第10期 期中复习（参考答案见下期）-【数理报】2024-2025学年八年级上册数学学案（湘教版）

书书书 ２１． （２０２３ 温 州 三 模 ，８ 分 ） 如 图 １３ ， 在 １０ × １０ 的 方 格 纸 中 ， 已 知 △ ＡＢＣ 各 顶 点 均 在 格 点 上 ，请 按 要 求 画 格 点 三 角 形 （ 顶 点 均 在 格 点 上 ）． （１ ） 在 图 １３ － ① 中 画 出 △ ＡＢＣ 平 移 后 的 △ Ａ′Ｂ′Ｃ′， 使 点 Ｄ 为 △ Ａ′Ｂ′Ｃ′ 一 边 的 中 点 ； （２ ） 在 图 １３ － ② 中 画 △ Ｄ ＥＦ ，使 它 与 △ ＡＢＣ 成 轴 对 称 ，且 点 Ｃ 与 点 Ｄ 对 应 ，并 画 出 对 称 轴 ． ２２． （８ 分 ） 随 着 人 们 对 空 气 污 染 问 题 的 重 视 ， 空 气 净 化 器 的 销 量 也 随 之 大 增 ．某 电 器 商 场 从 空 气 净 化 器 厂 家 购 进 了 甲 、 乙 两 种 型 号 的 空 气 净 化 器 进 行 销 售 ，已 知 一 台 甲 型 空 气 净 化 器 的 进 价 比 一 台 乙 型 空 气 净 化 器 的 进 价 多 ３００ 元 ，且 用 ７ ５００ 元 购 进 甲 型 空 气 净 化 器 和 用 ６ ０００ 元 购 进 乙 型 空 气 净 化 器 的 台 数 相 同 ．求 一 台 甲 型 空 气 净 化 器 和 一 台 乙 型 空 气 净 化 器 的 进 价 各 为 多 少 元 ． ２３． （９ 分 ） 如 图 １４ ，已 知 ＢＥ ⊥ ＡＣ 于 点 Ｅ ，ＣＦ ⊥ ＡＢ 于 点 Ｆ ，ＢＥ ，ＣＦ 相 交 于 点 Ｄ ，若 ＡＥ ＝ ＡＦ．求 证 ： （１ ）△ ＡＢＥ ≌ △ ＡＣＦ ； （ ２ ）ＢＤ ＝ ＣＤ ． ２４ ． （９ 分 ） 若 分 式 Ｍ 与 分 式 Ｎ 的 差 等 于 它 们 的 积 ，即 Ｍ － Ｎ ＝ Ｍ Ｎ ， 则 称 分 式 Ｎ 是 分 式 Ｍ 的 “ 互 联 分 式 ”． （１ ） 判 断 分 式 ３ ｘ ＋ ２ 与 分 式 ３ ｘ ＋ ５ 是 否 是 “ 互 联 分 式 ” ，请 说 明 理 由 ； （２ ） 小 红 在 求 分 式 １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ 的 “ 互 联 分 式 ” 时 ，用 了 以 下 方 法 ： 设 １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ 的 “ 互 联 分 式 ” 为 Ｎ ， 则 １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ － Ｎ ＝ １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ · Ｎ ， 所 以 （ １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋ １ ）Ｎ ＝ １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ ．所 以 Ｎ ＝ １ ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＋ １ ． 请 你 仿 照 小 红 的 方 法 ，求 分 式 ｘ ＋ ２ ｘ ＋ ５ 的 “ 互 联 分 式 ”． ２５． （１０ 分 ） 如 图 １５ ， 在 △ ＡＢＣ 中 ，ＡＢ ＝ ＡＣ ，∠ Ａ ＝ ２∠ ＡＢＤ ， 当 △ ＢＤ Ｃ 是 等 腰 三 角 形 时 ，求 ∠ Ｄ ＢＣ 的 度 数 ． ２６． （１０ 分 ） 如 图 １６ ，在 等 边 △ ＡＢＣ 中 ，点 Ｄ 是 ＡＢ 的 中 点 ，点 Ｅ 是 线 段 ＢＣ 上 一 点 ，连 接 Ｄ Ｅ ，∠ Ｄ ＥＢ ＝ α （３０° ≤ α ＜ ６０°） ，将 射 线 Ｄ Ａ 绕 点 Ｄ 顺 时 针 转 动 α ，得 到 射 线 Ｄ Ｑ ，点 Ｆ 是 射 线 Ｄ Ｑ 上 一 点 ，且 Ｄ Ｆ ＝ Ｄ Ｅ ，连 接 ＦＥ ，ＦＣ． （１ ） 补 全 图 形 ； （ ２ ） 求 ∠ ＥＤ Ｆ 的 度 数 ； （３ ） 用 等 式 表 示 ＦＥ ，ＦＣ 的 数 量 关 系 ，并 证 明 ． !"# $ %&!' $ ()*+,-./0123 !"# $ %&!' $ ()4+,-./0123 ! " # $ % & ! ! " ! ' & $ ! ! # ! $ ' & ! ! $ ! " # $ % & ' ( ) ' ! $ & ' ! $ & ! " ! ! % 书 期中综合质量检测卷（一） ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间１２０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、精心选一选（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　　　　１．若分式ｘ－１ ｘ２－４ 的值为０，则ｘ的值为 （　　） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．－２ Ｄ．±２ ２．某手机搭载了全球首款 ７纳米制程芯片，７纳米是 ０．００００００００７米．数据 ０．００００００００７用科学记数法表示为 （　　） Ａ．７×１０－９ Ｂ．０．７×１０－８ Ｃ．７×１０－８ Ｄ．７×１０－７ ３．（２０２３扬州邗江区期中）若三角形的两条边的长度分别是４ｃｍ和８ｃｍ，则第 三条边的长度可能是 （　　） Ａ．１２ｃｍ Ｂ．６ｃｍ Ｃ．４ｃｍ Ｄ．３ｃｍ ４．（２０２３晋城模拟）数学综合与实践小组的同学想测量一个 池塘两端Ａ，Ｂ之间的距离，他们设计了如图１所示的方案，在平 地上选取能够直接到达点Ａ和点Ｂ的一点Ｃ；连接ＢＣ并延长，使 ＣＥ＝ＢＣ；连接ＡＣ并延长，使ＣＤ＝ＡＣ，连接ＤＥ并测量其长度， ＤＥ的长度就是Ａ，Ｂ之间的距离，此方案依据的数学定理或基本 事实是 （　　） Ａ．ＳＡＳ Ｂ．ＳＳＳ Ｃ．ＡＳＡ Ｄ．ＡＡＳ ５．如果分式 ３ｘｙ２ｘ－ｙ中的ｘ，ｙ的值都扩大为原来的２倍，那么分式的值 （　　） Ａ．不变 Ｂ．扩大到原来的２倍 Ｃ．扩大到原来的４倍 Ｄ．扩大到原来的６倍 ６．如图２，若约定：上方相邻两个分式之和等于两个分式下方箭头共同指向的整 式，则分式Ｍ是 （　　） Ａ．２ｘｙｘ＋ｙ Ｂ． ２ｘｙ ｘ－ｙ Ｃ．－２ｘｙ Ｄ． ２ｘｙ ｙ－ｘ ７．（２０２３泗洪二模）如图３，已知△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，点Ａ，Ｂ的对应点分别为Ｄ，Ｅ， ＣＤ平分∠ＢＣＡ．若∠Ａ＝２８°，∠ＣＧＦ＝８８°，则∠Ｅ的度数是 （　　） Ａ．３２° Ｂ．３４° Ｃ．４０° Ｄ．４４° ８．某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长３５００米的管道，为尽量减少施工对交 通造成的影响，实际施工时“……”，设实际每天铺设管道 ｘ米，则可得方程３５００ｘ－１０－ ３５００ ｘ ＝１５，根据此情景，题中用“……”表示的缺失的条件应补为 （　　） Ａ．每天比原计划多铺设１０米，结果提前１５天完成 Ｂ．每天比原计划少铺设１０米，结果延期１５天完成 Ｃ．每天比原计划少铺设１５米，结果延期１０天完成 Ｄ．每天比原计划多铺设１５米，结果提前１０天完成 ９．（２０２３龙川期中）若一个三角形有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上， 则这个三角形是 （　　） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．无法确定 １０．（２０２３沈阳月考）如图４，△ＡＢＣ是等边三角形，Ｄ是线 段ＢＣ上一点（不与点Ｂ，Ｃ重合），连接ＡＤ，点Ｅ，Ｆ分别在线段 ＡＢ，ＡＣ的延长线上，且ＤＥ＝ＤＦ＝ＡＤ，点Ｄ从Ｂ运动到Ｃ的过 程中，△ＣＤＦ周长的变化规律是 （　　） Ａ．不变 Ｂ．一直变小 Ｃ．先变大后变小 Ｄ．先变小后变大 二、细心填一填（本大题共８个小题，每小题３分，共２４分） １１．当ｘ＝１时，分式 ３ ｘ２＋ｘ－ａ 无意义，则ａ＝ ． １２．如图５，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ．若∠ＢＡＤ＝４０°，则∠ＢＡＣ 的度数是 ． １３．（２０２３虎林一模）如图６，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在ＡＢ，ＢＣ上，连接ＣＤ，ＤＥ， 且∠Ａ＋∠ＤＥＢ＝１８０°，请你添加一个条件，使△ＡＤＣ≌△ＥＤＣ，你所添加的条件是 （添加一个即可）． １４．若关于ｘ的方程 ３ｘ－ ２ ｘ－２＝０的解是ｘ＝６，则关于ｙ的方程 ３ ｙ２＋２ －２ ｙ２ ＝ ０的解是 ． １５．如图７，在△ＡＢＣ和△ＡＤＥ中，ＢＣ＝ＤＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ＝３０°，∠Ｃ＝∠Ｅ ＝１２５°，ＡＣ平分∠ＢＡＤ，连接ＢＤ，则∠ＤＢＣ的度数为 ． １６．（２０２３乐平期末）已知 ４ｘ＋５ （ｘ－１）（２ｘ＋１）＝ ａ ｘ－１－ ｂ ２ｘ＋１（ａ，ｂ均为常数），则 ａ＋ｂ＝ ． １７．如图８，点Ｄ在△ＡＢＣ的ＡＢ边上，∠Ａ＝∠ＥＧＦ，点Ｆ为ＢＥ与ＣＧ的中点，ＤＢ ＝４，ＤＥ＝７，则ＥＧ的长为 ． １８．如图９，ＡＣ＝ＡＥ＝３，ＡＤ＝ＡＢ，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＥ∥ＣＢ，∠ＢＡＥ＝∠ＤＡＣ，ＤＥ 与ＡＣ的延长线交于点Ｆ．若ＢＣ＝１０，则ＣＦ＝ ． 三、耐心解一解（本大题共８个小题，共６６分） １９．（６分）计算： （１）（３ｎｐ） ２÷ｍｎ ｐ２ ； （２）（ｍ ２ ｍ－１－ｍ－１）÷ ２ｍ １－ｍ２ ． ２０．（６分）解分式方程： （１） ３ｘｘ－２＝ ６ ｘ－２； （２） ４ ｘ２－１ ＋ｘ＋２１－ｘ＝－１． ２１．（２０２３苏州吴江区期中，８分）如图１０，ＡＤ是△ＡＢＣ的高，ＣＥ是△ＡＢＣ的角平 分线，∠ＡＣＢ＝５０°，∠ＢＡＤ＝６５°，求∠ＡＥＣ的度数． （下转第２版                                                                                ） *+,-./01 书 （上接２版参考答案） ２０．因为 ＡＢ＝ＡＤ，ＡＢ＋ ＣＤ＝ＤＥ，所以ＡＤ＋ＣＤ＝ＡＣ ＝ＤＥ．在△ＡＢＣ和△ＤＡＥ中， ＡＢ＝ＤＡ， ＡＣ＝ＤＥ， ＢＣ＝ＡＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ ≌ △ＤＡＥ（ＳＳＳ）． ２１．因为 ＢＣ边上的中线 ＡＤ把△ＡＢＣ的周长分成６０和 ４０两部分，ＡＣ＞ＡＢ，所以 ＢＤ ＝ＣＤ，ＡＣ＋ＣＤ＝６０，ＡＢ＋ＢＤ ＝４０．因为ＡＣ＝２ＢＣ，所以ＡＣ ＝４ＣＤ．所以ＣＤ＝１２．所以ＡＣ ＝４８，ＡＢ＝２８． ２２．根据题意，得∠ＯＡＢ＝ ∠Ｃ＝９０°．在△ＡＯＢ和△ＣＯＤ 中， ＡＢ＝ＣＤ， ∠ＯＡＢ＝∠Ｃ， ＡＯ＝ＣＯ { ， 所 以 △ＡＯＢ≌ △ＣＯＤ（ＳＡＳ）．所以 ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ．所以点Ｄ，Ｏ， Ｂ三点共线，即钻头正好从点Ｂ 处打出． ２３．因为ＤＥ垂直平分ＢＣ， 所以ＢＥ＝ＣＥ．所以∠ＥＢＣ＝ ∠ＥＣＢ．因为 ＢＥ＝ＡＣ，所以 ＣＥ＝ＡＣ．因为∠ＡＣＥ＝１２°， 所 以 ∠Ａ ＝ ∠ＡＥＣ ＝ １ ２（１８０°－∠ＡＣＥ）＝８４°．因 为∠ＡＥＣ＝∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ， 所以∠ＥＢＣ＝４２°．因为ＢＦ平 分 ∠ＡＢＣ，所以 ∠ＥＢＦ ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２１°． ２４．（１）因为 ∠ＥＡＤ ＝ ∠ＥＤＡ，所以 ∠ＥＡＣ＋∠ＣＡＤ ＝∠Ｂ＋∠ＢＡＤ．因为ＡＤ平分 ∠ＢＡＣ，所以∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ． 所以 ∠ＥＡＣ＝∠Ｂ．因为 ∠Ｂ ＝５４°，所以∠ＥＡＣ＝５４°． （２）设 ∠ＣＡＤ ＝２ｘ，则 ∠Ｅ＝５ｘ．因为∠Ｂ＝５４°，所 以 ∠ＥＤＡ＝∠ＥＡＤ ＝２ｘ＋ ５４°．在 △ＡＥＤ中，∠ＥＤＡ＋ ∠ＥＡＤ＋∠Ｅ＝２ｘ＋５４°＋２ｘ ＋５４°＋５ｘ＝１８０°．解得 ｘ＝ ８°．所以∠Ｅ＝５ｘ＝４０°． （下转２，３版中缝） ! " #! !!"# " $"% !" &'&" & ( ' " ( !"#$ !"#$%&' !"#$%&'" ()*+,-'. ! " % ! ' $ " & ! ! ' " ! $ & ( ) & *+ & ),+ ),+ ! & $ - % " . ' & ! % ! $ . " $ ' & & " . ' $ ! ) ! * " . % - & ' $ . ' & " $ ! !' ) *+ 234 , ) *+ 567 , # - .+ 894 , ) *+ : ; , ) *+ < = -./01+ 8 > 23/01+ 8?@ -4506+ A B -4578+ CDE 6FG H I JKL M N OPQ 5RS MT? U D VWL XY3 HZ[ \Z] 53^ _=` abI c Q def 6gh 91-.+ \Z] 91:;+ H i <=-.+ 5jk >?-.+ 5ll @ABC+ mno pqrst*uv pqrtwxyz{|}~ pqrt€‚ƒ„…†u‡ ˆ‰Š‹ŒŽ ‹‘234 ’“”•–—Ž˜™‘ +,!"-')'). š / › ! ( $ % ' . " & . ' $ & ! # 书书书 期 中 综 合 质 量 检 测 卷 （ 二 ） ◆ 数 理 报 社 试 题 研 究 中 心 　 （ 说 明 ： 本 试 卷 为 闭 卷 笔 答 ， 答 题 时 间 １２ ０ 分 钟 ， 满 分 １２ ０ 分 ） 　 题 　 号 一 二 三 总 　 分 得 　 分 一 、 精 心 选 一 选 （ 本 大 题 共 １０ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ３ ０ 分 ） 题 号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答 案 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １． 下 列 分 式 中 ，属 于 最 简 分 式 的 是 （ 　 　 ） Ａ ． ２ ｘ Ｂ． ｘ ２ｘ ２ Ｃ． ４ ２ ｘ Ｄ ．１ － ｘ ｘ － １ ２． （ ２０ ２３ 齐 齐 哈 尔 建 华 区 三 模 ） 把 一 副 常 用 三 角 板 按 如 图 １ 所 示 拼 在 一 起 ，延 长 ＥＤ 交 ＡＣ 于 点 Ｆ， 那 么 ∠ ＡＦ Ｅ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ２０ ° Ｂ． １０ ５° Ｃ． ９０ ° Ｄ ．７ ５° ３． （ ２０ ２３ 延 边 州 一 模 ） 墨 迹 覆 盖 了 等 式 ａ６ ÷● ＝ ａ２ 的 一 部 分 ， 则 覆 盖 的 部 分 是 （ 　 　 ） Ａ ．ａ ２ Ｂ． ａ４ Ｃ． ａ５ Ｄ ．ａ １２ ４． （ ２０ ２３ 张 家 口 二 模 ） 如 图 ２， 点 Ｄ ，Ｅ ，Ｆ 都 在 △ ＡＢ Ｃ 的 ＢＣ 边 上 ，半 圆 Ｅ 和 半 圆 Ｆ 全 等 ，则 线 段 ＡＤ 是 △ ＡＢ Ｃ 的 （ 　 　 ） Ａ ．垂 直 平 分 线 Ｂ． 角 平 分 线 Ｃ． 高 线 Ｄ ．中 线 ５． 如 果 ａ ＋ ｂ ＝ ２， 那 么 代 数 式 （ ａ － ｂ２ ａ ） · ａ ａ － ｂ 的 值 是 （ 　 　 ） Ａ ．２ Ｂ． － ２ Ｃ． １ Ｄ ． － １ ６ ． （ ２０ ２３ 烟 台 芝 罘 区 一 模 ） 如 图 ３， 点 Ｂ 在 点 Ａ 的 北 偏 西 ５０ °方 向 ，点 Ｃ 在 点 Ｂ 的 正 东 方 向 ，且 点 Ｃ 到 点 Ｂ 与 点 Ａ 到 点 Ｂ 的 距 离 相 等 ，则 点 Ａ 相 对 于 点 Ｃ 的 位 置 是 （ 　 　 ） Ａ ．北 偏 东 ２５ ° Ｂ． 北 偏 东 ２０ ° Ｃ． 南 偏 西 ２５ ° Ｄ ．南 偏 西 ２０ ° ７． 斑 马 线 前 “ 车 让 人 ” ，不 仅 体 现 着 一 座 城 市 对 生 命 的 尊 重 ， 也 直 接 反 映 着 城 市 的 文 明 程 度 ．如 图 ４， 某 路 口 的 斑 马 线 路 段 Ａ － Ｂ － Ｃ 横 穿 双 向 行 驶 车 道 ，其 中 ＡＢ ＝ ＢＣ ＝ １２ 米 ，在 绿 灯 亮 时 ，小 敏 共 用 ２２ 秒 通 过 ＡＣ 路 段 ，其 中 通 过 ＢＣ 路 段 的 速 度 是 通 过 ＡＢ 路 段 速 度 的 １． ２ 倍 ， 则 小 敏 通 过 ＡＢ 路 段 时 的 速 度 是 （ 　 　 ） Ａ ．０ ．５ 米 ／秒 Ｂ． １ 米 ／秒 Ｃ． １． ５ 米 ／秒 Ｄ ．２ 米 ／秒 ８． 如 图 ５， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ，Ｄ 为 ＢＣ 上 的 一 点 ， ∠ ＢＡ Ｄ ＝ ２８ °， 在 ＡＤ 的 右 侧 作 △ ＡＤ Ｅ， 使 得 ＡＥ ＝ ＡＤ ，Ｂ Ｄ ＝ ＣＥ ，连 接 Ｄ Ｅ， 交 ＡＣ 于 点 Ｏ ． 若 ＣＥ ∥ ＡＢ ，则 ∠ Ｄ Ｏ Ｃ 的 度 数 为 （ 　 　 ） Ａ ．１ ２４ ° Ｂ． １０ ２° Ｃ． ９２ ° Ｄ ．８ ８° ９． 已 知 关 于 ｘ的 分 式 方 程 ｘ － ２ ｘ ＋ ２ － ｍ ｘ ｘ２ － ４ ＝ １ 无 解 ，则 ｍ 的 值 不 可 能 是 （ 　 　 ） Ａ ．０ Ｂ． － ８ Ｃ． － ４ Ｄ ． － ２ １０ ．（ ２０ ２３ 长 阳 一 模 ） 如 图 ６， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ， ∠ ＡＢ Ｃ ＝ ２ ∠ Ｃ， ＡＰ 和 ＢＱ 分 别 为 ∠ ＢＡ Ｃ 和 ∠ ＡＢ Ｃ 的 平 分 线 ．若 △ Ａ Ｂ Ｑ 的 周 长 为 １８ ，Ｂ Ｐ ＝ ４， 则 ＡＢ 的 长 为 （ 　 　 ） Ａ ．７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ ．６ 二 、 细 心 填 一 填 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 每 小 题 ３ 分 ， 共 ２４ 分 ） １１ ．将 式 子 ５ｘ －２ ｙ６ 写 成 只 含 有 正 整 数 指 数 幂 的 形 式 为 ． １２ ．（ ２０ ２３ 天 台 一 模 ） 如 图 ７， △ ＡＤ Ｅ ≌ △ ＡＢ Ｃ， 点 Ｄ 在 边 ＡＣ 上 ，延 长 ＥＤ 交 边 ＢＣ 于 点 Ｆ． 若 ∠ ＥＡ Ｃ ＝ ３５ °， 则 ∠ ＢＦ Ｄ ＝ ． １３ ．（ ２０ ２３ 金 华 期 末 ） 如 图 ８， 点 Ａ， Ｂ 在 数 轴 上 所 对 应 的 数 分 别 为 － ３， ａ ａ － ２， 且 点 Ａ， Ｂ 到 原 点 的 距 离 相 等 ，则 ａ ＝ ． １４ ．（ ２０ ２３ 丰 县 期 中 ） 如 图 ９， 在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ，分 别 以 Ｃ， Ｂ 为 圆 心 ，Ａ Ｂ 的 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 交 于 点 Ｄ ， 连 接 ＢＤ ，Ａ Ｄ ． 若 ∠ ＡＢ Ｄ ＝ １３ ０° ，则 ∠ Ｃ ＝ °． １５ ．（ ２０ ２３ 丰 顺 开 学 ） 如 图 １０ ， 点 Ｃ 在 ＢＥ 上 ， ∠ Ｂ ＝ ∠ Ｅ ＝ ∠ ＡＣ Ｆ， ＡＣ ＝ ＣＦ ，Ａ Ｂ ＝ ４， ＥＦ ＝ ６， 则 ＢＥ 的 长 为 ． １６ ．（ ２０ ２３ 滨 海 模 拟 ） 定 义 ： 一 个 三 角 形 的 一 边 长 是 另 一 边 长 的 ３ 倍 ，这 样 的 三 角 形 叫 做 “ ３ 倍 长 三 角 形 ” ．若 等 腰 △ ＡＢ Ｃ 是 “ ３ 倍 长 三 角 形 ” ，底 边 ＢＣ 的 长 为 ３， 则 等 腰 △ ＡＢ Ｃ 的 周 长 为 ． １７ ． 如 图 １１ ，已 知 ＡＣ ＋ Ｄ Ｃ ＝ ＡＢ ， ∠ ＡＤ Ｃ ＝ ８０ °， ∠ Ｃ ＝ ４０ °， 则 ∠ Ｂ 的 度 数 为 ． １８ ．如 图 １２ ，在 △ ＡＢ Ｃ 中 ，Ａ Ｂ ＝ ＡＣ ＝ ５， ∠ ＢＡ Ｃ ＝ ８０ °， ∠ ＡＢ Ｃ ＝ ５０ °， Ｏ 为 △ ＡＢ Ｃ 中 的 一 点 ， ∠ Ｏ ＢＣ ＝ １０ °， ∠ Ｏ ＣＢ ＝ ３０ °， 则 线 段 ＢＯ 的 长 是 ． 三 、 耐 心 解 一 解 （ 本 大 题 共 ８ 个 小 题 ， 共 ６６ 分 ） １９ ．（ ６ 分 ） 解 方 程 ： （ １） ｘ － ３ ｘ － １ ＝ － ２ ｘ － １ ＋ ２； （ ２） ３ ２ － ７ ６ｘ － ２ ＝ ４ ３ｘ － １． ２０ ．（ ６ 分 ） 先 化 简 ，后 求 值 ： （ １） ａ － １ ａ ＋ ２· ａ２ － ４ ａ２ － ２ａ ＋ １ ÷ １ ａ － １， 其 中 ａ ＝ ０； （ ２） （ ５ ｘ － ２ － ｘ － ２） ÷ ３ － ｘ ２ｘ － ４， 其 中 ｘ ＝ （ － １ ２ ） －１ ． ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 3 !"#$%&!' ! " # $ % & ! ' $ ( ) 4 + , - . / 0 1 2 3 ! " # $ % & ' ( ! ! ! " # $ % & ! " ! $ % # " & ! # ! & " ( ) ! " & ! $ ! % # ! ' % " & ! & ! ( " ) & ! ' " $ ! % & # ! ( % ! " & ) & " ! * ! ! " ! ' & " ! ! ) # ! " & $ ! % & " ! ! ! 书 ８期２版 ２．５全等三角形 ２．５．４角角边（ＡＡＳ） 基础训练　１．Ａ；　２．Ｂ． ３．因为 ＡＢ∥ ＤＥ，所以 ∠Ｅ＝∠ＢＡＣ．在 △ＡＢＣ和 △ＥＡＤ中， ∠ＡＣＢ＝∠Ｄ， ∠ＢＡＣ＝∠Ｅ， ＡＢ＝ＥＡ { ， 所以△ＡＢＣ≌△ＥＡＤ（ＡＡＳ）． ４．因为∠ＤＣＢ＝１００°，∠ＡＤＣ＝６５°，所以∠Ａ＝１８０°－∠ＤＣＢ－ ∠ＡＤＣ＝１５°＝∠ＢＥＣ．在 △ＢＣＥ和 △ＤＣＡ中， ∠ＢＥＣ＝∠Ａ， ∠Ｃ＝∠Ｃ， ＣＢ＝ＣＤ { ， 所以 △ＢＣＥ≌△ＤＣＡ（ＡＡＳ）．所以ＣＥ＝ＣＡ．因为ＢＣ＝ＣＤ，所以ＣＡ－ＢＣ＝ ＣＥ－ＣＤ，即ＡＢ＝ＤＥ．所以测得ＤＥ的长就是Ａ，Ｂ两点的距离． 能力提高　５．Ａ． ６．过点Ｅ作ＥＮ∥ＡＢ，交ＢＣ的延长线于点Ｎ，图略．所以∠Ｎ＝∠Ｂ． 因为△ＡＢＣ是等边三角形，所以∠Ｂ＝∠ＡＣＢ＝６０°．由对顶角相等，得 ∠ＢＭＤ＝∠ＮＭＥ，∠ＮＣＥ＝∠ＡＣＢ＝６０°．所以∠ＮＣＥ＝∠Ｎ．所以ＣＥ ＝ＮＥ．因为 ＢＤ ＝ＣＥ，所以 ＢＤ ＝ＮＥ．在 △ＢＤＭ和 △ＮＥＭ中， ∠ＢＭＤ＝∠ＮＭＥ， ∠Ｂ＝∠Ｎ， ＢＤ＝ＮＥ { ， 所以△ＢＤＭ≌△ＮＥＭ（ＡＡＳ）．所以ＭＤ＝ＭＥ． ２．５．５边边边（ＳＳＳ） 基础训练　１．Ｄ；　２．Ａ；　３．③；　４．Ｆ，ＡＢＥ；　５．７５°． ６．在△ＡＢＤ和△ＣＤＢ中， ＡＢ＝ＣＤ， ＡＤ＝ＣＢ， ＢＤ＝ＤＢ { ， 所以△ＡＢＤ≌△ＣＤＢ（ＳＳＳ）． 能力提高　７．（１）因为ＡＦ＝ＢＣ，所以ＡＦ－ＣＦ＝ＢＣ－ＣＦ，即ＡＣ ＝ＢＦ．因为ＢＥ＝ＢＦ，所以ＡＣ＝ＢＥ．在△ＡＣＤ和△ＢＥＣ中， ＣＤ＝ＥＣ， ＡＣ＝ＢＥ， ＡＤ＝ＢＣ { ， 所以△ＡＣＤ≌△ＢＥＣ（ＳＳＳ）．所以 ∠Ａ＝∠Ｂ．所以 ＡＤ∥ ＢＥ． （２）因为ＣＤ＝ＣＥ，∠ＣＤＥ＝５０°，所以∠ＣＥＤ＝５０°．又因为∠ＢＣＥ ＝２０°，所以∠ＢＦＥ＝∠ＣＥＤ＋∠ＢＣＥ＝７０°．因为ＢＦ＝ＢＥ，所以∠ＢＥＦ ＝∠ＢＦＥ＝７０°．所以∠Ｂ＝１８０°－∠ＢＦＥ－∠ＢＥＦ＝４０°． ２．６用尺规作三角形 基础训练　１．Ｃ． ２．能确定Ｃ城市的具体位置，图略． ３．图略． 能力提高　４．图略． ８期３版 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ａ Ｄ Ｂ 二、９．稳定性；　１０．ＡＢ＝ＥＤ或ＢＣ＝ＤＣ； １１．５２°；　１２．３；　１３．ＣＤ＝ＡＢ． 三、１４．图略． １５．因为∠ＣＡＢ＝∠ＤＢＡ，所以 ＡＥ＝ＢＥ．在 △ＡＤＢ和 △ＢＣＡ中， ∠Ｄ＝∠Ｃ， ∠ＤＢＡ＝∠ＣＡＢ， ＡＢ＝ＢＡ { ， 所以△ＡＤＢ≌△ＢＣＡ（ＡＡＳ）．所以 ＢＤ＝ＡＣ．所以 ＢＤ－ＢＥ＝ＡＣ－ＡＥ，即ＤＥ＝ＣＥ． １６．连接ＯＡ，ＯＣ，图略．因为ＯＥ，ＯＦ分别是ＡＣ，ＢＤ的垂直平分线，所 以 ＯＡ ＝ＯＣ，ＯＢ ＝ＯＤ，∠ＤＦＯ ＝９０°．在 △ＡＢＯ和 △ＣＤＯ中， ＡＢ＝ＣＤ， ＯＡ＝ＯＣ， ＯＢ＝ＯＤ { ， 所以△ＡＢＯ≌△ＣＤＯ（ＳＳＳ）．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＯ＝７９°． 因为∠ＣＤＢ＝３８°，所以∠ＯＤＦ＝∠ＣＤＯ－∠ＣＤＢ＝４１°．所以∠ＤＯＦ ＝１８０°－∠ＤＦＯ－∠ＯＤＦ＝４９°． １７．（１）因为ＯＢ⊥ＯＣ，所以∠ＢＯＤ＋∠ＣＯＥ＝９０°．因为ＣＥ⊥ＯＡ， ＢＤ⊥ＯＡ，所以∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ＝９０°．所以 ∠ＢＯＤ＋∠Ｂ＝１８０°－ ∠ＯＤＢ ＝ ９０°．所 以 ∠ＣＯＥ ＝ ∠Ｂ．在 △ＣＯＥ和 △ＯＢＤ 中， ∠ＣＥＯ＝∠ＯＤＢ， ∠ＣＯＥ＝∠Ｂ， ＯＣ＝ＢＯ { ， 所以△ＣＯＥ≌△ＯＢＤ（ＡＡＳ）．所以ＯＥ＝ＢＤ． （２）因为△ＣＯＥ≌△ＯＢＤ，所以ＣＥ＝ＯＤ＝１５ｃｍ．因为ＡＤ＝２ｃｍ， 所以ＯＢ＝ＯＡ＝ＯＤ＋ＡＤ＝１７ｃｍ． １８．（１）由对顶角相等，得∠ＡＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为∠Ａ＝∠ＡＢＣ，所以 ∠Ａ＝∠ＧＢＨ．因为ＥＦ⊥ＡＢ，ＧＨ⊥ ＡＢ，所以 ∠ＡＦＥ＝∠Ｈ＝９０°．在 △ＡＥＦ和△ＢＧＨ中， ∠Ａ＝∠ＧＢＨ， ∠ＡＦＥ＝∠Ｈ， ＥＦ＝ＧＨ { ， 所以△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ（ＡＡＳ）． （２）因为△ＡＥＦ≌△ＢＧＨ，所以ＡＦ＝ＢＨ．所以ＡＦ－ＢＦ＝ＢＨ－ＢＦ， 即ＡＢ＝ＦＨ＝４．由对顶角相等，得∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＨ．因为ＥＦ⊥ＡＢ，所 以∠ＥＦＤ＝９０°＝∠Ｈ．在△ＥＦＤ和△ＧＨＤ中， ∠ＥＤＦ＝∠ＧＤＨ， ∠ＥＦＤ＝∠Ｈ， ＥＦ＝ＧＨ { ， 所 以△ＥＦＤ≌△ＧＨＤ（ＡＡＳ）．所以ＤＦ＝ＤＨ＝ １２ＦＨ＝２． 上期检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｂ Ａ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ｃ Ｄ Ｃ 二、１１．稳定；　１２．如果两条射线是邻补角的平分线，那么这两条 射线互相垂直；　１３．１９或２３；　１４．７；　１５．３０海里；　１６．１或３； １７．３０；　１８．４或３６． 三、１９．因为∠Ｂ＝６０°，∠ＡＮＣ＝８０°，所以∠ＢＡＮ＝∠ＡＮＣ－∠Ｂ ＝２０°．因为ＡＮ是△ＡＢＣ的角平分线，所以∠ＢＡＣ＝２∠ＢＡＮ＝４０°．所 以∠Ｃ＝１８０°－∠Ｂ－∠ＢＡＣ＝８０°． （下转１，４版中缝） !"#$%&'()*+ )#%!+%"'!"&* !",-%&'()*+ )#%!+%"'!!"% ! ! !"#$ )*+!,-./012 !" 3 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 书 （上接１，４版中缝） ２５．（１）因为 ∠ＡＢＤ ＝ ∠ＣＢＥ，所以 ∠ＡＢＤ＋∠ＤＢＣ ＝∠ＣＢＥ＋∠ＤＢＣ，即 ∠ＡＢＣ ＝∠ＤＢＥ＝９０°．在△ＡＢＣ和 △ＤＢＥ 中， ∠ＡＢＣ＝∠ＤＢＥ， ＡＢ＝ＤＢ， ∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＥ { ， 所 以 △ＡＢＣ≌△ＤＢＥ（ＡＳＡ）． （２）过点Ａ作ＡＭ⊥ＢＤ于 点Ｍ，图略．所以∠ＡＭＢ＝９０° ＝∠ＥＢＤ．因为 Ｆ是 ＡＥ的中 点，所以ＡＦ＝ＥＦ．由对顶角相 等，得 ∠ＡＦＭ ＝∠ＥＦＢ．在 △ＡＦＭ 和 △ＥＦＢ 中， ∠ＡＭＦ＝∠ＥＢＦ， ∠ＡＦＭ ＝∠ＥＦＢ， ＡＦ＝ＥＦ { ， 所 以 △ＡＦＭ≌△ＥＦＢ（ＡＡＳ）．所以 ＡＭ ＝ＥＢ＝ＢＣ，ＭＦ＝ＢＦ．所 以ＢＭ ＝２ＢＦ．因为 ∠ＤＢＣ＋ ∠ＡＢＦ＝９０°，∠ＡＢＦ＋∠ＢＡＭ ＝９０°，所以∠ＤＢＣ＝∠ＢＡＭ． 在 △ＡＢＭ 和 △ＢＤＣ 中， ＡＢ＝ＢＤ， ∠ＢＡＭ ＝∠ＤＢＣ， ＡＭ ＝ＢＣ { ， 所 以 △ＡＢＭ≌△ＢＤＣ（ＳＡＳ）．所以 ＣＤ＝ＢＭ ＝２ＢＦ． ２６．（１）因为△ＡＢＣ，△ＣＤＥ 都是等边三角形，所以 ＡＣ＝ ＢＣ，ＣＤ＝ＣＥ，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ ＝６０°．