5.2.1 三角函数的概念（分层作业，5大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

5.2.1 三角函数的概念 题型1 任意角的三角函数的定义 1．是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 2．若的终边经过点，则（    ） A． B． C．为锐角 D． 3．已知角终边上有一点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型2 利用定义求某角的三角函数值 1．对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 题型3 由终边或终边上的点求三角函数值 1．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 2．下列结论不正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为 C．若角的终边过点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则与是终边相同的角 B．若角的终边过点，则 C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D．若，则角的终边在第一象限或第三象限 题型4 由三角函数值求终边上的点或参数 1．角终边经过点，且，，则实数a的取值范围是 . 2．已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 . 3．已知角的终边经过点，且，则实数 . 题型5 特殊角的三角函数值 1．化简 . 2． “，”是“”成立的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” ） 3．设奇函数 ，则的值为 . 1．根据下列条件，求角x： (1)，且x是第三象限的角； (2)，； (3)； (4)． 2．把下列各角度化为弧度，并判断它们是第几象限的角： (1)225°； (2)1500°； (3)； (4)． 3．设关于x的方程. (1)当时，求方程的解； (2)若命题“关于x的方程有解的充要条件是”是真命题，求实数k的取值范围. 4．计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如 ， ， 其中. 英国数学家泰勒（B．Taylor，1685―1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的和的值也就越精确.例如，我们用前三项计算，就得到. 像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的. 试用你的计算器计算，并与上述结果进行比较. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.1 三角函数的概念 题型1 任意角的三角函数的定义 1．是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先在直角三角形中利用正弦值求出，再在直角中利用勾股定理即可求解. 【详解】解：在直角中， ，即， 在直角中. 故选：A. 2．若的终边经过点，则（    ） A． B． C．为锐角 D． 【答案】D 【分析】由角的终边经过点，求得，根据三角函数的定义，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，求得， 由三角函数的定义，. 且为第一象限角，非锐角. 故选：D. 3．已知角终边上有一点，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【分析】方法一利用任意角三角函数的定义结合象限角的定义求解，方法二先求出点坐标，确定的位置，再利用对称性求解，方法三由第四象限角的三角函数值符号特征得到的位置，再利用对称性求解即可. 【详解】方法一：由任意角三角函数定义得， ，故， 可得，故是第四象限角，故D正确. 方法二：由诱导公式可得， ，故得， 显然在第二象限，则也在第二象限， 而与关于原点对称，故在第四象限，故D正确. 方法三：首先，我们知道是第四象限角， 由第四象限角的三角函数值符号特征得，， 故得在第二象限，则也在第二象限， 而与关于原点对称，故在第四象限，故D正确. 故选：D 题型2 利用定义求某角的三角函数值 1．对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象特点确定的图象所过定点坐标，结合正切函数的定义，即可求得答案. 【详解】对于函数，令， 故的图象过定点， 由于点在角的终边上，则， 故选：B 2．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算相遇时间，再确定转过的角度，结合三角函数的定义即可求解. 【详解】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 其对应的坐标为，即. 故选：C 3．下列选项中叙述正确的是（   ） A．小于的角一定是锐角 B．第二象限的角比第一象限的角大 C．终边不同的角同名三角函数值不相等 D．钝角一定是第二象限的角 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用象限角的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，小于，但不是锐角，A错； 对于B选项，是第二象限的角，是第一象限角，但，B错； 对于C选项，，但和的终边不相同，C错； 对于D选项，钝角一定是第二象限的角，D对. 故选：D. 题型3 由终边或终边上的点求三角函数值 1．如图，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，为线段的中点.为的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．点的坐标为， C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项运用图形可判断；B选项可用三角函数定义判断；C选项可判断；D选项可知道,再利用中点坐标公式可判断. 【详解】，，A正确； 由题意，为的中点 则， 所以点的坐标为，故B错误; 由，可得，故C正确; 由于， 利用三角函数的定义，则; 所以，故D正确; 故选:ACD. 2．下列结论不正确的是（    ） A．是第三象限角 B．若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的弧长为 C．若角的终边过点，则 D．若角为锐角，则角为钝角 【答案】CD 【分析】利用象限角判断A；利用扇形弧长、面积公式计算判断B；利用三角函数定义计算判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，是第三象限角，A正确； 对于B，令扇形所在圆半径为，则，解得，所以该扇形的弧长为，B正确； 对于C，角的终边过点，则，则，C错误； 对于D，当时，角为锐角，而是直角，D错误. 故选：CD 3．下列说法正确的是（    ） A．若，则与是终边相同的角 B．若角的终边过点，则 C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D．若，则角的终边在第一象限或第三象限 【答案】CD 【分析】举反例判断A；由三角函数的定义判断B；由弧长公式判断C；由与同号判断D. 【详解】对于A：当时，，但终边不同，故A错误； 对于B：，当时，，故B错误； 对于C：由，得，故C正确； 对于D：，即与同号，则角的终边在第一象限或第三象限，故D正确； 故选：CD 题型4 由三角函数值求终边上的点或参数 1．角终边经过点，且，，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角函数定义解题即可 【详解】由于，，根据三角函数定义得到 ，解得. 故答案为：. 2．已知O为坐标原点，点P的初始位置坐标为，线段绕点O顺时针转动后，点P所在位置的坐标为 . 【答案】 【分析】求出点P在单位圆上，转动前和转动后的角，从而求出点P所在位置的坐标. 【详解】在第一象限，又， 故点P在单位圆上， 设点P的初始位置所在角为， 则，故， 顺时针转动后，点P在第四象限， 设转动后的角为，则， 因为， 所以点P所在位置的坐标为. 故答案为： 3．已知角的终边经过点，且，则实数 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的定义，列出方程求得或，再由，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据余弦函数的定义，可得. 整理得，解得或， 又因为，所以，即， 所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键，同时注意隐含条件“”，出现增根是解答的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 题型5 特殊角的三角函数值 1．化简 . 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值以及同角三角函数的商数关系即可求解. 【详解】 故答案为：. 2． “，”是“”成立的 条件.（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要” ） 【答案】充分不必要 【分析】，，反之不成立，例如．即可判断出关系． 【详解】，，反之不成立，例如． 因此，”是“”成立的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要． 3．设奇函数 ，则的值为 . 【答案】0 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，所以， 即， 所以. 故答案为：. 1．根据下列条件，求角x： (1)，且x是第三象限的角； (2)，； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)或 【分析】（1）已知正切特殊值求对应角，由x是第三象限的角，直接求出角即可； （2）已知余弦特殊值求对应角，由，直接求出角即可； （3）已知正弦特殊值求对应角，在全体实数范围内，写出满足条件的所有角即可； （4）由，可得，则由余弦特殊值求对应角，可得或，解出，即可求得. 【详解】（1）因为，且x是第三象限的角，所以. （2）因为，，所以或. （3）因为，所以或. （4）因为，所以， 所以或， 所以或. 2．把下列各角度化为弧度，并判断它们是第几象限的角： (1)225°； (2)1500°； (3)； (4)． 【答案】(1)，是第三象限的角 (2)，是第一象限的角 (3)，是第四象限的角 (4)，是第二象限的角 【分析】将角度化为弧度，由度数乘以即可得到弧度；再确定是第几象限的角. 【详解】（1），是第三象限的角. （2），是第一象限的角. （3），是第四象限的角. （4），是第二象限的角. 3．设关于x的方程. (1)当时，求方程的解； (2)若命题“关于x的方程有解的充要条件是”是真命题，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出，得到方程的解； （2）化简得到，根据题意得到不等式，求出答案. 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴，， 方程的解为. （2）原方程可化为， 即. 又由真命题：有解的充要条件是， 得方程有解的充要条件， 化简，得， ∴， ∴或， ∴k的取值范围为. 4．计算器是如何计算，，，，等函数值的？计算器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如 ， ， 其中. 英国数学家泰勒（B．Taylor，1685―1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得越多，计算得到的和的值也就越精确.例如，我们用前三项计算，就得到. 像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显示值是精确的. 试用你的计算器计算，并与上述结果进行比较. 【答案】答案见解析 【分析】直接用计算器计算，再和公式计算值比较即可. 【详解】用计算器计算得， 和数值比较发现， 通过计算的答案只能精确到小数点后第3位. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$