意恒成立；即然后利用单调性求解即可. 【详解】； 增大时，增大，减小，减小； 所以在上单调递减； 所以为奇函数，由得，； 又在上单调递减； 所以，该不等式对于任意恒成立； 即，对任意恒成立； 所以只需 令 显然单调递增 所以 故答案为：． 3．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知为偶函数，为奇函数，且满足，若方程有解，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】先将的替换为，然后解方程组求出和，带入，然后将表示出来，通过换元法，利用基本不等式求最值即可得答案. 【详解】为偶函数, , 又为奇函数，， 由①得， 即②， 由①②得， 则方程为， 整理得 当，即时，方程为，方程无解； 当，即时，方程为， 令且， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 所以. 故答案为：. 三、解答题 4．（22-23高一上·山东日照·期中）函数是定义在上的奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)当时，不等式有解，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用、可求出答案； （2）由可得，然后求出右边对应函数的最小值即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，且， 可得，即， 又，即，解得， 即有，，可得为奇函数， 所以． （2）当，不等式可变形为能成立， 设， 则， 当且仅当时，即时等号成立， 所以函数的最小值是4， 则，即m的取值范围是． 5．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知函数在区间上有最大值11和最小值3，且． (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二次函数的单调性求出在区间上的最值即可得解. （2）由（1）求出，将不等式变形，分离参数，构造函数并求出其最大值即得. 【详解】（1）函数图象的对称轴为，显然函数在上单调递增， 因此，，解得， 所以. （2）由（1）知，，， 因此不等式， 令，由，得，则， 显然函数在上单调递增，当时，， 由不等式在上有解，得， 所以实数的取值范围是. 6．（22-23高一上·山东泰安·阶段练习）已知函数（且）． (1)当时，解关于的方程； (2)当时，方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，换元后得，解得，进而求得； （2）分离参数得，令换元后得，利用二次函数的性质求得的范围即可． 【详解】（1）解：当时，， 即，令， 则， 解得， ； （2）解：， 即， ， ， ， 设， 则，对称轴为， ∴ 当时，递增， ，结合二次函数的性质， ． 7．（22-23高一上·辽宁·期中）已知， (1)求的解析式； (2)已知在上有解，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，用依次替换x，再消元求解作答. （2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在的最大值作答. 【详解】（1），，用替换x得：， 则有， 用替换x得：， 于是得，则， 所以的解析式为，. （2），，即， 于是得，令，依题意，，有解， 当时， ，当且仅当，即时取等号， 因此当时，，则， 所以的取值范围是． 8．（23-24高一上·湖北武汉·期末）已知函数是上的奇函数. (1)求实数，的值； (2)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求解，要注意验证； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）通过函数性质把问题转化为对任意，有恒成立，换元，利用二次函数性质求解最值即可求解. 【详解】（1）因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以， 又，即，所以，当，时，， 此时，所以为奇函数，故，； （2）函数在上单调递增，证明如下： 因为，设， 则， 因为，所以，， 所以，即，所以在上单调递增； （3）因为为奇函数，所以不等式可变形为， 又在上单调递增，所以， 即对任意，有恒成立， 令，则，所以，， 故，所以，故实数的取值范围为. 9．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. (3)对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)函数为非奇非偶函数，理由见解析； (3) 【分析】（1）根据函数的解析式有意义，得出不等式组，即可求解； （2）根据函数的定义域的不关于原点对称，即可得到结论； （3）根据题意，转化为，根据函数的单调性，求得，得到， 法一：转化为，令，求得，即可求解； 法二：分，和，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数有意义，则满足， 解得，所以函数的定义域为. （2）解：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数. （3）解：由“对，不等式恒成立”， 可得， 当时， 由在上单调递减，， 根据题意得，对 法一：可转化为， 令，由在上单调递减得，可得， 实数的取值范围为. 法二：设函数， ①当，即时，在上单调递减， 可得，解得，则； ②当，即时，在上单调递增， 可得，解得，则； ③当，即时，在先减后增， 可得，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 10．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数 (1)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明； （2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可. 【详解】（1） 在其定义域上单调递增. 证明如下：设任意，则有： ， ， ，，， ，， 在上单调递增，，即 . 函数在上单调递增. （2）由（1）知：当时，， 由不等式对恒成立， 得， 为单调递增函数， ， ， 解得 . 实数a的取值范围 11．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）设函数，其中. (1)若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； (2)若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； (3)求函数 在 上的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合任意性的定义进行求解即可； （3）根据对勾函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为是关于 的不等式的解， 所以，因此的取值范围为； （2）因为对任意的 ，不等式恒成立， 所以有成立， 因为， 对于对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 对于二次函数的对称轴为，开口向上，显然， 当时，， 综上， 当时，由，所以， 当时，由，显然无实数解， 故的取值范围为； （3）因为， 所以对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由不等式恒成立，转化为. 12．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，． (1)证明：函数是奇函数； (2)证明：在上是增函数； (3)若，对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）令可得，再令，结合奇函数定义，即可证明； （2）设任意且，作差，结合条件赋值法可证明，再结合奇函数性质，即可得证； （3）可转化为即，结合性质所证明性质求出，再主元变换解决关于的函数恒成立问题，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）令，得，， ， 令，，， 所以函数是奇函数； （2）设任意且， 由题意，， 又由（1）是奇函数， 得， ，， 已知当时，，从而有， 故，即， 在上单调递增， 根据奇函数的性质可知在上也单调递增， 故在上是增函数； （3）对任意恒成立，即， 由（2）得，在上是增函数， 所以当时，， 又（1）可知，函数是奇函数，则，即. 所以对任意恒成立， 设，，要使恒成立， 则，即， 解得或，所以实数的取值范围是． 13．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数. (1)当时，用定义法证明函数在上是减函数； (2)已知二次函数满足，，若不等式有解，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用定义法“取值、做差、变形、判断符号”即可证明. （2）先赋值列方程组，利用待定系数法求出的解析式，根据有解，利用分离参数的方法就可以求出的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以， 设，，且， ， 因为，，且， 所以，，， 所以， 所以，即， 所以函数在上是减函数； （2）因为， 令，， 所以， 令，， 设， ，解得：， 所以， 因为有解， 所以有解，， 所以有解，， 所以，， 令，，则， 因为的对称轴为， 所以当时，，即， 所以. 14．（23-24高一上·浙江·期末）已知函数，，. (1)若，方程有解，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (3)设，记为函数在上的最大值，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用在上的单调性转化为求函数值域； （2）转化为在上，，分类讨论求的最大值，然后可得参数范围； （3）根据绝对值的意义求得的表达式，然后由的单调笥得最小值． 【详解】（1）， 因为函数的图象的对称轴是直线， 所以在上为减函数.                                         故的取值范围为. （2）∵对任意的，总存在，使得， ∴在上，，                                        ∵函数图象的对称轴是直线，又 ∴当时，函数有最大值为， ①当时，，不符合题意，舍去. ②当时，在上的值域， ∴，得，              ∴； ③当时，在上的值域为，只需，∴. 综上，的取值范围为. （3）函数为的对称轴为， 当或时，在上单调递增， 则； 当时，， 解，得， 故当，. 综上，. ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴时取最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$