专题21 常见复合函数的性质（3大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第一册）

专题21 常见复合函数的性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、幂函数中的复合函数 2 题型二、指数函数中的复合函数 2 题型三、对数中的复合函数 3 压轴能力测评（16题） 4 一、复合函数 1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2.求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 【题型一 幂函数中的复合函数】 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 4．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 5．（22-23高一上·安徽淮北·期中）函数的单调递增区间 . 【题型二 指数函数中的复合函数】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 三、填空题 4．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 5．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 四、解答题 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【题型三 对数函数中的复合函数】 一、单选题 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 6．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 三、填空题 7．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 四、解答题 8．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、多选题 4．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数在上单调递增，则的取值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 5．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 6．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 7．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 8．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 三、填空题 9．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 10．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 11．（23-24高一上·全国·期末）已知函数，则的定义域为 ，值域为 . 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知是偶函数，的最小值为 . 13．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 14．（23-24高一上·河南三门峡·阶段练习）已知函数. (1)若时，求函数的值域． (2)若时，求函数的单调递增区间． 15．（23-24高一下·河南·期末）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 16．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21 常见复合函数的性质 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 题型一、幂函数中的复合函数 2 题型二、指数函数中的复合函数 4 题型三、对数中的复合函数 7 压轴能力测评（16题） 12 一、复合函数 1.复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。 复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数. 2.求复合函数单调性的步骤： ①确定函数的定义域 ②将复合函数分解成两个基本函数 分解成 ③分别确定这两个函数在定义域的单调性 ④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。 在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 【题型一 幂函数中的复合函数】 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式，求得函数的定义域，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得或， 当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增， 根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为. 故选：A. 2．（23-24高一上·湖南常德·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，，利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：由，得，即， 解得，所以 的定义域为， 令，在上递增，在上递减，又，在上递减， 所以在上递减， 所以函数的单调递减区间为， 故选：C 二、填空题 3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】根据偶函数的性质求出的值，再求出函数的定义域，由复合函数的单调性求出的单调递增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 4．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设，结合二次函数性质确定开口和对称轴，讨论、，应用复合函数单调性判断的增区间，结合已知求参数范围. 【详解】由题设，对于，开口向上且对称轴为， 而对于在定义域上递增， 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有，显然恒成立； 当，则定义域为，故在 上递减，在上递增， 此时在上递增，结合题设递增区间，有， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 5．（22-23高一上·安徽淮北·期中）函数的单调递增区间 . 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性求解. 【详解】解：令，即， 解得，所以的定义域为， 因为在上递增，在上递减， 且在上递减， 所以的单调增区间为， 故答案为： 【题型二 指数函数中的复合函数】 一、单选题 1．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 二、多选题 3．（24-25高二上·湖南·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C．在上单调递减 D． 【答案】BC 【分析】根据偶函数的定义判断A，根据指数复合函数值域的求法求解判断B，结合指数函数的单调性及复合函数的单调法则判断C，利用单调性比较大小判断D. 【详解】易得的定义域为，且， 故不为偶函数，故A错误； 令，则， 因为在上的值域为，故B正确； 因为在上单调递增，且在上单调递减， 所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，故C正确； 由于函数在上单调递减，所以，故D错误. 故选：BC 三、填空题 4．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得. 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 5．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 四、解答题 6．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数（，且）. (1)若，求函数在上的最值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）首先判断复合函数的单调性，再根据单调性求最值； （2）首先求解内层函数的单调性，再讨论外层函数的单调性和定义域，即可求解参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，设， 函数在上递减，在上递增，函数在上递减， 则函数在上递增，在上递减，，，， 所以当，时，，. （2）函数在上递减，在上递增 当时，函数在上递增，所以函数在上递减，在上递增， 又，则函数在区间上递增，故满足题意； 当时，函数在上递减，所以函数在上递增，在上递减， 又，若需满足题意，则，得. 综上，的取值范围是. 【题型三 对数函数中的复合函数】 一、单选题 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】函数，令，即，解得或， 所以的定义域为， 又在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故选：C 2．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围. 【详解】因为函数 在 上单调递增， 所以在上单调递增，所以. 且在恒大于0，所以或. 综上可知：. 故选：B 3．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的值域为，可得函数的值域应包含，利用即可得解. 【详解】函数的值域为， 则函数的值域应包含， 则有，解得或， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 4．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数，则（    ） A．的定义域是 B．有最大值 C．不等式的解集是 D．在上单调递减 【答案】ABD 【分析】根据函数的解析式求解定义域，利用复合函数的单调性求解单调区间及最值，利用单调性解对数不等式即可. 【详解】因为， 由，解得，所以的定义域是，故A正确； 的对称轴为：， 所以在上单调递增，在上单调递减； 在单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有最大值为，故B，D正确； ，即，所以， 所以，解得，故C错误. 故选：ABD. 5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）关于函数，以下说法正确的是（    ） A．为奇函数 B．为偶函数 C．在区间单调递增 D．在区间单调递减 【答案】BC 【分析】根据奇偶性的定义，先求函数的定义域，利用定义，可得A、B的正误； 根据复合函数单调性的判别，结合对数函数和对勾函数的单调性，可得C、B的正误. 【详解】由，则，当时，等号成立，则的定义域为， 为偶函数，故A错误，B正确； 当时，函数且单调递增，函数且单调递增，函数单调递增， 函数在单调递增，故C正确，D错误. 故选：BC. 6．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知函数，则下列有关该函数叙述正确的有（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BC 【分析】由函数奇偶性的定义即可判断AB，由复合函数的单调性即可判断C，由函数的单调性结合函数图像即可求解函数值域，从而判断D. 【详解】    函数，由，解得， 因此的定义域为， 显然，函数是奇函数，错误，B正确； 函数，显然在单调递增， 当时，，函数在上单调递增， 于是在上单调递增，正确； 当或时，， 函数在上单调递减， 于是在上单调递减，图像如图所示， 所以值域为，故D错误. 故选:BC． 三、填空题 7．（24-25高三上·四川德阳·开学考试）已知，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合函数是定义在上的增函数得在上单调递增且在上恒成立，从而根据一元二次函数性质即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 而函数是定义在上的增函数， 所以在上单调递增，且在上恒成立， 所以，所以a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 8．（24-25高三上·山西晋城·阶段练习）已知函数满足． (1)求的解析式； (2)若，求的值域； (3)讨论的定义域． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）换元法求函数解析式即可； （2）换元后求出真数的取值范围，再利用对数函数的单调性求值域； （3）分类讨论m的取值范围，再得出函数的定义域. 【详解】（1）令，得， 则， 所以． （2）若，则， 令，当且仅当时，u取得最小值，且最小值为4． 因为为减函数，所以， 故的值域为． （3）． 当时，，则的定义域为； 当时，，则的定义域为； 当时，由，得或， 则的定义域为． 综上，当时，的定义域为；当时，的定义域为． 一、单选题 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调区间的求法，即可求出结果. 【详解】由得到或， 令，则， 因为在定义域上是减函数， 又的开口向上且对称轴为， 易知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以的单调递增区间为， 故选：B. 2．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用复合函数的单调性得出结果． 【详解】设，因为的图象过点， 所以，解得，即， 可得在上单调递减， 则函数， 由，解得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选：A. 3．（23-24高一上·浙江宁波·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求函数在区间上单调递增的等价条件，在结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】二次函数图象的对称轴为， 若函数在区间上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，即， 若，则，但是，不一定成立， 故“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件． 故选：A 二、多选题 4．（23-24高一上·陕西商洛·期末）已知函数在上单调递增，则的取值可能为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】结合对数函数及复合函数的单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 则，解得． 故选：CD. 5．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】AC 【分析】 由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误. 【详解】A：因为，所以，故A正确； B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误； C：，对称中心为，故C正确； D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误； 故选：AC. 6．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为，故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不是减函数，故D错误. 故选：BC 7．（23-24高一上·广东茂名·期中）关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】的定义域为，代入化简可判断奇偶性，从而判断A；令，由对勾函数的性质分析单调性，结合复合函数的单调性，可求出的单调区间，可判断B；结合单调性可求出的最值以及值域，从而判断CD. 【详解】由题知，的定义域为，且， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，故正确. 令， 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为增函数，当时，为减函数； 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为减函数，当时，为增函数； 函数为增函数，由复合函数的单调性可知，的递增区间为（不能用联结），故B错误，. 由函数的单调性可知，函数在上有最小值，且最小值为，故C错误. 函数的值域是，故D正确. 故选：AD. 8．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数（    ） A．的值域为 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】选项A，变形为与二次函数有关的复合函数值域求解； 选项B，利用两个减函数的和为减函数，利用单调性求值域； 选项C，平方变形与A同理可求； 选项D，变形为与分式函数有关的复合函数值域求解， 关键是根号内函数分离常数变形为反比例函数求解即可. 【详解】要使，都有意义，则有， 故， 选项A，设，， ， ， 则的值域为，故A正确； 选项B，设，， 则在单调递减， 故， ， 则的值域为，故B正确； 选项C，设， ， ， 由选项A知，的值域为，则的值域为， 又，所以的值域为，故C错误； 选项D，设，且 ， 由，则， 令，则， 则关于的函数在单调递减， 则的值域为， 即的值域为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】/ 【分析】根据复合函数的单调性法则求解. 【详解】由，令，则， 因为为增函数，的增区间为， 所以的单调递增区间为. 故答案为： 10．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的单调性得到在上单调递增，得到答案. 【详解】设，函数在上单调递增， 函数在单调递增，故在上单调递增，故. 故答案为：. 11．（23-24高一上·全国·期末）已知函数，则的定义域为 ，值域为 . 【答案】 【分析】根据对数函数有意义，结合指数函数的性质可求得函数定义域；求出的范围，结合对数函数单调性，即可求得值域. 【详解】令，即，因为，所以， 即函数的定义域为； 因为，，所以，所以， 则，即， 因此，函数的值域为. 故答案为：；. 12．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知是偶函数，的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用偶函数性质求得，然后化简函数，利用复合函数值域求法结合基本不等式求解即可. 【详解】因为函数为偶函数，则， 即， 所以， 由的任意性可得，故， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立，即， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 13．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】代入数据计算，平方得到，再计算得到答案，设，得到 ，变换得到，计算最值得到答案. 【详解】，，故， . ，即， 设，，在上单调递减，在上单调递增， 故，， 故，故， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：；. 四、解答题 14．（23-24高一上·河南三门峡·阶段练习）已知函数. (1)若时，求函数的值域． (2)若时，求函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求指数型函数的值域，对于型函数，应先求出的值域，再利用函数单调性求出原函数值域． （2）当时，设，根据指数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性，即可求解； 【详解】（1）当时，得，函数的定义域为． 因为 所以，即.又， 所以函数的值域为. （2）当时，， 设，则函数开口向下，对称轴方程为， 所以函数在单调递增，在单调递减， 又由指数函数在上为单调递减函数， 根据复合函数的单调性，可得函数在单调递减，在单调递增， 即函数的递增区间． 15．（23-24高一下·河南·期末）已知函数． (1)若为偶函数，求的值； (2)若的值域为，求的取值范围； (3)当时，求的单调递减区间． 【答案】(1)2； (2)； (3). 【分析】（1）根据偶函数的性质，可得恒成立，从而可建立等式关系，进而求出的值，可求； （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数，据此计算可求的取值范围； （3）当时，，利用复合函数的单调性可得结论. 【详解】（1）因为为偶函数，所以， 所以，则恒成立，所以， 所以，则． （2）因为的值域为，所以可以取遍所有正数， 所以， 解得． （3）当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 由，得， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知的单调递减区间为． 16．（23-24高一下·河南周口·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数. (1)求实数的值； (2)请问是否存在正数，使得当时，函数的值域为，若存在这样的正数，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可； （2）根据函数单调性的定义可知在区间上单调递增，假设存在正数，通过判断方程正根的个数即可证明. 【详解】（1）由题意可得， 因为函数为偶函数，所以，即， 所以，整理得， 又因为，所以. （2）由（1）得， 令，设， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在区间上单调递增， 又由对数函数的单调性，可知函数在区间上单调递增， 假设存在正数，使得当时，函数的值域为， 则， 可得方程有两个不相等的正根，整理为， 可得， 又由，可得， 故方程没有两个不相等的正根，不存在满足题意的正数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$