精品解析：海南省文昌中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度第一学期高二第一次月考试题 数学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z=(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法运算可得，再由共轭复数的概念即可得解. 【详解】， 故选：C. 【点睛】本题考查了复数的运算及共轭复数的求解，考查了运算求解能力，属于基础题. 2. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角的正切值为斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】因为直线的倾斜角为，故直线斜率. 又直线过点，故由点斜式方程可得 整理为一般式可得：. 故选：B. 【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及点斜式，属基础题. 3. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 4. 如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，， 则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴 建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 则. 故选：A. 5. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ） A. [－10，10] B. [－10，5] C. [－5，5] D. [0，10] 【答案】D 【解析】 【分析】 求出点到直线的距离，解不等式可得结论． 【详解】由题意得，点P到直线的距离为＝. 又≤3， 即|15－3a|≤15， 解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]． 故选：D． 6. 过点的直线与连接的线段总有公共点（不包含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图像可知直线从逆时针旋转到时，和线段总有公共点（不包含端点）,算出和，进而根据直线倾斜角和斜率的关系，求出直线的斜率的取值范围. 【详解】 由图像可知直线从逆时针旋转到时，和线段总有公共点（不包含端点）， ，， 由直线倾斜角和斜率的关系，可得直线的斜率的取值范围是， 故选：B. 7. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点关于直线的对称点坐标，再由两点间距离公式计算可得结果. 【详解】设关于直线的对称点，如下图所示： 则，解得，即 此时即为最短路程，易知. 所以最短总路程为. 故选:C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 【答案】AB 【解析】 【分析】由直线方程易于判断A项；将其化成斜截式，易得其斜率，利用两直线垂直的充要条件易判断B项；利用直线的方向向量和斜率的关系即可判断C项；由点到直线的距离公式可判断D项. 【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确； 对于B，由可得，直线的斜率为，而直线的斜率为1，故直线l与直线互相垂直，故B正确； 对于C，若直线l的一个方向向量为，则其斜率应该是，显然错误，故C错误； 对于D，由原点到直线的距离为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2； D. 若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，， 对于A，因为，所以，又，所以，解得，所以或，A不正确； 对于B，，B正确； 对于C，因与互相垂直，则， 解得或，C不正确； 对于D，因为，轴的一个方向向量， 依题意，即，D正确； 故选：BD 11. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（ ） A. B. 四面体的表面积为 C. 四面体的外接球的体积为 D. 过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D作出截面并计算出截面面积来判断. 【详解】设是的中点，则两两相互垂直， 二面角为之二面角，平面， A选项，连接，，，所以三角形不是等腰三角形，而是的中点，所以与不垂直，A选项错误. B选项，，所以三角形和三角形是等边三角形，所以四面体的表面积为，B选项正确. C选项，由于，所以是四面体外接球的球心，外接球的半径为，体积为，C选项正确. D选项，设是中点，是中点，画出图象如下图所示，，四点共面. 由于平面，平面，所以平面，， 由于，所以平面，所以，而，所以，所以截面面积为.D选项正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角 【详解】，则，斜率为 则，解得 故答案为 【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，解题的关键是求出直线的斜率，属于基础题 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线与直线平行，则，解得， 直线为， 所以它们之间的距离是. 故答案为： 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据材料，易求得平面的法向量；设两个平面的交线的方向向量为，算出题设中来两平面的法向量和，利用和可求得的坐标，再利用空间向量的夹角公式求出线面所成角即得. 【详解】由题意，平面的法向量为； 设直线的一条方向向量为， 因平面的一条法向量为，平面的一条法向量为， 则有故可取， 因平面的法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 故答案为：；. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，： （1）若中点为，求过点与的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出D点的坐标，再根据两点式方程求出直线AD 的方程； （2）根据截距等于0和不等于0，运用截距式方程求解. 【小问1详解】 由题意， 的中点 ，即 ，由两点式直线方程得直线AD的方程为： ，即 ； 【小问2详解】 当过B点，且在x，y轴上的截距为0时，直线方程为 ，即 ； 设当在x，y上截距m不等于0时直线方程为 ， 将B点坐标代入得 ，即 ； 综上，（1）AD直线方程为 ，（2）过B点并且在x， y轴上截距相等的直线方程为 或. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，．