所以∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ＝ ∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即 ∠ＡＣＤ＝ ∠ＢＣＥ．在△ＡＣＤ和△ＢＣＥ中， ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ， ＣＤ＝ＣＥ { ， 所 以 △ＡＣＤ≌ △ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以 ＡＤ＝ＢＥ． （２）由（１）知 △ＡＣＤ≌ △ＢＣＥ． 所 以 ∠ＡＤＣ ＝ ∠ＢＥＣ．因为△ＣＤＥ是等边三 角形，所以∠ＣＥＤ＝∠ＣＤＥ＝ ６０°．所以 ∠ＯＤＥ＋∠ＯＥＤ＝ ∠ＡＤＣ＋∠ＣＤＥ＋∠ＢＥＤ＝ ∠ＢＥＣ ＋６０°＋∠ＢＥＤ ＝ ∠ＣＥＤ＋６０°＝１２０°．所以 ∠ＤＯＥ＝１８０°－（∠ＯＤＥ＋ ∠ＯＥＤ）＝６０°． （３）由（１）知 △ＡＣＤ≌ △ＢＣＥ． 所 以 ∠ＣＡＤ ＝ ∠ＣＢＥ．因为点Ｍ，Ｎ分别是线 段ＡＤ，ＢＥ的中点，所以ＡＭ ＝ １ ２ＡＤ，ＢＮ＝ １ ２ＢＥ．所以 ＡＭ ＝ＢＮ．在△ＡＣＭ和△ＢＣＮ中， ＡＣ＝ＢＣ， ∠ＣＡＭ ＝∠ＣＢＮ， ＡＭ ＝ＢＮ { ， 所 以 △ＡＣＭ≌△ＢＣＮ（ＳＡＳ）．所以 ＣＭ ＝ＣＮ，∠ＡＣＭ ＝∠ＢＣＮ． 所以 ∠ＭＣＮ ＝ ∠ＢＣＮ ＋ ∠ＭＣＢ＝∠ＡＣＭ＋∠ＭＣＢ＝ ∠ＡＣＢ＝６０°．所以△ＭＮＣ是 等边三角形． （全文完） 书 （上接第１版） ２２．（８分）已知关于ｘ的分式方程 ２ｘ－２＋ ｘ＋ｍ ２－ｘ＝２有增根，求ｍ的值． ２３．（２０２３菏泽牡丹区月考，９分）如图１１，在△ＡＢＣ中，已知点Ｄ在线段ＡＢ的反 向延长线上，过ＡＣ的中点Ｆ作线段ＧＥ交∠ＤＡＣ的平分线于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｇ，且ＡＥ ∥ＢＣ． （１）求证：△ＡＢＣ是等腰三角形； （２）若ＡＥ＝８，ＧＣ＝２ＢＧ，求ＢＣ的长． ２４．（２０２３成都金牛区期中，９分）如图１２，△ＡＢＣ中，三个内角的平分线交于点 Ｏ，过点Ｏ作ＯＤ⊥ＯＢ，交边ＡＢ于点Ｄ． （１）若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠ＡＯＣ＝ ，∠ＡＤＯ＝ ； （２）猜想∠ＡＯＣ与∠ＡＤＯ的关系，并说明理由． ２５．（１０分）某开发公司生产的１９２０个新产品需要精加工后才能投放市场，现有 甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知乙厂单独加工完这批产品比甲厂单独加工完 这批产品多用２０天，而乙厂每天加工的数量是甲厂每天加工数量的 ２３，公司需付甲 厂加工费用每天１２０元，需付乙厂加工费用每天８０元． （１）甲、乙两个工厂每天各能加工多少个新产品？ （２）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家 合作完成；在加工过程中，公司派一名工程师到厂进行技术指导，并负担每天２０元的 午餐补助费．请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由． ２６．（２０２３北京平谷区二模，１０分）如图１３，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，点Ｄ为ＢＣ 边上一点，Ｅ为ＡＣ延长线上的一点，ＣＥ＝ＣＤ，Ｆ为ＣＢ边上一点，ＥＦ⊥射线ＡＤ于点 Ｋ，过点Ｄ作直线ＤＧ⊥ＡＢ于点Ｇ，交ＥＦ于点Ｈ，作∠ＡＧＤ的平分线交ＡＤ于点Ｍ，过 点Ｍ作ＡＢ的平行线，交ＤＧ于点Ｏ，交ＢＣ于点Ｑ，交ＥＦ于点Ｎ，ＭＯ＝ＮＯ． （１）找出图中和∠ＤＨＫ相等的一个角，并证明； （２）判断ＥＨ，ＦＮ，ＭＤ的数量关系，并证明                                                         ． 456789:3; ! * " $ % & # ! !! ! 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