且． （I）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） 【解析】 【分析】（I）根据线面平行的判定定理，结合题意，即可得证； （Ⅱ）根据面面垂直的性质定理，结合题意，即可得证； （Ⅲ）如图建系，求得各点坐标，进而可得坐标，分别求得平面PAB和平面PBC的法向量，利用二面角的向量求法，即可得答案. 【详解】（I）因为，平面，平面， 所以平面； （Ⅱ）因为，， 所以， 又因为平面平面，且平面平面， 所以平面； （Ⅲ）因为DP，DA，DC两两垂直，以D为原点，DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建系，如图所示： 所以， 所以， 设平面PAB的法向量， 则，即， 令，则法向量可取， 同理设平面PBC法向量， 则，， 令，则法向量可取， 所以， 又，且观察可得二面角所成的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得到，再由辅助角公式求出答案； （2）由三角形面积公式求出，由余弦定理得到，从而得到，得到周长. 【小问1详解】 由正弦定理得， 其中， 故， 因为，所以，故， 即，所以， 因为，所以， 故，解得； 【小问2详解】 由三角形面积公式得， 故， 由余弦定理得， 解得， 故，解得， 故，周长为6. 18. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 【答案】 （1）证明： 直线l的方程可化为y＝k（x＋2）＋1， 故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1）． （2）； （3）S的最小值为4，直线l的方程为x－2y＋4＝0． 【解析】 【分析】（1）直线方程化为y＝k（x＋2）＋1，可以得出直线l总过定点； （2）考虑直线的斜率及在y轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线l的方程为y＝kx＋2k＋1， 则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则解得k≥0， 故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为1＋2k， ∴A，B（0，1＋2k）． 又且1＋2k＞0， ∴k＞0． 故S＝|OA||OB|＝××（1＋2k）＝≥×（4＋）＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时，取等号． 故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为，分别为，的中点，所以. 因为，所以，所以. 又，，平面， 所以平面. （2） （3）存在，，理由如下： 假设存在，使二面角的正弦值为， 即使二面角的余弦值为. 由（2）得，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设平面的法向量， ， 解得，令，得， 则是平面的一个法向量. 由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为， 故二面角的余弦值为， 则有， 即，解得，. 又因为，所以. 故存在，使二面角的正弦值为． 【解析】 【分析】（1）由中位线和垂直关系得到，，从而得到线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值； （3）求出两平面的法向量，根据二面角的正弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，，所以，，两两垂直. 以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意有，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量， 则有 令，得，，所以是平面的一个法向量. 因为， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期高二第一次月考试题 数学 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z=(其中i是虚数单位)，则z的共轭复数=（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 4. 如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ） A. [－10，10] B. [－10，5] C. [－5，5] D. [0，10] 6. 过点的直线与连接的线段总有公共点（不包含端点），则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 对于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线l过点 B. 直线l与直线垂直 C. 直线l的一个方向向量为 D. 原点到直线的距离为1 10. 已知空间三点，设.则下列结论正确的是（     ） A. 若，且，则 B. 和的夹角的余弦值 C. 若与互相垂直，则的值为2； D. 若与轴垂直，则，应满足 11. 将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，如图所示，点，分别为线段，的中点，则（ ） A. B. 四面体的表面积为 C. 四面体的外接球的体积为 D. 过且与平行的平面截四面体所得截面的面积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为_________． 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 14. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则平面的法向量为___________；直线与平面所成角的正弦值为___________. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 15. 已知点，，： （1）若中点为，求过点与的直线方程； （2）求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16. 如图，在四棱锥中，平面平面，．且． （I）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 17. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，则的面积为，求的周长． 18. 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）． （1）证明：直线l过定点； （2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程． 19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $